Égalité
de deux fractions

Fractions n°3 — Feuille d'exercices — 6ème

a/b = a×k / b×k Égalité des produits en croix Simplifier

📌 À retenir — Égalité de deux fractions

① Règle de calcul
On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul \(k\).
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}\)
② Égalité des produits en croix
Pour vérifier si deux fractions sont égales :
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\)
③ Simplifier
On simplifie une fraction en divisant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul. On simplifie au maximum quand on ne peut plus diviser les deux termes par un même nombre (autre que 1).
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Exercice 1 / 5

Règle de calculCompléter
✓ Vu

Complète chaque égalité en précisant par quel nombre on multiplie ou divise (numérateur et dénominateur).

a) \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{?}{20}\)
b) \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}\)
c) \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{?}{12}\)
d) \(\dfrac{100}{150} = \dfrac{?}{3}\)

💡 Indice

Repère d'abord ce qui change : numérateur ou dénominateur ? Trouve par combien il a été multiplié (ou divisé). Applique la même opération à l'autre terme.
a) ×4\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{\) 12 \(}{20}\)
b) ÷6\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{\) 4 \(}\)
c) ×3\(\dfrac{7}{4} = \dfrac{7 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{\) 21 \(}{12}\)
d) ÷50\(\dfrac{100}{150} = \dfrac{100 \div 50}{150 \div 50} = \dfrac{\) 2 \(}{3}\)

Exercice 2 / 5

Égalité des produits en croixVérifier l'égalité
✓ Vu

Les fractions suivantes sont-elles égales ? Justifie en utilisant l'égalité des produits en croix.

a) \(\dfrac{4}{9}\) et \(\dfrac{12}{27}\)
b) \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{7}{11}\)
c) \(\dfrac{6}{10}\) et \(\dfrac{9}{15}\)
d) \(\dfrac{3}{7}\) et \(\dfrac{13}{30}\)

💡 Indice

Pour \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\) : calcule \(a \times d\) et \(b \times c\). Si les deux résultats sont égaux, les fractions sont égales.
a) \(\dfrac{4}{9}\) et \(\dfrac{12}{27}\)
4 × 27\(= 108\)
9 × 12\(= 108\)
108 = 108 ✓ → \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{27}\)
b) \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{7}{11}\)
5 × 11\(= 55\)
8 × 7\(= 56\)
55 ≠ 56 → \(\dfrac{5}{8} \neq \dfrac{7}{11}\)
c) \(\dfrac{6}{10}\) et \(\dfrac{9}{15}\)
6 × 15\(= 90\)
10 × 9\(= 90\)
90 = 90 ✓ → \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{15}\)
d) \(\dfrac{3}{7}\) et \(\dfrac{13}{30}\)
3 × 30\(= 90\)
7 × 13\(= 91\)
90 ≠ 91 → \(\dfrac{3}{7} \neq \dfrac{13}{30}\)

Exercice 3 / 5

SimplifierAu maximum
✓ Vu

Simplifie chaque fraction au maximum (jusqu'à ce qu'on ne puisse plus diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre).

a) \(\dfrac{6}{8}\)
b) \(\dfrac{15}{25}\)
c) \(\dfrac{42}{56}\)
d) \(\dfrac{36}{60}\)

💡 Indice

Cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Divise les deux par ce nombre. Recommence jusqu'à ce qu'aucun nombre (autre que 1) ne divise les deux termes.
a) \(\dfrac{6}{8}\)
÷2\(\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{3}{4}\)
Max atteint3 et 4 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 : on ne peut plus simplifier.
\(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\)
b) \(\dfrac{15}{25}\)
÷5\(\dfrac{15}{25} = \dfrac{15 \div 5}{25 \div 5} = \dfrac{3}{5}\)
\(\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}\)
c) \(\dfrac{42}{56}\)
÷7\(\dfrac{42}{56} = \dfrac{42 \div 7}{56 \div 7} = \dfrac{6}{8}\)
÷2\(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{42}{56} = \dfrac{3}{4}\)
d) \(\dfrac{36}{60}\)
÷12\(\dfrac{36}{60} = \dfrac{36 \div 12}{60 \div 12} = \dfrac{3}{5}\)
\(\dfrac{36}{60} = \dfrac{3}{5}\)

Exercice 4 / 5

Valeur manquanteMéthode au choix
✓ Vu

Trouve le nombre manquant (noté ?) qui rend chaque égalité vraie. Tu peux utiliser la méthode de ton choix : égalité des produits en croix, ou bien multiplier / diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

a) \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{?}{20}\)
b) \(\dfrac{?}{6} = \dfrac{10}{15}\)
c) \(\dfrac{5}{?} = \dfrac{15}{21}\)

💡 Indice

Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors \(a \times d = b \times c\). Calcule les deux produits et isole le nombre manquant.
Cherche par combien il faut multiplier (ou diviser) le dénominateur connu pour obtenir l'autre dénominateur. Applique la même opération au numérateur.
a) \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{?}{20}\)
Méthode ×\(4 \times 5 = 20\), donc \(? = 3 \times 5 = \) 15
Ou prod. ×\(3 \times 20 = 4 \times ?\) → \(60 = 4 \times ?\) → \(? = 15\)
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\)
b) \(\dfrac{?}{6} = \dfrac{10}{15}\)
Méthode ÷\(15 \div 3 = 5 \neq 6\) → essayons l'égalité des produits en croix
Prod. ×\(? \times 15 = 6 \times 10 = 60\) → \(? = 60 \div 15 = \) 4
\(\dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{15}\)
c) \(\dfrac{5}{?} = \dfrac{15}{21}\)
Méthode ×\(5 \times 3 = 15\), donc \(? = 21 \div 3 = \) 7
Ou prod. ×\(5 \times 21 = ? \times 15\) → \(105 = ? \times 15\) → \(? = 7\)
\(\dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{21}\)

Exercice 5 / 5

ProblèmeProportionnalité
✓ Vu

Une recette de gâteau pour 6 personnes nécessite 240 g de farine.

1) Écris la fraction \(\dfrac{\text{farine}}{\text{personnes}}\) pour cette recette.
2) On veut préparer le même gâteau pour 9 personnes. On note ? la quantité de farine nécessaire. Écris l'égalité de fractions correspondante.
3) Utilise l'égalité des produits en croix pour trouver le nombre manquant (?).
1) Fraction de départ
\(\dfrac{240}{6}\)
2) Égalité de fractions

Les proportions sont les mêmes : \(\dfrac{240}{6} = \dfrac{x}{9}\)

3) Égalité des produits en croix
Égalité\(240 \times 9 = 6 \times ?\)
\(2160 = 6x\)
? =\(2160 \div 6 = 360\)
Il faut 360 g de farine pour 9 personnes.

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