Chapitre 5 — 6ème

🏆 Bilan — Les nombres décimaux

Problèmes de synthèse · Toutes les notions du chapitre

6ème 6 problèmes Feuille bilan

🎯 Ce que tu dois savoir faire pour ce bilan

Connaître dixième, centième, millième et leurs équivalences

Identifier partie entière et partie décimale

Lire et placer un nombre dans le tableau de numération

Donner la valeur d'un chiffre selon sa position

Passer d'une fraction décimale à l'écriture décimale

Décomposer un nombre décimal chiffre par chiffre

Repérer et supprimer les zéros inutiles

Résoudre un petit problème en utilisant les nombres décimaux

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🔵🟢🟣

Partie 1 – Maîtriser les notions de base

Problème 1 / 6

🌡️ La météo Dixièmes · Centièmes · Fractions

✓ Vu

🌡️ Le bulletin météo annonce les températures suivantes pour une semaine de février : 3,4°C · 0,9°C · 12,05°C · 0,07°C · 8,6°C

aÉcris chacune de ces températures sous forme de fraction décimale.
3,4 = . . . . 0,9 = . . . . 12,05 = . . . . 0,07 = . . . . 8,6 = . . . .

bDans 12,05°C, indique la partie entière et la partie décimale.
Partie entière : . . . . . . . . Partie décimale : . . . . . . . .

cLa température 0,07°C est-elle supérieure ou inférieure à 0,1°C ? Justifie en comparant les fractions décimales.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

💡 Indices

Compte les chiffres après la virgule : 1 chiffre → dénominateur 10, 2 chiffres → 100. Le numérateur, c'est tous les chiffres sans la virgule.

0,07 = 7100 et 0,1 = 110 = 10100. Compare maintenant les deux fractions : elles ont le même dénominateur !

Question a)

3,4 = 3410 · 0,9 = 910 · 12,05 = 1205100 · 0,07 = 7100 · 8,6 = 8610

Question b)

12,05 : partie entière = 12 · partie décimale = 0,05

Question c)

0,07 = 7100 et 0,1 = 110 = 10100

Or 7100 < 10100 donc 0,07°C < 0,1°C : la température 0,07°C est inférieure à 0,1°C.

🔑 Pour comparer deux nombres décimaux, on peut les mettre sur le même dénominateur et comparer les numérateurs.

Problème 2 / 6

📏 Mesures de longueur Tableau de numération · Valeur d'un chiffre

✓ Vu

📏 En sciences, Emma mesure trois objets avec une règle graduée en millimètres :
une gomme : 35,4 mm · un crayon : 128,07 mm · une efface : 6,005 mm

aPlace les trois mesures dans le tableau de numération.

	🔵 Partie entière			,	🟢 Partie décimale
	Centaines	Dizaines	Unités		Dixièmes	Centièmes	Millièmes
35,4				,
128,07				,
6,005				,

bDans 128,07 mm, quelle est la valeur du chiffre 1 ? Du chiffre 7 ?
Chiffre 1 : . . . . . . . . . . . . . . . Chiffre 7 : . . . . . . . . . . . . . . .

cDans 6,005 mm, les deux zéros après la virgule sont-ils utiles ? Pourquoi ?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

💡 Indices

Place 128,07 dans le tableau : 1 centaine, 2 dizaines, 8 unités, 0 dixième, 7 centièmes. La valeur d'un chiffre = chiffre × valeur de sa position.

Question a)

	🔵 Partie entière			,	🟢 Partie décimale
	C	D	U		Dix.	Cent.	Mill.
35,4	—	3	5	,	4	—	—
128,07	1	2	8	,	0	7	—
6,005	—	—	6	,	0	0	5

Question b)

Dans 128,07 : le chiffre 1 est en centaines → valeur = 1 × 100 = 100
Le chiffre 7 est en centièmes → valeur = 7 × 0,01 = 0,07

Question c)

Dans 6,005, les deux zéros après la virgule sont utiles : ils maintiennent le 5 en position millièmes. Sans eux, on lirait 6,5 ou 6,05 ≠ 6,005.

