Médiatrice —
Médiatrices d'un triangle
& cercle par les sommets

Chapitre 13 — Feuille d'exercices n°3 — 6^ème

Médiatrices Point O Cercle par les sommets

📌 Ce qu'il faut savoir — Médiatrices d'un triangle & cercle passant par les sommets

📗 Les médiatrices se croisent

Dans tout triangle, les trois médiatrices des côtés se croisent toutes en un seul et même point, noté O.

📘 Point O et distances

Le point O est à égale distance des trois sommets du triangle :
OA = OB = OC.
Selon le triangle, O peut être à l'intérieur, sur un côté, ou à l'extérieur.

⭕ Le cercle passant par les trois sommets

O est le centre du cercle qui passe exactement par les trois sommets A, B et C. Son rayon est OA (= OB = OC). On appelle ce cercle le cercle passant par les trois sommets du triangle.

📐 Construction

1. Tracer deux médiatrices au compas.
2. Leur croisement donne O.
3. Compas en O, ouverture OA : tracer le cercle.
Cas particulier : triangle rectangle → O est le milieu du côté le plus long (le côté en face de l'angle droit).

Corrections vues :

0 / 4

Exercice 1 / 5

Concourence Vrai / Faux

✓ Vu

Pour chaque affirmation, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Si elle est fausse, corriger la phrase.

Affirmation	Vrai / Faux ?
a) Les trois médiatrices d'un triangle se croisent toujours en un seul et même point.
b) Le point de croisement des médiatrices d'un triangle est toujours à l'intérieur du triangle.
c) Si O est le point de croisement des médiatrices du triangle ABC, alors OA = OB = OC.
d) Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle passe aussi par le milieu de chaque côté.
e) Pour construire le cercle passant par les trois sommets d'un triangle, il suffit de tracer deux médiatrices au compas.

💡 Indices

La leçon précise que le point O peut se trouver à l'intérieur, sur un côté, ou même à l'extérieur du triangle selon sa forme. Est-ce vrai pour tout triangle ?

Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle. Les milieux des côtés sont-ils des sommets ?

✓ Vrai. Dans tout triangle, les trois médiatrices se croisent en un même point O.

✗ Faux. Le point O peut se trouver à l'intérieur du triangle (triangle avec tous les angles aigus), sur un côté (triangle rectangle — O est alors le milieu du côté en face de l'angle droit), ou à l'extérieur (triangle avec un angle obtus).

✓ Vrai. O est sur la médiatrice de [AB] donc OA = OB. Il est aussi sur la médiatrice de [BC] donc OB = OC. On en déduit OA = OB = OC.

✗ Faux. Le cercle passe par les trois sommets A, B et C, pas par les milieux des côtés. Ce sont deux choses différentes.

✓ Vrai. Deux médiatrices suffisent pour trouver O (leur croisement). On trace ensuite le cercle centré en O passant par A.

À retenir : Le point O est à égale distance des trois sommets. Le cercle passe par les sommets, pas par les milieux des côtés.

Exercice 2 / 5

Lecture de figure Point O · distances Remobilisation F1 & F2

✓ Vu

La figure ci-dessous représente un triangle ABC avec ses trois médiatrices tracées en pointillés. Le point O est leur point de croisement.

Triangle ABC — trois médiatrices se croisant en O — cercle passant par A, B et C en pointillés verts

1. Décrire ce qu'est le point O. Que sait-on sur les distances OA, OB et OC ?

2. On mesure OA = 4,5 cm. Sans mesurer, donner OB et OC. Justifier.

3. Quel est le rayon du cercle passant par A, B et C ? Justifier.

4. Remobilisation (F1) : I est le milieu de [AB] et AB = 9 cm. Calculer AI.

5. Remobilisation (F2) : La médiatrice de [AB] passe par O. En déduire que OA = OB sans mesurer.

💡 Indices

Le cercle circonscrit est centré en O et passe par A, B et C. Son rayon est donc la distance entre O et l'un des trois sommets.

1. Le point O

O est le point où se croisent les trois médiatrices du triangle ABC. Il est à égale distance des trois sommets : OA = OB = OC.

2. OB et OC si OA = 4,5 cm

O est à égale distance des trois sommets, donc OA = OB = OC.

OB = OC = OA = 4,5 cm

3. Rayon du cercle passant par A, B et C

Le cercle est centré en O et passe par A (et B et C). Son rayon est donc la distance OA.

Rayon = OA = 4,5 cm

4. Milieu de [AB] — remobilisation F1

Milieu\(AI = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \text{ cm}\)

AI = 4,5 cm

5. OA = OB — remobilisation F2

O est sur la médiatrice de [AB]. Or tout point situé sur la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B. Donc OA = OB.

Exercice 3 / 5

Construction Cercle circonscrit Remobilisation compas

✓ Vu

Sur ton cahier, construire le cercle circonscrit aux triangles suivants.

a) Tracer un triangle ABC quelconque (pas rectangle, pas isocèle) avec AB = 7 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm.

b) Tracer un triangle DEF rectangle en E avec DE = 4 cm et EF = 5 cm.

