Fractions

# Fractions — Chapitre complet

Définitions · Simplification · Comparaison · Opérations
I. Définitions et égalités
1) Définition
📘 Définition — Quotient

\(a\) et \(b\) désignent deux nombres relatifs (\(b \neq 0\)).

Le quotient de \(a\) par \(b\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). On le note \(a \div b\) ou \(\dfrac{a}{b}\).

\(a \div b = \dfrac{a}{b}\)

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers, on dit que \(\dfrac{a}{b}\) est une fraction. \(a\) est le numérateur et \(b\) est le dénominateur.

✏️ Exemple
Quel est le quotient de \(-3\) par \(8\) ? Vérifier le résultat.
Le quotient de \(-3\) par \(8\) est \(\dfrac{-3}{8}\).
C'est le nombre qui, multiplié par \(8\), donne \(-3\).
Vérification : \(\dfrac{-3}{8} \times 8 = -3\) ✓
2) Règle de calcul
📗 Propriété

Un quotient ne change pas si on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

\(a\), \(b\) et \(k\) désignent trois nombres relatifs (\(b \neq 0\) et \(k \neq 0\))

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}\)
✏️ Exemples
Compléter les égalités suivantes :

(a) \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{60}\) (b) \(\dfrac{28}{42} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{\ \ 6\ \ }\)

(a) On cherche par quel nombre multiplier \(5\) pour obtenir \(60\) :
\(5 \times 12 = 60\), donc on multiplie aussi le numérateur par \(12\) :
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 12}{5 \times 12} = \dfrac{36}{60}\)
(b) On cherche par quel nombre diviser \(42\) pour obtenir \(6\) :
\(42 \div 7 = 6\), donc on divise aussi le numérateur par \(7\) :
\(\dfrac{28}{42} = \dfrac{28 \div 7}{42 \div 7} = \dfrac{4}{6}\)
💡 La propriété dit qu'on multiplie (ou divise) en même temps le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Si on ne le fait qu'à l'un des deux, la fraction change de valeur !
🧩 Exercice
Compléter les égalités suivantes :

(a) \(\dfrac{2}{7} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{35}\) (b) \(\dfrac{5}{9} = \dfrac{45}{\ \ ?\ \ }\) (c) \(\dfrac{36}{48} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{4}\)

(a) \(7 \times 5 = 35\), donc on multiplie le numérateur par \(5\) :
\(\dfrac{2}{7} = \dfrac{2 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{10}{35}\)
(b) \(5 \times 9 = 45\), donc on multiplie le dénominateur par \(9\) :
\(\dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \times 9}{9 \times 9} = \dfrac{45}{81}\)
(c) \(48 \div 12 = 4\), donc on divise le numérateur par \(12\) :
\(\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 \div 12}{48 \div 12} = \dfrac{3}{4}\)
II. Simplifier des fractions
📋 Méthode

Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

- 1On cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur
- 2On divise le numérateur et le dénominateur par ce nombre
- 3On recommence jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun autre que 1 : la fraction est alors irréductible

💡 Rappel — Critères de divisibilité

Divisible par 2 : le chiffre des unités est pair. | Divisible par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3. | Divisible par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5. | Divisible par 7 : pas de critère simple, on teste.

✏️ Exemple 1 — Méthode par critères de divisibilité
Simplifier \(\dfrac{18}{24}\) au maximum.
\(18\) et \(24\) sont tous les deux pairs → divisibles par \(2\) :
\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 2}{24 \div 2} = \dfrac{9}{12}\)
Somme des chiffres de \(9\) : \(9\) ✓ Somme des chiffres de \(12\) : \(1+2=3\) ✓ → tous les deux divisibles par 3 :
\(\dfrac{9}{12} = \dfrac{9 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{3}{4}\)
\(3\) et \(4\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\) : la fraction est irréductible.
\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\)
✏️ Exemple 2 — Méthode par décomposition en facteurs premiers
Simplifier \(\dfrac{140}{294}\) au maximum.
Étape 1 — Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers :
Numérateur : 140
140
70
35
7
1
2
2
5
7
\(140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7\)
Dénominateur : 294
294
147
49
7
1
2
3
7
7
\(294 = 2 \times 3 \times 7 \times 7\)
Étape 2 — Écrire la fraction avec les décompositions, puis identifier les facteurs communs (en rouge) :
2 × 2 × 5 × 7
2 × 3 × 7 × 7
Étape 3 — Simplifier les facteurs communs :
2 × 2 × 5 × 7
2 × 3 × 7 × 7
=
2 × 5
3 × 7
=
10
21
\(10\) et \(21\) n'ont pas de facteur commun : la fraction est irréductible.
\(\dfrac{140}{294} = \dfrac{10}{21}\)
🧩 Exercice
Simplifier les fractions suivantes au maximum. Utiliser la méthode de décomposition en facteurs premiers pour (c).

