📐 Ce qu'il faut savoir
Définition d'une rotation

Une rotation de centre \(O\), d'angle \(\alpha\) et de sens donné transforme tout point \(M\) en un point \(M'\) tel que :

- \(OM = OM'\) (conservation des distances au centre)
- \(\widehat{MOM'} = \alpha\) dans le sens indiqué

Propriétés à retenir

- Une rotation conserve les longueurs et les angles
- Elle conserve les aires
- Le centre \(O\) est son propre image
- ⚠️ Le sens est crucial : \(90°\) antihoraire \(\neq 90°\) horaire
- Sur quadrillage, rotation \(+90°\) (antihoraire) :
  si \(M\) est à \((x\,;\,y)\) de \(O\), alors \(M'\) est à \((-y\,;\,x)\) de \(O\)

Corrections vues :
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Exercice 1 – Rotation de 90° (avec quadrillage)

## Exercice 1 / 2

Avec quadrillage · Angle 90°
✓ Vu
Le quadrillage ci-dessous a un pas de 1 cm. Le triangle \(ABC\) est tracé. Le point \(O\) est le centre de rotation.
Figure — Énoncé
1 Construire \(A'\), image de \(A\) par la rotation de centre \(O\), d'angle \(90°\), dans le sens antihoraire.
2 Construire de même \(B'\) et \(C'\), images de \(B\) et \(C\).
3 Tracer le triangle \(A'B'C'\) et le nommer.
4 Que peut-on dire de \(AB\) par rapport à \(A'B'\) ? Justifier sans calculer.

💡 Indice – débloque-les un par un

Pour chaque point, repère d'abord ses coordonnées par rapport à \(O\) en comptant les carreaux horizontalement et verticalement. Que sais-tu sur la distance entre chaque sommet et \(O\) avant et après la rotation ?
Une rotation de \(90°\) antihoraire sur quadrillage transforme un vecteur \((x\,;\,y)\) partant de \(O\). Le nouveau vecteur a le même nombre de carreaux, mais les directions changent. Essaie de trouver la règle en testant avec le point \(A\).
Pour la question 4 : une rotation conserve les longueurs entre tous les points du plan. \(A\), \(B\), \(A'\), \(B'\) sont des points du plan. Que peut-on conclure sur \(AB\) et \(A'B'\) ?

📍 Application de la règle : \((x\,;\,y) \xrightarrow{+90°} (-y\,;\,x)\)

\(A\) est à \((-3\,;\,4)\) de \(O\) \(\;\Longrightarrow\;\) \(A'\) est à \((-4\,;\,-3)\) de \(O\)
\(B\) est à \((2\,;\,4)\) de \(O\) \(\;\Longrightarrow\;\) \(B'\) est à \((-4\,;\,2)\) de \(O\)
\(C\) est à \((-3\,;\,1)\) de \(O\) \(\;\Longrightarrow\;\) \(C'\) est à \((-1\,;\,-3)\) de \(O\)
Figure — Correction

Question 4 — Conservation des longueurs

La rotation conserve les longueurs entre tous les points du plan.
Donc \(A'B' = AB\), \(B'C' = BC\) et \(A'C' = AC\).
Le triangle \(A'B'C'\) est l'image de \(ABC\) par la rotation : il lui est superposable (même forme, même taille). En particulier, \(A'B' = AB\).
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Exercice 2 – Rotation de 60° (sans quadrillage)

## Exercice 2 / 2

Sans quadrillage · Angle 60°
✓ Vu
Le segment \([DE]\) et le point \(O\) sont représentés ci-dessous (sans quadrillage).
On considère la rotation de centre \(O\), d'angle \(60°\), dans le sens horaire.
Matériel autorisé : rapporteur, compas, règle.
Figure — Énoncé
1 Construire \(D'\), image de \(D\) par cette rotation. Décrire précisément ta construction.
2 Construire de même \(E'\), image de \(E\).
3 Tracer le segment \([D'E']\) et le nommer.
4 Quelle relation y a-t-il entre l'angle \(\widehat{DOD'}\) et l'angle de rotation ? Vérifier avec le rapporteur.
5 Sans mesurer, que peut-on affirmer sur \(DE\) et \(D'E'\) ? Justifier.

💡 Indice – débloque-les un par un

Pour construire \(D'\), deux conditions doivent être respectées simultanément : une condition sur la distance \(OD'\), et une condition sur l'angle \(\widehat{DOD'}\). Quel instrument utilises-tu pour chacune de ces deux conditions ?
Pour placer l'angle de \(60°\) dans le sens horaire : place le centre du rapporteur en \(O\), aligne le \(0°\) sur la demi-droite \([OD)\), puis lis \(60°\) dans le sens des aiguilles d'une montre. De quel côté de la droite \((OD)\) se trouve \(D'\) ?
Pour la question 5 : la rotation conserve toutes les longueurs du plan. \(D\), \(E\), \(D'\) et \(E'\) sont des points du plan. Quelle conclusion peut-on tirer sur \(D'E'\) et \(DE\) ?

📏 Construction de \(D'\) — étapes

Étape 1 : Ouvrir le compas à l'écartement \(OD\).
Étape 2 : Tracer un arc de cercle de centre \(O\), de rayon \(OD\).
Étape 3 : Placer le centre du rapporteur en \(O\), aligner le \(0°\) sur la demi-droite \([OD)\), puis mesurer \(60°\) dans le sens horaire.
Étape 4 : La demi-droite issue de \(O\) dans cette direction coupe l'arc en \(D'\).
⚠️ Sens horaire au rapporteur : en alignant le \(0°\) sur \([OD)\), lire \(60°\) sur l'échelle intérieure du rapporteur (de droite à gauche), dans le sens des aiguilles d'une montre.

📏 Construction de \(E'\) — mêmes étapes avec \(OE\)

Étape 1 : Ouvrir le compas à \(OE\), tracer un arc de centre \(O\) et de rayon \(OE\).
Étapes 2–4 : Mêmes étapes que pour \(D'\), en partant de la direction \([OE)\). L'intersection avec l'arc donne \(E'\).
Figure — Correction

Questions 4 et 5

Q4 : Par définition de la rotation, \(\widehat{DOD'} = 60°\) dans le sens horaire. À vérifier au rapporteur.
Q5 : La rotation conserve les longueurs entre tous les points du plan, donc \(D'E' = DE\).
\(OD = OD'\) et \(OE = OE'\) (conservation des distances au centre).
\(D'E' = DE\) (la rotation conserve les longueurs).

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