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## Exercice 1 / 5

Triangles semblables Calcul de longueurs
✓ Vu
1

Montrer que les triangles MER et LAC sont semblables.

2

Écrire les paires de côtés homologues.

3

Calculer les longueurs MR et AL.

💡 Indices

Deux triangles sont semblables s'ils ont deux angles égaux deux à deux. Combien de couleurs d'arcs vois-tu sur la figure ?
Les côtés homologues sont ceux qui se font face aux angles de même couleur. La couleur des arcs peut t'aider à trouver la correspondance entre les sommets.
Dans un tableau de proportionnalité, les rapports des côtés homologues sont tous égaux. Le produit en croix permet de trouver un côté inconnu.

Question 1 – Montrer que les triangles MER et LAC sont semblables

Dans les triangles MER et LAC :
• L'angle en M (vert) est égal à l'angle en C (vert)
• L'angle en E (rouge) est égal à l'angle en L (rouge)
• L'angle en R (bleu) est égal à l'angle en A (bleu)
Les triangles MER et LAC ont leurs trois angles égaux deux à deux.
Donc les triangles MER et LAC sont semblables.

Question 2 – Paires de côtés homologues

La correspondance des sommets est : M ↔ C ; E ↔ L ; R ↔ A
• [ME] et [CL] (côtés entre les angles vert et rouge)
• [MR] et [CA] (côtés entre les angles vert et bleu)
• [ER] et [LA] (côtés entre les angles rouge et bleu)

Question 3 – Calcul des longueurs MR et AL

Tableau de proportionnalité :

| ME / CL | MR / CA | ER / LA
--- | --- | --- | ---
Triangle MER | 3,5 cm | MR = ? | 6,5 cm
Triangle LAC | 1,4 cm | 1,6 cm | AL = ?

Calcul de MR (produit en croix) :

\(MR = 3{,}5 \times 1{,}6 \div 1{,}4 = \textbf{4 cm}\)

Calcul de AL (produit en croix) :

\(AL = 6{,}5 \times 1{,}4 \div 3{,}5 = \textbf{2{,}6 cm}\)

MR = 4 cm | AL = 2,6 cm

## Exercice 2 / 5

Triangles emboîtés Calcul de longueurs
✓ Vu
1

À quel angle du triangle DEF est égal l'angle \(\widehat{FGD}\) ?

2

Écrire les paires de côtés homologues.

3

Calculer les longueurs DE et EF.

💡 Indices

Repère les angles qui portent la même marque de couleur sur la figure. Deux angles de couleurs identiques sont égaux.
Les deux triangles partagent un sommet. Avec les angles que tu as déjà repérés, réfléchis à la condition nécessaire pour conclure à la similitude.
Pense à construire un tableau de proportionnalité avec les côtés homologues. Le côté DF apparaît dans les deux triangles : à quelle ligne le placeras-tu ?

Question 1 – Angle égal à \(\widehat{FGD}\)

Les angles marqués en bleu sont égaux : \(\widehat{FGD}\) et \(\widehat{FED}\) portent le même marquage.
Donc \(\widehat{FGD} = \widehat{FED}\).

Question 2 – Paires de côtés homologues

Les triangles DGF et DEF ont :
• \(\widehat{EDF} = \widehat{FGD}\) (verts)
• \(\widehat{FED} = \widehat{DFG}\) (bleus)
• \(\widehat{EFD} = \widehat{FDG}\) (rouges)
Correspondance : D ↔ G ; E ↔ F ; F ↔ D
• [EF] et [FD] ; [FD] et [DG] ; [ED] et [FG]

Question 3 – Calcul des longueurs DE et EF

Tableau de proportionnalité :

| EF / FD | FD / DG | ED / FG
--- | --- | --- | ---
Triangle DEF | EF = ? | DF = 3 cm | DE = ?
Triangle DGF | FD = 3 cm | DG = 5 cm | FG = 2,4 cm

Calcul de EF (produit en croix avec EF/FD = FD/DG) :

\(EF = 3 \times 3 \div 5 = \textbf{1{,}8 cm}\)

Calcul de DE (produit en croix avec DE/FG = FD/DG) :

\(DE = 2{,}4 \times 3 \div 5 = \textbf{1{,}44 cm}\)

EF = 1,8 cm | DE = 1,44 cm

## Exercice 3 / 5

Démonstration Angles
✓ Vu
1

Montrer que les triangles IJC et ABI sont semblables.