(a) \(\dfrac{12}{16}\) (b) \(\dfrac{30}{75}\) (c) \(\dfrac{56}{84}\)

(a) \(12\) et \(16\) sont pairs → \(\div 2\) : \(\dfrac{6}{8}\) → encore pairs → \(\div 2\) :
\(\dfrac{12}{16} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\)
(b) Chiffre des unités est \(0\) et \(5\) → \(\div 5\) : \(\dfrac{6}{15}\) → somme des chiffres : \(6\) et \(1+5=6\) → \(\div 3\) :
\(\dfrac{30}{75} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\)
(c) Décomposition de \(56\) et \(84\) :
56
56
28
14
7
1
2
2
2
7
\(56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7\)
84
84
42
21
7
1
2
2
3
7
\(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\)
On pose la fraction avec les décompositions et on repère les facteurs communs (en rouge) :
2 × 2 × 2 × 7
2 × 2 × 3 × 7
2 × 2 × 2 × 7
2 × 2 × 3 × 7
=
2
3
III. Mettre des fractions au même dénominateur
📋 Méthode

Pour mettre deux fractions au même dénominateur, on cherche un multiple commun aux deux dénominateurs :

- 1En priorité : on regarde si l'un des dénominateurs est déjà un multiple de l'autre. Si c'est le cas, on l'utilise directement comme dénominateur commun
- 2On transforme uniquement la fraction dont le dénominateur est le plus petit : on multiplie son numérateur et son dénominateur par le bon nombre

✏️ Exemple
Réduire les fractions \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{5}{6}\) au même dénominateur.
Étape 1 — Est-ce que l'un des dénominateurs est multiple de l'autre ?
\(6\) est-il un multiple de \(2\) ? Oui : \(2 \times 3 = 6\). ✓
On utilise donc \(6\) comme dénominateur commun.
Étape 2 — Transformer \(\dfrac{1}{2}\) pour qu'elle ait \(6\) au dénominateur :
On multiplie par \(3\) (car \(2 \times 3 = 6\)) :
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}\)
Pour \(\dfrac{5}{6}\) : le dénominateur est déjà \(6\), rien à faire.
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\) et \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{6}\)
🧩 Exercice
Mettre les fractions suivantes au même dénominateur :

(a) \(\dfrac{1}{4}\) et \(\dfrac{3}{8}\) (b) \(\dfrac{2}{5}\) et \(\dfrac{7}{15}\)

(a) \(8\) est un multiple de \(4\) (\(4 \times 2 = 8\)) → dénominateur commun : \(8\).
\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}\) et \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}\) (déjà au bon dénominateur)
(b) \(15\) est un multiple de \(5\) (\(5 \times 3 = 15\)) → dénominateur commun : \(15\).
\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{6}{15}\) et \(\dfrac{7}{15} = \dfrac{7}{15}\) (déjà au bon dénominateur)
IV. Comparer des fractions
1) Égalité des produits en croix
📗 Propriété — Produit en croix

\(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) désignent des nombres relatifs (\(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)).

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\)

Autrement dit : deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux.

✏️ Exemple
Les fractions \(\dfrac{12}{24}\) et \(\dfrac{3}{6}\) sont-elles égales ?
On calcule les deux produits en croix :
Premier produit (numérateur de gauche × dénominateur de droite) : \(12 \times 6 = 72\)
Deuxième produit (dénominateur de gauche × numérateur de droite) : \(24 \times 3 = 72\)
Les deux produits en croix sont égaux : \(72 = 72\).
✓ Conclusion Les fractions \(\dfrac{12}{24}\) et \(\dfrac{3}{6}\) sont égales.
2) Mise au même dénominateur
📗 Propriété — Comparaison

\(a\), \(b\) et \(c\) désignent trois nombres positifs (\(c \neq 0\)).

Si \(a < b\), alors \(\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}\)

Deux fractions ayant le même dénominateur se comparent en comparant leurs numérateurs.

✏️ Exemple
Comparer les fractions suivantes : \(\dfrac{1}{15}\) ; \(\dfrac{2}{30}\) et \(\dfrac{7}{10}\).
Étape 1 — Chercher un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont \(15\), \(30\) et \(10\).
\(30\) est-il un multiple de \(15\) ? Oui : \(15 \times 2 = 30\). ✓ \(30\) est-il un multiple de \(10\) ? Oui : \(10 \times 3 = 30\). ✓
On utilise \(30\) comme dénominateur commun.
Étape 2 — Convertir chaque fraction :
\(\dfrac{1}{15} = \dfrac{1 \times 2}{15 \times 2} = \dfrac{2}{30}\)
\(\dfrac{2}{30} = \dfrac{2}{30}\) (déjà au bon dénominateur)
\(\dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 3}{10 \times 3} = \dfrac{21}{30}\)
Étape 3 — Comparer les numérateurs :
\(2 = 2 < 21\), donc \(\dfrac{2}{30} = \dfrac{2}{30} < \dfrac{21}{30}\).
✓ Conclusion \(\dfrac{1}{15} = \dfrac{2}{30} < \dfrac{7}{10}\)
🧩 Exercice
Comparer les fractions suivantes en les mettant au même dénominateur :

