Reconnaître une situation
de proportionnalité

Proportionnalité — Feuille d'exercices n°1 — 6^ème

Méthode des quotients Situations concrètes Justifier

📌 Deux façons de vérifier une proportionnalité

① La méthode des quotients

Dans un tableau, on calcule le quotient (2^e ligne ÷ 1^re ligne) de chaque colonne. Si tous les quotients sont égaux, le tableau est un tableau de proportionnalité.

\(\text{quotient} = \dfrac{\text{2}^{\text{e}}\text{ ligne}}{\text{1}^{\text{re}}\text{ ligne}}\)

② Sans calcul, avec la logique

Une situation n'est pas proportionnelle dès qu'il existe un montant fixe (une valeur qui ne devient pas 0 quand l'autre grandeur vaut 0), ou dès que le rythme n'est pas constant.

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Exercice 1 / 6

Méthode des quotients Tableaux

✓ Vu

Pour chaque tableau, calcule les quotients (2^e ligne ÷ 1^re ligne) puis dis s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité.

a) Poids de pommes et prix

Masse (en kg)	2 kg	5 kg	8 kg
Prix (en €)	3 €	7,50 €	12 €

b) Nombre de tickets de manège et prix

Nombre de tickets	3	5	9
Prix (en €)	12 €	20 €	35 €

c) Trajet à vitesse constante

Durée (en h)	2 h	3 h	5 h
Distance (en km)	90 km	135 km	225 km

💡 Indices

Pour chaque colonne, divise la valeur du bas par la valeur du haut. Fais bien le calcul pour les trois colonnes, pas seulement les deux premières.

Compare bien \(20 \div 5\) et \(35 \div 9\) : ces deux quotients sont-ils vraiment égaux ?

a) Poids de pommes et prix

Colonne 1\(3 \div 2 = 1{,}5\)

Colonne 2\(7{,}5 \div 5 = 1{,}5\)

Colonne 3\(12 \div 8 = 1{,}5\)

Les trois quotients sont égaux à 1,5 : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.

b) Nombre de tickets et prix

Colonne 1\(12 \div 3 = 4\)

Colonne 2\(20 \div 5 = 4\)

Colonne 3\(35 \div 9 \approx 3{,}89\)

Le troisième quotient est différent des deux autres : ce n'est pas un tableau de proportionnalité.

c) Trajet à vitesse constante

Colonne 1\(90 \div 2 = 45\)

Colonne 2\(135 \div 3 = 45\)

Colonne 3\(225 \div 5 = 45\)

Les trois quotients sont égaux à 45 : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 45 (la vitesse en km/h).

Exercice 2 / 6

Sans calcul Vie courante

✓ Vu

Pour chaque situation, dis si les deux grandeurs sont proportionnelles. Justifie ta réponse par une phrase, sans faire de calcul.

1)Un pâtissier vend des tartelettes à 2 € pièce.

2)Un parking facture 2 € pour la première heure, puis 1 € par heure supplémentaire.

3)Une voiture roule à une vitesse constante de 80 km/h : on compare la durée du trajet et la distance parcourue.

4)Un robinet qui fuit remplit un seau de plus en plus lentement, car la pression diminue.

💡 Indices

Demande-toi : si la première grandeur vaut 0, la deuxième vaut-elle aussi 0 ? Pour la situation 2, que paie-t-on si on reste 0 heure ?

Pour la situation 4, le débit du robinet est-il constant tout au long du remplissage ?

✅ Situation 1 — Proportionnelle

0 tartelette coûte 0 € ; 2 fois plus de tartelettes coûtent 2 fois plus cher.

❌ Situation 2 — Non proportionnelle

Il y a un montant de départ (2 € pour la 1^re heure) : pour 0 heure entamée, on ne paierait pas 0 €.

✅ Situation 4 — Proportionnelle

À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet.

❌ Situation 3 — Non proportionnelle

Le débit n'est pas constant : le volume ne suit pas un rythme régulier.

Exercice 3 / 6

Trouve l'erreur Esprit critique

✓ Vu

Léo affirme que ce tableau est un tableau de proportionnalité. Vérifie son affirmation avec la méthode des quotients, puis explique où se situe le problème.

Nombre de baguettes	1	4	10
Prix (en €)	1,10 €	4,40 €	12 €

💡 Indices

Calcule \(1{,}10 \div 1\), \(4{,}40 \div 4\) et \(12 \div 10\). Deux d'entre eux sont égaux : lequel ne l'est pas ?

Si le prix d'une baguette est bien constant, quel devrait être le vrai prix de 10 baguettes ?

Calcul des quotients

Colonne 1\(1{,}10 \div 1 = 1{,}10\)

Colonne 2\(4{,}40 \div 4 = 1{,}10\)

Colonne 3\(12 \div 10 = 1{,}20\)

Le troisième quotient (1,20) est différent des deux premiers (1,10) : Léo se trompe, ce n'est pas un tableau de proportionnalité tel qu'il est écrit.

Où est le problème : si le prix d'une baguette est réellement 1,10 €, alors 10 baguettes devraient coûter \(1{,}10 \times 10 = 11\ €\), et non 12 €. Il y a une erreur dans la dernière valeur du tableau.

