Chapitre — 6ème

Périmètres et Aires

I. Le périmètre
📘 Définition

Le périmètre d'une figure est la longueur totale de son contour. On l'exprime en unités de longueur : mm, cm, dm, m, km…

1. Périmètre du carré et du rectangle
Carré c
\(P = 4 \times c\)
Rectangle L l
\(P = (L + l) \times 2\)
✏️ Exemple
Calculer le périmètre d'un rectangle de longueur \(L = 9\) cm et de largeur \(l = 4\) cm.
Formule\(P = (L + l) \times 2\)
On substitue\(P = (9 + 4) \times 2\)
Résultat\(P = 13 \times 2 = 26 \text{ cm}\)
🧩 Exercice
Un carré a un côté de \(c = 7{,}5\) cm. Calculer son périmètre.
Formule\(P = 4 \times c\)
On substitue\(P = 4 \times 7{,}5\)
Résultat\(P = 30 \text{ cm}\)
2. Périmètre d'un triangle
📗 Propriété

Le périmètre d'un triangle (ou de tout polygone) s'obtient en additionnant les longueurs de tous ses côtés.

a b c
✏️ Exemple
Un triangle a des côtés de longueurs \(a = 5\) cm, \(b = 6{,}5\) cm et \(c = 4\) cm. Calculer son périmètre.
Formule\(P = a + b + c\)
On substitue\(P = 5 + 6{,}5 + 4\)
Résultat\(P = 15{,}5 \text{ cm}\)
3. Périmètre du cercle (circonférence)
📘 Définition

La circonférence (périmètre) d'un cercle de rayon \(r\) et de diamètre \(d = 2r\) est :

\(\mathcal{C} = \pi \times d \qquad \text{ou} \qquad \mathcal{C} = 2 \times \pi \times r\)

où \(\pi \approx 3{,}14\) est une constante mathématique (on utilise souvent la touche \(\pi\) de la calculatrice).

d r 𝒞
✏️ Exemple
Calculer la circonférence d'un cercle de rayon \(r = 5\) cm.
Formule\(\mathcal{C} = 2 \times \pi \times r\)
On substitue\(\mathcal{C} = 2 \times \pi \times 5\)
Résultat\(\mathcal{C} = 10\pi \approx 31{,}4 \text{ cm}\)
🧩 Exercice
Un cercle a un diamètre de \(12\) cm. Calculer sa circonférence : donner le résultat exact (avec \(\pi\)) puis une valeur approchée au dixième.
Formule\(\mathcal{C} = \pi \times d\)
On substitue\(\mathcal{C} = \pi \times 12 = 12\pi\)
Valeur approchée\(\mathcal{C} \approx 37{,}7 \text{ cm}\)
II. L'aire
📘 Définition

L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, c'est-à-dire la place qu'elle occupe. On l'exprime en unités d'aire : mm², cm², dm², m², km²…

📌 Remarque

Pour mesurer une aire, on choisit une unité d'aire (par exemple un petit carré) et on compte combien de fois cette unité « tient » dans la figure.

1. Aire du carré et du rectangle
Carré c
\(\mathcal{A} = c \times c\)
Rectangle L l
\(\mathcal{A} = L \times l\)
✏️ Exemple
Calculer l'aire d'un rectangle de longueur \(L = 8\) cm et de largeur \(l = 3\) cm.
Formule\(\mathcal{A} = L \times l\)
On substitue\(\mathcal{A} = 8 \times 3\)
Résultat\(\mathcal{A} = 24 \text{ cm}^2\)
2. Aire du triangle rectangle
📘 Définition

Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les côtés de l'angle droit. Son aire est la moitié de l'aire du rectangle qui l'entoure.

b h
\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
✏️ Exemple
Calculer l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent \(6\) cm et \(4\) cm.
Formule\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
On substitue\(\mathcal{A} = \dfrac{6 \times 4}{2}\)
Calcul\(\mathcal{A} = \dfrac{24}{2} = 12 \text{ cm}^2\)
3. Aire d'un triangle quelconque
📗 Propriété

