Théorème de Pythagore

# Feuille d’exercices – Méthode 1

Calculer un côté d’un triangle rectangle

📌 Rappel de la méthode
📙 Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si le triangle ABC est rectangle en C, alors : \(BC^2 = AC^2 + AB^2\) — l’hypoténuse BC est le côté opposé à l’angle droit.
⚙️ Rédaction à respecter

On a : nom du triangle, angle droit, données connues, identification de l’hypoténuse
Or : d’après le théorème de Pythagore
→ lignes de calcul
Donc : conclusion avec valeur exacte et/ou approchée, avec unité

🧩 Énoncé
Exercice 1 ⭐ Facile

On se place dans le triangle rectangle ABC, rectangle en C, tel que BC = 8 cm et AC = 6 cm. Calculer AB.

💡 Indice : Où se trouve l'angle droit ? Quel côté lui est opposé ? Les deux côtés connus sont-ils les côtés de l'angle droit ou bien l'un d'eux est-il l'hypoténuse ?
On a : Le triangle ABC est rectangle en C
BC = 8 cm ; AC = 6 cm ; Hypoténuse : AB
Or : d’après le théorème de Pythagore
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(AB^2 = 6^2 + 8^2\)
\(AB^2 = 36 + 64 = 100\)
\(AB = \sqrt{100} = \textcolor{#2563eb}{10 \text{ cm}}\)
Donc : AB mesure 10 cm.
🧩 Énoncé
Exercice 2 ⭐ Facile

On considère le triangle ABC, rectangle en B, tel que AB = 12 cm et BC = 16 cm. Calculer AC.

💡 Indice : Commence par identifier l'hypoténuse. AC est-il l'hypoténuse ou un côté de l'angle droit ? La réponse change la relation de Pythagore à écrire.
On a : Le triangle ABC est rectangle en B
AB = 12 cm ; BC = 16 cm ; Hypoténuse : AC
Or : d’après le théorème de Pythagore
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(AC^2 = 12^2 + 16^2\)
\(AC^2 = 144 + 256 = 400\)
\(AC = \sqrt{400} = \textcolor{#2563eb}{20 \text{ cm}}\)
Donc : AC mesure 20 cm.
🧩 Énoncé
Exercice 3 ⭐⭐ Intermédiaire

Soit le triangle DEF, rectangle en E, tel que DE = 3,7 cm et EF = 4,8 cm. Calculer DF. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième.

💡 Indice : Identifie d'abord l'hypoténuse. Si le résultat n'est pas un carré parfait, comment l'exprimer exactement, puis approximativement ?
On a : Le triangle DEF est rectangle en E
DE = 3,7 cm ; EF = 4,8 cm ; Hypoténuse : DF
Or : d’après le théorème de Pythagore
\(DF^2 = DE^2 + EF^2\)
\(DF^2 = 3{,}7^2 + 4{,}8^2\)
\(DF^2 = 13{,}69 + 23{,}04 = 36{,}73\)
\(DF = \sqrt{36{,}73} \approx \textcolor{#2563eb}{6{,}1 \text{ cm}}\)
Donc : DF a pour valeur exacte \(\sqrt{36{,}73}\) cm et vaut environ 6,1 cm au dixième.
🧩 Énoncé
Exercice 4 – Le drone 🚑 ⭐⭐ Intermédiaire

Le drone de Juliette est coincé dans un arbre, à une hauteur de 4 m. Elle part chercher une échelle qui mesure 5 m. Elle place le pied de l’échelle à 1,50 m du pied de l’arbre. On supposera que le pied de l’arbre forme un angle de 90° avec le sol.
Juliette pourra-t-elle atteindre son drone ?

💡 Indice : Fais un schéma de la situation. Quels sont les trois points ? Quel angle est droit ? Quelle longueur cherche-t-on, et que faut-il comparer à la fin ?
Mise en place : On modélise par un triangle rectangle. Notons A le pied de l'arbre, B le sommet du drone (hauteur AB = 4 m), C le pied de l'échelle (distance AC = 1,50 m). Le triangle ABC est rectangle en A. On cherche BC (la longueur d'échelle nécessaire) pour la comparer à 5 m.
On a : Le triangle ABC est rectangle en A
AB = 4 m ; AC = 1,50 m ; Hypoténuse : BC
Or : d'après le théorème de Pythagore
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 4^2 + 1{,}5^2\)
\(BC^2 = 16 + 2{,}25 = 18{,}25\)
\(BC = \sqrt{18{,}25} \approx 4{,}27 \text{ m}\)
Donc : La longueur d'échelle nécessaire est d'environ 4,27 m. Or l'échelle de Juliette mesure 5 m. Comme 4,27 < 5, l'échelle est suffisante : Juliette pourra atteindre son drone ✅
⚠️ À retenir : ici on connaît les deux côtés de l'angle droit (AB et AC) et on cherche l'hypoténuse — on additionne donc les carrés.
🧩 Énoncé
Exercice 5 – Football ⚽ ⭐⭐⭐ Difficile

Un terrain de football rectangulaire ABCD mesure 95 m en longueur et 72 m en largeur.
1. Calculer la longueur d’une diagonale du terrain.

💡 Indice : Une diagonale de rectangle crée deux triangles rectangles. Quels sont les côtés de l'angle droit dans l'un de ces triangles ? Quelle est l'hypoténuse ?
On a : ABCD est un rectangle, donc l’angle en B est droit. Le triangle ABC est rectangle en B
AB = 95 m ; BC = 72 m ; Hypoténuse : AC
Or : d’après le théorème de Pythagore
Pythagore\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
Substitue\(AC^2 = 95^2 + 72^2\)
Calcule\(AC^2 = 9\,025 + 5\,184 = 14\,209\)
Racine\(AC = \sqrt{14\,209} \approx \textcolor{#2563eb}{119{,}2 \text{ m}}\)
Donc : AC a pour valeur exacte \(\sqrt{14\,209}\) m et vaut environ 119,2 m au dixième.
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