Médiatrice —
Propriété caractéristique

Chapitre 13 — Feuille d'exercices n°2 — 6^ème

MA = MB Sens direct Sens indirect

📌 Ce qu'il faut savoir — Propriété caractéristique

➡️ Sens direct

Si M appartient à la médiatrice de [AB], alors M est à égale distance de A et de B :

M est sur la médiatrice de [AB], donc MA = MB.

⬅️ Sens indirect

Si un point M vérifie MA = MB, alors M est sur la médiatrice de [AB] :

MA = MB, donc M est sur la médiatrice de [AB].

🔁 Rappel (feuille 1)

La médiatrice de [AB] passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire. Pour construire la médiatrice au compas : arcs depuis A puis depuis B avec le même écartement.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 5

Sens direct Lecture de figure

✓ Vu

La droite (d) est la médiatrice du segment [AB] dans chaque figure. Compléter la valeur manquante. Écrire la propriété utilisée avant de conclure.

Figure 1

M est sur (d) · MA = 7 cm · MB = ?

Figure 2

N est sur (d) · NA = 5,3 cm · NB = ?

Figure 3

P est sur (d) · PB = 4,8 cm · PA = ?

💡 Indices

Dans chaque figure, le point est sur la médiatrice (d) de [AB]. D'après la propriété du cours, que peut-on dire de ses distances à A et à B ?

Propriété utilisée : Tout point situé sur la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B.

Figure 1 — M sur la médiatrice de [AB], MA = 7 cm

M est sur la médiatrice de [AB], donc MB = MA = 7 cm.

Figure 2 — N sur la médiatrice de [AB], NA = 5,3 cm

N est sur la médiatrice de [AB], donc NB = NA = 5,3 cm.

Figure 3 — P sur la médiatrice de [AB], PB = 4,8 cm

P est sur la médiatrice de [AB], donc PA = PB = 4,8 cm.

Exercice 2 / 5

Sens indirect Justification

✓ Vu

Dans chaque situation, décider si le point M appartient à la médiatrice de [AB]. Écrire la justification complète en une phrase.

Situation	MA	MB
a)	6 cm	6 cm
b)	4,5 cm	3,2 cm
c)	8 cm	8 cm
d)	7,1 cm	7,10 cm
e)	0 cm	12 cm

💡 Indices

7,1 cm et 7,10 cm : sont-ce deux valeurs différentes ? Combien valent-elles ?

Si MA = 0 cm, où se trouve M ? Et MB vaut 12 cm : est-ce la même distance ?

Propriété utilisée : Un point est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si il est à égale distance de A et de B.

a) MA = MB = 6 cm

✓ Oui. MA = MB, donc M est sur la médiatrice de [AB].

b) MA = 4,5 cm ≠ MB = 3,2 cm

✗ Non. MA ≠ MB, donc M n'est pas sur la médiatrice de [AB].

c) MA = MB = 8 cm

✓ Oui. MA = MB, donc M est sur la médiatrice de [AB].

d) MA = 7,1 cm et MB = 7,10 cm

✓ Oui. 7,10 cm = 7,1 cm (le zéro après la virgule ne change pas la valeur). MA = MB, donc M est sur la médiatrice de [AB].

e) MA = 0 cm et MB = 12 cm

✗ Non. MA = 0 cm signifie que M est confondu avec A. MA ≠ MB, donc M n'est pas sur la médiatrice de [AB].

Exercice 3 / 5

Sens direct Calcul de longueur Remobilisation milieu

✓ Vu

On considère un triangle ABC. La droite (d) est la médiatrice de [AC] et la droite (d') est la médiatrice de [BC]. Ces deux droites se croisent en un point M à l'intérieur du triangle.

On sait que MA = 9 cm.

(d) médiatrice de [AC] · (d') médiatrice de [BC] · MA = 9 cm

1. M est sur la médiatrice (d) de [AC]. Que peut-on dire de MA et MC ? En déduire MC.

2. M est sur la médiatrice (d') de [BC]. Que peut-on dire de MB et MC ? En déduire MB.

3. Remobilisation (feuille 1) : I est le milieu de [AC] et AC = 14 cm. Calculer AI.

💡 Indices

Après la question 1, tu connais MC. Dans la question 2, M est sur la médiatrice de [BC], donc MB = MC. Utilise le résultat trouvé en 1.

1. M sur la médiatrice (d) de [AC]

M est sur la médiatrice de [AC], donc M est à égale distance de A et de C : MA = MC.

MC = MA = 9 cm

2. M sur la médiatrice (d') de [BC]

M est sur la médiatrice de [BC], donc M est à égale distance de B et de C : MB = MC.

Or MC = 9 cm (trouvé en 1).

