Chapitre

# Fonctions linéaires et fonctions affines

Vocabulaire indispensable

Avant de commencer, voici les deux mots-clés que l'on retrouvera dans toute la leçon. Pour une fonction affine \(f(x) = ax + b\) :

a Coefficient directeur

C'est le nombre qui multiplie \(x\). Il indique la pente de la droite : combien monte-t-on (ou descend-on) quand on avance d'une unité vers la droite.

b Ordonnée à l'origine

C'est le nombre ajouté à \(ax\). Il indique la valeur de \(f(0)\), c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

\(f(x) = \underbrace{a}_{\text{coeff. directeur}} \times x \;+\; \underbrace{b}_{\text{ord. à l'origine}}\)
I. Fonctions linéaires
1) Définition
📘 Définition

Une fonction linéaire \(f\) est une fonction qui, à un nombre \(x\), fait correspondre le nombre \(a \times x\) où \(a\) est un nombre fixé.

\(f : x \mapsto ax \quad\) ou \(\quad f(x) = ax\)

C'est une fonction affine avec \(b = 0\) : la droite passe toujours par l'origine.

✏️ Exemple

La fonction \(f(x) = 3x\) est linéaire, \(a = 3\). On a \(f(0) = 0\), \(f(1) = 3\), \(f(-2) = -6\).

📗 Propriété — Proportionnalité

La fonction linéaire \(f : x \mapsto ax\) représente une situation de proportionnalité de coefficient \(a\).

✏️ Exemple — Tableau de valeurs
Remplir le tableau de la fonction \(g(x) = 5x\) :

\(x\) | 0 |  | 3 |  | \(j\)
\(g(x)\) |  | 3 |  | −2 |

\(x = 0\)\(g(0) = 5 \times 0 = \mathbf{0}\)
\(x = 3\)\(g(3) = 5 \times 3 = \mathbf{15}\)
\(x = j\)\(g(j) = \mathbf{5j}\)

Pour \(g(x) = 3\), on résout \(5x = 3\) :

\(5\)\(x\;=\;3\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x\;=\;\dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
La solution est \(x = 0{,}6\)

Pour \(g(x) = -2\), on résout \(5x = -2\) :

\(5\)\(x\;=\;-2\)
\(\div 5\)
\(\div 5\)
\(x\;=\;\dfrac{-2}{5} = -0{,}4\)
La solution est \(x = -0{,}4\)

\(x\) | 0 | 0,6 | 3 | −0,4 | \(j\)
\(g(x)\) | 0 | 3 | 15 | −2 | \(5j\)

2) Représentation graphique
📗 Propriété

La représentation graphique d'une fonction linéaire \(f : x \mapsto ax\) est une droite passant par l'origine \(O(0\,;\,0)\).

📋 Méthode — Tracer la droite

- 1Placer l'ordonnée à l'origine — pour une fonction linéaire, c'est l'origine \(O(0\,;\,0)\)
- 2Avancer d'1 unité vers la droite en abscisse
- 3Monter de \(a\) unités si \(a > 0\), descendre de \(|a|\) unités si \(a < 0\)
- 4Relier les deux points par une droite

✏️ Exemple — \(g(x) = -2x\)

\(a = -2\), \(b = 0\). On part de \(O(0\,;\,0)\), on avance de 1, on descend de 2.

\(g(x) = -2x\) — a = −2, b = 0
● b = 0 → départ en O(0 ; 0) → +1 en abscisse ↓ a = −2 → descendre de 2
II. Fonctions affines
1) Définition
📘 Définition

Une fonction affine \(f\) est une fonction qui, à un nombre \(x\), fait correspondre \(a \times x + b\) où \(a\) et \(b\) sont deux nombres fixés.

\(f : x \mapsto ax + b \quad\) ou \(\quad f(x) = ax + b\)

- \(a\) est le coefficient directeur
- \(b\) est l'ordonnée à l'origine

✏️ Exemple

La fonction \(f(x) = 2x + 1\) est affine avec \(a = 2\) et \(b = 1\). On a \(f(0) = 1\), \(f(3) = 7\), \(f(-1) = -1\).

💡 Cas particuliers
Si \(b = 0\)

La fonction \(f(x) = ax\) est une fonction linéaire. La droite passe par l'origine.

Si \(a = 0\)

La fonction \(f(x) = b\) est une fonction constante. La droite est horizontale.

📗 Propriété

Une fonction affine modélise une situation où il y a proportionnalité entre les accroissements. Quand \(x\) augmente de 1, \(f(x)\) augmente de \(a\).

