Encadrer et
intercaler

Nombres décimaux · Fiche n°4 / 5 · 6ème

Encadrement Intercaler

📌 Ce qu'il faut savoir

Encadrer à la précision voulue
Encadrer 3,47 à l'unité près → 3 < 3,47 < 4.
Encadrer 3,47 au dixième près → 3,4 < 3,47 < 3,5.
On garde les chiffres jusqu'au rang voulu et on ajoute 1 au dernier chiffre pour la borne droite.
Intercaler un nombre
Entre deux décimaux, il existe une infinité de décimaux. Pour en trouver un, on peut ajouter un rang de précision : entre 3,4 et 3,5 → 3,47 convient, ou encore 3,42, 3,499…
Lien avec la demi-droite
Encadrer c'est repérer les deux graduations qui encadrent le point sur la demi-droite. Intercaler, c'est placer un point entre deux points déjà placés.
Corrections vues :
0 / 3

Exercice 1 / 3

Encadrer Différentes précisions
✓ Vu

Encadre chaque nombre à la précision indiquée. Complète les encadrements.

a) 7,38 — à l'unité
___ < 7,38 < ___
b) 7,38 — au dixième
___ < 7,38 < ___
c) 7,38 — au centième
___ < 7,38 < ___
d) 0,604 — au centième
___ < 0,604 < ___
e) 12,097 — au dixième
___ < 12,097 < ___
f) 3,8 — au dixième
___ < 3,8 < ___

💡 Indice

La borne gauche : on garde tous les chiffres jusqu'au rang demandé et on met 0 (ou on coupe) après. La borne droite : même chose, puis on ajoute 1 au dernier chiffre conservé. Ex : 7,38 au dixième → gauche : 7,3 · droite : 7,3 + 0,1 = 7,4.
3,8 est déjà un dixième exact. On ne peut pas écrire 3,8 < 3,8 < 3,9 (l'inégalité serait fausse à gauche). Il faut écrire 3,7 < 3,8 < 3,9 — ou signaler que 3,8 est exactement un dixième.
Méthode : Borne gauche = tronquer au rang voulu. Borne droite = tronquer au rang voulu, puis ajouter 1 au dernier chiffre.
a) 7,38 à l'unité
7 < 7,38 < 8
b) 7,38 au dixième
7,3 < 7,38 < 7,4
c) 7,38 au centième
7,38 < 7,38 < 7,39

7,38 est un centième exact : l'encadrement au centième est 7,37 < 7,38 < 7,39.

7,37 < 7,38 < 7,39
d) 0,604 au centième
On tronque à 0,60 → borne gauche 0,60 = 0,6. Borne droite : 0,60 + 0,01 = 0,61.
0,60 < 0,604 < 0,61
e) 12,097 au dixième
Borne gauche : 12,0. Borne droite : 12,0 + 0,1 = 12,1.
12,0 < 12,097 < 12,1
f) 3,8 au dixième
3,8 est exactement au dixième, donc on l'encadre par les dixièmes voisins :
3,7 < 3,8 < 3,9

💡 Un point A de la Fiche 1 avait justement abscisse 3,8 — il est sur une graduation, pas entre deux !

Exercice 2 / 3

Intercaler Trouver un nombre entre deux autres
✓ Vu

Dans chaque cas, trouve un nombre décimal compris strictement entre les deux bornes (plusieurs réponses sont possibles).

a) Un nombre entre 5 et 6.
b) Un nombre entre 3,1 et 3,2.
c) Un nombre entre 0,45 et 0,46.
d) Un nombre entre 2,7 et 2,700 001.
e) Donne trois nombres différents entre 1,03 et 1,3. (Ces bornes sont les abscisses de P et B de la Fiche 3 !)

💡 Indice

Pour c) : les bornes sont des centièmes consécutifs. Il faut ajouter un rang : un millième entre 0,450 et 0,460, par exemple 0,453. Pour d) : les bornes sont très proches, mais il suffit d'un rang de plus, par exemple 0,700 000 5.
Principe : Pour intercaler entre deux décimaux, on ajoute un rang de précision supplémentaire. Il existe toujours une infinité de solutions.
a) Entre 5 et 6
Exemple : 5,5 — ou encore 5,1 ; 5,87 ; 5,999…
b) Entre 3,1 et 3,2
Exemple : 3,15 — ou encore 3,11 ; 3,199…
c) Entre 0,45 et 0,46
On ajoute un rang (millièmes) : Exemple : 0,453 — ou encore 0,451 ; 0,458…
d) Entre 2,7 et 2,700 001
Il faut encore plus de précision : Exemple : 2,700 000 5. Il y a toujours un nombre entre deux décimaux aussi proches soient-ils !
e) Trois nombres entre 1,03 (P) et 1,3 (B)
Exemples valides : 1,1 · 1,2 · 1,25 — ou encore 1,04 ; 1,099 ; 1,299…
Tous ces points se placent entre P et B sur la demi-droite graduée (Fiche 1).
⚠️ Il n'y a pas une seule bonne réponse pour chaque question — toute valeur strictement comprise entre les deux bornes est correcte.

Exercice 3 / 3

Encadrer Intercaler Tout ensemble
✓ Vu

On reprend les abscisses de la Fiche 3 : A (0,7) · P (1,03) · B (1,3) · C (2,5) · Q (3,74) · D (3,8) · E (4,4).

a) Encadre C à l'unité près, puis au dixième près.
b) Encadre Q au dixième près, puis au centième près.
c) Donne un nombre décimal situé entre Q et D sur la demi-droite (entre 3,74 et 3,8).
d) Est-il possible de trouver un nombre entre D et 3,81 ? Justifie.

💡 Indice

D a abscisse 3,8 et l'autre borne est 3,81. Ce sont des centièmes consécutifs. Il existe des millièmes entre deux centièmes consécutifs : par exemple 3,801 est entre 3,800 et 3,810.
a) C (abscisse 2,5)
À l'unité :
2 < 2,5 < 3
Au dixième : 2,5 est exactement un dixième, donc
2,4 < 2,5 < 2,6
b) Q (abscisse 3,74)
Au dixième : tronquer à 3,7 ; borne droite 3,8.
3,7 < 3,74 < 3,8
Au centième : tronquer à 3,74 ; borne droite 3,75.
3,74 < 3,74 < 3,75

3,74 est exactement un centième, donc l'encadrement au centième est 3,73 < 3,74 < 3,75.

3,73 < 3,74 < 3,75
c) Entre Q (3,74) et D (3,8)
On cherche un nombre entre 3,74 et 3,80. Exemples : 3,75 · 3,77 · 3,79 — tous conviennent.
d) Entre D (3,8) et 3,81
Oui : 3,8 = 3,800 et 3,81 = 3,810. Ce sont deux centièmes consécutifs (si l'on tronque), mais en ajoutant un rang de millièmes, on trouve 3,801 ; 3,805 ; 3,809…
Il existe toujours une infinité de décimaux entre deux décimaux distincts.

🏠