Médiatrice —
Définition & Construction

Chapitre 13 — Feuille d'exercices n°1 — 6^ème

Milieu · ⊥ Compas Pliage

📌 Ce qu'il faut savoir — Définition & Construction

📘 Définition

La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire à [AB].

Elle passe donc par le point I tel que AI = IB, et forme un angle de 90° avec [AB].

📐 Construction au compas

1. Compas en A, écartement > moitié de AB — tracer un arc de part et d'autre de [AB].
2. Même écartement, compas en B — tracer un second arc croisant le premier en E et F.
3. La droite (EF) est la médiatrice de [AB].

✂️ Construction par pliage

On plie la feuille de façon à faire coïncider exactement le point A avec le point B. Le pli obtenu est la médiatrice de [AB] : il passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire.

Corrections vues :

0 / 4

Exercice 1 / 4

Définition Vrai / Faux

✓ Vu

Pour chaque affirmation, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Si elle est fausse, corriger la phrase.

Affirmation	Vrai / Faux ?
a) La médiatrice d'un segment [AB] est une droite qui passe par le milieu de [AB].
b) La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à [AB].
c) Un segment peut avoir plusieurs médiatrices.
d) La médiatrice de [AB] passe toujours par A et par B.
e) Si I est le milieu de [AB] et que (d) passe par I et est perpendiculaire à [AB], alors (d) est la médiatrice de [AB].

💡 Indices

La définition dit que la médiatrice est la droite (avec l'article défini). Combien de droites perpendiculaires à [AB] passent par son milieu ?

La médiatrice passe par le milieu de [AB]. Le milieu est-il forcément l'un des deux points A ou B ?

✓ Vrai. C'est l'une des deux conditions de la définition.

✓ Vrai. C'est la seconde condition de la définition.

✗ Faux. Par un point donné (le milieu de [AB]), il n'existe qu'une seule droite perpendiculaire à [AB]. Un segment a une unique médiatrice.

✗ Faux. La médiatrice passe par le milieu de [AB], pas par A ni par B. Elle est perpendiculaire à [AB] et ne contient aucune des deux extrémités.

✓ Vrai. Les deux conditions sont réunies : passage par le milieu et perpendicularité. C'est exactement la définition.

À retenir : La médiatrice de [AB] est unique. Elle vérifie deux conditions simultanément : passer par le milieu de [AB] + être perpendiculaire à [AB].

Exercice 2 / 4

Lecture de figure Milieu & perpendicularité

✓ Vu

On donne ci-dessous trois figures. Pour chacune, dire si la droite tracée en vert est la médiatrice du segment [AB]. Justifier en indiquant les conditions vérifiées ou non.

Figure A

I est le milieu de [AB] (barres de codage) · angle droit marqué en I

Figure B

J n'est pas au milieu de [AB] : AJ ≠ JB · angle droit marqué en J

Figure C

K est le milieu de [AB] (barre de codage) · angle droit marqué en K

💡 Indices

Pour chaque figure, poser deux questions : (1) La droite verte passe-t-elle par le milieu de [AB] ? (2) La droite verte est-elle perpendiculaire à [AB] ? Il faut que les DEUX conditions soient vérifiées.

Figure A

Milieu ?✓ I est le milieu de [AB] (codé par deux barres sur AI et IB).

⊥ ?✓ L'angle droit en I est marqué : (d) ⊥ [AB].

✓ Les deux conditions sont vérifiées : (d) est bien la médiatrice de [AB].

Figure B

Milieu ?✗ J n'est pas le milieu de [AB] : AJ ≠ JB (la droite est trop proche de B).

⊥ ?✓ (d) est perpendiculaire à [AB] (angle droit marqué).

✗ (d) n'est PAS la médiatrice : elle est perpendiculaire à [AB] mais ne passe pas par son milieu.

Figure C

Milieu ?✓ K est le milieu de [AB] (barre de codage : AK = KB).

⊥ ?✓ L'angle droit en K est marqué : (d) ⊥ [AB].

✓ (d) est bien la médiatrice de [AB], même si le segment est oblique !

Méthode : Toujours vérifier les deux conditions séparément avant de conclure. Une seule condition ne suffit pas.

