Chapitre — Géométrie

La médiatrice d'un segment

🎯 Objectifs de la leçon
  1. Connaître la définition de la médiatrice d'un segment.
  2. Comprendre et utiliser la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment.
  3. Résoudre des problèmes en s'appuyant sur la propriété caractéristique de la médiatrice.
  4. Savoir que les médiatrices d'un triangle sont concourantes.
  5. Connaître et construire le cercle circonscrit à un triangle.
I. Définition de la médiatrice d'un segment
📘 Définition

La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire à [AB].

A B I (d)
La droite (d) passe par le milieu I de [AB] (AI = IB, codé par un trait) et forme un angle droit avec [AB] : c'est la médiatrice de [AB].
Construire la médiatrice d'un segment
A B C D arc depuis A arc depuis B
I, point d'intersection de (CD) et (AB), est le milieu de [AB] : AI = IB (codé par un trait).
📐 Méthode — Au compas
  1. Piquer le compas en A et écarter les branches jusqu'en B : l'écartement du compas est égal à la longueur du segment [AB].
  2. Sans changer l'écartement, tracer un grand arc de cercle de part et d'autre de la droite (AB).
  3. Piquer ensuite le compas en B, garder le même écartement (toujours la longueur AB), et tracer un second arc qui coupe le premier en deux points C et D.
  4. Tracer la droite (CD) : c'est la médiatrice du segment [AB].
✂️ Autre méthode — Par pliage

Sur une feuille, on plie le papier de façon à superposer exactement le point A sur le point B. Le pli obtenu est la médiatrice du segment [AB] : il passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire.

II. Propriété caractéristique
📗 Propriété

Un point appartient à la médiatrice d'un segment si et seulement si il est équidistant des extrémités de ce segment.

  • Si M appartient à la médiatrice de [AB], alors MA = MB.
  • Si MA = MB, alors M appartient à la médiatrice de [AB].
\(M \in \text{médiatrice de } [AB] \iff MA = MB\)
A B I M MA MB
I est le milieu de [AB] : AI = IB (un trait). Comme M appartient à la médiatrice de [AB], MA = MB (deux traits), quelle que soit la position de M sur la droite.
✏️ Exemple
Soit [AB] un segment et (d) sa médiatrice. Un point M de (d) est tel que MA = 5,3 cm. Que peut-on dire de la longueur MB ? Justifier.
PropriétéM appartient à la médiatrice de [AB], donc M est équidistant de A et de B.
Conclusion\(MA = MB\)
Conclusion : Comme MA = 5,3 cm, on a donc MB = 5,3 cm.
✏️ Exemple
On donne un segment [AB] et un point N tel que NA = 6,2 cm et NB = 6,2 cm. Que peut-on affirmer sur le point N ?
Constat\(NA = NB = 6{,}2 \text{ cm}\)
PropriétéLe point N est équidistant de A et de B.
Conclusion : D'après la réciproque de la propriété caractéristique, le point N appartient à la médiatrice de [AB].
III. Résoudre des problèmes avec la médiatrice
🧭 Méthode — Utiliser la propriété caractéristique
  1. Repérer dans l'énoncé une situation d'équidistance ou une médiatrice tracée.
  2. Traduire la situation avec la propriété caractéristique (égalité de distances ⇔ appartenance à la médiatrice).
  3. En déduire l'information demandée (une longueur, ou le fait qu'un point appartient à la médiatrice).
✏️ Problème
Deux villages A et B souhaitent construire une antenne relais à un endroit situé à la même distance des deux villages. Sur quelle ligne doit se trouver l'antenne ? Justifier.
TraductionOn cherche l'ensemble des points équidistants de A et de B.
PropriétéCes points sont exactement ceux de la médiatrice de [AB].
Conclusion : L'antenne doit être placée sur la médiatrice du segment [AB].
✏️ Problème
ABC est un triangle. On appelle (d) la médiatrice de [AB]. Sachant que le point C appartient à (d) et que AC = 4,8 cm, que peut-on dire du triangle ABC ?
PropriétéC appartient à la médiatrice de [AB], donc CA = CB.
Donnée\(CA = 4{,}8 \text{ cm}\)
Déduction\(CB = 4{,}8 \text{ cm}\)
Conclusion : Le triangle ABC a deux côtés de même longueur (CA = CB) : c'est un triangle isocèle en C.
IV. Les médiatrices d'un triangle
📗 Propriété

Dans un triangle, les trois médiatrices des côtés se coupent en un seul et même point. On dit qu'elles sont concourantes.

A B C O
Chaque médiatrice passe par le milieu de son côté (codé par un trait de la même couleur) et toutes se coupent en un même point O.
💡 Bon à savoir

Ce point de concours, noté ici O, est équidistant des trois sommets du triangle : \(OA = OB = OC\). Selon la forme du triangle, ce point peut se trouver à l'intérieur, sur un côté, ou même à l'extérieur du triangle.

V. Le cercle circonscrit à un triangle
📘 Définition

Le point de concours des médiatrices d'un triangle est le centre d'un cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle.

A B C O méd. [AB] méd. [AC] méd. [BC]
Chaque médiatrice passe par le milieu de son côté (codé par un trait de la même couleur) ; leur point de concours O est le centre du cercle circonscrit.
📐 Méthode — Construire le cercle circonscrit
  1. Tracer le triangle ABC.
  2. Construire au compas la médiatrice de [AB], puis celle de [AC] (deux suffisent).
  3. Le point d'intersection O des deux médiatrices est le centre du cercle circonscrit.
  4. Piquer le compas en O, l'ouvrir jusqu'à un sommet (OA), et tracer le cercle : il passe par A, B et C.
✏️ Exemple
RST est un triangle rectangle en S. On construit le cercle circonscrit à RST. Où se situe le centre de ce cercle ?
PropriétéLe centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices, équidistant de R, S et T.
Cas particulierLorsque le triangle est rectangle, ce centre se situe exactement au milieu de l'hypoténuse.
Conclusion : Le centre du cercle circonscrit à RST est le milieu de [RT], l'hypoténuse du triangle rectangle en S.
Ce qu'il faut retenir
🧠 Synthèse
  • La médiatrice de [AB] passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire.
  • Un point est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si il est équidistant de A et de B.
  • On utilise cette équivalence pour résoudre des problèmes de distances égales.
  • Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point O.
  • Ce point O est le centre du cercle circonscrit au triangle, qui passe par ses trois sommets.
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