Chapitre – Proportionnalité

# I. Les Ratios

1. Définition
📘 Définition

Deux nombres \(a\) et \(b\) sont dans le ratio \(2:3\) si :

\(\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3}\)

Trois nombres \(a\), \(b\) et \(c\) sont dans le ratio \(2:3:7\) si :

\(\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{7}\)
📌 À retenir

Le ratio \(2:3\) se lit « 2 pour 3 ». C'est un partage inégal : si on partage 5 bonbons dans le ratio \(2:3\), une personne reçoit 2 bonbons et l'autre en reçoit 3.

2. Vérifier si des nombres sont dans un ratio
📗 Méthode

Pour vérifier si des nombres sont dans un ratio donné, on dresse un tableau à deux lignes :
— la première ligne contient les termes du ratio,
— la deuxième ligne contient les nombres à tester.
On calcule les quotients (nombre ÷ terme du ratio correspondant), puis on les compare.

- Si tous les quotients sont égaux → les nombres sont dans ce ratio.
- S'ils sont différents → les nombres ne sont pas dans ce ratio.

✏️ Exemple
Les nombres 15 et 27 sont-ils dans le ratio \(2:7\) ?

On dresse le tableau :

Ratio | 2 | 7
Nombres | 15 | 27

On calcule les quotients :

\(15 \div 2 = \)\(7{,}5\) et  \(27 \div 7 \approx \)\(3{,}86\)
Conclusion : Les quotients sont différents (\(7{,}5 \neq 3{,}86\)), donc 15 et 27 ne sont pas dans le ratio \(2:7\).
✏️ Exemple
Les nombres 6 et 9 sont-ils dans le ratio \(2:3\) ?

On dresse le tableau :

Ratio | 2 | 3
Nombres | 6 | 9

On calcule les quotients :

\(6 \div 2 = \)\(3\) et  \(9 \div 3 = \)\(3\)
Conclusion : Les quotients sont égaux (\(3 = 3\)), donc 6 et 9 sont bien dans le ratio \(2:3\).
🧩 Exercice
Les nombres 10, 15 et 35 sont-ils dans le ratio \(2:3:7\) ?

On dresse le tableau :

Ratio | 2 | 3 | 7
Nombres | 10 | 15 | 35

On calcule les quotients :

\(10 \div 2 = \)\(5\) et  \(15 \div 3 = \)\(5\) et  \(35 \div 7 = \)\(5\)
Conclusion : Les quotients sont égaux (\(5 = 5 = 5\)), donc 10, 15 et 35 sont bien dans le ratio \(2:3:7\).
3. Simplification de ratios
📗 Méthode

De la même façon qu'avec les fractions, on peut simplifier un ratio en divisant chaque terme par un même nombre. On s'arrête lorsque les termes n'ont plus de diviseur commun.

Il existe deux méthodes :

- Méthode 1 : diviser progressivement par un nombre commun jusqu'à simplification complète.
- Méthode 2 : décomposer les deux termes en facteurs premiers, repérer les facteurs communs et les éliminer.

✏️ Exemple
Simplifier le ratio \(20:12\).
Méthode 1 – Divisions successives
÷ 2\(20:12 \rightarrow 10:6\)
÷ 2\(10:6 \rightarrow 5:3\)

5 et 3 sont premiers entre eux → on s'arrête.

Résultat : \(20:12 = \mathbf{5:3}\)
Méthode 2 – Facteurs premiers
20 10 5 1
2 2 5
20 = 2×2×5
12 6 3 1
2 2 3
12 = 2×2×3

\(20 =\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 5
\(12 =\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 3

Résultat : \(20:12 = \mathbf{5:3}\)
🧩 Exercice
Simplifier les ratios suivants en utilisant la méthode de votre choix :

\(a)\; 18:12 \qquad b)\; 15:25 \qquad c)\; 132:88\)

\(a)\; 18:12\)

÷ 2\(18:12 \rightarrow 9:6\)
÷ 3\(9:6 \rightarrow 3:2\)
Résultat : \(18:12 = \mathbf{3:2}\)

\(b)\; 15:25\)

÷ 5\(15:25 \rightarrow 3:5\)
Résultat : \(15:25 = \mathbf{3:5}\)

\(c)\; 132:88\) — décomposition en facteurs premiers

132 66 33 11 1
2 2 3 11
132 = 2 × 2 × 3 × 11
88 44 22 11 1
2 2 2 11
88 = 2 × 2 × 2 × 11

\(132 =\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 3 \(\times\) 11
\(88 =\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 \(\times\) 11

On simplifie par \(2 \times 2 \times 11 = 44\), il reste \(3\) et \(2\).

Résultat : \(132:88 = \mathbf{3:2}\)
4. Partager une quantité selon un ratio
📙 Méthode

Pour partager une quantité totale selon un ratio, on suit ces étapes :

- Étape 1 : calculer le total des parts (additionner les termes du ratio).
- Étape 2 : diviser la quantité totale par le nombre total de parts → valeur d'une part.
- Étape 3 : multiplier chaque terme du ratio par la valeur d'une part.
- Étape 4 : vérifier en additionnant toutes les parts obtenues.

✏️ Exemple
Partager 120 bonbons dans le ratio \(2:3:19\).
Étape 1 – Total des parts \(2 + 3 + 19 = 24 \text{ parts au total}\)
Étape 2 – Valeur d'une part \(120 \div 24 = 5\)
Étape 3 – Calcul des parts \(\text{Part 1} : 2 \times 5 = 10\)
\(\text{Part 2} : 3 \times 5 = 15\)
\(\text{Part 3} : 19 \times 5 = 95\)
Part 1
10
Part 2
15
Part 3
95
Étape 4 – Vérification \(10 + 15 + 95 = 120\) ✓
Conclusion : Les trois parts sont 10, 15 et 95 bonbons.
✏️ Exemple
Partager 5 bonbons entre Mona et Ninon dans le ratio \(2:3\).
Étape 1 – Total des parts \(2 + 3 = 5 \text{ parts au total}\)
Étape 2 – Valeur d'une part \(5 \div 5 = 1\)
Étape 3 – Calcul des parts \(\text{Mona} : 2 \times 1 = 2\)
\(\text{Ninon} : 3 \times 1 = 3\)
Étape 4 – Vérification \(2 + 3 = 5\) ✓
Conclusion : Mona reçoit 2 bonbons et Ninon reçoit 3 bonbons.
🧩 Exercice
Un héritage de 84 000 € est partagé entre trois enfants dans le ratio \(1:2:4\). Quelle est la part de chacun ?
Étape 1 – Total des parts \(1 + 2 + 4 = 7 \text{ parts au total}\)
Étape 2 – Valeur d'une part \(84\,000 \div 7 = 12\,000\text{ €}\)
Étape 3 – Calcul des parts \(\text{Enfant 1} : 1 \times 12\,000 = 12\,000\text{ €}\)
\(\text{Enfant 2} : 2 \times 12\,000 = 24\,000\text{ €}\)
\(\text{Enfant 3} : 4 \times 12\,000 = 48\,000\text{ €}\)
Étape 4 – Vérification \(12\,000 + 24\,000 + 48\,000 = 84\,000\text{ €}\) ✓
Enfant 1
12 000 €
Enfant 2
24 000 €
Enfant 3
48 000 €
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