ℹ Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire. Si une question n'est pas terminée, laisse une trace de ta démarche : elle sera prise en compte dans la notation.
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Exercice 1
16 points · QCM – une seule réponse exacte par question
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## Question 1

Probabilités
Dans une urne : 4 boules bleues, 6 boules violettes, 7 boules rouges, 3 boules jaunes, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

Quelle est la probabilité d'obtenir une boule violette ?

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
\(\dfrac{6}{14}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{3}{10}\) | \(\dfrac{14}{20}\)

Combien y a-t-il de boules en tout dans l'urne ?

### Bonne réponse : C — \(\dfrac{3}{10}\)

Nombre total de boules : \(4 + 6 + 7 + 3 = 20\).

Il y a 6 boules violettes sur 20, donc la probabilité est \(\dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\).

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## Question 2

Pourcentages

Calculer 70 % d'une quantité revient à multiplier cette quantité par :

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
0,30 | 0,70 | 1,70 | 1,30

Une réduction de 30 % signifie qu'il reste un certain pourcentage du prix à payer. Quel est ce pourcentage ? Comment le transformer en coefficient multiplicateur ?

### Bonne réponse : B — 0,70

70 % d'une quantité revient à la multiplier par \(\dfrac{70}{100} = 0{,}70\).

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## Question 3

Statistiques

On considère la série : 7 ; 18 ; 12 ; 13 ; 15.

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
L'étendue est 8 | La médiane est 12 | La moyenne est 53 | La moyenne est 13

Pour trouver la médiane, commence par ranger les valeurs dans l'ordre croissant.

### Bonne réponse : D — La moyenne est 13

Moyenne : \(\dfrac{7+18+12+13+15}{5} = \dfrac{65}{5} = 13\).

Série rangée : 7 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18 → médiane = 13. Étendue = 18 − 7 = 11 (pas 8).

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## Question 4

Fonction affine

Une fonction affine \(f\) a pour représentation graphique la courbe \(\mathscr{C}_f\) ci-contre.

L'expression de la fonction \(f\) est :

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
\(f(x)=2x+4\) | \(f(x)=4x-2\) | \(f(x)=-2x+4\) | \(f(x)=-4x+2\)

Repère où la droite coupe l'axe des ordonnées pour trouver b, puis prends deux points pour calculer la pente a.

### Bonne réponse : C — \(f(x) = -2x+4\)

La courbe coupe l'axe des ordonnées en \((0\,;\,4)\) donc \(b = 4\).

Du point \((0\,;\,4)\) au point \((1\,;\,2)\) : +1 en abscisse, −2 en ordonnée → \(a = -2\).

\(f(x) = -2x + 4\)
Exercice 2
24 points · Pythagore · Thalès · Triangles semblables
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## Exercice 2

Géométrie

- G, C et E alignés ; F, C et D alignés
- (GF) et (DE) parallèles
- Triangle CDE rectangle en D
- CD = 21,6 cm ; CE = 29,1 cm ; FC = 17,2 cm

1. Montrer que DE = 19,5 cm.
2. Calculer l'aire du triangle CDE.
3. Calculer GF arrondi au millimètre près.
4. On trace (d) perpendiculaire à (FC), coupant [GC] en A et [FC] en B. Aire ABC = 23,4 cm².
   a. Montrer que l'aire d'ABC vaut \(\dfrac{1}{9}\) de l'aire de CDE.
   b. Les triangles ABC et EDC sont semblables. Déterminer AB.

CDE est rectangle en D : quelle relation lie les trois côtés d'un triangle rectangle ?
(GF) et (DE) sont parallèles, et les points G, C, E et F, C, D sont alignés : identifie la configuration de Thalès.
Si le rapport des aires est \(\frac{1}{9}\), quel est le rapport de similitude entre les longueurs des deux triangles ?

### Question 1 – DE = 19,5 cm (Théorème de Pythagore)

On a : Le triangle CDE est rectangle en D CD = 21,6 cm ; CE = 29,1 cm ; Hypoténuse : CE Or : d'après le théorème de Pythagore
\(CE^2 = CD^2 + DE^2\)
\(29{,}1^2 = 21{,}6^2 + DE^2\)
\(846{,}81 = 466{,}56 + DE^2\)
\(DE^2 = 846{,}81 - 466{,}56 = 380{,}25\)
\(DE = \sqrt{380{,}25} = 19{,}5 \text{ cm}\)
Donc : DE mesure bien 19,5 cm. ✓

### Question 2 – Aire du triangle CDE

CDE est rectangle en D : base CD, hauteur DE.

