6e · Géométrie · Chapitre 10 — Les triangles

Bilan du chapitre

Feuille d'exercices n°3 — Vocabulaire, calcul, reconnaissance et construction

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📌 Tout le chapitre en un coup d'œil

Vocabulaire

Un triangle a 3 sommets, 3 côtés, 3 angles. Un angle se note toujours avec 3 lettres, le sommet au milieu.

Calculer un angle

La somme des 3 angles vaut 180°. Rectangle : 2 angles complémentaires. Isocèle : 2 angles à la base égaux. Équilatéral : 3 angles de 60°.

Construire un triangle

① 3 côtés → compas. ② 2 côtés + angle compris → rapporteur + compas. ③ 1 côté + 2 angles → rapporteur.

Reconnaître

On lit le codage de la figure : petit carré = angle droit, traits identiques = côtés égaux.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Échauffement Vocabulaire et notation

✓ Vu

a) Pour le triangle RST ci-dessus, donner la liste de ses 3 côtés et de ses 3 angles, avec la notation correcte.

b) Parmi ces notations, lesquelles désignent correctement l'angle au sommet B du triangle ABC : \(\widehat{B}\) ; \(\widehat{ABC}\) ; \(\widehat{ACB}\) ; \(\widehat{BAC}\) ; \(\widehat{CBA}\) ?

c) Vrai ou faux : « \(\widehat{MNP}\) et \(\widehat{PNM}\) désignent le même angle. » Justifier.

a) Côtés et angles de RST

Côtés : [RS], [RT], [ST]. Angles : \(\widehat{RST}\) (ou \(\widehat{TSR}\)), \(\widehat{SRT}\) (ou \(\widehat{TRS}\)), \(\widehat{RTS}\) (ou \(\widehat{STR}\)).

b) Notations correctes

\(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{CBA}\) sont correctes : le sommet B est bien au milieu dans les deux cas (l'ordre des deux lettres extérieures ne change pas l'angle désigné).

Incorrects : \(\widehat{B}\) (une seule lettre ne suffit pas), \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{BAC}\) (le sommet B n'est pas au milieu : ce sont les angles en C et en A).

c) Vrai ou faux

Vrai

Les deux notations désignent le même angle : le sommet N est bien au milieu dans les deux cas, et l'ordre des deux autres lettres (M et P) n'a pas d'importance.

Exercice 2 / 6

Calculer Bilan rapide

✓ Vu

a) Triangle ABC : \(\widehat{BAC} = 48°\) et \(\widehat{ABC} = 97°\). Calculer \(\widehat{ACB}\).

b) Triangle DEF isocèle en D, avec \(\widehat{EDF} = 36°\). Calculer \(\widehat{DEF}\) et \(\widehat{DFE}\).

c) Triangle GHI rectangle en G, avec \(\widehat{GHI} = 38°\). Calculer \(\widehat{GIH}\).

d) Triangle JKL rectangle et isocèle en J (JK = JL). Calculer \(\widehat{JKL}\) et \(\widehat{JLK}\).

a) Triangle ABC

Donc\(\widehat{ACB}=180°-48°-97°\)

\(\widehat{ACB} = 35°\)

b) Triangle DEF

Isocèle en Ddonc \(\widehat{DEF}=\widehat{DFE}\)

Donc\(2\times\widehat{DEF}=180°-36°=144°\)

\(\widehat{DEF} = \widehat{DFE} = 72°\)

c) Triangle GHI

Rectangle en Gdonc \(\widehat{GIH}=90°-38°\)

\(\widehat{GIH} = 52°\)

d) Triangle JKL

Rectangle en Jdonc \(\widehat{JKL}+\widehat{JLK}=90°\)

Isocèle en Jdonc \(\widehat{JKL}=\widehat{JLK}\)

\(\widehat{JKL} = \widehat{JLK} = 45°\)

Exercice 3 / 6

Reconnaître Lecture de codage

✓ Vu

Observer le codage de chaque figure avant de répondre.

Triangle MNO

Triangle PQR

Triangle STU

a) Identifier le type du triangle MNO, puis calculer \(\widehat{NOM}\) et \(\widehat{MNO}\).

b) Identifier le type du triangle PQR, puis calculer \(\widehat{PRQ}\).

c) Identifier le type du triangle STU, puis donner ses trois angles.

a) Triangle MNO

Les côtés [NM] et [NO] portent le même codage : MNO est isocèle en N. Les angles à la base \(\widehat{NMO}\) et \(\widehat{NOM}\) sont donc égaux.

