⭕ Distance, cercle et disque

Vocabulaire · Propriétés · Constructions

6ème 7 exercices Cercle · Disque · Rayon · Diamètre

📖 Rappels

⭕ Le cercle
Ensemble des points situés à la même distance d'un point O. Cette distance s'appelle le rayon.

📏 Rayon et diamètre
Le diamètre passe par le centre et relie deux points du cercle.
Diamètre = 2 × rayon

🔵 Le disque
C'est le cercle + tout l'intérieur : ensemble des points dont la distance au centre est ≤ au rayon.

📐 Propriétés
Si M et N sont sur le même cercle de centre O → OM = ON.
Si OM = ON → M et N sont sur un même cercle de centre O.

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Partie 1 – Vocabulaire et propriétés

Exercice 1 / 7

Vocabulaire du cercle

✓ Vu

On considère un cercle de centre O et de rayon 4 cm. Les points A, B, C, D et E sont sur le cercle. Le segment [BD] passe par O.

aQuelle est la longueur OA ? Justifie.

bQue représente le segment [OC] pour ce cercle ?

cQue représente le segment [BD] pour ce cercle ? Quelle est sa longueur ?

dLe segment [AE] est une corde du cercle. Peut-il mesurer 10 cm ? Justifie.

💡 Indices

A est un point du cercle. Par définition, que peut-on dire de la distance entre un point du cercle et le centre ?

Compare la longueur de la corde [AE] avec celle du diamètre. Que sait-on sur la longueur maximale d'une corde ?

a) A appartient au cercle de centre O et de rayon 4 cm.

Par définition du cercle, tous les points du cercle sont à la même distance du centre, donc OA = 4 cm.

b) [OC] relie le centre O à un point du cercle C.

[OC] est un rayon du cercle.

c) [BD] passe par le centre O et relie deux points du cercle.

[BD] est un diamètre du cercle.
Diamètre = 2 × rayon = 2 × 4 = 8 cm.

d) [AE] est une corde du cercle. Le diamètre mesure 8 cm.

Le diamètre est la plus grande corde possible. Aucune corde ne peut dépasser 8 cm.

Non, [AE] ne peut pas mesurer 10 cm car c'est plus grand que le diamètre (8 cm).

🔑 La longueur du diamètre est supérieure ou égale à la longueur de toutes les cordes du cercle.

Exercice 2 / 7

Rayon ↔ Diamètre

✓ Vu

Complète le tableau :

Rayon	Diamètre
3,5 cm	. . . . . . .
. . . . . . .	12 cm
0,8 m	. . . . . . .
. . . . . . .	15 mm
25 cm	. . . . . . .

💡 Indices

Quelle opération permet de passer du rayon au diamètre ? Et dans l'autre sens ?

Rayon	Diamètre	Calcul
3,5 cm	7 cm	3,5 × 2
6 cm	12 cm	12 ÷ 2
0,8 m	1,6 m	0,8 × 2
7,5 mm	15 mm	15 ÷ 2
25 cm	50 cm	25 × 2

🔑 Diamètre = 2 × rayon et Rayon = diamètre ÷ 2

Exercice 3 / 7

Cercle ou disque ?

✓ Vu

Pour chaque objet du quotidien, dis s'il représente plutôt un cercle ou un disque.

aUne crêpe

bUn bracelet

cUn CD

dLe contour d'une horloge

eUne pièce de monnaie

fUn anneau de rideau

💡 Indices

Pose-toi la question : est-ce que l'objet a seulement un contour (on voit au travers), ou est-ce qu'il est plein (on ne voit pas au travers) ?

aUne crêpe → Disque (c'est plein, on ne voit pas au travers)

bUn bracelet → Cercle (c'est un anneau, seulement le contour)

cUn CD → Disque (la surface est pleine)

dLe contour d'une horloge → Cercle (c'est seulement le bord)

eUne pièce de monnaie → Disque (c'est plein et rond)

fUn anneau de rideau → Cercle (c'est un anneau creux)

🔑 Le cercle = seulement le contour (comme un anneau).
Le disque = le contour + l'intérieur (comme une galette).

📐

Partie 2 – Utiliser les propriétés

Exercice 4 / 7

Appartenir au cercle ou au disque

✓ Vu

On considère un cercle de centre O et de rayon 5 cm.
Pour chaque point, dis s'il est sur le cercle, à l'intérieur du disque (mais pas sur le cercle), ou à l'extérieur.

aLe point A tel que OA = 5 cm

bLe point B tel que OB = 3 cm

cLe point C tel que OC = 7 cm

dLe point D tel que OD = 5 cm

eLe centre O lui-même

💡 Indices

Compare la distance du point au centre avec le rayon. Il y a trois cas possibles selon que cette distance est égale, inférieure, ou supérieure au rayon.

