📚 Ce qu'il faut savoir
Théorème de Pythagore

Si le triangle ABC est rectangle en C, alors :

\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit — toujours le plus grand côté.

Rédaction à respecter

On a : triangle, angle droit, données, identification de l’hypoténuse

Or : d’après le théorème de Pythagore

→ lignes de calcul

Donc : valeur exacte et/ou approchée + unité + réponse

Corrections vues :
0 / 4
📈
Partie 1 – Calcul d’un côté

## Exercice 1 / 4

Problème
✓ Vu
Un toboggan est fabriqué tel que l’échelle soit perpendiculaire à la rampe. L’échelle mesure 2 m et l’écartement entre les deux extrémités A et C du toboggan est de 9 m.
1

Quelle est la longueur de la rampe BC ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Que signifie « perpendiculaire » pour l'angle en B ? Quel côté du triangle est en face de cet angle droit ?
Tu cherches BC, un côté de l'angle droit. Quelle version de la relation de Pythagore utilise-t-on quand c'est l'hypoténuse qui est connue ?
Écris la relation de Pythagore pour ce triangle, isole le terme cherché, puis prends la racine carrée.
On a : Le triangle ABC est rectangle en B (l’échelle est perpendiculaire à la rampe)
AB = 2 m ; AC = 9 m ; Hypoténuse : AC — On cherche : BC
Or : d’après le théorème de Pythagore
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(BC^2 = AC^2 - AB^2\)
\(BC^2 = 9^2 - 2^2\)
\(BC^2 = 81 - 4 = 77\)
\(BC = \sqrt{77} \approx 8{,}77 \text{ m}\)
Donc : BC a pour valeur exacte \(\sqrt{77}\) m, soit environ 8,77 m au centième.
La rampe du toboggan mesure environ 8,77 m.
⚠️ Attention : on cherchait un côté de l’angle droit, pas l’hypoténuse. On soustrait donc les carrés : \(BC^2 = AC^2 - AB^2\).

## Exercice 2 / 4

Multi-questions
✓ Vu
Voici le dessin d’un grenier. On a SA = 5,6 m et AB = 9 m. H est le milieu de [AB].
1

Montrer, en utilisant la méthode de l’angle plat, que le triangle SHA est rectangle.

2

Calculer la hauteur du grenier SH.

💡 Indices – débloque-les un par un

Un angle plat mesure 180°. Si tu connais deux des angles qui le composent, comment trouves-tu le troisième ?
Le grenier est symétrique : SH est perpendiculaire au plancher. Que peut-on en déduire sur l'angle SHA ? Quel triangle rectangle cela crée-t-il ?
Pour la question 2 : que vaut AH si H est le milieu de [AB] ? Dans quel triangle rectangles peut-on maintenant appliquer Pythagore pour trouver SH ?

Question 1 – Méthode de l’angle plat

On sait que : SH est la hauteur du grenier, donc SH est perpendiculaire au plancher AB : l’angle SHB = 90°.
Or : A, H, B sont alignés, donc l’angle AHB est un angle plat qui mesure 180°.
\(\widehat{AHB} = \widehat{SHA} + \widehat{SHB}\)
\(180^\circ = \widehat{SHA} + 90^\circ\)
\(\widehat{SHA} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)
Donc : l’angle SHA mesure 90°, donc le triangle SHA est rectangle en H. ■

Question 2 – Hauteur SH

On a : H est le milieu de [AB] donc AH = 9 ÷ 2 = 4,5 m
Le triangle SHA est rectangle en H
SA = 5,6 m ; AH = 4,5 m ; Hypoténuse : SA — On cherche : SH
Or : d’après le théorème de Pythagore
\(SA^2 = SH^2 + AH^2\)
\(SH^2 = SA^2 - AH^2\)
\(SH^2 = 5{,}6^2 - 4{,}5^2\)
\(SH^2 = 31{,}36 - 20{,}25 = 11{,}11\)
\(SH = \sqrt{11{,}11} \approx 3{,}33 \text{ m}\)
Donc : SH a pour valeur exacte \(\sqrt{11{,}11}\) m, soit environ 3,33 m au centième.
La hauteur du grenier est d’environ 3,33 m.
🧰
Partie 2 – Problèmes de décision

## Exercice 3 / 4

Décision à justifier
✓ Vu
Lors de son déménagement, Basile doit transporter son réfrigérateur dans un camion. La hauteur intérieure du camion est de 2,05 m. Il pose le réfrigérateur en biais, avec : AB = 59 cm et BC = 198 cm. Le schéma n’est pas à l’échelle.
1

Basile pourra-t-il redresser le réfrigérateur en position verticale pour le rentrer dans le camion sans bouger le point d’appui A ? Justifier.

