Médiatrice — Feuille bilan — 6ème

Problème bilan

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On considère un triangle ABC avec AB = 8 cm, AC = 6 cm et BC = 7 cm. On place trois points :

Le point I est le milieu de [AB].
Le point P est sur la médiatrice de [AB] et vérifie PA = 5 cm.
Le point Q vérifie QA = QB = QC = 4 cm.

Pour chaque question, justifier la réponse en citant la propriété utilisée.

Schéma de situation — figure non à l'échelle

1.F1 Donner la définition de la médiatrice de [AB]. I est le milieu de [AB] : calculer IA.

2.F2 P est sur la médiatrice de [AB] et PA = 5 cm. Que vaut PB ? Justifier sans mesurer.

3.F2 QA = QB = 4 cm. Sur quelle droite se trouve Q ? Justifier.

4.F3 On sait de plus que QA = QC = 4 cm. En utilisant le même raisonnement qu'à la question 3, sur quelle autre droite se trouve Q ? Qu'est-ce que cela signifie pour Q dans le triangle ABC ? En déduire le rayon du cercle passant par A, B et C.

5.F1 Sur ton cahier : Tracer le triangle ABC (AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm). Construire au compas la médiatrice de [AB] et la médiatrice de [AC]. Nommer Q leur point de croisement. Tracer le cercle passant par A, B et C. Laisser tous les traits de construction visibles.

💡 Indices

P est sur la médiatrice de [AB]. D'après la propriété du cours, tout point situé sur la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B.

QA = QC signifie que Q est à égale distance de A et de C. Quelle droite est formée par tous les points à égale distance de A et de C ?

1. F1 Définition et milieu

La médiatrice de [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire à [AB].

Milieu\(IA = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \text{ cm}\)

IA = 4 cm

2. F2 PB = ?

P est sur la médiatrice de [AB]. Tout point situé sur la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B, donc PA = PB.

PB = PA = 5 cm

3. F2 Sur quelle droite se trouve Q ?

QA = QB : Q est à égale distance de A et de B, donc Q se trouve sur la médiatrice de [AB].

Q est sur la médiatrice de [AB].

4. F3 Rayon du cercle

QA = QC : Q est à égale distance de A et de C, donc Q se trouve sur la médiatrice de [AC].

Q est à la fois sur la médiatrice de [AB] et sur la médiatrice de [AC] : c'est le point de croisement des médiatrices du triangle ABC. Ce point est à égale distance des trois sommets, donc QA = QB = QC.

Le cercle passant par A, B et C est centré en Q, de rayon QA.

Rayon = QA = QB = QC = 4 cm

5. F1 Construction

Étape 1Tracer le triangle ABC : AB = 8 cm, puis placer C au compas à AC = 6 cm de A et BC = 7 cm de B.

Étape 2Médiatrice de [AB] : arcs de même écartement depuis A puis depuis B, relier les deux croisements des arcs.

Étape 3Médiatrice de [AC] : même méthode depuis A et C.

Étape 4Nommer Q le croisement des deux médiatrices. Mesurer QA.

Étape 5Piquer le compas en Q, l'ouvrir jusqu'à A, tracer le cercle : il doit passer exactement par A, B et C.

⚠ Ne pas effacer les arcs de construction — ils montrent la méthode utilisée.

Bilan du chapitre : La médiatrice de [AB] passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire. Tout point sur cette droite est à égale distance de A et de B — et inversement. Le point de croisement des médiatrices d'un triangle est à égale distance des trois sommets : c'est le centre du cercle passant par ces trois sommets.