Leçon – Proportionnalité (partie 2)

# Pourcentages · Durées · Échelles

I. Pourcentages
📗 Méthode

Calculer \(t\%\) d'une quantité revient à multiplier cette quantité par \(\dfrac{t}{100}\).

Pour calculer un pourcentage on peut utiliser un tableau de proportionnalité et un produit en croix.

✏️ Exemple 1
Un livre en édition limitée coûte 40 €. Son prix augmente de 30 %. Quel est son nouveau prix ?
Méthode 1 – Calculer l'augmentation

On cherche d'abord 30 % de 40 €, puis on ajoute au prix initial.

Pourcentage (%) | 100 | 30
Valeur (€) | 40 | ?

? = 30 × 40 ÷ 100
Augmentation \(30 \times 40 \div 100 = \mathbf{12}\text{ €}\)
Nouveau prix \(40 + 12 = \mathbf{52}\text{ €}\)
Réponse : Le nouveau prix est 52 €.
Méthode 2 – Nouveau prix directement

Après une hausse de 30 %, le nouveau prix représente \(100 + 30 = 130\%\) du prix initial.

Pourcentage (%) | 100 | 130
Valeur (€) | 40 | ?

? = 130 × 40 ÷ 100
Calcul \(130 \times 40 \div 100 = \mathbf{52}\text{ €}\)
Réponse : Le nouveau prix est directement 52 €.
✏️ Exemple 2
25 filles et 20 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un devoir commun. 60 % des filles et 50 % des garçons ont obtenu la moyenne.
1) Calculer le nombre de filles et de garçons qui ont obtenu la moyenne.

Filles (60 % de 25)

Pourcentage (%) | 100 | 60
Nombre de filles | 25 | ?

? = 60 × 25 ÷ 100 = 15 filles

Garçons (50 % de 20)

💡 50 % = la moitié, donc on peut trouver directement : \(20 \div 2 = 10\) garçons, sans tableau ni calcul !

Pourcentage (%) | 100 | 50
Nombre de garçons | 20 | ?

? = 50 × 20 ÷ 100 = 10 garçons
Réponse : 15 filles et 10 garçons ont obtenu la moyenne.
2) Calculer le pourcentage d'élèves qui ont obtenu la moyenne dans l'ensemble des deux classes.

Au total : \(25 + 20 = 45\) élèves, dont \(15 + 10 = 25\) ont obtenu la moyenne.

On cherche quel pourcentage représente 25 élèves sur 45.

Nombre d'élèves | 45 | 25
Pourcentage (%) | 100 | ?

? = 25 × 100 ÷ 45 ≈ 55,6 %
Réponse : Environ 55,6 % des élèves ont obtenu la moyenne dans l'ensemble des deux classes.
🧩 Exercice
Un téléviseur coûte 350 €. Il est soldé à −20 %. Quel est son nouveau prix ?
Méthode 1 – Calculer la réduction

Pourcentage (%) | 100 | 20
Valeur (€) | 350 | ?

?= 20× 350÷ 100 =70 €
Nouveau prix\(350 - 70 = \mathbf{280}\text{ €}\)
Méthode 2 – Prix final directement

Après −20 %, il reste \(100 - 20 = 80\%\).

Pourcentage (%) | 100 | 80
Valeur (€) | 350 | ?

?= 80× 350÷ 100 =280 €
Réponse : Le nouveau prix du téléviseur est 280 €.
II. Les durées
📌 Rappel – Égalités à connaître
\(1\text{ min} = 60\text{ s}\) \(\qquad\) \(1\text{ h} = 60\text{ min}\) \(\qquad\) \(1\text{ j} = 24\text{ h}\)
📗 Méthode – Conversion de durées

Pour convertir une durée, on utilise un tableau à deux colonnes (une colonne par unité) :

- La première ligne contient l'égalité de référence (ex. \(1\text{ h} = 60\text{ min}\)).
- La deuxième ligne contient la valeur à convertir et le résultat inconnu \(?\).
- On calcule ensuite avec le produit en croix : \(? = \ldots \times \ldots \div \ldots\)

✏️ Exemples
Convertir les durées suivantes :

\(1{,}6\text{ h} = \text{ ?}\text{ min}\)

Égalité \(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
1,6 | ?

