Angle plat &
angles supplémentaires

Chapitre 19 — Les angles — Feuille d'exercices n°2 — 6e

180° Somme = 180° Remobilisation feuille 1

📌 Angle plat et angles supplémentaires

① Angle plat
Un angle plat mesure 180°. Ses côtés sont deux demi-droites opposées : elles forment une droite.
Trois points alignés B, O, C ⇒ \(\widehat{BOC} = 180°\)
② Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180°. Ils n'ont pas besoin d'être adjacents !
S'ils sont en plus adjacents, leurs côtés extrêmes forment un angle plat.
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Exercice 1 / 6

Angle plat Vocabulaire
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, les points B, O et C sont alignés. On donne \(\widehat{AOB} = 125°\) et \(\widehat{AOC} = 55°\).

125° 55° B C A O
a)Pourquoi peut-on dire que l'angle \(\widehat{BOC}\) est un angle plat ?
b)Calcule la somme \(\widehat{AOB} + \widehat{AOC}\). Que remarques-tu ?
c)Les angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{AOC}\) sont-ils adjacents ? Sont-ils supplémentaires ? Justifie chaque réponse.

💡 Indices

Un angle plat correspond à trois points alignés : ses côtés forment une droite.
La définition des angles supplémentaires ne parle que de la somme des mesures, pas de position sur la figure.
a) Angle plat

B, O et C sont alignés : les demi-droites [OB) et [OC) sont opposées et forment une droite. L'angle \(\widehat{BOC}\) mesure donc 180° : c'est un angle plat.

b) Somme
Calcul\(\widehat{AOB} + \widehat{AOC} = 125 + 55\)
Résultat\(= 180°\)

On retrouve la mesure de l'angle plat \(\widehat{BOC}\) : c'est logique, car [OA) partage cet angle plat en deux.

c) Adjacents et supplémentaires

Adjacents : même sommet O, côté commun [OA), de part et d'autre de [OA).

Supplémentaires : leur somme vaut 180° (calculée au b).

Quand deux angles adjacents sont supplémentaires, leurs côtés extrêmes (ici [OB) et [OC)) forment toujours un angle plat.

Exercice 2 / 6

Calcul Application directe
✓ Vu

Calcule la mesure du supplément de chacun des angles suivants (l'angle qui, ajouté à celui-ci, donne 180°).

a)
72°
b)
118°
c)
35°
d)
153°

💡 Indices

Le supplément d'un angle de mesure \(x\) vaut \(180 - x\).
a) Supplément de 72°
Calcul\(180 - 72 = \) 108°
b) Supplément de 118°
Calcul\(180 - 118 = \) 62°
c) Supplément de 35°
Calcul\(180 - 35 = \) 145°
d) Supplément de 153°
Calcul\(180 - 153 = \) 27°

Exercice 3 / 6

Vrai / Faux Piège
✓ Vu

Pour chaque cas, dis si les angles sont supplémentaires, et s'ils sont adjacents et supplémentaires (angle plat).

a)Un angle de 110° et un angle de 70°, de sommets différents.
b)\(\widehat{AOB} = 125°\) et \(\widehat{BOC} = 55°\), adjacents (côté commun [OB)), avec A, O, C alignés.
c)\(\widehat{xOy} = 50°\) et \(\widehat{yOz} = 90°\), adjacents (côté commun [Oy)), mais x, O, z non alignés.
d)\(\widehat{uOv} = 90°\) et \(\widehat{vOw} = 90°\), adjacents (côté commun [Ov)), avec u, O, w alignés.

💡 Indices

La définition de "supplémentaires" ne dit rien sur les sommets : regarde uniquement la somme des mesures.
Calcule d'abord la somme \(50 + 90\). Est-elle égale à 180 ?
a)

\(110 + 70 = 180\) → supplémentaires. Mais sommets différents → pas adjacents (donc pas "adjacents et supplémentaires").

b)

\(125 + 55 = 180\) → supplémentaires. Et adjacents avec A,O,C alignés → adjacents et supplémentaires (ils forment l'angle plat \(\widehat{AOC}\)).

c)

\(50 + 90 = 140 \neq 180\) → pas supplémentaires, même s'ils sont adjacents ! Adjacent ne veut pas dire supplémentaire.

d)

\(90 + 90 = 180\) → supplémentaires. Et adjacents avec u,O,w alignés → adjacents et supplémentaires.

⚠ Piège : "supplémentaires" ne dépend que de la somme des mesures (cas a). "Adjacents" ne garantit pas "supplémentaires" (cas c) : il faut vérifier séparément que les côtés extrêmes sont alignés.

