Fraction quotient 6ème : cours et exercices corrigés

I. \(\dfrac{a}{b}\) comme quotient de \(a\) par \(b\)

📘 Définition — Quotient

\(a\) et \(b\) désignent deux nombres entiers (\(b \neq 0\)).

Le quotient de \(a\) par \(b\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). On le note \(a \div b\) ou \(\dfrac{a}{b}\).

\(a \div b = \dfrac{a}{b}\)

Dans l'écriture \(\dfrac{a}{b}\), \(a\) est le numérateur et \(b\) est le dénominateur.

Pourquoi \(\dfrac{a}{b} \times b = a\) ?

🔍 Vérification avec un schéma en barre

On veut vérifier que \(\dfrac{3}{4} \times 4 = 3\).

On dessine 4 copies de la fraction \(\dfrac{3}{4}\) (une barre partagée en 4, dont 3 parts sont coloriées), alignées les unes sous les autres :

Copie 1 : \(\frac{3}{4}\)

Copie 2 : \(\frac{3}{4}\)

Copie 3 : \(\frac{3}{4}\)

Copie 4 : \(\frac{3}{4}\)

unité

—

En regardant les colonnes : les 3 premières colonnes sont entièrement coloriées sur les 4 lignes, donc chacune reconstitue exactement 1 unité entière. La 4^e colonne reste vide.

DONC Les 4 copies de \(\dfrac{3}{4}\) mises ensemble reforment exactement \(3\) unités entières : \(\dfrac{3}{4} \times 4 = 3\). C'est bien cohérent avec la définition : \(\dfrac{3}{4}\) est le nombre qui, multiplié par \(4\), donne \(3\).

🧩 Exercice

En t'aidant d'un schéma en barre du même type (5 copies de \(\dfrac{2}{5}\) alignées), vérifier que \(\dfrac{2}{5} \times 5 = 2\).

Copie 1 : \(\frac{2}{5}\)

Copie 2 : \(\frac{2}{5}\)

Copie 3 : \(\frac{2}{5}\)

Copie 4 : \(\frac{2}{5}\)

Copie 5 : \(\frac{2}{5}\)

unité

—

DONC Les 2 premières colonnes sont entièrement coloriées sur les 5 lignes : elles reforment \(2\) unités entières. Donc \(\dfrac{2}{5} \times 5 = 2\).

II. Écriture décimale d'une fraction

📋 Méthode

Comme \(\dfrac{a}{b}\) est le quotient de \(a\) par \(b\), pour obtenir son écriture décimale, il suffit de poser la division de \(a\) par \(b\).

1On pose la division de \(a\) (numérateur) par \(b\) (dénominateur)
2Si la division « tombe juste », on obtient l'écriture décimale exacte
3Sinon, on arrondit le quotient : on obtient une valeur approchée, notée avec le symbole \(\approx\)

✏️ Exemple 1 — écriture exacte

Donner l'écriture décimale de \(\dfrac{3}{4}\).

On pose la division de \(3\) par \(4\) :

3,00

- 0

30

- 28

20

- 20

0

4

0,75

Le reste final est \(0\) : la division tombe juste. On a bien une écriture décimale exacte.

\(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\)

✏️ Exemple 2 — valeur approchée

Donner une valeur approchée au millième de \(\dfrac{1}{3}\).

On pose la division de \(1\) par \(3\) :

1,000

- 0

10

- 9

10

- 9

10

- 9

1 …

3

0,333…

Le reste \(1\) revient sans arrêt : la division ne s'arrête jamais. On ne peut donc pas donner l'écriture décimale exacte.

On arrondit le quotient au millième (3 chiffres après la virgule) :

\(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\)

🧩 Exercice

En posant la division à chaque fois, donner l'écriture décimale exacte de \(\dfrac{7}{8}\), puis une valeur approchée au centième de \(\dfrac{2}{3}\) et de \(\dfrac{5}{6}\).

(a) \(\dfrac{7}{8}\)

7,000

- 0

70

- 64

60

- 56

40

- 40

0

8

0,875

Le reste final est \(0\) : \(\dfrac{7}{8} = 0{,}875\) (écriture exacte).

(b) \(\dfrac{2}{3}\)

2,000

- 0

20

- 18

20

- 18

20

- 18

2 …

3

0,666…

Le reste \(2\) revient sans arrêt : on arrondit au centième, \(\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\).

