Divisibilité 6ème : cours et exercices corrigés

I — Division euclidienne

1. Partager et répartir

🔍 Observation — Partager en groupes

Léa a 13 bonbons. Elle veut les ranger dans des sachets de 4.

On représente les 13 bonbons par une barre, puis on forme des groupes de 4 :

On obtient 3 groupes complets et il reste 1 bonbon. On peut écrire :

13 = 4 × 3 + 1total = taille d'un groupe × nombre de groupes + reste

2. Définition

📘 Définition

Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier (le dividende) par un nombre entier non nul (le diviseur), c'est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste, tels que :

dividende = diviseur × quotient + resteavec reste < diviseur

⚠️ Attention

Dans une division euclidienne, le quotient est toujours un nombre entier.
Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.
On ne peut pas diviser par zéro.

3. Vocabulaire

🔍 Exemple — 29 ÷ 6

On partage 29 en groupes de 6 :

29 = 6 × 4 + 5

29→ dividende (le nombre qu'on partage) 6→ diviseur (la taille de chaque groupe) 4→ quotient (le nombre de groupes complets) 5→ reste (ce qui reste, et on vérifie : 5 < 6 ✓)

4. Poser une division euclidienne

📐 Méthode

On cherche, chiffre par chiffre, combien de fois le diviseur « rentre » dans le nombre.
À chaque étape, on soustrait et on vérifie que le résultat intermédiaire est inférieur au diviseur.
On abaisse le chiffre suivant, puis on recommence.
Le dernier résultat est le reste.

✏️ Exemple 1 — Poser 941 ÷ 7

Effectuer la division euclidienne de 941 par 7.

📝 Division posée

941 = 7 × 134 + 3 (3 < 7 ✓)

Conclusion :Le quotient est 134 et le reste est 3.

✏️ Exemple 2 — Poser 22 ÷ 6

Effectuer la division euclidienne de 22 par 6.

📊 Schéma en barre

📝 Division posée

22 = 6 × 3 + 4 (4 < 6 ✓)

✏️ Exemple 3 — 20 ÷ 4 (partage exact)

Effectuer la division euclidienne de 20 par 4.

20 = 4 × 5 + 0

Remarque :Quand le reste vaut 0, on dit que le partage est exact.

✏️ Exemple 4 — Trouver l'erreur

Hugo écrit : 23 = 5 × 3 + 8. A-t-il raison ?

Non, Hugo a tort :

5 × 3 + 8 = 15 + 8 = 23 → le calcul tombe juste…
…mais le reste (8) est plus grand que le diviseur (5) : 8 > 5 ✗

La bonne écriture :

23 = 5 × 4 + 3 (3 < 5 ✓ et 5 × 4 + 3 = 23 ✓)

5. Exercices — Je m'entraîne

✏️ Exercice 1 — Vocabulaire

Pour chaque division, donne le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.

a	37 = 5 × 7 + 2	. . . . .Dividende = 37 ; Diviseur = 5 ; Quotient = 7 ; Reste = 2
b	50 = 8 × 6 + 2	. . . . .Dividende = 50 ; Diviseur = 8 ; Quotient = 6 ; Reste = 2
c	45 = 9 × 5 + 0	. . . . .Dividende = 45 ; Diviseur = 9 ; Quotient = 5 ; Reste = 0

✏️ Exercice 2 — Compléter des égalités

Effectue la division euclidienne et complète chaque égalité.

a	25 = 3 × _ + _	. . . . .25 = 3 × 8 + 1
b	47 = 9 × _ + _	. . . . .47 = 9 × 5 + 2
c	34 = 6 × _ + _	. . . . .34 = 6 × 5 + 4
d	40 = 8 × _ + _	. . . . .40 = 8 × 5 + 0 (exact)

✏️ Exercice 3 — Problème

Un fleuriste a 34 roses. Il compose des bouquets de 6 roses.

a) Combien de bouquets complets peut-il faire ? b) Combien de roses restera-t-il ?

34 = 6 × 5 + 4

Conclusion :a) Il peut faire 5 bouquets. b) Il restera 4 roses.

🔋 Critères de réussite

Je sais identifier le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.
Je sais poser une division euclidienne.
Je sais écrire l'égalité dividende = diviseur × quotient + reste.
Je vérifie que le reste est strictement inférieur au diviseur.

II — Diviseurs, multiples et critères de divisibilité

1. Définition

📘 Définition

Si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à zéro, on dit que :

a est divisible par b
b est un diviseur de a
a est un multiple de b

2. Diviseurs d'un nombre

📗 Propriété

Les diviseurs d'un nombre entier sont tous les nombres entiers qui le divisent exactement (reste = 0). Pour les trouver, on teste les divisions successives et on s'arrête quand on retombe sur un diviseur déjà trouvé.

🔍 Exemple — Diviseurs de 24

Trouver tous les diviseurs de 24.