💰🏃

Partie 2 – Appliquer dans des situations concrètes

Problème 3 / 6

💰 La caisse du marché Zéros · Écriture décimale · Décomposition

✓ Vu

🥕 Un marchand note les prix de ses légumes sur un tableau. Malheureusement, il a commis plusieurs erreurs d'écriture. Voici les prix tels qu'il les a écrits :

Carottes : 01,50 € · Pommes de terre : 2,300 € · Courgettes : 003,09 € · Tomates : 4,070 €

aRéécris chaque prix en supprimant les zéros inutiles.
Carottes : . . . . . Pommes de terre : . . . . . Courgettes : . . . . . Tomates : . . . . .

bLe marchand a écrit le prix des haricots verts comme ceci : 05,08 €.
Dans ce nombre, identifie chaque zéro : utile ou inutile ? Justifie.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cDécompose le prix des courgettes (après correction) chiffre par chiffre.
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💡 Indices

On supprime les zéros en tête de la partie entière (ex : 01 → 1) et en queue de la partie décimale (ex : 1,50 → 1,5). On ne touche jamais aux zéros situés entre deux chiffres significatifs.

Question a)

Carottes : 01,50 → 1,5 €
Pommes de terre : 2,300 → 2,3 €
Courgettes : 003,09 → 3,09 € (le 0 entre la virgule et le 9 est utile !)
Tomates : 4,070 → 4,07 € (le 0 entre la virgule et 7 est utile !)

Question b)

Dans 05,08 € :
• Le 0 devant le 5 → inutile : 05,08 = 5,08
• Le 0 entre la virgule et le 8 → utile : sans lui on lirait 5,8 ≠ 5,08

Question c)

Courgettes = 3,09 € :

3,09 = (3 × 1) + (0 × 0,1) + (9 × 0,01)

On peut aussi écrire simplement : (3 × 1) + (9 × 0,01)

Problème 4 / 6

🏃 Athlétisme Lire · Comparer · Position

✓ Vu

🏃 Lors d'une compétition de course à pied, le chronomètre affiche les temps de quatre élèves en secondes :

Lucas : 12,304 s · Inès : 12,034 s · Tom : 12,340 s · Léa : 12,043 s

aPlace les quatre temps dans le tableau de numération.

	Partie entière		,	Partie décimale
	Dizaines	Unités		Dixièmes	Centièmes	Millièmes
Lucas			,
Inès			,
Tom			,
Léa			,

bDans le temps de Lucas (12,304 s), quelle est la valeur du chiffre 3 ? Du chiffre 4 ?
Chiffre 3 : . . . . . . . . . . . . Chiffre 4 : . . . . . . . . . . . .

cLucas et Tom ont tous deux le chiffre 3 et le chiffre 4 dans leur temps, mais pas au même endroit. Explique ce que ça change.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

💡 Indices

Lucas = 12,304 : 3 en dixièmes, 4 en millièmes. Tom = 12,340 : 3 en dixièmes, 4 en centièmes. Le 4 n'est pas à la même position → ce n'est pas la même valeur !

Question a)

	Partie entière		,	Partie décimale
	Diz.	Unit.		Dix.	Cent.	Mill.
Lucas 12,304	1	2	,	3	0	4
Inès 12,034	1	2	,	0	3	4
Tom 12,340	1	2	,	3	4	0
Léa 12,043	1	2	,	0	4	3

⚠️ Pour Tom : le 0 en millièmes (vert) est inutile. Pour Lucas et Inès/Léa : les 0 (rouge) sont utiles.

Question b)

Dans 12,304 : chiffre 3 en dixièmes → valeur = 3 × 0,1 = 0,3 s
Chiffre 4 en millièmes → valeur = 4 × 0,001 = 0,004 s

Question c)

Lucas = 12,304 : le 4 est en millièmes → vaut 0,004 s

Tom = 12,340 : le 4 est en centièmes → vaut 0,04 s

Le 4 de Tom vaut 10 fois plus que le 4 de Lucas. Même chiffre, position différente → valeur différente ! Tom est donc plus lent que Lucas de 0,036 s.

🔑 La position d'un chiffre détermine entièrement sa valeur. Deux nombres peuvent avoir les mêmes chiffres dans un ordre différent et représenter des quantités très différentes.

