La bissectrice
d'un angle

Chapitre 19 — Les angles — Feuille d'exercices n°3 — 6e

Deux angles égaux Compas Remobilisation F1 & F2

📌 La bissectrice d'un angle

① Définition
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
[OB) bissectrice de \(\widehat{AOC}\)  ⇔  \(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \dfrac{\widehat{AOC}}{2}\)
② Construction au compas
On trace un arc centré en O qui coupe les deux côtés, puis deux arcs de même rayon centrés sur ces points d'intersection.
Leur point de rencontre R donne la bissectrice : la demi-droite [OR).
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

Bissectrice Vocabulaire
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, on donne \(\widehat{AOB} = 38°\) et \(\widehat{BOC} = 38°\).

38° 38° A B C O
a)Que peux-tu dire des angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOC}\) ? Que peux-tu en déduire pour la demi-droite [OB) ?
b)Calcule la mesure de l'angle \(\widehat{AOC}\).

💡 Indices

Une bissectrice partage un angle en deux angles adjacents... de quelle mesure l'un par rapport à l'autre ?
\(\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC}\)
a) [OB) bissectrice

\(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = 38°\) : ces deux angles adjacents ont la même mesure. On en déduit que [OB) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{AOC}\).

b) Angle AOC
Calcul\(\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 38 + 38\)
Résultat\(\widehat{AOC} = 76°\)
Pour reconnaître une bissectrice : deux angles adjacents + même mesure.

Exercice 2 / 6

Calcul Application directe
✓ Vu

Dans chaque cas, [OB) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{AOC}\). Calcule la mesure demandée.

a)
\(\widehat{AOC} = 84°\). Calculer \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOC}\).
b)
\(\widehat{AOB} = 53°\). Calculer \(\widehat{AOC}\).
c)
\(\widehat{AOC} = 97°\). Calculer \(\widehat{AOB}\).

💡 Indices

La bissectrice partage l'angle en deux : divise par 2.
Ici c'est l'inverse : \(\widehat{AOB}\) est déjà une moitié, donc \(\widehat{AOC}\) est le double.
a)
Calcul\(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = 84 \div 2 = \) 42°
b)
Calcul\(\widehat{AOC} = 53 \times 2 = \) 106°
c)
Calcul\(\widehat{AOB} = 97 \div 2 = \) 48,5°

Exercice 3 / 6

Construction Méthode
✓ Vu

Voici les étapes de la construction au compas de la bissectrice d'un angle \(\widehat{xOy}\), dans le désordre. Numérote-les de 1 à 4 pour retrouver le bon ordre.

Étape A — Avec le même écartement de compas, centrer la pointe en Q et tracer un second arc, qui coupe le précédent en un point R.
Étape B — Centrer la pointe du compas en O et tracer un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l'angle, en P et en Q.
Étape C — Tracer la demi-droite [OR) : c'est la bissectrice de l'angle \(\widehat{xOy}\).
Étape D — Avec un écartement suffisant, centrer la pointe du compas en P et tracer un arc à l'intérieur de l'angle.

💡 Indices

On a besoin des points P et Q avant de pouvoir tracer des arcs centrés sur eux. Et on ne peut tracer [OR) qu'une fois R connu.
1Étape B — tracer l'arc centré en O

On centre le compas en O et on trace un arc qui coupe les deux côtés de l'angle : on obtient les points P et Q.

P Q x y O
2Étape D — arc centré en P

Avec un écartement suffisant, on centre le compas en P et on trace un arc à l'intérieur de l'angle.

P Q x y O
3Étape A — arc centré en Q

Avec le même écartement, on centre le compas en Q et on trace un second arc, qui coupe le précédent en R.

P Q R x y O
4Étape C — tracer la bissectrice [OR)

On trace la demi-droite [OR) : c'est la bissectrice de l'angle \(\widehat{xOy}\).

P Q R x y O bissectrice
Le point R doit toujours être à la même distance de P et de Q : c'est pour cela que les deux derniers arcs doivent avoir le même écartement de compas.

Exercice 4 / 6

Bissectrice Opposés par le sommet Remobilisation
✓ Vu

Les droites (PR) et (QS) se coupent en O. La demi-droite [OT) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{POQ}\). On donne \(\widehat{POQ} = 108°\).