(c) \(\dfrac{5}{6}\)

5,000

- 0

50

- 48

20

- 18

20

- 18

2 …

6

0,833…

Le reste \(2\) revient sans arrêt : on arrondit au centième, \(\dfrac{5}{6} \approx 0{,}83\).

III. Égalité de deux fractions

1) La règle de calcul

📗 Propriété

On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur ET son dénominateur par un même nombre non nul \(k\) :

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}\) \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}\)

🔍 Illustration avec un schéma en barre

Montrons que \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\) à l'aide d'une barre.

\(\dfrac{2}{3}\)

↓ on partage chaque part en 2 (on double le nombre de parts) ↓

\(\dfrac{4}{6}\)

DONC La partie coloriée occupe exactement la même longueur dans les deux barres : on a seulement multiplié le numérateur et le dénominateur par \(2\), donc \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2\times2}{3\times2} = \dfrac{4}{6}\).

🔍 Dans l'autre sens : on regroupe les parts

Montrons que \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) à l'aide d'une barre.

\(\dfrac{6}{8}\)

↓ on regroupe les parts par 2 (on divise le nombre de parts par 2) ↓

\(\dfrac{3}{4}\)

DONC On a divisé le numérateur et le dénominateur par \(2\) : \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{6\div2}{8\div2} = \dfrac{3}{4}\). C'est cette idée que l'on utilise pour simplifier une fraction.

🧩 Exercice

Compléter en utilisant la règle de calcul (préciser à chaque fois si l'on multiplie ou si l'on divise, et par quel nombre) :

(a) \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{?}{20}\)
(b) \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}\)

(a) Pour passer de \(5\) à \(20\), on multiplie par \(4\) (\(5 \times 4 = 20\)). On multiplie donc aussi le numérateur par \(4\) :

\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{12}{20}\)

(b) Pour passer de \(18\) à \(3\), on divise par \(6\) (\(18 \div 6 = 3\)). On divise donc aussi le dénominateur par \(6\) :

\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}\)

2) Le produit en croix : un test général

La règle de calcul permet de fabriquer des fractions égales, mais pas toujours de vérifier facilement si deux fractions données sont égales. On utilise alors un test général : le produit en croix.

📗 Propriété — Produit en croix

\(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) désignent des nombres relatifs (\(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)).

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\)

Autrement dit : deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix (\(a \times d\) et \(b \times c\)) sont égaux.

✏️ Exemple

Les fractions \(\dfrac{12}{24}\) et \(\dfrac{3}{6}\) sont-elles égales ?

On calcule les deux produits en croix :

\(12 \times 6 = 72\) et \(24 \times 3 = 72\)

Les deux produits en croix sont égaux : \(72 = 72\).

✓ Conclusion Les fractions \(\dfrac{12}{24}\) et \(\dfrac{3}{6}\) sont égales.

🧩 Exercice

Les fractions suivantes sont-elles égales ? Justifier en calculant les produits en croix.

(a) \(\dfrac{4}{9}\) et \(\dfrac{12}{27}\)
(b) \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{7}{11}\)

(a) \(4 \times 27 = 108\) et \(9 \times 12 = 108\).

✓ Conclusion \(108 = 108\), donc \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{27}\).

(b) \(5 \times 11 = 55\) et \(8 \times 7 = 56\).

✗ Conclusion \(55 \neq 56\), donc \(\dfrac{5}{8} \neq \dfrac{7}{11}\).

IV. Comparer des fractions

📗 Propriété — Comparaison

\(a\), \(b\) et \(c\) désignent trois nombres positifs (\(c \neq 0\)).

Si \(a < b\), alors \(\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}\)

Deux fractions ayant le même dénominateur se comparent en comparant leurs numérateurs. Si les dénominateurs sont différents, on les met au même dénominateur : quand l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre, il suffit de transformer une seule des deux fractions.

✏️ Exemple

Comparer \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{5}{6}\).

Le dénominateur \(6\) est un multiple de \(3\) (\(3 \times 2 = 6\)) : on ne transforme que \(\dfrac{2}{3}\), on laisse \(\dfrac{5}{6}\) inchangée.

\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}\)

On compare les numérateurs : \(4 < 5\).

✓ Conclusion \(\dfrac{4}{6} < \dfrac{5}{6}\), donc \(\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6}\).