? = 1,6 × 60 ÷ 1
Résultat : \(1{,}6\text{ h} = \mathbf{96}\text{ min}\)

\(0{,}15\text{ min} = \text{ ?}\text{ h}\)

Égalité \(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 0,15

? = 0,15 × 1 ÷ 60
Résultat : \(0{,}15\text{ min} \approx \mathbf{0{,}0025}\text{ h}\)

\(1\text{ h }15\text{ min} = \text{ ?}\text{ h}\)

Égalité \(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

On convertit d'abord 15 min en h :

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 15

? = 15 × 1 ÷ 60 = 0,25 h
Résultat : \(1\text{ h }15\text{ min} = 1 + 0{,}25 = \mathbf{1{,}25}\text{ h}\)
🧩 Exercice
Convertir les durées suivantes :

\(a)\; 2{,}5\text{ h} = \text{ ?}\text{ min}\) \(\qquad b)\; 90\text{ min} = \text{ ?}\text{ h}\) \(\qquad c)\; 2\text{ h }30\text{ min} = \text{ ?}\text{ h}\)

\(a)\; 2{,}5\text{ h} \rightarrow \text{ min}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
2,5 | ?

?= 2,5× 60÷ 1
Résultat : \(2{,}5\text{ h} = \mathbf{150}\text{ min}\)

\(b)\; 90\text{ min} \rightarrow \text{ h}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 90

?= 90× 1÷ 60
Résultat : \(90\text{ min} = \mathbf{1{,}5}\text{ h}\)

\(c)\; 2\text{ h }30\text{ min} \rightarrow \text{ h}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

Conversion de 30 min :

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 30

?= 30× 1÷ 60 =0,5 h
Résultat : \(2\text{ h }30\text{ min} = 2 + 0{,}5 = \mathbf{2{,}5}\text{ h}\)
III. Échelles
📘 Définition

Sur un plan dit « à l'échelle », les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles.

L'échelle du plan est le coefficient de proportionnalité obtenu en divisant les longueurs de la carte par les longueurs réelles :

\(\text{Échelle} = \dfrac{\text{longueur sur la carte}}{\text{longueur réelle}}\)
📌 Méthode

On utilise un tableau de proportionnalité avec les longueurs en lignes, puis un produit en croix.

- Attention aux unités : il faut tout convertir dans la même unité avant de calculer.
- L'échelle s'écrit sous la forme \(1 : n\) (ex. \(1 : 50\,000\) signifie \(1\text{ cm} = 500\text{ m}\)).

✏️ Exemple
Sur une carte dont l'échelle est \(1 : 350\,000\) (1 cm sur la carte = 3,5 km en réalité), la distance entre St-Avé et Auray mesure 3 cm sur la carte. Quelle est la distance réelle ?

On traduit l'échelle : \(1\text{ cm sur la carte} \leftrightarrow 3{,}5\text{ km en réalité}\).

Carte (cm) | 1 | 3
Réalité (km) | 3,5 | ?

? = 3 × 3,5 ÷ 1
Calcul \(3 \times 3{,}5 \div 1 = \mathbf{10{,}5}\text{ km}\)
Réponse : La distance réelle entre St-Avé et Auray est de 10,5 km.
🧩 Exercice
Sur un plan de maison à l'échelle \(1 : 50\) (1 cm → 50 cm en réel), une pièce mesure 6 cm de long sur le plan. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?

L'échelle \(1:50\) signifie \(1\text{ cm sur le plan} \leftrightarrow 50\text{ cm en réalité}\).

Plan (cm) | 1 | 6
Réalité (cm) | 50 | ?

? = 6 × 50 ÷ 1 = 300 cm
Réponse : La longueur réelle de la pièce est \(300\text{ cm} = \mathbf{3}\text{ m}\).
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