Le rayon vaut 5 cm. On compare chaque distance au rayon :

aOA = 5 cm = rayon → A est sur le cercle

bOB = 3 cm < 5 cm → B est à l'intérieur du disque

cOC = 7 cm > 5 cm → C est à l'extérieur

dOD = 5 cm = rayon → D est sur le cercle

eOO = 0 cm < 5 cm → O est à l'intérieur du disque

🔑 Distance = rayon → sur le cercle
Distance < rayon → dans le disque
Distance > rayon → à l'extérieur

Exercice 5 / 7

Utiliser une propriété · Justifier

✓ Vu

Les points M et N appartiennent au cercle de centre O et de rayon 6 cm.

a) Que peut-on dire des distances OM et ON ? Justifie en citant une propriété.
b) Le point P est tel que OP = 6 cm. Que peut-on dire de P ? Justifie.

💡 Indices

Que dit la propriété 1 de la leçon sur des points qui appartiennent à un même cercle ?

Tu connais la distance OP et le rayon du cercle. Que dit la propriété 2 quand un point est à la même distance du centre que le rayon ?

Données : M et N appartiennent au cercle de centre O et de rayon 6 cm.

Propriété : Tous les points d'un cercle sont à la même distance du centre.

Conclusion : OM = ON = 6 cm.

Données : OP = 6 cm et le rayon du cercle vaut 6 cm, donc OP = rayon.

Propriété : Si un point est à la même distance du centre que le rayon, alors il appartient au cercle.

Conclusion : P appartient au cercle de centre O et de rayon 6 cm.

🔑 Pour justifier, écris toujours : ① les données, ② la propriété utilisée, ③ la conclusion.

Exercice 6 / 7

Problème · Points équidistants

✓ Vu

On place un poteau au point O dans un jardin. On veut installer une clôture circulaire à 3 mètres du poteau.

a) Quel instrument utilise-t-on pour tracer cette clôture sur un plan ? Avec quel réglage ?
b) Le point A de la clôture est-il à la même distance du poteau que le point B de la clôture ? Justifie.
c) Un arbre se trouve au point C, à 2 m du poteau. Est-il à l'intérieur ou à l'extérieur de la clôture ?

💡 Indices

Quel instrument de géométrie permet de tracer une forme dont tous les points sont à la même distance d'un point central ?

La clôture est un cercle de rayon 3 m. L'arbre est à 2 m du centre. Compare cette distance avec le rayon.

On utilise un compas, avec un écartement de 3 cm (à l'échelle du plan) et la pointe sèche sur O.

b) A et B sont sur la clôture, qui est un cercle de centre O et de rayon 3 m.

Propriété : Tous les points d'un cercle sont à la même distance du centre.
Conclusion : Oui, OA = OB = 3 m.

c) L'arbre C est à 2 m du poteau O. Le rayon de la clôture est 3 m.

OC = 2 m < 3 m (rayon)
Donc C est plus proche du centre que les points de la clôture.

L'arbre est à l'intérieur de la clôture (dans le disque).

Exercice 7 / 7

Problème · Construction

✓ Vu

Lina veut dessiner une cible de tir à l'arc composée de 3 cercles de même centre O, avec les rayons suivants : 2 cm, 4 cm et 6 cm.

a) Quel est le diamètre du plus grand cercle ?
b) Le point A est à 3 cm de O. Dans quelle zone de la cible se trouve-t-il ?
c) Le point B est à 5 cm de O. Sur quel cercle ou entre quels cercles se trouve-t-il ?

💡 Indices

Place la distance du point par rapport aux 3 rayons. Le point est-il entre deux cercles ? Sur un cercle ? À l'intérieur du plus petit ?

Diamètre du plus grand cercle = 2 × 6 = 12 cm.

b) OA = 3 cm. On compare avec les rayons :

2 cm < 3 cm < 4 cm
Le point A est entre le 1er cercle (rayon 2 cm) et le 2ème cercle (rayon 4 cm).

A est dans la 2ème zone de la cible (entre les cercles de 2 cm et 4 cm).

c) OB = 5 cm. On compare :

4 cm < 5 cm < 6 cm
Le point B est entre le 2ème cercle (rayon 4 cm) et le 3ème cercle (rayon 6 cm).

B est dans la 3ème zone de la cible (la zone extérieure).

🔑 Pour situer un point par rapport à plusieurs cercles concentriques, compare sa distance au centre avec chaque rayon.