II. Théorème de Thalès
1. Théorème
📗 Théorème

Si dans un triangle ABC, M est un point de la droite (AB), N est un point de la droite (AC) et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :

ABAM = ACAN = BCMN
Exemples
Configuration 1
Les points A, M, B sont alignés.
Les points A, N, C sont alignés.
(MN) est parallèle à (BC)
Donc : ABAM = ACAN = BCMN
Le grand triangle est ABC en rouge.
Le petit triangle est AMN en vert.
Configuration 2 – Papillon
Les points B, A, C sont alignés.
Les points N, A, M sont alignés.
(NM) est parallèle à (BC)
Donc : ACAN = ABAM = BCNM
Le grand triangle est ABC en rouge.
Le petit triangle est ANM en vert.
💡 Remarque

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans un triangle.

2. Applications du théorème de Thalès
✏️ Application a)

On considère la figure ci-dessous pour laquelle les points O, E et S et les points O, U et R sont alignés, OU = 3 cm, OE = 4 cm, OR = 10 cm et RS = 9 cm. Les droites (UE) et (RS) sont parallèles.

→ Calculer les longueurs OS et UE.

On a : O, E, S alignés
O, U, R alignés
(UE) est parallèle à (RS)
Or : d'après le théorème de Thalès :
Le grand triangle est ORS en rouge, le petit triangle est OUE en vert.
OROU = OSOE = RSUE
103 = OS4 = 9UE
Calcul de OS :
OS = 10 × 4 ÷ 3 = 40 ÷ 3 ≈ 13,3 cm
Calcul de UE :
UE = 9 × 3 ÷ 10 = 27 ÷ 10 = 2,7 cm
Donc : OS mesure environ 13,3 cm et UE mesure 2,7 cm.
À retenir : On écrit la proportion avec les lettres (grand triangle en haut en rouge / petit triangle en bas en vert), on remplace par les valeurs connues, puis on fait le produit en croix pour chaque inconnue.
✏️ Application b)

On considère la figure ci-dessous pour laquelle les points A, F et B et les points C, F et D sont alignés, et les droites (AC) et (DB) sont parallèles. AC = 3 cm, DB = 11,2 cm, FB = 8,4 cm et CF = 2,5 cm.

→ Calculer les longueurs AF et FD.

On a : A, F, B alignés
C, F, D alignés
(AC) est parallèle à (DB)
Or : d'après le théorème de Thalès (configuration papillon) :
Le grand triangle est FBD en rouge, le petit triangle est FAC en vert.
FBFA = FDFC = DBAC
8,4FA = FD2,5 = 11,23
Calcul de FA :
FA = 8,4 × 3 ÷ 11,2 = 25,2 ÷ 11,2 = 2,25 cm
Calcul de FD :
FD = 2,5 × 11,2 ÷ 3 = 28 ÷ 3 ≈ 9,33 cm
Donc : FA mesure 2,25 cm et FD mesure environ 9,33 cm.
À retenir : Dans la configuration papillon, le sommet du « X » est F. Les côtés du grand triangle (FBD) sont en haut en rouge, les côtés du petit triangle (FAC) sont en bas en vert : FB/FA = FD/FC = DB/AC.
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