(a) \(\dfrac{5}{6}\) et \(\dfrac{1}{3}\) (b) \(\dfrac{7}{12}\) ; \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{5}{6}\)

(a) \(6\) est un multiple de \(3\) (\(3 \times 2 = 6\)) → dénominateur commun : \(6\).
\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{6}\) et \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}\)
\(2 < 5\) donc \(\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{6}\).
(b) \(12\) est un multiple de \(3\) (\(3 \times 4 = 12\)) et de \(6\) (\(6 \times 2 = 12\)) → dénominateur commun : \(12\).
\(\dfrac{7}{12} = \dfrac{7}{12}\) ; \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{4}{12}\) ; \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}\)
\(4 < 7 < 10\) donc \(\dfrac{1}{3} < \dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{6}\).
V. Additionner et soustraire des fractions
📋 Méthode

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions :

- 1On met les deux fractions au même dénominateur
- 2On additionne (ou soustrait) uniquement les numérateurs
- 3On garde le dénominateur commun (on ne l'additionne pas !)
- 4On simplifie la fraction obtenue si possible

\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\) et \(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)
💡 Remarque importante

On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux. ✗ \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}\)

✏️ Exemples
Calculer les expressions suivantes :

(A) \(A = \dfrac{2}{8} - \dfrac{4}{8}\)

Les deux fractions ont déjà le même dénominateur (\(8\)) : on soustrait directement les numérateurs.
\(A = \dfrac{2}{8} - \dfrac{4}{8} = \dfrac{2 - 4}{8} = \dfrac{-2}{8}\)
On simplifie : \(2\) et \(8\) sont divisibles par \(2\) :
\(A = \dfrac{-2 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{-1}{4}\)
\(A = -\dfrac{1}{4}\)

(B) \(B = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{8}\)

\(8\) est un multiple de \(4\) (\(4 \times 2 = 8\)) → dénominateur commun : \(8\).
\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}\)
On peut maintenant additionner :
\(B = \dfrac{2}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{2 + 2}{8} = \dfrac{4}{8}\)
On simplifie : \(4\) et \(8\) sont divisibles par \(4\) :
\(B = \dfrac{4 \div 4}{8 \div 4} = \dfrac{1}{2}\)
\(B = \dfrac{1}{2}\)

(C) \(C = 2 + \dfrac{1}{3}\)

On écrit le nombre entier \(2\) sous forme de fraction avec le dénominateur \(3\) :
\(2 = \dfrac{2 \times 3}{1 \times 3} = \dfrac{6}{3}\)
On additionne :
\(C = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\)
La fraction \(\dfrac{7}{3}\) est déjà irréductible (\(7\) est premier et ne divise pas \(3\)).
\(C = \dfrac{7}{3}\)

(D) \(D = \dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8}\right)\)

Étape 1 — Calculer d'abord ce qui est entre parenthèses :
\(8\) est un multiple de \(4\) (\(4 \times 2 = 8\)) → dénominateur commun : \(8\).
\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}\)
\(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{8}\)
Étape 2 — Calculer \(D\) :
\(D = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8}\)
\(8\) est un multiple de \(2\) (\(2 \times 4 = 8\)) → dénominateur commun : \(8\).
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 4}{2 \times 4} = \dfrac{4}{8}\)
\(D = \dfrac{4}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{4-1}{8} = \dfrac{3}{8}\)
\(3\) et \(8\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\) : déjà irréductible.
\(D = \dfrac{3}{8}\)
🧩 Exercice
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

(a) \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\) (b) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\) (c) \(1 - \dfrac{3}{7}\) (d) \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{12}\)

(a) Même dénominateur, on additionne les numérateurs :
\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\) (irréductible)
(b) \(6\) est un multiple de \(3\) (\(3 \times 2 = 6\)) → dénominateur commun : \(6\).
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}\)
\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
(c) \(7\) est un multiple de \(7\) → on écrit \(1 = \dfrac{7}{7}\) :
\(\dfrac{7}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}\) (irréductible)
(d) \(12\) est un multiple de \(6\) (\(6 \times 2 = 12\)) et de \(3\) (\(3 \times 4 = 12\)) → dénominateur commun : \(12\).
\(\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}\) ; \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}\) ; \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{12}\)
\(\dfrac{2}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{11}{12}\) (irréductible)
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