🧩 Exercice

Comparer les fractions suivantes (dans chaque cas, un seul dénominateur est un multiple de l'autre : ne transforme qu'une seule fraction) :

(a) \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\)
(b) \(\dfrac{7}{10}\) et \(\dfrac{3}{5}\)

(a) \(8\) est un multiple de \(4\) (\(4 \times 2 = 8\)) : on transforme seulement \(\dfrac{3}{4}\), on laisse \(\dfrac{5}{8}\) inchangée.

\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}\)

\(6 > 5\), donc \(\dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8}\), donc \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}\).

(b) \(10\) est un multiple de \(5\) (\(5 \times 2 = 10\)) : on transforme seulement \(\dfrac{3}{5}\), on laisse \(\dfrac{7}{10}\) inchangée.

\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{6}{10}\)

\(7 > 6\), donc \(\dfrac{7}{10} > \dfrac{6}{10}\), donc \(\dfrac{7}{10} > \dfrac{3}{5}\).

V. Addition et soustraction de fractions de dénominateurs multiples

📋 Méthode

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions :

1Si elles ont déjà le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) directement les numérateurs
2Sinon, quand un dénominateur est un multiple de l'autre, on ne transforme qu'une seule des deux fractions pour obtenir le même dénominateur
3On garde le dénominateur commun (on ne l'additionne jamais !)
4On simplifie la fraction obtenue si possible

\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\) et \(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)

💡 Remarque importante

On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux. ✗ \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}\)

✏️ Exemples

Calculer les expressions suivantes :

(A) \(A = \dfrac{2}{8} - \dfrac{4}{8}\)

Les deux fractions ont déjà le même dénominateur (\(8\)) : on soustrait directement les numérateurs.

\(A = \dfrac{2}{8} - \dfrac{4}{8} = \dfrac{2 - 4}{8} = \dfrac{-2}{8}\)

On simplifie : \(2\) et \(8\) sont divisibles par \(2\) :

\(A = \dfrac{-2 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{-1}{4}\)

\(A = -\dfrac{1}{4}\)

(B) \(B = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}\)

Le dénominateur \(8\) est un multiple de \(4\) (\(4 \times 2 = 8\)) : on transforme seulement \(\dfrac{1}{4}\), on laisse \(\dfrac{3}{8}\) inchangée.

\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}\)

On peut maintenant additionner :

\(B = \dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{2 + 3}{8} = \dfrac{5}{8}\)

\(5\) est premier et ne divise pas \(8\) : déjà simplifiée au maximum.

\(B = \dfrac{5}{8}\)

(C) \(C = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}\)

Le dénominateur \(6\) est un multiple de \(2\) (\(2 \times 3 = 6\)) : on transforme seulement \(\dfrac{1}{2}\), on laisse \(\dfrac{5}{6}\) inchangée.

\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}\)

On soustrait :

\(C = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{5 - 3}{6} = \dfrac{2}{6}\)

On simplifie : \(2\) et \(6\) sont divisibles par \(2\) :

\(C = \dfrac{2 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{1}{3}\)

\(C = \dfrac{1}{3}\)

🧩 Exercice

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction simplifiée au maximum :

(a) \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10}\) (b) \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{3}\) (c) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{12}\)

(a) Même dénominateur, on additionne les numérateurs :

\(\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{10}{10} = 1\)

(b) \(9\) est un multiple de \(3\) (\(3 \times 3 = 9\)) : on transforme seulement \(\dfrac{2}{3}\).

\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{6}{9}\)

\(\dfrac{7}{9} - \dfrac{6}{9} = \dfrac{1}{9}\) (simplifiée au maximum)

(c) \(12\) est un multiple de \(4\) (\(4 \times 3 = 12\)) : on transforme seulement \(\dfrac{3}{4}\).

\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}\)

\(\dfrac{9}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}\) (on a simplifié par \(2\))

Ce qu'il faut retenir

Notion	À retenir
Quotient	\(\dfrac{a}{b}\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\)
Écriture décimale	\(\dfrac{a}{b} = a \div b\) (poser la division ; exacte ou valeur approchée avec \(\approx\))
Égalité	\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\)
Comparaison	même dénominateur → on compare les numérateurs (transformer une seule fraction si un dénominateur est multiple de l'autre)
Addition / soustraction	\(\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}\) (même dénominateur obligatoire)

💡 On ne compare, n'additionne et ne soustrait des fractions que lorsqu'elles ont le même dénominateur !