Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Autrement dit : si une grandeur est multipliée (ou divisée) par un nombre, l'autre grandeur est multipliée (ou divisée) par ce même nombre.
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 | Colonne 3 |
|---|---|---|---|
| Volume (en L) | 1 | 2 | 10 |
| Prix (en €) | 1,80 | 3,60 | 18 |
💡 Si on achète 2 fois plus d'essence, on paie 2 fois plus cher. Si on achète 10 fois plus, on paie 10 fois plus cher : le prix est proportionnel au volume acheté.
Dans un magasin, 1 kg de pommes de terre coûte 1,20 €. Quel est le prix de 5 kg de pommes de terre ?
Si 1 kg coûte 1,20 €, alors 5 kg coûtent 5 fois plus cher.
Pour savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule le quotient (2ᵉ ligne ÷ 1ʳᵉ ligne) pour chaque colonne :
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Masse (en kg) | 2 | 5 |
| Prix (en €) | 3 | 7,50 |
On calcule les quotients Prix ÷ Masse :
Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifie en calculant les quotients.
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Nombre d'objets | 4 | 6 |
| Prix (en €) | 10 | 15 |
2 fois plus de personnes ⇒ 2 fois plus de chaque ingrédient.
Le rythme change avec la fatigue : ce n'est pas un rapport constant.
Il y a un prix fixe de 2 € en plus : pour 0 km, le prix n'est pas 0 €. Ce n'est donc pas proportionnel.
À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet.
Un pâtissier vend des macarons 1,20 € pièce. Cette situation est-elle proportionnelle ? Et si en plus il ajoutait 3 € de frais de boîte, quelle que soit la quantité achetée ?
Sans frais de boîte : le prix est proportionnel au nombre de macarons (0 macaron = 0 €).
Avec 3 € de frais fixes : ce n'est plus proportionnel, car pour 0 macaron on paierait quand même 3 €.
Dans un tableau de proportionnalité, si l'on connaît trois valeurs, on peut toujours calculer la quatrième valeur manquante. Il existe plusieurs procédures pour la calculer : à toi de choisir celle qui est la plus adaptée selon les nombres de l'énoncé.
On calcule le nombre unique (le coefficient) qui permet de passer directement de n'importe quelle valeur de la première grandeur à la valeur correspondante de la seconde, puis on l'applique à la valeur cherchée.
Grandeurs : la masse de pommes est proportionnelle au prix.
Méthode : je vais utiliser le coefficient de proportionnalité.
Conclusion : donc 8 kg de pommes coûtent 12 €.
Une imprimante imprime 15 pages en 2 minutes, à vitesse constante. Combien de pages imprime-t-elle en 6 minutes ? Utilise la méthode du coefficient de proportionnalité.
Grandeurs : le nombre de pages imprimées est proportionnel à la durée.
Méthode : je vais utiliser le coefficient de proportionnalité.
Conclusion : donc l'imprimante imprime 45 pages en 6 minutes.
On calcule d'abord la valeur correspondant à une seule unité de la première grandeur (1 gâteau, 1 kg, 1 h...), puis on multiplie ce résultat par la quantité recherchée.
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Nombre de gâteaux | 4 | 10 |
| Masse de chocolat (en g) | 120 | ? |
Grandeurs : le nombre de gâteaux est proportionnel à la masse de chocolat.
Méthode : je vais utiliser le retour à l'unité : je cherche la masse de chocolat pour 1 gâteau.
| Grandeur | 4 gâteaux | → 1 gâteau | → 10 gâteaux |
|---|---|---|---|
| Nombre de gâteaux | 4 | 1 | 10 |
| Masse de chocolat (en g) | 120 | 30 | 300 |
| Opération | ÷ 4 | × 10 |
Conclusion : donc il faut 300 g de chocolat pour 10 gâteaux.
7 stylos identiques coûtent 10,50 €. Combien coûtent 4 stylos ? Utilise le retour à l'unité.
Grandeurs : le nombre de stylos est proportionnel au prix.
Méthode : je vais utiliser le retour à l'unité : je cherche le prix d'un seul stylo.
Conclusion : donc 4 stylos coûtent 6 €.
On repère directement par quel nombre on passe de la colonne connue à la colonne recherchée, puis on applique cette même multiplication à l'autre grandeur. C'est une méthode rapide quand ce nombre est simple à repérer.
Grandeurs : le nombre de gâteaux est proportionnel à la masse de chocolat.
Méthode : je vais utiliser la propriété de linéarité (multiplication), car je remarque que \(4 \times 2{,}5 = 10\).
| Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2 |
|---|---|---|
| Nombre de gâteaux | 4 | 10 |
| Masse de chocolat (en g) | 120 | 300 |
| Opération | × 2,5 | |
Conclusion : donc il faut 300 g de chocolat pour 10 gâteaux.
2 places de cinéma coûtent 18 €. Combien coûtent 6 places ? Utilise la propriété de linéarité multiplicative.
