6e · Géométrie

Les angles (partie 2 sur 2)

I. Angles adjacents
📘 Définition

Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont : le même sommet, un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.

✏️ Exemple
Les angles \(\widehat{xOy}\) et \(\widehat{yOz}\) ci-dessous sont adjacents.
xOy yOz x y z O
Les angles xOy et yOz partagent le sommet O et le côté commun [Oy)
  • Même sommet : O
  • Côté commun : [Oy)
  • Les angles sont de part et d'autre de [Oy) : l'un contient x, l'autre contient z.
⚠️ Attention

Deux angles qui ont seulement le même sommet, sans côté commun ou sans être de part et d'autre de ce côté, ne sont pas adjacents.

🎯 Je m'entraîne
Sur la figure ci-dessous, les angles \(\widehat{ROS}\) et \(\widehat{SOT}\) sont-ils adjacents ? Cite leur sommet commun et leur côté commun.
R S T O

Oui, les angles \(\widehat{ROS}\) et \(\widehat{SOT}\) sont adjacents : ils ont le même sommet O, le côté commun [OS), et sont situés de part et d'autre de ce côté (l'un contient R, l'autre contient T).

II. Angles opposés par le sommet
📘 Définition

Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont dans le prolongement des côtés de l'autre. Ils sont formés par deux droites sécantes.

✏️ Exemple
Les droites (AC) et (BD) se coupent en O. Les angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{COD}\) sont opposés par le sommet.
AOB COD A C B D O
Les angles AOB et COD sont opposés par le sommet ; il en va de même pour BOC et AOD
✅ Propriété

Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.

⚠️ Attention

Ne pas confondre : sur la figure ci-dessus, AOB et BOC sont adjacents (côté commun [OB)), tandis que AOB et COD sont opposés par le sommet (aucun côté commun).

🎯 Je m'entraîne
Les droites (AC) et (BD) se coupent en O. L'angle \(\widehat{AOB}\) mesure 65°. Quelle est la mesure de l'angle \(\widehat{COD}\) ?
65° ? A C B D O

\(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{COD}\) sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure : \(\widehat{COD} = 65°\).

🔔 Rappel — l'angle plat

Un angle plat est un angle qui mesure 180°. Ses côtés forment une droite : le sommet et les deux points qui portent les côtés sont donc alignés.

180° A B O

L'angle \(\widehat{AOB}\) est un angle plat : A, O, B sont alignés. Cette idée va nous servir tout de suite avec les angles supplémentaires.

III. Angles supplémentaires
📘 Définition

Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.

✏️ Exemple
Les points C, A et D sont alignés. L'angle \(\widehat{CAB}\) mesure 130° et l'angle \(\widehat{BAD}\) mesure 50°.
130° 50° C D B A
\(\widehat{CAB} + \widehat{BAD} = 130° + 50° = 180°\) : les angles sont supplémentaires
✅ Propriété

Si deux angles adjacents sont supplémentaires, alors ils forment un angle plat : leurs côtés extérieurs sont dans le prolongement l'un de l'autre, donc les trois points correspondants sont alignés.

⚠️ Attention

Deux angles supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents : il suffit que la somme de leurs mesures fasse 180°, même si les angles sont séparés.

🎯 Je m'entraîne
Les points C, A et D sont alignés. L'angle \(\widehat{CAB}\) mesure 95°. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{BAD}\).
95° ? C D B A
On saitC, A, D alignés donc \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{BAD}\) sont supplémentaires.
Calcul\(\widehat{BAD} = 180° - 95°\)
Résultat\(\widehat{BAD} = 85°\)
IV. Bissectrice d'un angle
📘 Définition

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.

