📖 Rappel — Distributivité

Pour développer, on multiplie le facteur extérieur par chaque terme entre les parenthèses.
\(k(a + b) = ka + kb\)
\(k(a - b) = ka - kb\)
\(-k(a + b) = -ka - kb\) ⚠ Attention aux signes !
Progression
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## Exercice 1 / 5

DévelopperDistributivité simple
✓ Vu

Développer les expressions suivantes :

\(3(x + 5)\)
\(7(a - 4)\)
\(-2(x + 6)\)
\(-5(y - 3)\)
\(x(3x + 2)\)
\(4a(2a - 5)\)
\(-x(x - 7)\)
\(-3y(2y + 1)\)

💡 Indice

Quel est le signe du résultat quand on multiplie un facteur négatif par un terme positif ? Et par un terme négatif ?
Pour \(-x(x - 7)\), le facteur \(-x\) doit être distribué sur chaque terme à l'intérieur. Combien de produits cela donne-t-il ? Comment déterminer le signe de chacun avant de calculer ?
\(3(x+5) = 3x + 15\)
\(7(a-4) = 7a - 28\)
\(-2(x+6) = -2x - 12\)
\(-5(y-3) = -5y + 15\)
\(x(3x+2) = 3x^2 + 2x\)
\(4a(2a-5) = 8a^2 - 20a\)
\(-x(x-7) = -x^2 + 7x\)
\(-3y(2y+1) = -6y^2 - 3y\)

💡 \((-) \times (-) = (+)\) · Distribuer le signe sur tous les termes !

## Exercice 2 / 5

Développerpuis réduire
✓ Vu

Développer puis réduire :

\(2(x + 3) + 4x\)
\(3(a - 2) - (a + 5)\)
\(5(x + 1) + 2(x - 4)\)
\(4(x - 3) - 3(x - 1)\)
\(x(x + 2) + 3x\)
\(2a(a - 1) - (3a^2 - 4a)\)

💡 Indice

Dans quel ordre : développer d'abord, ou regrouper les termes semblables d'abord ?
Un signe « − » devant une parenthèse sans coefficient visible, ça représente quoi comme multiplication ? Qu'arrive-t-il à chaque terme à l'intérieur ?
\(2(x+3)+4x\)
\(= 2x+6+4x\)
\(= 6x+6\)
\(3(a-2)-(a+5)\)
\(= 3a-6-a-5\)
\(= 2a-11\)
\(5(x+1)+2(x-4)\)
\(= 5x+5+2x-8\)
\(= 7x-3\)
\(4(x-3)-3(x-1)\)
\(= 4x-12-3x+3\)
\(= x-9\)
\(x(x+2)+3x\)
\(= x^2+2x+3x\)
\(= x^2+5x\)
\(2a(a-1)-(3a^2-4a)\)
\(= 2a^2-2a-3a^2+4a\)
\(= -a^2+2a\)

## Exercice 3 / 5

Programme de calcul
✓ Vu
⚙️ On donne un programme de calcul. Exprimer le résultat en fonction de \(x\), développer et réduire.
Programme
1Choisir un nombre \(x\)
2Ajouter 5
3Multiplier le résultat par 3
4Soustraire le double du nombre de départ
1.Tester le programme avec \(x = 4\).
2.Exprimer le résultat en fonction de \(x\), développer et réduire.
3.Vérifier avec \(x = 4\) que l'expression réduite donne le même résultat.

💡 Indices

« Multiplier le résultat par 3 » : le résultat dont on parle, c'est toute l'expression obtenue à l'étape précédente. Comment représenter mathématiquement qu'on multiplie une expression entière par un nombre ?
Comment traduit-on « le double du nombre de départ » en expression littérale ? Une fois que tu as développé l'expression de l'étape 3, quels termes peux-tu simplifier ensemble ?
Question 1 — Avec \(x = 4\)
Étape 2 : \(4 + 5 = 9\)
Étape 3 : \(9 \times 3 = 27\)
Étape 4 : \(27 - 2 \times 4 = 27 - 8 = \mathbf{19}\)
Question 2 — Expression
\(x \to x+5 \to 3(x+5) \to 3(x+5) - 2x\)
\(= 3x + 15 - 2x\)
\(= x + 15\)
Question 3 — Vérification
Avec \(x = 4\) : \(4 + 15 = \mathbf{19}\) ✓

## Exercice 4 / 5

Programmes comparésDistributivité
✓ Vu
🔀 Deux programmes de calcul. Développer et réduire chacun, puis comparer.

Programme A

Étapes
1Choisir \(x\)
2Soustraire 3
3Multiplier par 4

Programme B

Étapes
1Choisir \(x\)
2Multiplier par 4
3Soustraire 12
1.Développer et réduire l'expression du programme A.
2.Écrire l'expression du programme B (déjà réduite).
3.Que remarques-tu ? Les deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? Justifie.

💡 Indice

Pour le programme A, attention à l'ordre : on soustrait d'abord, puis on multiplie le tout. Comment écrire en une expression que « le tout » est multiplié par 4, sans en oublier une partie ?
Programme A
\(4(x - 3) = 4x - 12\)
\(A = 4x - 12\)
Programme B
\(4x - 12\)
\(B = 4x - 12\)
Conclusion
Les deux expressions sont identiques : \(4(x-3) = 4x - 12\).
Les deux programmes donnent toujours le même résultat — c'est précisément ce qu'illustre la distributivité.

## Exercice 5 / 5

AiresDévelopper
✓ Vu
🟦 Calculer l'aire de chaque figure en développant et réduisant l'expression.

Rectangle

Carré de côté \(3x\) moins carré de côté \(x\)

1.Développer l'aire du rectangle.
2.Exprimer l'aire du grand carré, l'aire du coin retiré. En déduire l'aire restante.
3.Pour quelle valeur de \(x\) (non nulle) les deux figures ont-elles la même aire ?

💡 Indices

Pour chaque figure, comment calculer l'aire ? Pour la figure avec le coin retiré, y a-t-il un moyen de partir d'une forme simple et d'en déduire celle-ci par une opération ?
Pour la question 3, tu cherches pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) les deux aires sont égales. Quelle équation cela donne-t-il ? Peux-tu la simplifier avant de la résoudre ?
Question 1 — Aire du rectangle
\(x(x+5) = x^2 + 5x\)
\(\mathcal{A}_\text{rect} = x^2 + 5x\)
Question 2 — Aire restante
Grand carré : \((3x)^2 = 9x^2\)
Coin retiré : \(x^2\)
Aire restante \(= 9x^2 - x^2\)
\(\mathcal{A}_\text{figure} = 8x^2\)
Question 3 — Même aire
\(x^2 + 5x = 8x^2\)
\(5x = 7x^2\)
Si \(x \neq 0\), on divise par \(x\) : \(5 = 7x\)
\(x = \dfrac{5}{7}\)

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