Grandeurs : le nombre de places est proportionnel au prix.
Méthode : je vais utiliser la propriété de linéarité (multiplication), car \(2 \times 3 = 6\).
Conclusion : donc 6 places coûtent 54 €.
On peut combiner des colonnes déjà connues par addition ou soustraction, car la somme (ou la différence) de deux colonnes d'un tableau de proportionnalité donne une nouvelle colonne du même tableau.
Grandeurs : le nombre de gâteaux est proportionnel à la masse de chocolat.
Méthode : je vais utiliser la propriété de linéarité (addition), car \(10 = 4 + 4 + 2\).
| Grandeur | 4 | ÷ 2 → 2 | 4 + 4 + 2 = 10 |
|---|---|---|---|
| Nombre de gâteaux | 4 | 2 | 10 |
| Masse de chocolat (en g) | 120 | 60 | 300 |
Conclusion : donc il faut 300 g de chocolat pour 10 gâteaux.
3 kg de farine coûtent 4,50 €. Combien coûtent 7 kg de farine ? (Astuce : \(7 = 3 + 3 + 1\)). Utilise la propriété de linéarité additive.
Grandeurs : la masse de farine est proportionnelle au prix.
Méthode : je vais utiliser la propriété de linéarité (addition), car \(7 = 3 + 3 + 1\).
Conclusion : donc 7 kg de farine coûtent 10,50 €.
Maintenant que tu connais les différentes méthodes de calcul, il faut apprendre à rédiger proprement ta réponse. On rédige toujours en 4 étapes. C'est cette rédaction qui sera attendue et notée dans tous les exercices du chapitre.
Je commence toujours ma rédaction par une phrase du type : « La (grandeur 1) est proportionnelle à la (grandeur 2). » Cette phrase montre que j'ai bien compris la situation avant de calculer.
Je précise clairement la procédure choisie parmi les quatre méthodes vues en partie III : « Je vais utiliser le coefficient de proportionnalité », « ... le retour à l'unité », « ... la propriété de linéarité (multiplication) » ou « ... la propriété de linéarité (addition) ».
Je note les opérations clairement, ligne par ligne, sans les cacher : c'est ce qui permet de vérifier mon raisonnement même si le résultat final est faux.
Je termine toujours par une phrase de conclusion qui répond à la question posée, avec l'unité : « Donc ... ».
Chez un primeur, 3 kg de pommes coûtent 4,50 €. Combien coûtent 8 kg de pommes ?
La masse de pommes est proportionnelle au prix.
Je vais utiliser le coefficient de proportionnalité.
Donc 8 kg de pommes coûtent 12 €.
Remets dans le bon ordre les 4 étapes de rédaction suivantes, pour l'énoncé : « 5 billets de cinéma coûtent 40 €. Combien coûtent 8 billets ? »
Le bon ordre est : B (grandeurs) → D (méthode + début des calculs) → A (calcul) → C (conclusion).
Une voiture consomme 6 L d'essence pour parcourir 100 km. Combien de litres consomme-t-elle pour parcourir 350 km ? Rédige ta réponse en 4 étapes.
La distance parcourue est proportionnelle à la quantité d'essence consommée.
Je vais utiliser la propriété de linéarité (addition), car \(350 = 100 + 100 + 100 + 50\).
Donc la voiture consomme 21 L pour 350 km.
La façon la plus simple de représenter une situation de proportionnalité est d'utiliser un tableau à deux lignes : une ligne pour chaque grandeur, et une colonne pour chaque situation.
| Grandeur | |||
|---|---|---|---|
| Durée (en h) | 1 | 2 | 4 |
| Prix (en €) | 3 | 6 | 12 |
On peut aussi écrire la relation entre les deux grandeurs sous une forme symbolique, en utilisant le coefficient de proportionnalité :
Ce qui signifie : pour trouver le prix, il suffit de multiplier la durée par 3, quelle que soit la durée choisie.
Un robinet remplit une bassine à débit constant : il coule 5 L d'eau par minute. Complète la phrase : « Volume = ... × ... »
| Grandeur | |||
|---|---|---|---|
| Durée (en min) | 1 | 3 | 8 |
| Volume (en L) | ? | ? | ? |
| Grandeur | |||
|---|---|---|---|
| Durée (en min) | 1 | 3 | 8 |
| Volume (en L) | 5 | 15 | 40 |
Le coefficient de proportionnalité est 5. On peut écrire :
Un boulanger vend des baguettes à 1,10 € l'unité. Combien coûtent 6 baguettes ? Rédige ta réponse en respectant les 4 étapes vues dans ce chapitre.
Le nombre de baguettes est proportionnel au prix.
Je vais utiliser le coefficient de proportionnalité : le prix d'une baguette, 1,10 €, est justement ce coefficient.
Donc 6 baguettes coûtent 6,60 €.