Angles adjacents &
angles opposés par le sommet

Chapitre 19 — Les angles — Feuille d'exercices n°1 — 6e

Sommet commun Côté commun Même mesure

📌 Deux façons dont deux angles peuvent partager leur sommet

① Angles adjacents
Même sommet, un côté commun, et situés de part et d'autre de ce côté commun.
Aucune formule : c'est une position sur la figure, pas un calcul.
② Angles opposés par le sommet
Même sommet, et les côtés de l'un sont dans le prolongement des côtés de l'autre (deux droites sécantes).
Propriété : ils ont toujours la même mesure.
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Exercice 1 / 6

Adjacents Vocabulaire
✓ Vu

Observe la figure ci-dessous, puis réponds aux questions concernant les angles \(\widehat{IOJ}\) et \(\widehat{JOK}\).

IOJ JOK I J K O
a)Quel est le sommet commun aux deux angles ?
b)Quel est leur côté commun ?
c)Les angles \(\widehat{IOJ}\) et \(\widehat{JOK}\) sont-ils adjacents ? Justifie en citant la définition.

💡 Indices

Regarde à partir de quel point les trois demi-droites [OI), [OJ) et [OK) sont tracées.
Quelle demi-droite appartient à la fois à l'angle \(\widehat{IOJ}\) et à l'angle \(\widehat{JOK}\) ?
a) Sommet commun

Le sommet commun est O : les deux angles sont mesurés à partir de ce même point.

b) Côté commun

Le côté commun est la demi-droite [OJ) : elle appartient aux deux angles.

c) Adjacents ?

Oui, les angles \(\widehat{IOJ}\) et \(\widehat{JOK}\) sont adjacents : ils ont le même sommet O, le côté commun [OJ), et sont situés de part et d'autre de ce côté (l'un contient I, l'autre contient K).

Trois conditions à vérifier à chaque fois : même sommet + côté commun + de part et d'autre.

Exercice 2 / 6

Vrai / Faux Piège
✓ Vu

Pour chaque cas, dis si les deux angles décrits sont adjacents. Justifie ta réponse.

a)\(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{CBD}\) : même sommet B, côté commun [BC), situés de part et d'autre de [BC).
b)\(\widehat{EFG}\) et \(\widehat{EFH}\) : même sommet F, côté commun [FE), mais G et H sont du même côté de la droite (FE).
c)\(\widehat{IJK}\) et \(\widehat{LMN}\) : le premier a pour sommet J, le second a pour sommet M.
d)\(\widehat{PQR}\) et \(\widehat{RQS}\) : même sommet Q, côté commun [QR), situés de part et d'autre de [QR).

💡 Indices

Même si le sommet et le côté commun sont corrects, il manque une condition. Laquelle ?
La toute première condition de la définition porte sur le sommet : est-elle vérifiée ici ?
a)

Vrai — les trois conditions sont réunies : même sommet B, côté commun [BC), de part et d'autre.

b)

Faux — même sommet et côté commun, mais G et H ne sont pas de part et d'autre de (FE) : la condition de position manque.

c)

Faux — les sommets sont différents (J et M) : ce n'est pas la même condition de départ, donc les angles ne peuvent pas être adjacents.

d)

Vrai — même sommet Q, côté commun [QR), de part et d'autre.

⚠ Piège : avoir le même sommet ET un côté commun ne suffit pas : il faut aussi être de part et d'autre de ce côté (cas b).

Exercice 3 / 6

Opposés par le sommet Reconnaissance
✓ Vu

Les droites (PR) et (QS) se coupent en O.

P R Q S O
a)Cite une paire d'angles opposés par le sommet.
b)Cite l'autre paire d'angles opposés par le sommet de la figure.
c)Cite une paire d'angles adjacents (différente de celles ci-dessus).

💡 Indices

Deux angles opposés par le sommet n'ont aucun côté commun : leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
Pour des angles adjacents, cherche deux angles côte à côte qui partagent une demi-droite.
a) et b) Angles opposés par le sommet

\(\widehat{POQ}\) et \(\widehat{ROS}\) sont opposés par le sommet (côtés dans le prolongement l'un de l'autre).

\(\widehat{QOR}\) et \(\widehat{SOP}\) sont également opposés par le sommet.

c) Angles adjacents

Par exemple \(\widehat{POQ}\) et \(\widehat{QOR}\) sont adjacents : même sommet O, côté commun [OQ), de part et d'autre. (D'autres réponses sont possibles : \(\widehat{QOR}\)/\(\widehat{ROS}\), \(\widehat{ROS}\)/\(\widehat{SOP}\), \(\widehat{SOP}\)/\(\widehat{POQ}\).)

