6e · Géométrie

Les triangles

I. Vocabulaire du triangle
📘 Définition

Un triangle est une figure formée par trois points non alignés, appelés sommets, reliés deux à deux par trois segments, appelés côtés.

✏️ Exemple
Le triangle ABC est formé des sommets A, B et C.
A B C [AB] [AC] [BC]
Le triangle ABC : sommets, côtés et angles
  • Ses sommets sont les points A B C.
  • Ses côtés sont les segments \([AB]\), \([AC]\) et \([BC]\).
  • Ses angles sont \(\widehat{BAC}\), \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{BCA}\).
📐 Règle

On note un triangle en écrivant ses trois sommets à la suite, par exemple ABC. L'ordre des lettres n'a pas d'importance : ABC, BCA ou CAB désignent le même triangle.

II. La somme des angles d'un triangle
🟢 Propriété

Dans n'importe quel triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°.

Dans un triangle ABC : \(\ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\ \)
✂️ Pour le vérifier, on peut découper les trois angles d'un triangle en papier, puis les assembler côte à côte sommet contre sommet : les trois angles forment alors ensemble un angle plat, c'est-à-dire un angle de 180°.
✏️ Exemple
Dans le triangle ABC, on a \(\widehat{A} = 55°\) et \(\widehat{B} = 75°\). Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{C}\).
55° 75° ? A B C
Le triangle ABC
On sait que\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\)
Donc\(\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B}\)
Soit\(\widehat{C} = 180° - 55° - 75°\)
Conclusion : \(\widehat{C} = 50°\)
Cas particuliers à connaître
📐 Conséquences
  • Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux : chacun mesure 60°, car \(180° \div 3 = 60°\).
  • Dans un triangle rectangle, l'un des angles mesure déjà 90° : les deux autres angles sont donc complémentaires, c'est-à-dire que leur somme vaut \(180° - 90° = 90°\).
  • Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base (opposés aux côtés de même longueur) sont égaux entre eux.
✏️ Exercice
Un triangle IJK est rectangle en I. On sait que \(\widehat{J} = 35°\). Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{K}\).
On sait que\(\widehat{I} + \widehat{J} + \widehat{K} = 180°\)
Orle triangle est rectangle en I, donc \(\widehat{I} = 90°\)
Donc\(\widehat{K} = 180° - 90° - 35°\)
Conclusion : \(\widehat{K} = 55°\)
⚠️ Attention

Cette propriété permet de calculer un angle manquant, mais elle ne dit pas si un triangle est constructible : il faut aussi que les trois angles soient positifs (chacun strictement compris entre 0° et 180°).

III. Construire un triangle connaissant ses trois longueurs
✍️ Avant toute construction, on réalise toujours une figure à main levée : un dessin rapide, sans instruments, sur lequel on reporte les longueurs et les angles donnés par l'énoncé. Cela permet de prévoir l'allure du triangle avant de le construire avec précision.
📐 Méthode générale

Pour construire un triangle dont on connaît les trois longueurs, on utilise la règle graduée pour tracer un premier côté, puis le compas pour placer le troisième sommet à la bonne distance des deux premiers.

✏️ Exemple
Construire le triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 5 cm et BC = 4 cm.
📐 Méthode — Construction aux 3 côtés
  1. Faire une figure à main levée du triangle ABC et y reporter les trois longueurs.
  2. Tracer le segment [AB] = 6 cm à la règle graduée.
  3. Régler l'écartement du compas sur 5 cm. Piquer la pointe en A et tracer un arc de cercle.
  4. Régler l'écartement du compas sur 4 cm. Piquer la pointe en B et tracer un arc de cercle.
  5. Le point C est à l'intersection des deux arcs. Le relier à A et à B à la règle.

On obtient un triangle ABC dont les longueurs des côtés sont bien AB = 6 cm, AC = 5 cm et BC = 4 cm. Les deux arcs de cercle tracés au compas se coupent en un seul point (au-dessus du segment [AB]) : c'est le sommet C.

A B C 6 cm 5 cm 4 cm
Le triangle ABC obtenu
À retenir : Le compas sert à reporter une longueur sans avoir besoin de la mesurer à chaque fois avec la règle.
⚠️ Attention

La construction n'est possible que si la plus grande longueur est plus petite que la somme des deux autres. Sinon, les deux arcs de cercle ne se croisent jamais !

IV. Construire un triangle connaissant des longueurs et des angles
a) Deux longueurs et l'angle qu'elles forment
✏️ Exemple
Construire le triangle DEF tel que DE = 5 cm ; DF = 4 cm et \(\widehat{EDF} = 50°\).
📐 Méthode — 2 côtés et l'angle compris
  1. Faire une figure à main levée et y reporter les longueurs et l'angle donnés.
  2. Tracer le segment [DE] = 5 cm à la règle graduée.
  3. Placer le rapporteur en D, sur la demi-droite [DE), et repérer l'angle de 50°.
  4. Tracer la demi-droite issue de D passant par cette marque.
  5. Sur cette demi-droite, reporter la longueur DF = 4 cm au compas ou à la règle : on obtient le point F.
  6. Relier F à E pour terminer le triangle.

Le triangle DEF obtenu vérifie bien DE = 5 cm, DF = 4 cm et \(\widehat{EDF} = 50°\). Le troisième côté [EF] et les deux autres angles se déduisent automatiquement de la construction : on ne les choisit pas.