✏️ Exemple — Tableau de valeurs
Remplir le tableau de la fonction \(g(x) = 9x + 2\) :

\(x\) | 0 |  | 3 |
\(g(x)\) |  | 3 |  | −2

Pour \(g(x) = 3\), on résout \(9x + 2 = 3\) :

\(9x\;+\;\)\(2\)\(\;=\;3\)
\(-2\)
\(-2\)
\(9\)\(x\;=\;1\)
\(\div 9\)
\(\div 9\)
\(x\;=\;\dfrac{1}{9}\)
La solution est \(x = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}11\)
\(x = 0\)\(g(0) = 9 \times 0 + 2 = \mathbf{2}\)
\(x = 3\)\(g(3) = 9 \times 3 + 2 = 27 + 2 = \mathbf{29}\)

Pour \(g(x) = -2\), on résout \(9x + 2 = -2\) :

\(9x\;+\;\)\(2\)\(\;=\;-2\)
\(-2\)
\(-2\)
\(9\)\(x\;=\;-4\)
\(\div 9\)
\(\div 9\)
\(x\;=\;-\dfrac{4}{9} \approx -0{,}44\)
La solution est \(x = -\dfrac{4}{9} \approx -0{,}44\)

\(x\) | 0 | \(\frac{1}{9}\) | 3 | \(-\frac{4}{9}\)
\(g(x)\) | 2 | 3 | 29 | −2

2) Représentation graphique
📗 Propriété

La représentation graphique d'une fonction affine \(f : x \mapsto ax + b\) est une droite de coefficient directeur \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(b\).

📋 Méthode — Tracer la droite

- 1Placer l'ordonnée à l'origine \((0\,;\,b)\)
- 2Avancer d'1 unité vers la droite en abscisse
- 3Monter de \(a\) unités si \(a > 0\), descendre de \(|a|\) unités si \(a < 0\)
- 4Relier les deux points par une droite

✏️ Exemple
Représenter les fonctions \(g(x) = 2x + 1\) et \(h(x) = -2x + 3\).
\(g(x) = 2x + 1\) — \(a=2,\;b=1\)
● b = 1 → départ en (0 ; 1) → +1 en abscisse ↑ a = +2 → monter de 2
\(h(x) = -2x + 3\) — \(a=-2,\;b=3\)
● b = 3 → départ en (0 ; 3) → +1 en abscisse ↓ a = −2 → descendre de 2

\(g(x) = 2x + 1\)

Point 1\(g(0) = 1\) → \((0\,;\,1)\)
Point 2\(g(1) = 3\) → \((1\,;\,3)\)

\(h(x) = -2x + 3\)

Point 1\(h(0) = 3\) → \((0\,;\,3)\)
Point 2\(h(1) = 1\) → \((1\,;\,1)\)
💡 Remarques — Sens de variation
↗ Si \(a > 0\)
La droite est croissante.
↘ Si \(a < 0\)
La droite est décroissante.
→ Si \(a = 0\)
La droite est horizontale.
Exercice bilan
📝 Exercice

Pour chacune des fonctions suivantes, identifier \(a\) et \(b\), puis tracer la droite :

1. \(f(x) = 3x - 2\)
2. \(g(x) = -x + 4\)
3. \(h(x) = \dfrac{1}{2}x\)

1. \(f(x) = 3x - 2\)

Lecture\(a = 3\), \(b = -2\) → droite croissante
Point 1\(f(0) = -2\) → \((0\,;\,-2)\)
Point 2+1 en abscisse, +3 en ordonnée → \((1\,;\,1)\)
\(f(x) = 3x - 2\)

2. \(g(x) = -x + 4\)

Lecture\(a = -1\), \(b = 4\) → droite décroissante
Point 1\(g(0) = 4\) → \((0\,;\,4)\)
Point 2+1 en abscisse, −1 en ordonnée → \((1\,;\,3)\)
\(g(x) = -x + 4\)

3. \(h(x) = \dfrac{1}{2}x\)

Lecture\(a = \frac{1}{2}\), \(b = 0\) → fonction linéaire, droite croissante
Point 1\(h(0) = 0\) → origine \(O(0\,;\,0)\)
Point 2+1 en abscisse, +\(\frac{1}{2}\) en ordonnée → \(\left(1\,;\,\frac{1}{2}\right)\)
\(h(x) = \dfrac{1}{2}x\)
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