Chapitre

# Équations

I. Définitions
📘 Définition 1 — Inconnue

Une inconnue est une lettre qui désigne un nombre inconnu.

💡 Remarque

On utilisera en général la lettre \(x\) pour désigner une inconnue, mais il est possible d'utiliser d'autres lettres.

📘 Définition 2 — Équation

Une équation est une égalité qui comporte au moins une inconnue. Cette égalité peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres.

📘 Définition 3 — Solution

Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.

II. Tester si une valeur est solution
📋 Méthode

Pour tester si un nombre est solution d'une équation d'inconnue \(x\) :

- 1On calcule le membre de gauche en remplaçant \(x\) par cette valeur
- 2On calcule le membre de droite en remplaçant \(x\) par cette valeur
- 3On compare les deux résultats et on conclut

✏️ Exemple
Tester si \(8\) est solution des équations suivantes :

Équation 1 : \(3x + 2 = 4x - 5\)

Équation 2 : \(8x - 1 = 4x + 31\)

Équation 1 : \(3x + 2 = 4x - 5\)

Membre gauche
\(3 \times 8 + 2\)
\(= 24 + 2\)
\(= \mathbf{26}\)
Membre droit
\(4 \times 8 - 5\)
\(= 32 - 5\)
\(= \mathbf{27}\)
✗ Conclusion \(26 \neq 27\), donc 8 n'est pas solution de l'équation \(3x + 2 = 4x - 5\).

Équation 2 : \(8x - 1 = 4x + 31\)

Membre gauche
\(8 \times 8 - 1\)
\(= 64 - 1\)
\(= \mathbf{63}\)
Membre droit
\(4 \times 8 + 31\)
\(= 32 + 31\)
\(= \mathbf{63}\)
✓ Conclusion \(63 = 63\), donc 8 est bien solution de l'équation \(8x - 1 = 4x + 31\).
III. Résoudre une équation
📘 Définition

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les solutions de cette équation.

💡 Remarque

Une équation peut ne pas avoir de solution.

📗 Propriété

Une égalité reste vraie lorsque l'on ajoute (ou soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.

Si \(c = d\), alors \(c + k = d + k\) et \(c - k = d - k\)
✏️ Exemples — Addition / Soustraction
Résoudre les équations suivantes :

(a) \(x + 5{,}4 = 2{,}6\)

On veut isoler \(x\). Il faut supprimer le \(+5{,}4\) en soustrayant \(5{,}4\) des deux membres.

\(x \;+\;\) \(5{,}4\) \(\;=\; 2{,}6\)
\(-5{,}4\)
\(-5{,}4\)
\(x \;=\; 2{,}6 \;-\; 5{,}4\)
\(x \;=\; -2{,}8\)
La solution est \(x = -2{,}8\)
✅ Vérification : \(-2{,}8 + 5{,}4 = 2{,}6\) ✓

(b) \(3x = 2x + 5\)

On regroupe les termes en \(x\) en soustrayant \(2x\) des deux membres.

\(3x \;=\;\) \(2x\) \(\;+\; 5\)
\(-2x\)
\(-2x\)
\(x \;=\; 5\)
La solution est \(x = 5\)
✅ Vérification : \(3 \times 5 = 15\) et \(2 \times 5 + 5 = 15\) ✓
📗 Propriété

Une égalité reste vraie lorsque l'on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul.

Si \(c = d\), alors \(c \times k = d \times k\) et \(c \div k = d \div k\)
✏️ Exemples — Multiplication / Division
Résoudre les équations suivantes :

(a) \(2x = 5\)

On divise les deux membres par \(2\) pour isoler \(x\).