50° D E F 5 cm 4 cm
Le triangle DEF obtenu
b) Une longueur et deux angles adjacents
✏️ Exemple
Construire le triangle GHI tel que GH = 6 cm ; \(\widehat{HGI} = 40°\) et \(\widehat{GHI} = 65°\).
📐 Méthode — 1 côté et 2 angles
  1. Faire une figure à main levée et y reporter la longueur et les deux angles.
  2. Tracer le segment [GH] = 6 cm à la règle graduée.
  3. Placer le rapporteur en G et tracer la demi-droite qui fait un angle de 40° avec [GH).
  4. Placer le rapporteur en H et tracer la demi-droite qui fait un angle de 65° avec [HG).
  5. Le point I est le point d'intersection des deux demi-droites tracées.

Les deux demi-droites tracées depuis G et depuis H se coupent en un seul point : c'est le sommet I. Le triangle GHI est donc entièrement déterminé par une longueur et deux angles.

40° 65° G H I 6 cm
Le triangle GHI obtenu
V. Reconnaître et nommer les triangles particuliers
📘 Vocabulaire

Certains triangles possèdent des propriétés particulières sur leurs côtés ou leurs angles. On dit alors que ce sont des triangles particuliers.

🔺 Triangle isocèle
A B C
Un triangle qui a deux côtés de même longueur (repérés par le même codage sur la figure). Ici AB = AC : le triangle ABC est isocèle en A (A est le sommet principal).
🔺 Triangle équilatéral
A B C
Un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur (même codage sur les trois côtés). Un triangle équilatéral est donc aussi isocèle, mais de trois façons différentes.
📐 Triangle rectangle
A B C
Un triangle qui a un angle droit (marqué par un petit carré). Ici l'angle droit est en A : les côtés [AB] et [AC] sont donc perpendiculaires.
🔻 Triangle quelconque
A B C
Un triangle qui n'a aucune de ces propriétés particulières : ses trois côtés ont des longueurs différentes (aucun codage identique) et il n'a pas d'angle droit.
✏️ Exemple
Dans le triangle RST rectangle en S, quel est le côté opposé à l'angle droit ?

Le triangle est rectangle en S, donc l'angle droit est \(\widehat{RST}\). Le côté opposé à cet angle droit est celui qui ne touche pas S : c'est le côté [RT].

⚠️ Attention

Pour reconnaître un triangle isocèle ou équilatéral sur une figure, on ne se fie jamais à l'allure du dessin : on utilise la règle graduée pour comparer les longueurs des côtés, ou l'équerre pour vérifier un angle droit.

VI. Tracer les triangles particuliers avec les instruments
a) Le triangle équilatéral
✏️ Exemple
Construire le triangle MNP équilatéral de côté 5 cm.
📐 Méthode — Triangle équilatéral (au compas)
  1. Tracer le segment [MN] = 5 cm à la règle graduée.
  2. Régler le compas sur 5 cm. Piquer la pointe en M et tracer un arc de cercle.
  3. Sans changer l'écartement du compas, piquer la pointe en N et tracer un second arc de cercle.
  4. Le point P est à l'intersection des deux arcs. Le relier à M et à N.

Comme le compas garde le même écartement (5 cm) pour les deux arcs, on obtient directement MP = NP = MN = 5 cm : le triangle MNP est bien équilatéral.

P M N 5 cm
Le triangle MNP obtenu (équilatéral)
b) Le triangle isocèle
✏️ Exemple
Construire le triangle QRS isocèle en Q tel que QR = QS = 6 cm et RS = 4 cm.
📐 Méthode — Triangle isocèle (au compas)
  1. Tracer le segment [RS] = 4 cm à la règle graduée.
  2. Régler le compas sur 6 cm. Piquer la pointe en R et tracer un arc de cercle.
  3. Sans changer l'écartement du compas, piquer la pointe en S et tracer un second arc de cercle.
  4. Le point Q est à l'intersection des deux arcs. Le relier à R et à S.

Le compas garde le même écartement (6 cm) pour les deux arcs tracés depuis R et S : on obtient donc QR = QS = 6 cm, et le triangle QRS est bien isocèle en Q.

Q R S 6 cm 6 cm 4 cm
Le triangle QRS obtenu (isocèle en Q)
c) Le triangle rectangle
✏️ Exemple
Construire le triangle UVW rectangle en U tel que UV = 4 cm et UW = 3 cm.
📐 Méthode — Triangle rectangle (à l'équerre)
  1. Tracer le segment [UV] = 4 cm à la règle graduée.
  2. Placer l'équerre en U de façon à ce qu'un de ses côtés soit posé sur la droite (UV) : l'autre côté de l'équerre indique alors la direction perpendiculaire.
  3. Tracer, le long de l'équerre, la demi-droite perpendiculaire à (UV) passant par U.
  4. Reporter sur cette demi-droite la longueur UW = 3 cm à la règle ou au compas : on obtient le point W.
  5. Relier W à V pour terminer le triangle.

Grâce à l'équerre, l'angle \(\widehat{VUW}\) mesure exactement 90° : le triangle UVW est donc bien rectangle en U, avec UV = 4 cm et UW = 3 cm.

U V W 4 cm 3 cm
Le triangle UVW obtenu (rectangle en U)
VII. Utiliser les instruments de géométrie
📏 La règle Tracer un segment et mesurer une longueur
🧭 Le compas Reporter une longueur, tracer un arc de cercle
📐 L'équerre Tracer ou vérifier un angle droit
🌡️ Le rapporteur Tracer ou mesurer un angle
📐 À retenir
  • On fait toujours une figure à main levée avant de commencer une construction.
  • On utilise la règle pour tracer les segments et mesurer les longueurs connues.
  • On utilise le compas pour reporter une longueur sans la mesurer à nouveau.
  • On utilise le rapporteur pour construire ou vérifier un angle donné.
  • On utilise l'équerre pour construire ou vérifier un angle droit.
🏠