## Exercice 1

Sur la figure ci-dessous :

Les segments [OA] et [UI] se coupent en M.

MO = 21 ; MA = 27 ; MU = 28 ; MI = 36 et AI = 45.

L'unité de longueur est le millimètre.

1. Montrer que les droites (OU) et (AI) sont parallèles.

2. Calculer la longueur OU.

3. Prouver que le triangle AMI est rectangle.

### Question 1 : Montrer que (OU) et (AI) sont parallèles

On a :
Gauche :
MO MA = 21 27
≈ 0,778
Milieu :
MU MI = 28 36
≈ 0,778
Droite :
OU AI
(on ne peut pas
calculer OU)
Or : Gauche = Milieu, donc MO MA = MU MI
Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (OU) et (AI) sont parallèles

### Question 2 : Calculer OU

📝 Instructions : Colorier le grand triangle MAI en rouge et le petit triangle MOU en vert.
On a : M, O, A alignés
M, U, I alignés
(OU) et (AI) sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès
MA MO = MI MU = AI OU
27 21 = 45 OU
OU = 45 × 21 ÷ 27 = 35 mm
Donc : OU mesure 35 mm

### Question 3 : Prouver que AMI est rectangle

On a :
Gauche :
AI² = 45²
= 2 025
Droite :
AM² + MI² = 27² + 36²
= 729 + 1 296
= 2 025
Or : Gauche = Droite, donc AI² = AM² + MI²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMI est rectangle en M

## Exercice 2

Attention à bien lire la consigne pour la longueur AC.

Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AC = 7,2 cm et BC = 5,4 cm.

1. Montrer que AB mesure 9 cm.

2. Soit M un point du segment [AC] tel que CM = 1,2 cm. Par ce point M, on trace la perpendiculaire à la droite (AC). Elle coupe la droite (AB) en N. On suppose ainsi les points C, M et A alignés ainsi que les points B, N et A alignés. Calculer MN.

### Question 1 : Montrer que AB = 9 cm

On a : Le triangle ABC est rectangle en C
AC = 7,2 cm
BC = 5,4 cm
Hypoténuse : AB
Or : d'après le théorème de Pythagore
AB² = AC² + BC²
AB² = 7,2² + 5,4²
AB² = 51,84 + 29,16 = 81
AB = √81 = 9 cm
Donc : AB mesure 9 cm

### Question 2 : Calculer MN

AM = AC - CM = 7,2 - 1,2 = 6 cm
📝 Instructions : Colorier le grand triangle ABC en rouge et le petit triangle AMN en vert.
On a : C, M, A alignés
B, N, A alignés
(MN) est perpendiculaire à (AC) et (BC) est perpendiculaire à (AC), donc (MN) et (BC) sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès
AC AM = AB AN = BC MN
7,2 6 = 5,4 MN
MN = 5,4 × 6 ÷ 7,2 = 4,5 cm
Donc : MN mesure 4,5 cm

## Exercice 3

Sur le dessin ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O et E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F.

On ne demande pas de reproduire la figure.

De plus, on donne les longueurs suivantes :

CO = 3 cm ; AO = 3,5 cm ; OB = 4,9 cm ; CD = 1,8 cm ; OF = 2,8 cm et OE = 2 cm.

1. Calculer les longueurs OD et AB (ne pas utiliser le triangle OEF)

2. Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles (ne pas utiliser le triangle OCD).

### Question 1 : Calculer OD et AB

📝 Instructions : Colorier le grand triangle OAB en rouge et le petit triangle OCD en vert.
On a : O, C, A alignés
O, D, B alignés
(AB) et (CD) sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès
OA OC = OB OD = AB CD
3,5 3 = 4,9 OD
OD = 4,9 × 3 ÷ 3,5 = 4,2 cm
3,5 3 = AB 1,8
AB = 1,8 × 3,5 ÷ 3 = 2,1 cm
Donc : OD mesure 4,2 cm et AB mesure 2,1 cm

### Question 2 : Prouver que (EF) et (AB) sont parallèles

On a :
Gauche :
OE OA = 2 3,5
≈ 0,571
Milieu :
OF OB = 2,8 4,9
≈ 0,571
Droite :
EF AB
(on ne peut pas
calculer EF)
Or : Gauche = Milieu, donc OE OA = OF OB
Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles
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