✏️ Exemple
L'angle \(\widehat{AOB}\) mesure 56°. Sa bissectrice [OC) le partage en deux angles de 28°.
28° 28° A B C O
La demi-droite [OC) est la bissectrice de l'angle AOB
📐 Méthode — Construire la bissectrice au compas
  1. Piquer le compas en O et tracer un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l'angle : on obtient deux points, l'un sur chaque côté.
  2. Piquer le compas successivement en chacun de ces deux points, en gardant le même écartement (suffisamment grand), et tracer deux arcs de cercle qui se coupent en un point I.
  3. Tracer la demi-droite [OI) : c'est la bissectrice de l'angle.
🎯 Je m'entraîne
L'angle \(\widehat{xOy}\) mesure 84°. On trace sa bissectrice [Oz). Quelle est la mesure de l'angle \(\widehat{xOz}\) ?
84° x y z O
On sait[Oz) est la bissectrice de \(\widehat{xOy}\), donc elle partage l'angle en deux angles de même mesure.
Calcul\(\widehat{xOz} = \widehat{xOy} \div 2 = 84 \div 2\)
Résultat\(\widehat{xOz} = 42°\)
Donc : L'angle \(\widehat{xOz}\) mesure 42°, tout comme l'angle \(\widehat{zOy}\).
V. Calculer avec des angles
💡 Pour calculer un angle, on repère d'abord la relation qui relie les angles de la figure : angles adjacents dont on connaît la somme, angles opposés par le sommet (même mesure), angles supplémentaires (somme = 180°), ou bissectrice (partage en deux angles égaux).
a) Utiliser des angles supplémentaires
✏️ Exercice
Les points M, A et N sont alignés. L'angle \(\widehat{MAP}\) mesure 72°. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{PAN}\).
72° ? M N P A
On saitM, A, N alignés donc \(\widehat{MAP}\) et \(\widehat{PAN}\) sont supplémentaires.
Calcul\(\widehat{PAN} = 180° - \widehat{MAP} = 180 - 72\)
Résultat\(\widehat{PAN} = 108°\)
b) Utiliser des angles opposés par le sommet
✏️ Exercice
Les droites (RT) et (SU) se coupent en O. L'angle \(\widehat{ROS}\) mesure 47°. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{TOU}\).
47° ? R S T U O
On sait\(\widehat{ROS}\) et \(\widehat{TOU}\) sont opposés par le sommet (côtés dans le prolongement l'un de l'autre).
PropriétéDeux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Résultat\(\widehat{TOU} = \widehat{ROS} = 47°\)
c) Combiner plusieurs propriétés
✏️ Exercice
Les points E, O et F sont alignés. La demi-droite [Og) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{EOH}\), et l'angle \(\widehat{HOF}\) mesure 66°. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{gOF}\).
E F H g O 66°
📐 Méthode
  1. Repérer que \(\widehat{EOH}\) et \(\widehat{HOF}\) sont adjacents et supplémentaires (car E, O, F alignés), et calculer \(\widehat{EOH}\).
  2. Utiliser la bissectrice pour en déduire \(\widehat{gOH}\).
  3. Ajouter \(\widehat{HOF}\) pour obtenir \(\widehat{gOF}\).
Étape 1E, O, F alignés donc \(\widehat{EOH} + \widehat{HOF} = 180°\), soit \(\widehat{EOH} = 180 - 66 = 114°\).
Étape 2[Og) est la bissectrice de \(\widehat{EOH}\) donc \(\widehat{gOH} = 114 \div 2 = 57°\).
Étape 3\(\widehat{gOF} = \widehat{gOH} + \widehat{HOF} = 57 + 66\)
Résultat\(\widehat{gOF} = 123°\)
À retenir : Pour un calcul d'angle un peu long, on avance étape par étape en indiquant, à chaque fois, la propriété utilisée (alignement, bissectrice, angles opposés par le sommet...).
⚠️ Attention

On ne mesure jamais un angle « à vue d'œil » sur une figure à main levée : les mesures données dans l'énoncé (ou obtenues par le calcul) sont les seules valeurs correctes, même si le dessin n'est pas exact.

VI. Ce qu'il faut retenir
📐 Synthèse
  • Angles adjacents : même sommet, un côté commun, de part et d'autre de ce côté.
  • Angles opposés par le sommet : même sommet, côtés dans le prolongement l'un de l'autre → même mesure.
  • Angle plat : mesure 180°, ses côtés forment une droite (points alignés).
  • Angles supplémentaires : la somme des mesures vaut 180°. S'ils sont en plus adjacents, ils forment un angle plat.
  • Bissectrice d'un angle : demi-droite qui le partage en deux angles adjacents de même mesure.
  • Pour calculer un angle, on identifie la (ou les) propriété(s) applicable(s), puis on rédige le calcul étape par étape.
Opposés par le sommet → même mesure  |  Supplémentaires → somme = 180°  |  Bissectrice → partage en deux angles égaux
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