💡 Indices – débloque-les un par un

Le frigo posé en biais forme un triangle rectangle en B. Quels sont les deux côtés connus ? Lequel est l'hypoténuse ?
Les mesures sont-elles toutes dans la même unité ? Que faut-il faire avant de comparer ?
Une fois la diagonale calculée, comment conclure sur le passage du frigo ? Que compare-t-on avec la hauteur du camion ?
⚠️ Conversion d’unité : la hauteur du camion vaut 2,05 m = 205 cm.
On a : Le triangle ABC est rectangle en B
AB = 59 cm ; BC = 198 cm ; Hypoténuse : AC — On cherche : AC
Or : d’après le théorème de Pythagore
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(AC^2 = 59^2 + 198^2\)
\(AC^2 = 3\,481 + 39\,204 = 42\,685\)
\(AC = \sqrt{42\,685} \approx 206{,}6 \text{ cm}\)
Donc : La diagonale du réfrigérateur mesure environ 206,6 cm.

Comparaison :

AC ≈ 206,6 cm et Hauteur camion = 205 cm
206,6 cm > 205 cm
❌ Non, Basile ne pourra pas redresser le réfrigérateur : sa diagonale (206,6 cm) est plus grande que la hauteur intérieure du camion (205 cm). Il doit bouger le point d’appui A.
🏃
Partie 3 – Problème complexe

## Exercice 4 / 4

Problème complexe ⭐⭐⭐
✓ Vu
Voici le parcours de cross du collège La Bounty. Données : ON = 234 m, OB = 155 m, BY = 90 m, TY = 25 m.
1

En utilisant les données, montrer que UT mesure 130 m.

2

En utilisant les données, montrer que UN mesure 144 m.

3

Montrer que la longueur NT est égale à 194 m.

4

Le départ et l’arrivée se trouvent au point B. Montrer que la longueur totale du parcours est de 698 m.

5

Léo veut mettre du grillage tout autour du parcours. Un paquet de fil couvre 125 m et coûte 19,99€. Avec la promotion « 4 paquets achetés = le 5ème offert », combien Léo va-t-il payer ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Pour les questions 1 et 2 : a-t-on vraiment besoin de Pythagore ? Regarde la figure — certaines longueurs peuvent se déduire directement.
Pour la question 3 : quel triangle rectangle contient NT ? Quels sont ses deux côtés de l'angle droit ?
Pour la question 4 : quels segments composent le parcours complet ? Lesquels sont déjà connus, lesquels ont été calculés ?
Pour la question 5 : combien de paquets faut-il acheter au minimum ? Peut-on acheter une fraction de paquet ? Et comment s'applique l'offre 4+1 sur ce total ?

Question 1 – Montrer que UT = 130 m

Sur la figure, OB est vertical et TY est aussi vertical. UT est la différence entre OB et TY :
\(UT = OB - TY = 155 - 25 = 130 \text{ m}\)
Donc UT = 130 m. ■

Question 2 – Montrer que UN = 144 m

Sur la figure, ON est horizontal et BY est aussi horizontal. UN est la différence entre ON et BY :
\(UN = ON - BY = 234 - 90 = 144 \text{ m}\)
Donc UN = 144 m. ■

Question 3 – Montrer que NT = 194 m

On a : Le triangle UNT est rectangle en U (U est un angle droit d’après la figure)
UN = 144 m (q.2) ; UT = 130 m (q.1) ; Hypoténuse : NT — On cherche : NT
Or : d’après le théorème de Pythagore
\(NT^2 = UN^2 + UT^2\)
\(NT^2 = 144^2 + 130^2\)
\(NT^2 = 20\,736 + 16\,900 = 37\,636\)
\(NT = \sqrt{37\,636} = 194 \text{ m}\)
Donc NT = 194 m. ■
💡 37 636 = 194² exactement : c’est un carré parfait, la valeur est exacte.

Question 4 – Longueur totale du parcours (départ et arrivée en B)

Le parcours est B → O → N → T → Y → B.
\(BO = OB = 155 \text{ m}\)
\(ON = 234 \text{ m}\)
\(NT = 194 \text{ m (q.3)}\)
\(TY = 25 \text{ m}\)
\(YB = BY = 90 \text{ m}\)
\(\text{Total} = 155 + 234 + 194 + 25 + 90 = 698 \text{ m}\)
Donc la longueur totale du parcours est bien 698 m. ■

Question 5 – Coût du grillage

📌 Étape 1 – Nombre de paquets nécessaires

\(698 \div 125 = 5{,}584\ldots\)
On arrondit à l’entier supérieur : il faut 6 paquets.

📌 Étape 2 – Application de la promotion (4 achetés = 5ème offert)

On doit acheter 6 paquets, mais étant donné que pour 4 paquets achetés on en a un offert, on en payera 5.

📌 Étape 3 – Coût total

Nombre de paquets payés | 1 | 5
Prix (en €) | 19,99 | ?

? = 19,99 × 5 = 99,95 €

Léo devra payer 99,95 € pour le grillage.

🏠 Menu