Exercice 4 / 6

Opposés par le sommet Calcul
✓ Vu

Les droites (KM) et (LN) se coupent en O. On donne \(\widehat{KOL} = 115°\) et \(\widehat{LOM} = 65°\).

115° 65° K M L N O
a)Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{MON}\).
b)Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{NOK}\).

💡 Indices

\(\widehat{MON}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{KOL}\). \(\widehat{NOK}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{LOM}\).
Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure : aucun calcul compliqué n'est nécessaire !
a) Angle MON
On sait\(\widehat{MON}\) et \(\widehat{KOL}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{MON} = \widehat{KOL} = 115°\)
b) Angle NOK
On sait\(\widehat{NOK}\) et \(\widehat{LOM}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{NOK} = \widehat{LOM} = 65°\)
Pas besoin d'addition ni de soustraction : la propriété donne directement la mesure !

Exercice 5 / 6

Classement Remobilisation
✓ Vu

Pour chaque paire d'angles, indique si elle est adjacente, opposée par le sommet, ou ni l'une ni l'autre. Justifie chaque réponse en une phrase.

a)\(\widehat{xOy}\) et \(\widehat{yOz}\) : sommet O commun, côté [Oy) commun, de part et d'autre de [Oy).
b)Les droites (AB) et (CD) se coupent en O. On considère \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{BOD}\), dont les côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
c)\(\widehat{MNP}\) et \(\widehat{QRS}\) : le premier a pour sommet N, le second a pour sommet R.
d)\(\widehat{uOv}\) et \(\widehat{vOw}\) : sommet O commun, côté [Ov) commun, mais u et w sont du même côté de la droite (Ov).

💡 Indices

Vérifie d'abord le sommet, puis cherche s'il y a un côté commun (→ adjacents, à vérifier de part et d'autre) ou des côtés dans le prolongement (→ opposés par le sommet).
Il y a bien un sommet et un côté communs, mais une des trois conditions des angles adjacents manque toujours.
a)

Adjacents — même sommet, côté commun [Oy), de part et d'autre.

b)

Opposés par le sommet — même sommet O, aucun côté commun, côtés dans le prolongement l'un de l'autre.

c)

Ni l'un ni l'autre — les sommets sont différents (N et R), la première condition n'est même pas vérifiée.

d)

Ni l'un ni l'autre — même sommet et côté commun, mais u et w ne sont pas de part et d'autre de (Ov) : ils ne sont donc pas adjacents ; et comme il y a un côté commun, ils ne sont pas non plus opposés par le sommet.

⚠ À retenir : avoir le même sommet ne suffit jamais à conclure seul — il faut toujours vérifier les côtés (commun + position, ou prolongement).

Exercice 6 / 6

Problème Réinvestissement
✓ Vu

Les droites (EG) et (FH) se coupent en O. On donne \(\widehat{EOF} = 115°\). Calculer les mesures des angles \(\widehat{FOG}\), \(\widehat{GOH}\) et \(\widehat{HOE}\).

115° E G F H O

💡 Indices

E, O, G sont alignés (ce sont deux points de la même droite (EG)) : \(\widehat{EOF}\) et \(\widehat{FOG}\) sont adjacents et forment ensemble un angle plat.
Une fois \(\widehat{FOG}\) connu, pense aux paires d'angles opposés par le sommet : \(\widehat{GOH}\) est opposé à \(\widehat{EOF}\), et \(\widehat{HOE}\) est opposé à \(\widehat{FOG}\).
1) Angle FOG
On saitE, O, G alignés donc \(\widehat{EOF}\) et \(\widehat{FOG}\) sont adjacents et supplémentaires.
Calcul\(\widehat{FOG} = 180° - \widehat{EOF} = 180 - 115\)
Résultat\(\widehat{FOG} = 65°\)
2) Angle GOH
On sait\(\widehat{GOH}\) et \(\widehat{EOF}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{GOH} = \widehat{EOF} = 115°\)
3) Angle HOE
On sait\(\widehat{HOE}\) et \(\widehat{FOG}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{HOE} = \widehat{FOG} = 65°\)
Autour du point O, les quatre angles valent 115°, 65°, 115°, 65° — leur somme fait bien 360°.

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