24 ÷ 1= 24 ✓ → on note 1 et 24

24 ÷ 2= 12 ✓ → on note 2 et 12

24 ÷ 3= 8 ✓ → on note 3 et 8

24 ÷ 4= 6 ✓ → on note 4 et 6

24 ÷ 5= 4,8 ✗

24 ÷ 6= 4 → déjà trouvé, on s'arrête

Conclusion :Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

⚠️ Ne pas confondre !

5 est le diviseur dans la division de 63 par 5 (on divise par 5).
Mais 5 n'est pas un diviseur de 63 (car 63 = 5 × 12 + 3 ≠ 0).

3. Multiples d'un nombre

📗 Propriété

Les multiples d'un nombre entier b sont les résultats de la table de multiplication de b :

0 × b = 0 ; 1 × b = b ; 2 × b ; 3 × b ; …La liste des multiples est infinie et commence toujours par 0.

🔍 Exemple — Multiples de 7

Les premiers multiples de 7 sont :

0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63 ; 70 ; …

42 est un multiple de 7 car 42 = 7 × 6 (reste 0).
50 n'est pas un multiple de 7 car 50 = 7 × 7 + 1 (reste ≠ 0).

📗 Remarque

Ces trois phrases disent la même chose :

« a est un multiple de b »
« a est divisible par b »
« b est un diviseur de a »

4. Critères de divisibilité

📗 Propriétés

On peut savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10 sans effectuer la division.

Divisible par…	Critère
2	Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair).
5	Le chiffre des unités est 0 ou 5.
10	Le chiffre des unités est 0.
3	La somme des chiffres est un multiple de 3.
9	La somme des chiffres est un multiple de 9.

5. Exemples

🔍 Critères sur le chiffre des unités

13 542 : unité = 2 → divisible par 2 ✓
789 : unité = 9 (impair) → pas divisible par 2 ✗
42 245 : unité = 5 → divisible par 5 ✓
14 570 : unité = 0 → divisible par 2, par 5 et par 10 ✓

🔍 Critères sur la somme des chiffres

1 842 : 1+8+4+2 = 15. 15 = 3×5 → divisible par 3 ✓
36 017 : 3+6+0+1+7 = 17. 17 n'est pas un multiple de 3 → pas divisible par 3 ✗
27 468 : 2+7+4+6+8 = 27. 27 = 9×3 → divisible par 9 (et par 3) ✓
5 879 : 5+8+7+9 = 29. 29 ≠ multiple de 9 → pas divisible par 9 ✗

6. Exercices — Je m'entraîne

✏️ Exercice 4 — Multiples

Écris les 6 premiers multiples (à partir de 0) de chaque nombre.

a	Multiples de 8	. . . . .0 ; 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40
b	Multiples de 12	. . . . .0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60
c	Multiples de 15	. . . . .0 ; 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75

✏️ Exercice 5 — Critères de divisibilité

Pour chaque nombre, indique s'il est divisible par 2, 3, 5, 9 et 10.

a	9 634	. . .Par 2 : ✓. Par 3 : ✗ (9+6+3+4=22). Par 5 : ✗. Par 9 : ✗. Par 10 : ✗.
b	5 640	. . .Par 2 : ✓. Par 3 : ✓ (5+6+4+0=15). Par 5 : ✓. Par 9 : ✗. Par 10 : ✓.
c	97 965	. . .Par 2 : ✗. Par 3 : ✓ (9+7+9+6+5=36). Par 5 : ✓. Par 9 : ✓ (36=9×4). Par 10 : ✗.

✏️ Exercice 6 — Diviseurs de 36

Trouve tous les diviseurs de 36.

36 ÷ 1= 36 ✓ → 1 et 36

36 ÷ 2= 18 ✓ → 2 et 18

36 ÷ 3= 12 ✓ → 3 et 12

36 ÷ 4= 9 ✓ → 4 et 9

36 ÷ 5= 7,2 ✗

36 ÷ 6= 6 ✓ → 6 (= quotient, on s'arrête)

Conclusion :Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

🔋 Critères de réussite

Je sais lister les premiers multiples d'un nombre.
Je sais reconnaître si un nombre est un multiple ou un diviseur d'un autre.
Je connais les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
Je sais trouver tous les diviseurs d'un nombre.

Récapitulatif

📋 Ce qu'il faut retenir

📘	Division euclidienne	dividende = diviseur × quotient + reste, avec reste < diviseur.
🔢	Quotient / Reste	Le quotient est entier. Le reste est strictement inférieur au diviseur.
✅	Divisible	Reste = 0 → le dividende est divisible par le diviseur.
🔗	Multiple	a multiple de b ⟺ a divisible par b ⟺ b diviseur de a.
🔍	Critères	Par 2 → unité paire. Par 5 → unité 0 ou 5. Par 10 → unité 0. Par 3 / 9 → somme des chiffres.

⚠️ Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le reste : toujours s'assurer que reste < diviseur.
Confondre « le diviseur » et « un diviseur » : le diviseur = on divise par ; un diviseur = divise exactement.
Critère par 3 / 9 : c'est la somme des chiffres, pas le chiffre des unités seul.
Oublier que 0 est un multiple de tout nombre (0 = b × 0).