\(\mathcal{A}_{\text{CDE}} = \dfrac{CD \times DE}{2} = \dfrac{21{,}6 \times 19{,}5}{2} = \dfrac{421{,}2}{2} = 210{,}6 \text{ cm}^2\)
Aire du triangle CDE = 210,6 cm²

### Question 3 – Longueur GF (Théorème de Thalès)

On a : Les points G, C, E sont alignés Les points F, C, D sont alignés Les droites (GF) et (DE) sont parallèles Or : d'après le théorème de Thalès
Rapport 1
DE
GF
=
Rapport 2
DC
CF
=
Rapport 3
EC
CG
=
Valeurs
19,5
GF
=
Valeurs
21,6
17,2

Produit en croix :

GF = 19,5 × 17,2 ÷ 21,6 ≈ 15,53 cm
Donc : GF ≈ 15,5 cm au millimètre près.

### Question 4a – Aire ABC = \(\dfrac{1}{9}\) de l'aire CDE

On a calculé \(\mathcal{A}_{\text{CDE}} = 210{,}6 \text{ cm}^2\).

\(\dfrac{1}{9} \times 210{,}6 = 23{,}4 \text{ cm}^2\)
Donc : l'aire du triangle ABC (23,4 cm²) est bien égale à \(\dfrac{1}{9}\) de l'aire de CDE. ✓

### Question 4b – Longueur AB (Triangles semblables)

Le rapport des aires est \(\dfrac{1}{9} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2\).

Le rapport de similitude (longueurs) est donc \(k = \dfrac{1}{3}\).

La longueur homologue de AB dans CDE est DE = 19,5 cm :

\(AB = \dfrac{1}{3} \times 19{,}5 = 6{,}5 \text{ cm}\)
AB = 6,5 cm
Exercice 3
20 points · Périmètres · Tableur · Équations
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## Exercice 3

Rectangle · Carré · Équations
Rectangle ABCD : AD = \(x\) et AB = \(16-2x\). Carré EFGH : EF = \(2x\). Longueurs en cm.

Partie A — x = 1,5 cm

1. Calculer le périmètre du carré EFGH.
2. Calculer AB.
3. Construire en vraie grandeur le rectangle ABCD.
4. Les périmètres de ABCD et EFGH sont-ils égaux ?

Partie B — Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) les périmètres sont-ils égaux ?

1. Feuille de calcul :

   | A | B | C | D | E | F | G
   --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
   1 | Valeur de x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
   2 | Périmètre du carré | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48
   3 | Périmètre du rectangle | 30 | 28 | 26 | 24 | 22 | 20

   a. Quelle formule a-t-on saisie en B2 ?
   b. Ce tableau permet-il de trouver une valeur de \(x\) où les périmètres sont égaux ?
2. a. Montrer que le périmètre du rectangle s'écrit \(-2x + 32\).
   b. Résoudre l'équation.

Rappelle-toi la formule du périmètre d'un carré. Le côté du carré s'exprime en fonction de x : comment est-il défini dans l'énoncé ?
Pose l'équation : périmètre carré = périmètre rectangle, puis utilise la méthode des flèches.

### Partie A — x = 1,5 cm

1. Périmètre de EFGH :

\(P_{\text{EFGH}} = 4 \times 2x = 4 \times 2 \times 1{,}5 = 12 \text{ cm}\)

2. AB :

\(AB = 16 - 2x = 16 - 2 \times 1{,}5 = 13 \text{ cm}\)

3. Construire avec AD = 1,5 cm et AB = 13 cm (règle + équerre).

4. Périmètre de ABCD :

\(P_{\text{ABCD}} = 2 \times (13 + 1{,}5) = 2 \times 14{,}5 = 29 \text{ cm}\)

29 cm ≠ 12 cm → Non, les périmètres ne sont pas égaux.

### Partie B — Recherche algébrique

1a. Formule en B2 : `= 4*2*B1` (ou `= 8*B1`)

1b. Non. Entre x = 3 (carré 24, rect. 26) et x = 4 (carré 32, rect. 24), aucune valeur entière ne convient.

2a. Périmètre du rectangle :

\(2 \times (x + 16-2x) = 2 \times (16-x) = 32 - 2x = -2x + 32\) ✓

2b. On résout \(-2x + 32 = 8x\) :

\(-2x\) \(+ 32 = 8x\)
\(+2x\)
\(+2x\)
\(32 =\) \(10x\)
\(\div 10\)
\(\div 10\)
\(x = 3{,}2\)
La solution est \(x = 3{,}2\) cm
Exercice 4
17 points · Algorithmique – Scratch
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## Exercice 4

Scratch · Hexagone · Triangle équilatéral
Rappel : L'instruction s'orienter à 90 signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Partie A

Un élève souhaite tracer un hexagone à partir de 6 triangles équilatéraux :

1. Compléter les lignes 2, 3 et 4 du script pour dessiner un triangle équilatéral de côté 50 pas.
2. Les programmes A et B ci-dessous donnent deux dessins différents. Lequel trace l'hexagone souhaité ?