Exercice 3 / 4

Construction au compas Milieu

✓ Vu

Sur ton cahier, tracer les deux segments suivants, puis construire au compas la médiatrice de chacun. Laisser les traits de construction apparents et coder la figure (milieu et angle droit).

a) Tracer un segment [AB] de 8 cm (horizontal).

b) Tracer un segment [CD] de 6 cm en diagonale (oblique, au choix).

1. Après avoir construit la médiatrice de [AB], mesurer AI. Que vaut-elle ?

2. Vérifier que AI = IB à la règle graduée.

💡 Indices

L'écartement du compas doit être strictement supérieur à la moitié de AB pour que les deux arcs se croisent de part et d'autre. Un bon réglage : utiliser AB entier comme écartement.

Placer une barre sur AI et une barre sur IB (les deux mêmes) pour montrer AI = IB. Tracer un petit carré à l'intersection de la médiatrice et de [AB] pour l'angle droit.

Protocole de construction (valable pour [AB] et [CD])

Étape 1Piquer le compas en A, régler l'écartement à la longueur de AB (ou un peu plus de la moitié).

Étape 2Tracer un arc de cercle au-dessus et en dessous de [AB].

Étape 3Sans changer l'écartement, piquer le compas en B. Tracer un second arc qui coupe le premier en deux points E et F.

Étape 4Tracer la droite (EF) à la règle : c'est la médiatrice de [AB].

CodageMarquer l'angle droit à l'intersection I, et poser une barre sur AI et sur IB.

Figures de correction :

Médiatrice de [AB] = 8 cm — I milieu, AI = IB = 4 cm

Médiatrice de [CD] — K milieu, CK = KD = 3 cm

Questions 1 & 2 — Vérification du milieu de [AB]

[AB] mesure 8 cm, donc AI = IB = 4 cm. Après construction, mesurer AI et IB à la règle : les deux valeurs doivent être égales (à 1 mm près si la construction est soignée).

⚠ Attention : Ne pas effacer les arcs de construction (en violet sur les figures) ! Ils prouvent que la méthode au compas a été bien utilisée.

Exercice 4 / 4

Problème Synthèse Remobilisation

✓ Vu

Un architecte prépare le plan d'un jardin rectangulaire ABCD. Il souhaite planter un arbre exactement au milieu du côté [AB], et tracer une allée rectiligne qui passe par cet arbre et soit perpendiculaire à [AB].

Plan schématique du jardin ABCD (non à l'échelle)

1. Quel nom géométrique porte la droite décrite par l'architecte (passage par le milieu de [AB] et perpendiculaire à [AB]) ?

2. Décrire la méthode au compas pour tracer cette allée sur le plan.

3. Si AB = 12 m, à quelle distance de A se trouve l'arbre ? Justifier.

4. L'architecte dit : « Cette allée passe aussi par le milieu de [DC]. » A-t-il raison ? Justifier.

💡 Indices

Relire la définition dans le rappel. Une droite qui passe par le milieu d'un segment et lui est perpendiculaire porte un nom précis…

Dans un rectangle, les côtés AB et DC sont parallèles et de même longueur. La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à AB ; est-elle aussi perpendiculaire à DC ? Et passe-t-elle par le milieu de [DC] ?

1. Nom de la droite

La droite décrite est la médiatrice du segment [AB] : elle passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire.

2. Méthode au compas

Étape 1Piquer le compas en A, régler l'écartement à la longueur AB.

Étape 2Tracer un arc au-dessus et en dessous de [AB].

Étape 3Sans changer l'écartement, piquer en B et tracer un second arc qui coupe le premier en E et F.

Étape 4Tracer la droite (EF) : c'est la médiatrice, soit l'allée de l'architecte.

3. Distance de A à l'arbre

MilieuL'arbre se trouve au milieu I de [AB], donc \(AI = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{12}{2}\)

L'arbre est à 6 m du point A.

4. L'allée passe-t-elle par le milieu de [DC] ?

Oui. Dans un rectangle, AB // DC et AB = DC. La médiatrice de [AB] est perpendiculaire à AB, donc perpendiculaire à DC aussi. Par symétrie du rectangle, elle passe par le milieu de [DC]. L'allée est donc aussi la médiatrice de [DC].

✓ L'allée passe par le milieu de [DC] : dans un rectangle, la médiatrice d'un côté est aussi la médiatrice du côté opposé.

Bilan de la feuille : La médiatrice se définit par deux conditions (milieu + perpendiculaire) et se construit au compas ou par pliage. Ces deux conditions doivent toujours être vérifiées ensemble.