\(2\)\(x \;=\; 5\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \;=\; \dfrac{5}{2} \;=\; 2{,}5\)
La solution est \(x = 2{,}5\)
✅ Vérification : \(2 \times 2{,}5 = 5\) ✓

(b) \(\dfrac{x}{4} = 8\)

On multiplie les deux membres par \(4\) pour isoler \(x\).

x 4 \(\;=\; 8\)
\(\times 4\)
\(\times 4\)
\(x \;=\; 8 \times 4 \;=\; 32\)
La solution est \(x = 32\)
✅ Vérification : \(\dfrac{32}{4} = 8\) ✓
Équations combinées
💡 Méthode générale

Pour résoudre une équation du type \(ax + b = cx + d\) :

- 1Regrouper les termes en \(x\) d'un même côté (en ajoutant/soustrayant)
- 2Regrouper les nombres de l'autre côté
- 3Diviser les deux membres par le coefficient de \(x\)

✏️ Exemples — Équations combinées

(a) \(4x + 2 = 2x - 3\)

\(4x \;+\; 2 \;=\;\) \(2x\) \(\;-\; 3\)
\(-2x\)
\(-2x\)
\(2x \;+\;\) \(2\) \(\;=\; -3\)
\(-2\)
\(-2\)
\(2\)\(x \;=\; -5\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \;=\; -\dfrac{5}{2} \;=\; -2{,}5\)
La solution est \(x = -2{,}5\)
✅ Vérif. : gauche : \(4\times(-2{,}5)+2 = -8\) | droite : \(2\times(-2{,}5)-3 = -8\) ✓

(b) \(5x - 3 = -2x + 5\)

\(5x \;-\; 3 \;=\;\) \(-2x\) \(\;+\; 5\)
\(+2x\)
\(+2x\)
\(7x \;-\;\) \(3\) \(\;=\; 5\)
\(+3\)
\(+3\)
\(7\)\(x \;=\; 8\)
\(\div 7\)
\(\div 7\)
\(x \;=\; \dfrac{8}{7} \;\approx\; 1{,}14\)
La solution est \(x = \dfrac{8}{7}\)
✅ Vérif. : gauche : \(5\times\tfrac{8}{7}-3=\tfrac{40}{7}-\tfrac{21}{7}=\tfrac{19}{7}\) | droite : \(-2\times\tfrac{8}{7}+5=-\tfrac{16}{7}+\tfrac{35}{7}=\tfrac{19}{7}\) ✓
IV. Modéliser une situation
📋 Méthode

Pour modéliser une situation à l'aide d'une équation :

- 1On choisit l'inconnue \(x\) en fonction de ce que l'on cherche
- 2On traduit les données du problème par une équation
- 3On résout l'équation
- 4On interprète le résultat (réponse dans le contexte du problème)

✏️ Exemple
Léa a acheté 19 bonbons de 3 parfums différents : à la fraise, à la réglisse et à la menthe. Elle constate qu'elle a 4 bonbons à la menthe, et deux fois plus de bonbons à la réglisse que de bonbons à la fraise. Combien a-t-elle de bonbons à la fraise ?
Étape 1 — Inconnue : On pose \(x\) = nombre de bonbons à la fraise.
Étape 2 — Traduction :
• Bonbons à la fraise : \(x\)
• Bonbons à la réglisse : \(2x\) (deux fois plus)
• Bonbons à la menthe : \(4\)
• Total : \(x + 2x + 4 = 19\)
Étape 3 — Résolution :
\(3x \;+\;\) \(4\) \(\;=\; 19\)
\(-4\)
\(-4\)
\(3\)\(x \;=\; 15\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \;=\; 5\)
La solution est \(x = 5\)
Étape 4 — Interprétation :
\(x = 5\) donc Léa a 5 bonbons à la fraise, \(2 \times 5 = 10\) bonbons à la réglisse et 4 à la menthe.
Vérification : \(5 + 10 + 4 = 19\) bonbons au total. ✓
🧩 Exercice
Dans une classe, il y a 32 élèves. Le nombre de filles est le double du nombre de garçons. Combien y a-t-il de garçons dans cette classe ?
Inconnue : \(x\) = nombre de garçons
Traduction : filles = \(2x\), total = \(x + 2x = 32\)
\(3\)\(x \;=\; 32\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \;=\; \dfrac{32}{3} \;\approx\; 10{,}67\)
⚠️ Comme \(\frac{32}{3}\) n'est pas un entier, cet énoncé n'a pas de solution entière. Si l'énoncé disait 33 élèves, on aurait \(x = 11\) garçons et \(22\) filles.
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