1. Pour chaque triangle, construire au compas les médiatrices de deux côtés. Laisser les traits de construction apparents.

2. Nommer O le point de croisement des deux médiatrices. Mesurer OA (ou OD selon le triangle).

3. Tracer le cercle centré en O passant par A (ou D). Vérifier qu'il passe bien par les trois sommets.

4. Pour le triangle DEF (rectangle en E) : où se trouve le point O par rapport au triangle ? Vérifier en mesurant DF.

💡 Indices

Pour tracer la médiatrice d'un côté au compas : pointer en un sommet, écartement = longueur du côté, tracer l'arc ; même opération depuis l'autre sommet ; relier les deux points d'intersection. (Même méthode que feuille 1.)

Pour un triangle rectangle, le cours indique que O est le milieu de l'hypoténuse. L'hypoténuse de DEF rectangle en E est le côté [DF]. O devrait donc être exactement au milieu de [DF].

Protocole de construction (valable pour les deux triangles)

Étape 1Construire au compas la médiatrice d'un premier côté (ex. [AB]) : arcs depuis A puis depuis B avec le même écartement, relier les deux intersections.

Étape 2Construire de même la médiatrice d'un deuxième côté (ex. [AC]).

Étape 3Nommer O le point d'intersection des deux médiatrices.

Étape 4Piquer le compas en O, l'ouvrir jusqu'à A. Tracer le cercle : il doit passer par A, B et C.

Figures de correction :

Triangle ABC quelconque — O à l'intérieur

Triangle DEF rectangle en E — O milieu de [DF]

Question 4 — O et le triangle rectangle

Pour le triangle DEF rectangle en E, le point O est le milieu du côté [DF], c'est-à-dire le côté en face de l'angle droit. Cela se vérifie en mesurant DO et OF : on obtient DO = OF = DF ÷ 2.

Dans un triangle rectangle, O est le milieu du côté le plus long (le côté en face de l'angle droit).

⚠ Ne pas effacer les arcs de construction. Ils montrent comment les médiatrices ont été tracées au compas.

Exercice 4 / 4

Problème Synthèse Remobilisation F1, F2, F3

✓ Vu

Trois villages A, B et C souhaitent construire ensemble une tour radio. Pour que la tour soit à égale distance des trois villages, on décide de la placer au point O, point de croisement des médiatrices du triangle ABC.

Schéma de la situation — O est la tour radio, à égale distance des trois villages

1. Expliquer pourquoi le point O est bien à égale distance de A, B et C.

2. Sur ton cahier : Tracer le triangle ABC avec AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm. Construire au compas le point O et le cercle qui passe par les trois sommets. Mesurer OA.

3. Un quatrième village D vérifie DA = DB. D est-il forcément au même endroit que C ? Sur quelle droite se trouve D ?

4. Remobilisation (F1) : I est le milieu de [AB] et AB = 8 cm. Calculer IA. Quel lien y a-t-il entre I et la médiatrice de [AB] ?

5. On mesure OA = 4,2 cm. Donner OB et OC. Quel est le rayon du cercle qui passe par A, B et C ?

💡 Indices

DA = DB signifie que D est à égale distance de A et de B. D'après la propriété de la médiatrice (feuille 2), D se trouve sur la médiatrice de [AB]. Il y a une infinité de points sur cette droite, pas seulement C.

1. Pourquoi O est à égale distance de A, B et C

O est le point où se croisent les trois médiatrices du triangle ABC. Il est sur la médiatrice de [AB] (donc OA = OB), et sur la médiatrice de [BC] (donc OB = OC). On en déduit OA = OB = OC : O est bien à égale distance des trois villages.

2. Construction

Tracer le triangle ABC (AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm). Construire au compas la médiatrice de [AB] puis celle de [AC] (arcs depuis chaque sommet, même écartement). Leur croisement donne O. Piquer le compas en O, l'ouvrir jusqu'à A, et tracer le cercle : il passe par A, B et C.

3. Où se trouve D ?

DA = DB : D est à égale distance de A et de B, donc D se trouve sur la médiatrice de [AB]. D n'est pas forcément au même endroit que C : il y a une infinité de points sur la médiatrice de [AB], ce n'est qu'une droite.

D se trouve sur la médiatrice de [AB], mais ce n'est pas forcément le point C.

4. Remobilisation F1 — milieu de [AB]

Milieu\(IA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \text{ cm}\)

IA = 4 cm

I est le milieu de [AB]. La médiatrice de [AB] passe par I et lui est perpendiculaire : c'est exactement la définition de la médiatrice.

5. OB, OC et rayon

O est à égale distance des trois sommets : OA = OB = OC = 4,2 cm.

OB = OC = 4,2 cm · Rayon du cercle = 4,2 cm

Bilan de la feuille : Le point O, où se croisent les médiatrices, est à égale distance des trois sommets. On le construit avec deux médiatrices au compas. Dans un triangle rectangle, O est le milieu du côté le plus long (le côté en face de l'angle droit).