2

On a : \(\widehat{IJC} = 37°\) et \(\widehat{JCI} = 53°\). Déterminer \(\widehat{IBA}\).

💡 Indices

Pour montrer que deux triangles sont semblables, il existe plusieurs méthodes. L'une d'elles utilise les longueurs des côtés plutôt que les angles.
Pour trouver un angle, commence par identifier les angles homologues entre les deux triangles. Qu'est-ce que la similitude dit sur les angles correspondants ?

Question 1 – Montrer que les triangles IJC et ABI sont semblables

Données : CJ = 5, CI = 3, IJ = 4, IB = 6, AB = 10, AI = 8.
Correspondance à tester : I ↔ A, J ↔ B, C ↔ I.
Vérifions si les côtés homologues sont proportionnels :

Côtés homologues | IB / CI | AB / CJ | AI / IJ
--- | --- | --- | ---
Triangle ABI | IB = 6 | AB = 10 | AI = 8
Triangle CIJ | CI = 3 | CJ = 5 | IJ = 4
Quotient | \(6 \div 3 = 2\) | \(10 \div 5 = 2\) | \(8 \div 4 = 2\)

Les trois quotients sont tous égaux à 2 : les côtés homologues sont proportionnels.
Donc les triangles CIJ et ABI sont semblables.

Question 2 – Déterminer \(\widehat{IBA}\)

Étape 1 – Montrer que le triangle CIJ est rectangle.
On a : CI = 3, IJ = 4, CJ = 5. Le plus grand côté est CJ = 5.
On a : CI = 3 ; IJ = 4 ; CJ = 5
Le plus grand côté est CJ = 5.
Gauche
Grand côté²\(CJ^2 = 5^2 = \textcolor{#1a6fa0}{25}\)
Droite
Somme carrés\(CI^2 + IJ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = \textcolor{#1b7a40}{25}\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(CJ^2 = CI^2 + IJ^2\)
Donc : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CIJ est rectangle en I.
Étape 2 – Utiliser les côtés homologues pour trouver \(\widehat{IBA}\).
Les triangles ABI et CIJ sont semblables, avec la correspondance :
• AB est homologue à CJ
• BI est homologue à CI
• AI est homologue à IJ
Donc \(\widehat{IBA}\) est homologue à \(\widehat{JCI}\).
Donc \(\widehat{IBA} = \widehat{JCI} = 53°\).
\(\widehat{IBA} = 53°\)

## Exercice 4 / 5

Pythagore Triangles semblables
✓ Vu
Les triangles ABE et IHF de ces deux rampes sont semblables (rectangles en E et en H).
1

Calculer la hauteur AE.

2

En déduire les longueurs IH et IF.

💡 Indices

Le triangle ABE est rectangle. Tu connais deux de ses trois côtés. Quel théorème permet de trouver le troisième côté d'un triangle rectangle ?
Les triangles sont semblables. Pour construire le tableau, identifie d'abord quels côtés correspondent entre les deux triangles, puis place les longueurs connues et inconnues.

Question 1 – Calculer AE (Théorème de Pythagore)

On a : Le triangle ABE est rectangle en E
AB = 5,1 m ; BE = 4,5 m ; Hypoténuse : AB
Or : d'après le théorème de Pythagore
Pythagore\(AB^2 = AE^2 + BE^2\)
Substitue\(5{,}1^2 = AE^2 + 4{,}5^2\)
Calcule\(26{,}01 = AE^2 + 20{,}25\)
Isole\(AE^2 = 26{,}01 - 20{,}25 = 5{,}76\)
Racine\(AE = \sqrt{5{,}76} = \textcolor{#1a6fa0}{2{,}4 \text{ m}}\)
Donc : AE mesure 2,4 m.