MB = MC = 9 cm

MA = MB = MC = 9 cm — M est à la même distance des trois sommets du triangle !

3. Milieu de [AC] — remobilisation

Milieu\(AI = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{14}{2} = 7 \text{ cm}\)

AI = 7 cm

Exercice 4 / 5

Sens indirect Problème concret Remobilisation construction

✓ Vu

Deux villes A et B sont situées sur une carte. Un émetteur radio M reçoit des signaux de A et de B à des distances MA = 15 km et MB = 15 km.

1. Peut-on affirmer que M est sur la médiatrice de [AB] ? Justifier avec la propriété du cours.

2. Un deuxième émetteur N vérifie NA = 18 km et NB = 18 km. Est-il lui aussi sur la médiatrice de [AB] ?

3. On sait que AB = 24 km. Quel est le milieu I de [AB] ? Calculer IA.

4. Sur ton cahier : Tracer A et B à l'échelle 1 cm ↔ 6 km. Construire la médiatrice de [AB] au compas. Placer M et N sur cette médiatrice (MA = 15 km ↔ 2,5 cm ; NA = 18 km ↔ 3 cm).

💡 Indices

1 cm ↔ 6 km, donc AB = 24 km correspond à 24 ÷ 6 = 4 cm sur le cahier. Placer A et B à 4 cm l'un de l'autre, puis tracer la médiatrice au compas.

1. M est-il sur la médiatrice de [AB] ?

MA = MB = 15 km : M est à égale distance de A et de B, donc M est sur la médiatrice de [AB].

✓ Oui, M est sur la médiatrice de [AB].

2. N est-il sur la médiatrice de [AB] ?

NA = NB = 18 km : N est à égale distance de A et de B, donc N est sur la médiatrice de [AB].

✓ Oui, N est aussi sur la médiatrice de [AB].

3. Milieu de [AB] et calcul de IA

Milieu\(IA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{24}{2} = 12 \text{ km}\)

IA = 12 km

4. Correction du schéma à l'échelle

À l'échelle 1 cm ↔ 6 km : AB = 4 cm · MA = MB = 2,5 cm · NA = NB = 3 cm.

Schéma à l'échelle 1 cm ↔ 6 km — M et N sont tous deux sur la médiatrice de [AB]

⚠ Laisser les arcs de construction visibles (en pointillés violets sur la figure) pour montrer la méthode au compas.

Exercice 5 / 5

Sens direct + indirect Triangle isocèle Synthèse

✓ Vu

On considère un triangle ABC isocèle en C, c'est-à-dire que CA = CB. Soit I le milieu de [AB].

Triangle ABC isocèle en C — I milieu de [AB]
Une barre sur CA et CB : CA = CB

1. On sait que CA = CB. Que peut-on conclure sur C par rapport à la médiatrice de [AB] ? Quelle propriété utilise-t-on ?

2. I est le milieu de [AB]. La droite (CI) est-elle perpendiculaire à [AB] ? Justifier en utilisant la définition de la médiatrice.

3. Application numérique : AB = 10 cm et CA = CB = 13 cm. Calculer IA.

4. Un point M vérifie MA = MB = 13 cm. M est-il sur la droite (CI) ? Justifier.

💡 Indices

CA = CB signifie que C est à égale distance de A et de B. Quelle propriété du cours permet alors de conclure où se trouve C ?

D'après la question 1, C est sur la médiatrice de [AB]. La médiatrice passe par le milieu I de [AB] et est perpendiculaire à [AB]. La droite (CI) est donc…

1. C est-il sur la médiatrice de [AB] ?

CA = CB : C est à égale distance de A et de B, donc C est sur la médiatrice de [AB].

✓ C est sur la médiatrice de [AB].

2. (CI) est-elle perpendiculaire à [AB] ?

I est le milieu de [AB] et C est sur la médiatrice de [AB]. La médiatrice de [AB] est la droite passant par I (milieu de [AB]) et perpendiculaire à [AB]. C et I étant tous deux sur cette médiatrice, la droite (CI) est la médiatrice de [AB].

✓ (CI) ⊥ [AB].

3. Calcul de IA

Milieu\(IA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \text{ cm}\)

IA = 5 cm

4. M avec MA = MB = 13 cm : M sur (CI) ?

MA = MB : M est à égale distance de A et de B, donc M est sur la médiatrice de [AB]. Or la médiatrice de [AB] est la droite (CI) (trouvé en question 2).

✓ M est sur la droite (CI).

Bilan de la feuille : La propriété de la médiatrice s'utilise dans les deux sens. Sens direct : être sur la médiatrice ⟹ distances égales. Sens indirect : distances égales ⟹ être sur la médiatrice.