Quotient décimal · Valeur approchée · Multiplier/diviser par 10, 100, 1 000
Dans une division $a \div b$ :
La division décimale peut donner un quotient décimal. Quand on a utilisé tous les chiffres du dividende et que le reste est non nul, on place une virgule dans le quotient et on continue en descendant des zéros.
7 n'est pas un multiple de 4, donc le quotient sera décimal.
Pose et effectue chaque division. Donne le quotient exact.
a) $9 \div 4$
q = ………$q = 2{,}25$b) $13 \div 5$
q = ………$q = 2{,}6$c) $27 \div 4$
q = ………$q = 6{,}75$b) $11 \div 8$
q = ………$q = 1{,}375$Divisions posées :
a) $9 \div 4 = 2{,}25$
b) $13 \div 5 = 2{,}6$
c) $27 \div 4 = 6{,}75$
d) $11 \div 8 = 1{,}375$
On peut diviser un nombre décimal par un entier. La méthode est identique. Quand on « descend » le chiffre situé après la virgule du dividende, on place la virgule dans le quotient à ce moment-là, puis on continue.
Pose et effectue :
a) $6{,}3 \div 9$
q = ………$q = 0{,}7$b) $15{,}6 \div 4$
q = ………$q = 3{,}9$c) $5{,}4 \div 6$
q = ………$q = 0{,}9$d) $33{,}6 \div 8$
q = ………$q = 4{,}2$a) $6{,}3\div9=0{,}7$
b) $15{,}6\div4=3{,}9$
c) $5{,}4\div6=0{,}9$
d) $33{,}6\div8=4{,}2$
Arrondir un nombre, c'est trouver une valeur approchée à un rang donné (dixième, centième…).
Certains quotients ne sont jamais exacts : $10 \div 3 = 3{,}333\ldots$ On s'arrête alors après quelques décimales et on arrondit.
Pose la division et donne la valeur approchée au centième :
a) $7 \div 3$
≈ ………$\approx 2{,}33$b) $5 \div 6$
≈ ………$\approx 0{,}83$c) $8 \div 7$
≈ ………$\approx 1{,}14$d) $11 \div 6$
≈ ………$\approx 1{,}83$On pose jusqu'au millième pour décider de l'arrondi au centième :
a) $7\div3\approx2{,}33$
b) $5\div6\approx0{,}83$
c) $8\div7\approx1{,}14$
d) $11\div6\approx1{,}83$
Multiplier par 10 : chaque chiffre monte d'1 rang (les dixièmes deviennent des unités, les unités des dizaines…).
Multiplier par 100 : chaque chiffre monte de 2 rangs.
Multiplier par 1 000 : chaque chiffre monte de 3 rangs.
Diviser par 10 ; 100 ; 1 000 : c'est l'inverse — chaque chiffre descend du même nombre de rangs.
La virgule sépare toujours la partie entière de la partie décimale : elle reste fixe. C'est la valeur de chaque chiffre qui change : chaque chiffre prend la valeur du rang supérieur (×10) ou inférieur (÷10).
Regardons rang par rang ce qui se passe quand on multiplie $3{,}4$ par $10$ :
| Rang | Dizaines | Unités | Dixièmes | Centièmes |
|---|---|---|---|---|
| $3{,}4$ | 3 | 4 | ||
| $3{,}4 \times 10$ | 3 | 4 |
Le 3 (unités) devient des dizaines. Le 4 (dixièmes) devient des unités. Le résultat est donc $34$.
| Opération | Effet sur chaque chiffre | Exemple (avec 3,4) |
|---|---|---|
| × 10 | Chaque chiffre monte d'1 rang | $3{,}4 \times 10 = 34$ |
| × 100 | Chaque chiffre monte de 2 rangs | $3{,}4 \times 100 = 340$ |
| × 1 000 | Chaque chiffre monte de 3 rangs | $3{,}4 \times 1000 = 3400$ |
| ÷ 10 | Chaque chiffre descend d'1 rang | $3{,}4 \div 10 = 0{,}34$ |
| ÷ 100 | Chaque chiffre descend de 2 rangs | $3{,}4 \div 100 = 0{,}034$ |
| ÷ 1 000 | Chaque chiffre descend de 3 rangs | $3{,}4 \div 1000 = 0{,}0034$ |
Calcule mentalement :
a) $4{,}7 \times 10$
= ………$= 47$b) $0{,}38 \times 100$
= ………$= 38$c) $5 \times 1000$
= ………$= 5000$d) $72 \div 10$
= ………$= 7{,}2$e) $450 \div 100$
= ………$= 4{,}5$f) $6 \div 1000$
= ………$= 0{,}006$a) $4{,}7 \times 10$ : le 4 (unités) monte aux dizaines, le 7 (dixièmes) monte aux unités → $\mathbf{47}$.
b) $0{,}38 \times 100$ : chaque chiffre monte de 2 rangs → $\mathbf{38}$.
c) $5 \times 1000$ : le 5 (unités) monte aux milliers → $\mathbf{5000}$.
d) $72 \div 10$ : le 7 (dizaines) descend aux unités, le 2 (unités) descend aux dixièmes → $\mathbf{7{,}2}$.
e) $450 \div 100$ : chaque chiffre descend de 2 rangs → $\mathbf{4{,}5}$.
f) $6 \div 1000$ : le 6 (unités) descend aux millièmes → $\mathbf{0{,}006}$.
