📐 Encadrer des fractions

Trouver les deux nombres entiers consécutifs qui encadrent une fraction

6ème 6 exercices Division euclidienne · Encadrement

📖 Rappels

📐 Encadrer à l'unité
C'est trouver le plus grand entier inférieur et le plus petit entier supérieur à la fraction.
Par exemple : 3 < 236 < 4

🔢 Méthode : la division euclidienne
On divise le numérateur par le dénominateur.
Le quotient donne l'entier du bas, le quotient + 1 donne l'entier du haut.
⚠️ Il faut vérifier que le reste est bien inférieur au dénominateur !

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Partie 1 – Encadrements directs

Exercice 1 / 6

Encadrer · Petits dénominateurs

✓ Vu

Encadre chaque fraction entre deux nombres entiers consécutifs.

a. . . < 73 < . . .

b. . . < 114 < . . .

c. . . < 92 < . . .

d. . . < 135 < . . .

💡 Indices

Cherche combien de fois le dénominateur « rentre » dans le numérateur. C'est la division euclidienne !

7 ÷ 3 → le quotient est 2 (car 3 × 2 = 6 et 6 < 7). L'entier du bas est donc 2 et celui du haut est 3.

a) 7 = 2 × 3 + 1 (reste 1 < 3 ✓)

2<73<3

b) 11 = 2 × 4 + 3 (reste 3 < 4 ✓)

2<114<3

c) 9 = 4 × 2 + 1 (reste 1 < 2 ✓)

4<92<5

d) 13 = 2 × 5 + 3 (reste 3 < 5 ✓)

2<135<3

🔑 On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Le quotient est l'entier du bas.

Exercice 2 / 6

Encadrer · Plus grands nombres

✓ Vu

Encadre chaque fraction entre deux nombres entiers consécutifs. Écris la division euclidienne.

a. . . < 236 < . . .

b. . . < 378 < . . .

c. . . < 507 < . . .

d. . . < 419 < . . .

💡 Indices

Tu cherches le plus grand nombre entier q tel que q × dénominateur ≤ numérateur. Essaie plusieurs valeurs de q jusqu'à trouver la bonne !

a) 23 = 3 × 6 + 5 (reste 5 < 6 ✓)

3<236<4

b) 37 = 4 × 8 + 5 (reste 5 < 8 ✓)

4<378<5

c) 50 = 7 × 7 + 1 (reste 1 < 7 ✓)

7<507<8

d) 41 = 4 × 9 + 5 (reste 5 < 9 ✓)

4<419<5

🔑 Pour les grands nombres, écris toujours numérateur = quotient × dénominateur + reste et vérifie que le reste < dénominateur.

📍

Partie 2 – Vérifier avec la droite graduée

Exercice 3 / 6

Encadrer puis placer

✓ Vu

a) Encadre 175 entre deux entiers consécutifs.
b) Sur ton cahier, trace une demi-droite graduée en cinquièmes. Conseil : prends 1 carreau par graduation (soit 5 carreaux entre chaque entier). Trace de 0 à 4.
Place ensuite 175 sur ta droite et vérifie ton encadrement.

💡 Indices

Commence par la division euclidienne de 17 par 5. Le quotient te donnera l'entier du bas.

a) 17 = 3 × 5 + 2 (2 < 5 ✓)

3<175<4

b) Sur la droite, on compte 17 graduations depuis 0 :

Le point 175 est bien entre 3 et 4 sur la droite. ✓

Exercice 4 / 6

Encadrer puis décomposer

✓ Vu

Pour chaque fraction, encadre à l'unité puis décompose sous la forme : entier + fraction inférieure à 1.

a194 = . . . + . . .

b296 = . . . + . . .

c4710 = . . . + . . .

💡 Indices

Commence par faire la division euclidienne. Les deux nombres que tu obtiens (quotient et reste) vont te servir directement pour la décomposition.

a) 19 = 4 × 4 + 3

194 = 4 × 4 + 34 = 4 + 34

4<194<5

b) 29 = 4 × 6 + 5

296 = 4 + 56

4<296<5

c) 47 = 4 × 10 + 7

4710 = 4 + 710

4<4710<5

🔑 La décomposition utilise directement la division euclidienne : ab = quotient + resteb

🧩

Partie 3 – Problèmes

Exercice 5 / 6

Problème · Partage de ficelle

✓ Vu

Chloé a une ficelle de 1 mètre. Elle la coupe en 7 morceaux égaux et en prend 25.

a) Écris sous forme de fraction la longueur totale prise par Chloé.
b) Encadre cette fraction entre deux entiers.
c) Chloé a-t-elle pris plus ou moins de 3 mètres de ficelle ? Justifie.

💡 Indices

Chaque morceau représente une part de 1 mètre. Le dénominateur, c'est le nombre total de parts dans 1 mètre. Le numérateur, c'est le nombre de morceaux que Chloé prend.

a) Chloé prend 25 morceaux de 17 m → longueur totale = 257 m.

b) Division euclidienne : 25 = 3 × 7 + 4 (4 < 7 ✓)

3<257<4

Chloé a pris plus de 3 mètres de ficelle (mais moins de 4 m), car 257 = 3 + 47.

Exercice 6 / 6

Problème · Vrai ou Faux

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dis si c'est VRAI ou FAUX et justifie à l'aide d'un encadrement.

a« 154 est compris entre 3 et 4. » . . . . . . . . .

b« 206 est compris entre 2 et 3. » . . . . . . . . .

c« 315 est compris entre 5 et 6. » . . . . . . . . .

d« 10011 est compris entre 9 et 10. » . . . . . . . . .

e« 438 est compris entre 2 et 10. » . . . . . . . . .

f« 597 est compris entre 5 et 15. » . . . . . . . . .

💡 Indices

Un encadrement peut être vrai mais inutile si les deux entiers ne sont pas consécutifs. Dire qu'une fraction est entre 2 et 10, c'est vrai mais ça ne sert à rien ! Trouve toujours l'encadrement à l'unité.

a) 15 = 3 × 4 + 3 (reste 3 < 4 ✓) → 3 < 154 < 4

VRAI ✓ — L'encadrement est correct et à l'unité.

b) 20 = 3 × 6 + 2 (reste 2 < 6 ✓) → 3 < 206 < 4

FAUX — 206 est entre 3 et 4, pas entre 2 et 3.

c) 31 = 6 × 5 + 1 (reste 1 < 5 ✓) → 6 < 315 < 7

FAUX — 315 est entre 6 et 7, pas entre 5 et 6.

d) 100 = 9 × 11 + 1 (reste 1 < 11 ✓) → 9 < 10011 < 10

VRAI ✓ — L'encadrement est correct et à l'unité.

e) 43 = 5 × 8 + 3 (reste 3 < 8 ✓) → 5 < 438 < 6

VRAI ✓ — 438 est bien entre 2 et 10. Mais cet encadrement n'est pas à l'unité car 2 et 10 ne sont pas consécutifs. On peut être beaucoup plus précis : 5 < 438 < 6.

f) 59 = 8 × 7 + 3 (reste 3 < 7 ✓) → 8 < 597 < 9

VRAI ✓ — 597 est bien entre 5 et 15. Mais on peut faire beaucoup mieux : 8 < 597 < 9. L'encadrement à l'unité est toujours le plus utile.

🔑 Un bon encadrement utilise toujours deux entiers consécutifs (qui se suivent). Sinon, c'est comme dire « j'ai entre 0 et 100 ans » : c'est vrai, mais ça ne donne aucune information utile !