Exercice 4 / 6

Vérifier puis compléter

✓ Vu

Une recette de crêpes indique la masse de farine nécessaire selon le nombre de crêpes. Vérifie d'abord qu'il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité, puis complète la case manquante.

Nombre de crêpes	6	10	15	24
Masse de farine (en g)	150 g	250 g	375 g	?

💡 Indices

Calcule les trois quotients connus (150÷6, 250÷10, 375÷15) pour trouver le coefficient de proportionnalité.

Une fois le coefficient trouvé, multiplie-le par 24 pour obtenir la masse de farine.

Vérification

Colonne 1\(150 \div 6 = 25\)

Colonne 2\(250 \div 10 = 25\)

Colonne 3\(375 \div 15 = 25\)

Les trois quotients sont égaux à 25 : c'est bien un tableau de proportionnalité, de coefficient 25.

Case manquante

Calcul\(25 \times 24 = 600\)

Il faut 600 g de farine pour 24 crêpes.

Exercice 5 / 6

Piège Géométrie

✓ Vu

On considère un carré de côté \(c\).

1)Complète les deux tableaux ci-dessous pour \(c = 1\), \(c = 2\) et \(c = 4\) cm, en utilisant les formules \(\text{Périmètre} = 4 \times c\) et \(\text{Aire} = c \times c\).

2)Le périmètre du carré est-il proportionnel au côté \(c\) ? Justifie avec les quotients.

3)L'aire du carré est-elle proportionnelle au côté \(c\) ? Justifie avec les quotients.

Tableau du périmètre

Côté \(c\) (cm)	1 cm	2 cm	4 cm
Périmètre (cm)	?	?	?

Tableau de l'aire

Côté \(c\) (cm)	1 cm	2 cm	4 cm
Aire (cm²)	?	?	?

💡 Indices

Le périmètre d'un carré, c'est la somme des 4 côtés : \(\text{Périmètre} = 4 \times c\). Pour \(c=1\), calcule \(4 \times 1\) ; pour \(c=2\), calcule \(4 \times 2\) ; etc.

L'aire d'un carré, c'est le côté multiplié par lui-même : \(\text{Aire} = c \times c\). Pour \(c=2\), l'aire vaut \(2 \times 2 = 4\).

Une fois le tableau de l'aire rempli, calcule le quotient (aire ÷ côté) pour \(c=1\) puis pour \(c=2\) : obtiens-tu le même résultat ?

1) Tableaux complétés

Côté \(c\) (cm)	1 cm	2 cm	4 cm
Périmètre (cm)	4 cm	8 cm	16 cm

Côté \(c\) (cm)	1 cm	2 cm	4 cm
Aire (cm²)	1 cm²	4 cm²	16 cm²

2) Périmètre et côté

Quotients\(4 \div 1 = 4 \quad ; \quad 8 \div 2 = 4 \quad ; \quad 16 \div 4 = 4\)

Les quotients sont tous égaux à 4 : le périmètre est proportionnel au côté (coefficient 4).

3) Aire et côté

Quotients\(1 \div 1 = 1 \quad ; \quad 4 \div 2 = 2 \quad ; \quad 16 \div 4 = 4\)

Les quotients sont tous différents : l'aire n'est pas proportionnelle au côté.

À retenir : quand une grandeur est obtenue en multipliant une longueur par elle-même (comme l'aire), elle n'est en général pas proportionnelle à cette longueur.

Exercice 6 / 6

Bilan — à toi de jouer

✓ Vu

Un club de sport propose deux formules :

Formule A :15 € par mois, sans frais d'inscription.

Formule B :15 € par mois, plus 30 € de frais d'inscription à payer une seule fois.

1)Complète les deux tableaux ci-dessous en calculant le prix payé après 1, 2 puis 3 mois, pour chaque formule.

2)Pour chaque formule, le prix payé est-il proportionnel au nombre de mois d'abonnement ? Justifie soigneusement en calculant les quotients.

Formule A

Nombre de mois	1	2	3
Prix (en €)	?	?	?

Formule B

Nombre de mois	1	2	3
Prix (en €)	?	?	?

💡 Indices

Pour la formule A, chaque mois coûte 15 €. Pour 2 mois : \(15 \times 2\). Pour 3 mois : \(15 \times 3\).

Pour la formule B, n'oublie pas d'ajouter une seule fois les 30 € de frais d'inscription, en plus des 15 € par mois. Pour 1 mois : \(30 + 15\).

Une fois les deux tableaux remplis, calcule les quotients (prix ÷ mois) pour chaque formule et compare-les.

1) Tableaux complétés

Formule A

Nombre de mois	1	2	3
Prix (en €)	15 €	30 €	45 €

Formule B

Nombre de mois	1	2	3
Prix (en €)	45 €	60 €	75 €

2) Formule A — proportionnalité

Quotients\(15 \div 1 = 15 \quad ; \quad 30 \div 2 = 15 \quad ; \quad 45 \div 3 = 15\)

Tous les quotients sont égaux à 15 : la formule A est proportionnelle au nombre de mois.

2) Formule B — proportionnalité

Quotients\(45 \div 1 = 45 \quad ; \quad 60 \div 2 = 30 \quad ; \quad 75 \div 3 = 25\)

Les quotients sont tous différents : la formule B n'est pas proportionnelle au nombre de mois, à cause des 30 € de frais fixes (pour 0 mois, on paierait quand même 30 €).