$0{,}1 = \dfrac{1}{10}$, donc multiplier par $0{,}1$ revient à diviser par 10.
De même : $0{,}01 = \dfrac{1}{100}$ et $0{,}001 = \dfrac{1}{1000}$.
$34 \times 0{,}01 = 34 \div 100$. Regardons rang par rang :
| Rang | Dizaines | Unités | Dixièmes | Centièmes |
|---|---|---|---|---|
| $34$ | 3 | 4 | ||
| $34 \div 100$ | 3 | 4 |
Le 3 (dizaines) descend aux dixièmes. Le 4 (unités) descend aux centièmes. Le résultat est $0{,}34$.
| Opération | Équivalent | Effet sur chaque chiffre | Exemple |
|---|---|---|---|
| × 0,1 | ÷ 10 | Chaque chiffre descend d'1 rang | $34 \times 0{,}1 = 3{,}4$ |
| × 0,01 | ÷ 100 | Chaque chiffre descend de 2 rangs | $34 \times 0{,}01 = 0{,}34$ |
| × 0,001 | ÷ 1 000 | Chaque chiffre descend de 3 rangs | $34 \times 0{,}001 = 0{,}034$ |
Calcule mentalement :
a) $56 \times 0{,}1$
= ………$= 5{,}6$b) $450 \times 0{,}01$
= ………$= 4{,}5$c) $3 \times 0{,}001$
= ………$= 0{,}003$d) $7{,}2 \times 0{,}1$
= ………$= 0{,}72$e) $850 \times 0{,}001$
= ………$= 0{,}85$f) $2400 \times 0{,}01$
= ………$= 24$a) $56 \times 0{,}1 = 56 \div 10$ : le 5 (dizaines → unités), le 6 (unités → dixièmes) → $\mathbf{5{,}6}$.
b) $450 \times 0{,}01 = 450 \div 100$ : chaque chiffre descend de 2 rangs → $\mathbf{4{,}5}$.
c) $3 \times 0{,}001 = 3 \div 1000$ : le 3 (unités → millièmes) → $\mathbf{0{,}003}$.
d) $7{,}2 \times 0{,}1 = 7{,}2 \div 10$ : le 7 (unités → dixièmes), le 2 (dixièmes → centièmes) → $\mathbf{0{,}72}$.
e) $850 \times 0{,}001 = 850 \div 1000$ : chaque chiffre descend de 3 rangs → $\mathbf{0{,}85}$.
f) $2400 \times 0{,}01 = 2400 \div 100$ : chaque chiffre descend de 2 rangs → $\mathbf{24}$.
Pour chaque égalité, trouve l'opération manquante. Deux réponses possibles à chaque fois (une avec × et une avec ÷).
a) $36 \,\square\, = 3{,}6$
□ = ………$\times 0{,}1$ ou $\div 10$b) $500 \,\square\, = 5$
□ = ………$\times 0{,}01$ ou $\div 100$c) $8 \,\square\, = 0{,}008$
□ = ………$\times 0{,}001$ ou $\div 1000$d) $4{,}5 \,\square\, = 0{,}045$
□ = ………$\times 0{,}01$ ou $\div 100$a) $36 \to 3{,}6$ : chaque chiffre descend d'1 rang → $\times 0{,}1$ ou $\div 10$.
b) $500 \to 5$ : chaque chiffre descend de 2 rangs → $\times 0{,}01$ ou $\div 100$.
c) $8 \to 0{,}008$ : le 8 (unités) descend aux millièmes, soit 3 rangs → $\times 0{,}001$ ou $\div 1000$.
d) $4{,}5 \to 0{,}045$ : le 4 (unités → centièmes) et le 5 (dixièmes → millièmes), soit 2 rangs → $\times 0{,}01$ ou $\div 100$.
Un restaurant achète 4 kg de fromage pour 27 €. Quel est le prix d'un kilogramme ?
On cherche : $27 \div 4$.
Une corde de 8 m est coupée en 5 morceaux de longueur égale. Quelle est la longueur de chaque morceau ?
On cherche : $8 \div 5$.
Trois amis partagent équitablement une addition de 20 €. Combien chacun paie-t-il ? (résultat au centième)
On cherche : $20 \div 3$ — quotient non exact.