Pour un triangle quelconque, on utilise une base \(b\) et la hauteur \(h\) relative à cette base (distance entre le sommet opposé et la droite portant la base).

h b
\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
🧩 Exercice
Un triangle a une base \(b = 10\) cm et une hauteur \(h = 6{,}4\) cm. Calculer son aire.
Formule\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
On substitue\(\mathcal{A} = \dfrac{10 \times 6{,}4}{2}\)
Calcul\(\mathcal{A} = \dfrac{64}{2} = 32 \text{ cm}^2\)
4. Aire du disque
📘 Définition

Le disque est la surface délimitée par un cercle. L'aire du disque de rayon \(r\) est :

\(\mathcal{A} = \pi \times r^2\)
r
✏️ Exemple
Calculer l'aire d'un disque de rayon \(r = 5\) cm.
Formule\(\mathcal{A} = \pi \times r^2\)
On substitue\(\mathcal{A} = \pi \times 5^2 = 25\pi\)
Valeur approchée\(\mathcal{A} \approx 78{,}5 \text{ cm}^2\)
🧩 Exercice
Un disque a un diamètre de \(14\) cm. Calculer son aire : donner le résultat exact puis une valeur approchée au centième.
Rayon\(r = d \div 2 = 14 \div 2 = 7 \text{ cm}\)
Formule\(\mathcal{A} = \pi \times r^2\)
On substitue\(\mathcal{A} = \pi \times 7^2 = 49\pi\)
Valeur approchée\(\mathcal{A} \approx 153{,}94 \text{ cm}^2\)
5. Récapitulatif
📗 Formules à connaître
Figure Périmètre Aire
Carré (côté \(c\))\(P = 4 \times c\)\(\mathcal{A} = c \times c\)
Rectangle (\(L\), \(l\))\(P = (L + l) \times 2\)\(\mathcal{A} = L \times l\)
Triangle (côtés \(a,b,c\) ; base \(b\), hauteur \(h\))\(P = a + b + c\)\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
Cercle / Disque (rayon \(r\))\(\mathcal{C} = 2 \times \pi \times r\)\(\mathcal{A} = \pi \times r^2\)
III. Différencier périmètre et aire
📗 Propriété

Le périmètre mesure une longueur (le contour) : il s'exprime en unités simples (cm, m…). L'aire mesure une surface : elle s'exprime en unités au carré (cm², m²…). Ce ne sont donc pas la même grandeur, et il ne faut jamais les confondre.

📌 À retenir

Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes — et inversement, deux figures peuvent avoir la même aire avec des périmètres différents.

8 cm × 2 cm P = 20 cm ; A = 16 cm² 5 cm × 5 cm P = 20 cm ; A = 25 cm²
Donc Ces deux rectangles ont le même périmètre (20 cm) mais des aires différentes (16 cm² et 25 cm²) : périmètre et aire sont donc deux grandeurs bien distinctes.
🧩 Exercice
Un rectangle A mesure \(6\) cm sur \(4\) cm. Un carré B a un côté de \(5\) cm.
a) Calculer le périmètre et l'aire du rectangle A.
b) Calculer le périmètre et l'aire du carré B.
c) Comparer : ces deux figures ont-elles le même périmètre ? La même aire ?

a) Rectangle A :

Périmètre\(P = (6 + 4) \times 2 = 20 \text{ cm}\)
Aire\(\mathcal{A} = 6 \times 4 = 24 \text{ cm}^2\)

b) Carré B :

Périmètre\(P = 4 \times 5 = 20 \text{ cm}\)
Aire\(\mathcal{A} = 5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2\)

c) Comparaison :

Les deux figures ont le même périmètre (20 cm) mais des aires différentes (24 cm² et 25 cm²).

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