Exercice 4 / 6

Opposés par le sommet Supplémentaires Remobilisation
✓ Vu

Les droites (RT) et (SU) se coupent en O. On donne \(\widehat{ROS} = 115°\).

115° R T S U O
a)Calculer \(\widehat{SOT}\) (pense à ce que tu sais sur les points R, O, T).
b)Calculer \(\widehat{TOU}\) (pense aux angles opposés par le sommet).
c)Compare \(\widehat{TOU}\) et \(\widehat{ROS}\). Est-ce cohérent ?

💡 Indices

R, O, T sont alignés (deux points de la droite (RT)) : \(\widehat{ROS}\) et \(\widehat{SOT}\) sont adjacents et supplémentaires.
\(\widehat{TOU}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{ROS}\) : ils ont donc la même mesure, sans aucun calcul.
a) Angle SOT
On saitR, O, T alignés → \(\widehat{ROS}\) et \(\widehat{SOT}\) adjacents et supplémentaires.
Calcul\(\widehat{SOT} = 180 - 115\)
Résultat\(\widehat{SOT} = 65°\)
b) Angle TOU
On sait\(\widehat{TOU}\) et \(\widehat{ROS}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{TOU} = \widehat{ROS} = 115°\)
c) Comparaison

\(\widehat{TOU} = \widehat{ROS} = 115°\), c'est cohérent : la propriété des angles opposés par le sommet donne toujours des mesures égales.

Dans une figure à deux droites sécantes, les angles adjacents sont toujours supplémentaires, et les angles opposés par le sommet toujours égaux : les deux notions travaillent ensemble.

Exercice 5 / 6

Adjacents Raisonnement Remobilisation
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous (déjà rencontrée en feuille n°1), les angles \(\widehat{IOJ}\) et \(\widehat{JOK}\) sont adjacents. On donne \(\widehat{IOJ} = 112°\) et \(\widehat{JOK} = 68°\).

112° 68° I J K O
a)Calcule \(\widehat{IOJ} + \widehat{JOK}\).
b)Que peux-tu en déduire sur les points I, O et K ? Justifie précisément ton raisonnement.

💡 Indices

C'est le raisonnement inverse de l'exercice 1 : si deux angles adjacents sont supplémentaires, que peut-on dire de leurs côtés extrêmes ?
a) Somme
Calcul\(112 + 68 = \) 180°
b) Déduction

Les angles \(\widehat{IOJ}\) et \(\widehat{JOK}\) sont adjacents (donné dans l'énoncé) et leur somme vaut 180° : ils sont donc adjacents et supplémentaires. Leurs côtés extrêmes [OI) et [OK) forment donc un angle plat : les points I, O et K sont alignés.

C'est le raisonnement réciproque du rappel : angle plat ⇒ adjacents et supplémentaires, mais aussi adjacents et supplémentaires ⇒ angle plat (points alignés).

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse
✓ Vu

Les droites (AC) et (BD) se coupent en O. La demi-droite [OE) est comprise dans l'angle \(\widehat{AOB}\). On donne \(\widehat{AOB} = 115°\) et \(\widehat{AOE} = 25°\).

115° 25° A C B D E O
a)Calculer \(\widehat{EOB}\).
b)Calculer \(\widehat{BOC}\).
c)Calculer \(\widehat{COD}\).
d)Calculer \(\widehat{DOA}\).

💡 Indices

[OE) est à l'intérieur de \(\widehat{AOB}\) : \(\widehat{AOE} + \widehat{EOB} = \widehat{AOB}\).
A, O, C sont alignés : \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOC}\) sont adjacents et supplémentaires.
\(\widehat{COD}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{AOB}\), et \(\widehat{DOA}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{BOC}\).
a) Angle EOB
Calcul\(\widehat{EOB} = \widehat{AOB} - \widehat{AOE} = 115 - 25\)
Résultat\(\widehat{EOB} = 90°\)
b) Angle BOC
On saitA, O, C alignés → \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOC}\) adjacents et supplémentaires.
Calcul\(\widehat{BOC} = 180 - 115\)
Résultat\(\widehat{BOC} = 65°\)
c) Angle COD
On sait\(\widehat{COD}\) et \(\widehat{AOB}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{COD} = \widehat{AOB} = 115°\)
d) Angle DOA
On sait\(\widehat{DOA}\) et \(\widehat{BOC}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{DOA} = \widehat{BOC} = 65°\)
Ce problème mobilise les trois notions : angles adjacents (a), adjacents et supplémentaires (b), opposés par le sommet (c et d).

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