🧩⭐

Partie 3 – Problèmes de synthèse

Problème 5 / 6

📚 Le bibliothécaire Toutes les notions

✓ Vu

📚 Un bibliothécaire classe des livres selon leur épaisseur en centimètres. Il relève les mesures suivantes :

Roman policier : 2,4 cm · Dictionnaire : 08,05 cm · Bande dessinée : 0,800 cm · Atlas : 4,007 cm

aDeux de ces mesures sont mal écrites (zéros inutiles). Lesquelles ? Réécris-les correctement.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

bLe bibliothécaire affirme : « L'atlas est plus épais que le dictionnaire car 4 > 8 n'est pas vrai, mais 4,007 > 8,05 non plus. » Il est perdu ! Aide-le en comparant correctement les deux épaisseurs et en expliquant ta méthode.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cL'épaisseur de l'atlas est 4,007 cm. Décompose ce nombre et donne la valeur de chacun des chiffres 4, 0, 0 et 7.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

💡 Indices

On commence par comparer les parties entières. Si elles sont différentes, c'est suffisant pour conclure. Inutile d'aller chercher dans les décimales !

Question a)

Les mesures mal écrites sont :
• Dictionnaire : 08,05 → 8,05 cm (zéro devant inutile)
• Bande dessinée : 0,800 → 0,8 cm (deux zéros finaux inutiles)
Les deux autres sont correctement écrites : 2,4 et 4,007 (les zéros sont utiles).

Question b)

Partie entière de l'atlas = 4 · Partie entière du dictionnaire = 8

Or 4 < 8, donc 4,007 < 8,05 : le dictionnaire est plus épais que l'atlas.
Méthode : on compare d'abord les parties entières. Quand elles sont différentes, la comparaison est terminée — pas besoin de regarder les décimales.

Question c)

4,007 = (4 × 1) + (0 × 0,1) + (0 × 0,01) + (7 × 0,001)

Valeurs : chiffre 4 → 4 × 1 = 4 (unités) · 1er 0 → 0 × 0,1 = 0 (dixièmes, utile) · 2e 0 → 0 × 0,01 = 0 (centièmes, utile) · chiffre 7 → 7 × 0,001 = 0,007 (millièmes)

🔑 Pour comparer deux nombres décimaux : on compare d'abord les parties entières. Si elles diffèrent, la conclusion est immédiate. Si elles sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes.

Problème 6 / 6

⭐ Problème difficile 🔎 Le nombre mystère

✓ Vu

🔎 Un nombre décimal est décrit par les indices suivants. Trouve-le !

1Ma partie entière est le double de 4.

2Mon chiffre des dixièmes est le chiffre des unités de ma partie entière.

3Mon chiffre des centièmes vaut 1100 de l'unité.

4J'ai un chiffre aux millièmes. Il est tel que 3 × 0,001 + ce chiffre × 0,001 = 0,007.

5Je n'ai pas de chiffre en dizaines.

Le nombre mystère est : . . . . . . . . . . . .

Vérifie en le plaçant dans le tableau de numération et en l'écrivant sous forme de fraction décimale.

💡 Indices

Le double de 4, c'est 4 × 2 = 8. Donc la partie entière est 8. Le chiffre des unités est 8, et il n'y a pas de dizaines (indice 5).

On calcule d'abord 3 × 0,001 = 0,003. Il faut arriver à 0,007 en tout. Ce qu'il manque : 0,007 − 0,003 = 0,004. Quel chiffre × 0,001 donne 0,004 ? C'est 4 !

Résolution indice par indice

Indice 1 : partie entière = 2 × 4 = 8. Pas de dizaines (indice 5) → partie entière = 8 (unité seule).

Indice 2 : chiffre des dixièmes = chiffre des unités de la partie entière = 8.

Indice 3 : chiffre des centièmes vaut 1/100 → c'est le chiffre 1 (car 1 × 0,01 = 0,01).

Indice 4 : On sait que 3 × 0,001 = 0,003. Or on veut arriver à 0,007 en tout.
Il manque donc : 0,007 − 0,003 = 0,004.
Ce qui reste doit valoir 0,004, et c'est « ce chiffre × 0,001 ».
On cherche quel chiffre × 0,001 = 0,004 → c'est 4 (car 4 × 0,001 = 0,004).

Le nombre mystère est : 8,814

Vérification dans le tableau

P. entière	,	Partie décimale
Unités		Dixièmes	Centièmes	Millièmes
8	,	8	1	4

Sous forme de fraction décimale : 8,814 = 8 8141 000

🔑 Ce problème mobilise toutes les notions du chapitre : partie entière, valeur d'un chiffre, position, fraction décimale, tableau de numération.