Donc\(\widehat{MNO}=180°-42°-42°\)

\(\widehat{NOM} = 42°\) et \(\widehat{MNO} = 96°\)

b) Triangle PQR

Le petit carré en P indique un angle droit : PQR est rectangle en P.

Donc\(\widehat{PRQ}=90°-63°\)

\(\widehat{PRQ} = 27°\)

c) Triangle STU

Les trois côtés portent le même codage : STU est équilatéral.

\(\widehat{TSU} = \widehat{STU} = \widehat{SUT} = 60°\)

Exercice 4 / 6

Construire Bilan rapide

✓ Vu

Pour chaque triangle, indiquer la méthode utilisée, puis construire.

a) Triangle ABC tel que AB = 5 cm ; BC = 4 cm et AC = 6 cm.

b) Triangle DEF tel que DE = 5 cm ; \(\widehat{EDF} = 65°\) et \(\widehat{DEF} = 45°\).

a) Triangle ABC — méthode ① (3 côtés, au compas)

Le triangle ABC obtenu

b) Triangle DEF — méthode ③ (1 côté + 2 angles, au rapporteur)

Le triangle DEF obtenu

Exercice 5 / 6

Problème Synthèse complète

✓ Vu

Un architecte dessine la façade triangulaire d'un abri de jardin. Cette façade est représentée par le triangle ABC, isocèle en A, tel que \(\widehat{ABC} = 68°\) et BC = 3 m.

a) Faire un schéma à main levée du triangle ABC et y reporter les informations connues.

b) Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\).

c) On ne connaît pour l'instant qu'une longueur (BC) et un angle (\(\widehat{ABC}\)). Expliquer pourquoi le triangle est malgré tout entièrement constructible, et préciser quelle méthode utiliser.

d) Construire le triangle ABC à l'échelle 1 cm pour 1 m (donc BC = 3 cm sur le dessin).

e) Vérifier, sur votre construction, que la somme des trois angles est bien 180°.

💡 Indices

Isocèle en A signifie que les angles à la base, en B et en C, sont égaux. Or on connaît déjà l'angle en B... qu'en déduis-tu pour l'angle en C ?

a) Schéma à main levée

Un triangle ABC avec A en haut (sommet principal), B et C à la base, un codage de côtés égaux sur [AB] et [AC], l'angle de 68° reporté en B, et la longueur 3 m reportée sur [BC].

b) Calcul de \(\widehat{BAC}\)

Isocèle en Adonc \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=68°\)

Donc\(\widehat{BAC}=180°-68°-68°\)

\(\widehat{BAC} = 44°\)

c) Une méthode possible

Puisque le triangle est isocèle en A, on sait déjà que \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=68°\) : on connaît donc en réalité un côté (BC) et deux angles (en B et en C), même si l'énoncé n'en donnait qu'un directement.

On utilise la méthode ③ : 1 côté et 2 angles, au rapporteur.

d) Construction

Le triangle ABC obtenu (échelle 1 cm ↔ 1 m)

e) Vérification

\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB} = 44°+68°+68° = 180°\) ✓

Exercice 6 / 6

Vrai / Faux Récapitulatif express

✓ Vu

Pour chaque affirmation, répondre par Vrai ou Faux.

1. La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°.

2. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont toujours égaux.

3. Le compas permet de reporter une longueur sans avoir à la remesurer.

4. Un triangle équilatéral a toujours ses trois angles de 60°.

5. Si deux angles connus d'un triangle ont une somme supérieure à 180°, le triangle est constructible.

6. Dans un triangle isocèle, les deux côtés égaux entourent l'angle au sommet principal.

7. La plus grande longueur d'un triangle doit toujours être inférieure à la somme des deux autres.

1. Somme des angles = 180°Vrai

2. Angles aigus toujours égaux dans un rectangleFaux — seulement s'il est aussi isocèle

3. Le compas reporte une longueurVrai

4. Équilatéral → 3 angles de 60°Vrai

5. Somme de 2 angles > 180° → constructibleFaux — impossible dans ce cas

6. Côtés égaux autour du sommet principalVrai

7. Plus grande longueur < somme des deux autresVrai