108° P R Q S T O
a)Calculer \(\widehat{POT}\) et \(\widehat{TOQ}\).
b)Calculer \(\widehat{ROS}\) (pense aux angles opposés par le sommet).
c)Calculer \(\widehat{QOR}\) (pense aux angles adjacents et supplémentaires).

💡 Indices

[OT) bissectrice de \(\widehat{POQ}\) : elle partage cet angle en deux angles égaux.
\(\widehat{ROS}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{POQ}\). P, O, R sont alignés, donc \(\widehat{POQ}\) et \(\widehat{QOR}\) sont supplémentaires.
a) Angles POT et TOQ
Calcul\(\widehat{POT} = \widehat{TOQ} = 108 \div 2\)
Résultat\(\widehat{POT} = \widehat{TOQ} = 54°\)
b) Angle ROS
On sait\(\widehat{ROS}\) et \(\widehat{POQ}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{ROS} = \widehat{POQ} = 108°\)
c) Angle QOR
On saitP, O, R alignés → \(\widehat{POQ}\) et \(\widehat{QOR}\) adjacents et supplémentaires.
Calcul\(\widehat{QOR} = 180 - 108\)
Résultat\(\widehat{QOR} = 72°\)
Trois notions mobilisées : bissectrice (a), opposés par le sommet (b), adjacents et supplémentaires (c).

Exercice 5 / 6

Bissectrice Adjacents Remobilisation
✓ Vu

[OL) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{IOJ}\). On donne \(\widehat{IOJ} = 80°\) et \(\widehat{JOK} = 50°\) (\(\widehat{IOJ}\) et \(\widehat{JOK}\) sont adjacents).

80° 50° I J K L O
a)Calculer \(\widehat{IOL}\) et \(\widehat{LOJ}\).
b)Calculer \(\widehat{IOK}\).

💡 Indices

[OL) bissectrice de \(\widehat{IOJ}\) : elle partage cet angle en deux angles égaux.
J est entre I et K du point de vue de O : \(\widehat{IOK} = \widehat{IOJ} + \widehat{JOK}\).
a) Angles IOL et LOJ
Calcul\(\widehat{IOL} = \widehat{LOJ} = 80 \div 2\)
Résultat\(\widehat{IOL} = \widehat{LOJ} = 40°\)
b) Angle IOK
Calcul\(\widehat{IOK} = \widehat{IOJ} + \widehat{JOK} = 80 + 50\)
Résultat\(\widehat{IOK} = 130°\)
La bissectrice ne concerne que l'angle \(\widehat{IOJ}\) : \(\widehat{JOK}\) n'est pas coupé en deux, il reste entier dans le calcul de \(\widehat{IOK}\).

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse
✓ Vu

Les droites (WY) et (XZ) se coupent en O. La demi-droite [OT) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{WOY}\). On donne \(\widehat{WOY} = 118°\).

118° W X Y Z T O
a)Calculer \(\widehat{WOT}\) et \(\widehat{TOY}\).
b)Calculer \(\widehat{YOX}\).
c)Calculer \(\widehat{XOZ}\).
d)Calculer \(\widehat{ZOW}\).

💡 Indices

[OT) bissectrice de \(\widehat{WOY}\) : elle le partage en deux angles égaux.
W, O, X sont alignés : \(\widehat{WOY}\) et \(\widehat{YOX}\) sont adjacents et supplémentaires.
\(\widehat{XOZ}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{WOY}\). \(\widehat{ZOW}\) est opposé par le sommet à \(\widehat{YOX}\).
a) Angles WOT et TOY
Calcul\(\widehat{WOT} = \widehat{TOY} = 118 \div 2\)
Résultat\(\widehat{WOT} = \widehat{TOY} = 59°\)
b) Angle YOX
On saitW, O, X alignés → \(\widehat{WOY}\) et \(\widehat{YOX}\) adjacents et supplémentaires.
Calcul\(\widehat{YOX} = 180 - 118\)
Résultat\(\widehat{YOX} = 62°\)
c) Angle XOZ
On sait\(\widehat{XOZ}\) et \(\widehat{WOY}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{XOZ} = \widehat{WOY} = 118°\)
d) Angle ZOW
On sait\(\widehat{ZOW}\) et \(\widehat{YOX}\) sont opposés par le sommet.
Résultat\(\widehat{ZOW} = \widehat{YOX} = 62°\)
Les quatre notions du chapitre réunies : bissectrice (a), adjacents et supplémentaires (b), opposés par le sommet (c et d).

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