Chapitre 3 — 6ème

Fraction nombre

Repérage sur une demi-droite graduée · Encadrer des fractions · Égalité de fractions

I — Repérage sur une demi-droite graduée
1. Le lien avec ce qu'on sait déjà
🔗 Rappel — On fait le lien !

Au chapitre 1, on a appris qu'une fraction, c'est partager une unité en parts égales et en prendre un certain nombre.

Par exemple, 35 de l'unité, c'était :

→ 3 parts prises sur 5

Maintenant, on va faire exactement la même chose, mais au lieu de colorier des rectangles, on va placer les fractions sur une droite graduée.

L'idée est simple : on déplie la barre sur une droite !

⬇

La barre que tu connais :

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
⬇

La même chose, sur une droite graduée :

0 1 3/5 1/5 1/5 1/5
Le lien : Chaque case de la barre correspond à un segment sur la droite. Compter les cases coloriées revient à se déplacer sur la droite à partir de zéro.
2. Méthode
📘 Méthode

Pour placer la fraction ab sur une demi-droite graduée :

  1. On partage l'unité (le segment entre 0 et 1) en b segments de même longueur.
  2. On reporte a fois cette longueur à partir de zéro.
3. Exemple détaillé
🔍 Exemple

On veut placer la fraction 85 sur la demi-droite graduée.

Étape 1 : Le dénominateur est 5 → on partage chaque unité en 5 parts égales.

Étape 2 : Le numérateur est 8 → on compte 8 petits segments à partir de 0.

0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 8/5
Conclusion : Le point d'abscisse 85 se trouve entre 1 et 2, car 85 = 1 + 35.
🔋 Critères de réussite
  • J'ai identifié correctement le bon partage (grâce au dénominateur).
  • J'ai trouvé l'abscisse où placer le point (croix visible + nom).
  • J'ai utilisé une notation correcte ou fait une phrase réponse sans faute d'orthographe au mot abscisse.
4. Exercices — Je m'entraîne
✏️ Exercice 1 — Lire des fractions sur une droite graduée

La demi-droite ci-dessous est graduée en quarts (l'unité est partagée en 4). Donne l'abscisse de chaque point.

0 1 2 3 4 A B C D E
AAbscisse du point A ?. . . . .14
BAbscisse du point B ?. . . . .44 = 1
CAbscisse du point C ?. . . . .64
DAbscisse du point D ?. . . . .94
EAbscisse du point E ?. . . . .144
✏️ Exercice 2 — Placer des fractions

La demi-droite est graduée en quarts. Place les points suivants :

A(24)  ;  B(44)  ;  C(74)  ;  D(94)  ;  E(114)
0 1 2 3 4 A B C D E

A est à 24 (2 graduations depuis 0), B à 44 = 1, C à 74 (7 graduations), D à 94 et E à 114.

II — Encadrer des fractions
1. Définition
📘 Définition

Encadrer à l'unité une fraction, c'est trouver :

  • le plus grand nombre entier qui est inférieur à la fraction,
  • le plus petit nombre entier qui est supérieur à la fraction.
2. Méthode
📗 Méthode

Pour encadrer la fraction ab à l'unité, on effectue la division euclidienne de a par b.

Si a = b × q + r, alors :

q < ab < q + 1
3. Exemple détaillé
🔍 Exemple

Encadrons la fraction 236 à l'unité.

Étape 1J'effectue la division euclidienne : 23 = 3 × 6 + 5   (avec 5 < 6)
Étape 2Je remplace : 236 = 3 × 6 + 56
Étape 3Je décompose : 236 = 3 + 56
Étape 4J'encadre : comme 56 est entre 0 et 1, alors 3 < 3 + 56 < 4
Conclusion : 3 < 236 < 4

On peut vérifier sur une droite graduée en sixièmes :

0 1 2 3 4 5 23/6
🔋 Critères de réussite
  • J'ai fait apparaître ma démarche (la division euclidienne).
  • Mes calculs sont corrects.
  • J'ai écrit correctement l'encadrement final.
4. Exercices — Je m'entraîne
✏️ Exercice 3 — Encadrer des fractions à l'unité

Encadre chaque fraction par deux nombres entiers consécutifs.

III — Égalité de fractions
1. Observer avec les barres
🔍 Observation

Comparons 34 et 68 en coloriant des barres :

34 →
68 →

Les deux barres ont la même longueur totale (c'est la même unité). La partie coloriée est exactement la même dans les deux cas !

Conclusion : 34 = 68     Ces deux fractions représentent la même quantité.
2. Comment passer de l'une à l'autre ?
🔍 Exemple 1 — Multiplier

Comment passe-t-on de 34 à 68 ?

34  =  3 × 24 × 2  =  68

On a multiplié le numérateur et le dénominateur par 2.

🔍 Exemple 2 — Diviser (simplifier)

Comment passe-t-on de 812 à 23 ?

812  =  8 ÷ 412 ÷ 4  =  23

On a divisé le numérateur et le dénominateur par 4.

3. Propriété
📗 Propriété

Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction égale.

ab  =  a × kb × k ab  =  a ÷ kb ÷ k

avec b ≠ 0 et k ≠ 0

⚠️ Attention

Il faut toujours faire la même opération en haut et en bas. Si tu multiplies le numérateur par 3, tu dois aussi multiplier le dénominateur par 3.

🔋 Critères de réussite
  • J'ai fait apparaître ma démarche (le calcul).
  • Mes calculs sont corrects.
  • J'ai écrit correctement l'égalité finale.
4. Exercices — Je m'entraîne
✏️ Exercice 4 — Compléter des égalités

Complète chaque égalité en trouvant le nombre manquant.

a 25 = ?15 . . . . .615  (× 3)
b 37 = 9? . . . . .921  (× 3)
c 1218 = ?3 . . . . .23  (÷ 6)
d 46 = ?? (simplifie) . . . . .23  (÷ 2)
e 58 = ?24 . . . . .1524  (× 3)
Récapitulatif
📋 Ce qu'il faut retenir
📍 Repérer une fraction Pour placer ab : on partage l'unité en b parts, on reporte a fois.
📐 Encadrer On fait la division euclidienne de a par b pour trouver entre quels entiers se situe la fraction.
⚖️ Fractions égales On peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul.
⚠️ Erreurs fréquentes
  • Confondre numérateur et dénominateur quand on place sur la droite : c'est le dénominateur qui donne le partage, le numérateur qui dit combien de fois on avance.
  • Oublier de faire la même opération en haut et en bas : si on multiplie le numérateur par 3, on doit aussi multiplier le dénominateur par 3.
  • Se tromper dans la division euclidienne : bien vérifier que le reste est inférieur au dénominateur.
  • Écrire « abcisse » au lieu de « abscisse » (avec un s après le b).
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