Question 2 – Calculer IH et IF par similitude

Tableau de proportionnalité (ABE ↔ IHF, donc AE↔IH, BE↔HF, AB↔IF) :

| AE / IH | BE / HF | AB / IF
--- | --- | --- | ---
Triangle ABE | 2,4 m | 4,5 m | 5,1 m
Triangle IHF | IH = ? | 3 m | IF = ?

Calcul de IH (produit en croix) :

\(IH = 2{,}4 \times 3 \div 4{,}5 = \textbf{1{,}6 m}\)

Calcul de IF (produit en croix) :

\(IF = 5{,}1 \times 3 \div 4{,}5 = \textbf{3{,}4 m}\)

IH = 1,6 m | IF = 3,4 m

## Exercice 5 / 5

Démonstration Périmètre
✓ Vu
E est un point du segment [AC] et D un point du segment [AB].
1

Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

2

Démontrer que les triangles ABC et ADE sont semblables.

3

Calculer le périmètre du triangle ADE.

💡 Indices

Pour montrer qu'un triangle est rectangle, pense aux théorèmes qui relient les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
Pour montrer que deux triangles sont semblables, réfléchis aux angles que tu peux identifier dans chacun des deux triangles à partir de ce que tu sais déjà.
Pour le périmètre, il faut connaître les trois côtés du triangle ADE. Un seul côté est donné. Comment utiliser la similitude pour trouver les deux autres ?

Question 1 – Démontrer que le triangle ABC est rectangle

Données : AC = 6 cm, BC = 4,5 cm, AB = 7,5 cm. Le plus grand côté est AB = 7,5 cm.

On a : AC = 6 cm ; BC = 4,5 cm ; AB = 7,5 cm
Le plus grand côté est AB = 7,5 cm.
Gauche
Grand côté²\(AB^2 = 7{,}5^2 = \textcolor{#1a6fa0}{56{,}25}\)
Droite
Somme carrés\(AC^2 + BC^2 = 6^2 + 4{,}5^2 = 36 + 20{,}25 = \textcolor{#1b7a40}{56{,}25}\)
Or : Gauche \(=\) Droite, donc \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Donc : D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

Question 2 – Démontrer que les triangles ABC et ADE sont semblables

Dans les triangles ABC et ADE :
• L'angle en A est commun aux deux triangles (angle \(\widehat{BAC} = \widehat{DAE}\))
• D est le pied de la hauteur issue de E sur [AB], donc l'angle \(\widehat{ADE} = 90°\)
Or le triangle ABC est rectangle en C, donc \(\widehat{ACB} = 90°\)
Donc \(\widehat{ADE} = \widehat{ACB} = 90°\)
Les deux triangles ont deux angles égaux deux à deux.
Donc les triangles ABC et ADE sont semblables.

Question 3 – Périmètre du triangle ADE

Données : DE = 2,7 cm. Côtés homologues : AC ↔ AD ; BC ↔ DE ; AB ↔ AE.
Tableau de proportionnalité :

| AC / AD | BC / DE | AB / AE
--- | --- | --- | ---
Triangle ABC | 6 cm | 4,5 cm | 7,5 cm
Triangle ADE | AD = ? | 2,7 cm | AE = ?

Calcul de AD (produit en croix) :

\(AD = 6 \times 2{,}7 \div 4{,}5 = \textbf{3{,}6 cm}\)

Calcul de AE (produit en croix) :

\(AE = 7{,}5 \times 2{,}7 \div 4{,}5 = \textbf{4{,}5 cm}\)

Périmètre du triangle ADE :

\(P = AD + DE + AE = 3{,}6 + 2{,}7 + 4{,}5 = \textbf{10{,}8 cm}\)

Périmètre du triangle ADE = 10,8 cm

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