Chapitre

# Périmètres, Aires et Volumes

I. Périmètre
📘 Définition

Le périmètre d'une figure est la longueur totale de son contour. On l'exprime en unités de longueur : mm, cm, m, km…

Circonférence d'un cercle
📘 Définition

La circonférence (périmètre) d'un cercle de rayon \(r\) et de diamètre \(d = 2r\) est :

\(\mathcal{C} = 2\pi r \qquad \text{ou} \qquad \mathcal{C} = \pi d\)

où \(\pi \approx 3{,}14159\ldots\) est une constante mathématique.

✏️ Exemple
Calculer la circonférence d'un cercle de rayon \(r = 5\) cm.
Formule\(\mathcal{C} = 2\pi r\)
On substitue\(\mathcal{C} = 2 \times \pi \times 5\)
Résultat\(\mathcal{C} = 10\pi \approx 31{,}4 \text{ cm}\)
🧩 Exercice
Un cercle a un diamètre de \(12\) cm. Calculer sa circonférence. Donner le résultat exact puis une valeur approchée au dixième.
Formule\(\mathcal{C} = \pi d\)
On substitue\(\mathcal{C} = \pi \times 12 = 12\pi\)
Valeur approchée\(\mathcal{C} \approx 37{,}7 \text{ cm}\)
II. Aires
📘 Définition

L'aire d'une figure est la mesure de sa surface. On l'exprime en unités d'aire : mm², cm², m², km², …

Formules d'aires usuelles
Carré
\(\mathcal{A} = c^2\)
Rectangle
\(\mathcal{A} = L \times l\)
Triangle
\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
Disque (cercle plein)
\(\mathcal{A} = \pi r^2\)
Parallélogramme
\(\mathcal{A} = b \times h\)
Trapèze
\(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\)
📗 Récapitulatif

Figure | Notation | Formule
--- | --- | ---
Carré | \(c\) : côté | \(\mathcal{A} = c^2\)
Rectangle | \(L\) : longueur, \(l\) : largeur | \(\mathcal{A} = L \times l\)
Triangle | \(b\) : base, \(h\) : hauteur | \(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
Disque | \(r\) : rayon | \(\mathcal{A} = \pi r^2\)
Parallélogramme | \(b\) : base, \(h\) : hauteur | \(\mathcal{A} = b \times h\)
Trapèze | \(B, b\) : bases, \(h\) : hauteur | \(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\)

✏️ Exemple
Calculer l'aire d'un triangle de base \(b = 8\) cm et de hauteur \(h = 5\) cm.
Formule\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
On substitue\(\mathcal{A} = \dfrac{8 \times 5}{2}\)
Calcul\(\mathcal{A} = \dfrac{40}{2} = 20 \text{ cm}^2\)
🧩 Exercice
Un disque a un rayon de \(6\) cm. Calculer son aire. Donner le résultat exact puis une valeur approchée au centième.
Formule\(\mathcal{A} = \pi r^2\)
On substitue\(\mathcal{A} = \pi \times 6^2 = 36\pi\)
Valeur approchée\(\mathcal{A} \approx 113{,}10 \text{ cm}^2\)
III. Volumes
📘 Définition

Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. On l'exprime en unités de volume : mm³, cm³, m³, … ainsi qu'en litres (\(1\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3\)).

1. Formules de volumes usuels
📗 Récapitulatif

Solide | Notation | Formule
--- | --- | ---
Cube | \(a\) : arête | \(V = a^3\)
Pavé droit (cuboid) | \(L, l, h\) : longueur, largeur, hauteur | \(V = L \times l \times h\)
Prisme droit | \(\mathcal{A}_b\) : aire de la base, \(h\) : hauteur | \(V = \mathcal{A}_b \times h\)
Cylindre | \(r\) : rayon de la base, \(h\) : hauteur | \(V = \pi r^2 h\)
Pyramide | \(\mathcal{A}_b\) : aire de la base, \(h\) : hauteur | \(V = \dfrac{\mathcal{A}_b \times h}{3}\)
Cône | \(r\) : rayon de la base, \(h\) : hauteur | \(V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}\)
Boule (sphère) | \(r\) : rayon | \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

✏️ Exemple
Calculer le volume d'un cylindre de rayon \(r = 3\) cm et de hauteur \(h = 10\) cm.
Formule\(V = \pi r^2 h\)
On substitue\(V = \pi \times 3^2 \times 10\)
Calcul\(V = 90\pi \approx 282{,}74 \text{ cm}^3\)
2. Perspective cavalière
📘 Définition

La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter un solide en trois dimensions sur une surface plane. Elle respecte les règles suivantes :

- Les arêtes fuyantes (en profondeur) sont dessinées en oblique, généralement à 45°.
- Les arêtes fuyantes sont réduites à la moitié de leur longueur réelle.
- Les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin.
- Les arêtes cachées sont représentées en pointillés.

Exemple : le cube en perspective cavalière
✏️ Exemple
Voici la représentation en perspective cavalière d'un cube d'arête \(a\).
Volume du cube : \(\quad V = a^3\)
3. Patron
📘 Définition

Le patron d'un solide est une figure plane que l'on peut plier pour reconstituer le solide. Il montre toutes les faces du solide dépliées et assemblées.

📌 Remarque

Un même solide peut avoir plusieurs patrons différents. Il faut vérifier qu'un patron est valide : les faces doivent être correctement dimensionnées et s'assembler sans se chevaucher.

Exemple : un patron du cube
✏️ Exemple
Voici un patron en croix d'un cube d'arête \(a\). Il est constitué de 6 carrés identiques de côté \(a\).
Ce patron en croix se plie le long des arêtes communes pour former un cube. Les 6 faces sont des carrés de côté \(a\). Il existe 11 patrons distincts pour un cube.
🧩 Exercice
Un cube a une arête de \(a = 4\) cm.
a) Calculer son volume.
b) Calculer l'aire totale de sa surface (aire de toutes ses faces).

a) Volume du cube :

Formule\(V = a^3\)
On substitue\(V = 4^3 = 64 \text{ cm}^3\)

b) Aire totale :

Nombre de facesUn cube a \(6\) faces carrées de côté \(a\).
Aire d'une face\(\mathcal{A}_{\text{face}} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ cm}^2\)
Aire totale\(\mathcal{A}_{\text{tot}} = 6 \times 16 = 96 \text{ cm}^2\)
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