Partie B — Hexagone régulier de 50 pas de côté

Compléter le bloc « répéter » en choisissant 2 instructions parmi :

Un triangle équilatéral a 3 côtés égaux. Quelle est la valeur de l'angle extérieur d'un triangle équilatéral ?
Après chaque triangle, le lutin doit tourner pour que les 6 triangles fassent exactement 360° au total autour du centre.
Dans un hexagone régulier, tous les angles intérieurs sont égaux. Quelle est la somme des angles intérieurs d'un polygone à 6 côtés ? Qu'en déduis-tu pour chaque angle ?

### Partie A – Question 1 : Script triangle équilatéral

3 côtés, angle extérieur = 120°.

Ligne 2 : répéter 3 fois — Ligne 3 : avancer de 50 pas — Ligne 4 : tourner à droite de 120 degrés

### Partie A – Question 2 : Programme A ou B ?

C'est le programme A (rotation de 60° entre chaque triangle).

Après l'exécution du bloc triangle équilatéral, le lutin a effectué 3 rotations de 120° = 360° et est revenu à son orientation initiale au centre. En tournant de 60° avant chaque nouveau triangle, les 6 triangles se placent autour du centre et forment l'hexagone souhaité.

### Partie B – Hexagone régulier

A = 6. Instructions : avancer de 50 pas puis tourner à gauche de 60 degrés (angle extérieur = 180° − 120° = 60°).

Exercice 5
23 points · Diviseurs · Volumes · Pourcentages
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## Exercice 5

Décomposition · Plus grand diviseur commun · Volumes · Pourcentages

Partie A — 650 poissons : 350 de type A et 300 de type B. Répartition en lots identiques.

1. Parmi les propositions, laquelle donne la décomposition de 300 en produit de facteurs premiers ?

   Proposition 1 | Proposition 2 | Proposition 3
   --- | --- | ---
   \(2^2 \times 5 \times 15\) | \(2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5\) | \(2^2 \times 3 \times 5^2\)

2. Décomposer 350 en produit de facteurs premiers.
3. Quel est le nombre maximal de lots ?
4. Combien de poissons de chaque type par lot ?

Partie B — Poissons combattants — 15 L minimum par poisson, aquarium rempli aux \(\dfrac{4}{5}\) de sa hauteur.

1. Quel aquarium choisir ?
2. Poisson : 15 €, aquarium : 40 €. Remise de 15 % sur le prix total. Combien la famille paie-t-elle ?

Commence par diviser 350 par le plus petit diviseur premier, puis continue jusqu'à obtenir 1.
Le nombre de lots doit permettre de répartir équitablement les deux types d'objets sans reste. Quel outil mathématique permet de trouver le plus grand nombre qui divise deux nombres à la fois ?
L'aquarium n'est pas rempli jusqu'en haut. Comment la fraction donnée dans l'énoncé modifie-t-elle la hauteur à utiliser dans le calcul du volume ?

### Partie A — Lots de poissons

1. Bonne réponse : Proposition 3 — \(2^2 \times 3 \times 5^2\)

Prop. 1 : 15 n'est pas premier. Prop. 2 : correct mais non factorisé avec exposants.

2. Décomposition de 350 :

350
175
35
7
1
2
5
5
7
\(350 = 2 \times 5 \times 5 \times 7\)

3. Nombre maximal de lots :

300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
350 = 2 × 5 × 5 × 7
■ facteurs communs ■ facteurs non communs
Le plus grand diviseur en commun est 2 × 5 × 5 = 50
Nombre maximal de lots : 50

4. Composition de chaque lot :

Ce qu'on n'a pas pris en commun :

Pour 350 : il reste 7 → 7 poissons de type A par lot
Pour 300 : il reste 2 × 3 = 6 → 6 poissons de type B par lot

### Partie B — Aquariums et prix

1. Aquarium 1 (Cylindre) — rayon = 15 cm, hauteur d'eau = \(\dfrac{4}{5} \times 25 = 20\) cm

\(V_1 = \pi \times 15^2 \times 20 = 4500\pi \approx 14\,137 \text{ cm}^3 \approx 14{,}1 \text{ L}\)

14,1 L < 15 L → insuffisant.

Aquarium 2 (Pavé droit) — hauteur d'eau = \(\dfrac{4}{5} \times 30 = 24\) cm

\(V_2 = 28 \times 28 \times 24 = 18\,816 \text{ cm}^3 = 18{,}816 \text{ L}\)

18,8 L > 15 L → suffisant.

Il faut choisir l'Aquarium 2.

2. Prix total avant remise : 15 + 40 = 55 €. Remise de 15 % :

### Méthode 1 — Produit en croix

Pourcentage | 100 % | 15 %
--- | --- | ---
Prix (€) | 55 | ?

Remise = 55 × 15 ÷ 100 = 8,25 €
Prix payé = 55 − 8,25 = 46,75 €

### Méthode 2 — Tableau avec le prix final directement

Payer après une remise de 15 % revient à payer 85 % du prix :

Pourcentage | 100 % | 85 %
--- | --- | ---
Prix (€) | 55 | ?

Prix payé = 55 × 85 ÷ 100 = 46,75 €
La famille paie 46,75 €.
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