📌 Méthode — Multiplier et diviser des fractions

Multiplier deux fractions
On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux. Pas besoin de mettre au même dénominateur !
Ex : 2/3 × 4/5 = 2×4 / 3×5 = 8/15
L'inverse d'une fraction
L'inverse de a/b est b/a : on échange numérateur et dénominateur.
L'inverse d'un entier n est 1/n.
Ex : inverse de 3/7 → 7/3 ; inverse de 5 → 1/5
Diviser par une fraction
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
Ex : 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12
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## Exercice 1 / 8

L'inverse — Entraînement

Donner l'inverse de chaque nombre.

a. L'inverse de 37 est …
b. L'inverse de 54 est …
c. L'inverse de 16 est …
d. L'inverse de 8 est …
e. L'inverse de 1 est …
f. L'inverse de 125 est …
Pour trouver l'inverse d'une fraction, observe ce qui est en haut et ce qui est en bas, et pense à les permuter.
Comment écrire un entier sous forme de fraction ? Quelle est la règle pour trouver son inverse à partir de là ?
Règle : L'inverse de a/b est b/a — on échange le numérateur et le dénominateur. Le produit d'un nombre par son inverse vaut toujours 1.
Exemple :
3 7
⟷
7 3
Le haut devient le bas, le bas devient le haut.
a) Inverse de 3/7
37 → 73
Inverse = 7/3
b) Inverse de 5/4
54 → 45
Inverse = 4/5
c) Inverse de 1/6
16 → 61 = 6
Inverse = 6 (entier)
d) Inverse de 8
8 = 81 → 18
Inverse = 1/8
e) Inverse de 1
1 = 11 → 11 = 1
L'inverse de 1 est 1 — 1 est son propre inverse !
f) Inverse de 12/5
125 → 512
Inverse = 5/12
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## Exercice 2 / 8

Multiplications — Premiers calculs

Calculer.

a. 23 × 45
b. 37 × 29
c. 56 × 310
d. 4 × 38
Pour multiplier deux fractions, pense à ce que font les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux — pas besoin de chercher un dénominateur commun.
Pour d), comment écrire un entier sous forme de fraction pour pouvoir appliquer la règle de multiplication ?
Règle : ab × cd = a × cb × d — on multiplie les numérateurs et les dénominateurs séparément.
a) 2/3 × 4/5
23 × 45 = 2 × 43 × 5 = 815
= 8/15
b) 3/7 × 2/9
37 × 29 = 3 × 27 × 9 = 663
= 6/63 = 2/21
c) 5/6 × 3/10
56 × 310 = 5 × 36 × 10 = 1560
= 15/60 = 1/4
d) 4 × 3/8
4 = 41
41 × 38 = 4 × 31 × 8 = 128
= 12/8 = 3/2
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## Exercice 3 / 7

Divisions — Premiers calculs

Calculer en transformant la division en multiplication par l'inverse.

a. 34 ÷ 12
b. 56 ÷ 53
c. 78 ÷ 74
d. 25 ÷ 4
Diviser par une fraction, quelle transformation permet de ramener ça à une multiplication ? Quelle fraction faut-il utiliser à la place du diviseur ?
Pour d), comment écrire l'entier 4 sous forme de fraction pour trouver son inverse ?
Règle : a/b ÷ c/d = a/b × d/c — on remplace la division par une multiplication par l'inverse du diviseur (on retourne la 2e fraction).
a) 3/4 ÷ 1/2
Inverse de 12 = 21
34 × 21 = 3 × 24 × 1 = 64
= 6/4 = 3/2
b) 5/6 ÷ 5/3
Inverse de 53 = 35
56 × 35 = 5 × 36 × 5 = 1530
= 15/30 = 1/2
c) 7/8 ÷ 7/4
Inverse de 74 = 47
78 × 47 = 7 × 48 × 7 = 2856
= 28/56 = 1/2
d) 2/5 ÷ 4
4 = 41 → Inverse = 14
25 × 14 = 2 × 15 × 4 = 220
= 2/20 = 1/10
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## Exercice 4 / 7

Multiplications et divisions mélangées

Calculer.

a. 35 ÷ 910
b. 6 ÷ 34
c. 47 × 143
d. 58 ÷ 154
Commence par identifier s'il s'agit d'une multiplication ou d'une division. Pour les divisions, n'oublie pas de transformer en multiplication par l'inverse.
Pour b) : qui est divisé par qui ? Attention au sens de la division — le 6 est-il le dividende ou le diviseur ? Quel est l'inverse du nombre qui divise ?
a) 3/5 ÷ 9/10
Inverse de 910 = 109
35 × 109 = 3 × 105 × 9 = 3045 = 2/3
= 2/3
b) 6 ÷ 3/4
6 = 61 ; Inverse de 34 = 43
61 × 43 = 243 = 8
= 8 (entier)
c) 4/7 × 14/3
47 × 143 = 4 × 147 × 3 = 5621 = 8/3
= 8/3
d) 5/8 ÷ 15/4
Inverse de 154 = 415
58 × 415 = 5 × 48 × 15 = 20120 = 1/6
= 1/6
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## Exercice 5 / 7

Vrai ou faux ?

Dire si chaque égalité est vraie ou fausse. Justifier en effectuant le calcul.

a. 23 × 32 = 1
b. 34 ÷ 38 = 12
c. 45 ÷ 2 = 85
Pour a) : observe bien les deux fractions. Quelle relation y a-t-il entre elles ? Quel est le résultat du produit d'un nombre par son inverse ?
Pour c) : diviser par 2, est-ce que ça revient à multiplier par quelque chose ? Le résultat sera-t-il plus grand ou plus petit que la fraction de départ ? Pourquoi ?
a) 2/3 × 3/2 = 1 ?
23 et 32 sont inverses l'une de l'autre.
2 × 33 × 2 = 66 = 1
VRAI. Le produit d'un nombre par son inverse vaut toujours 1.
b) 3/4 ÷ 3/8 = 1/2 ?
Inverse de 38 = 83
34 × 83 = 3 × 84 × 3 = 2412 = 2
FAUX. Le résultat est 2, et non 1/2. (Diviser par une fraction plus petite que soi donne un résultat supérieur à 1.)
c) 4/5 ÷ 2 = 8/5 ?
Inverse de 2 = 12
45 × 12 = 410 = 25
FAUX. Diviser par 2 donne 2/5, pas 8/5. Diviser, c'est multiplier par 1/2, ce qui diminue le résultat.
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## Exercice 6 / 7

🧩 Problème
🧵 Le tissu
Une couturière possède un rouleau de tissu de 34 de mètre. Elle veut couper des morceaux de 38 de mètre chacun.
1. Combien de morceaux peut-elle obtenir exactement ?
2. Elle décide ensuite de n'utiliser que les 23 de chaque morceau pour sa création. Quelle longueur de tissu représente un morceau utilisé ?
Question 1 : pour trouver combien de fois une longueur entre dans une autre, réfléchis à l'opération qui te permettrait de savoir combien de fois 3/8 entre dans 3/4.
Question 1 : « combien de fois 3/8 entre dans 3/4 » — quelle opération traduit cette idée de « combien de fois entre » ?
Question 2 : « les 2/3 d'un morceau » — quelle opération traduit l'idée de « prendre une fraction d'une quantité » ?
1. Nombre de morceaux

On cherche combien de fois 38 entre dans 34 → c'est une division.

Inverse de 38 = 83
34 ÷ 38 = 34 × 83 = 3 × 84 × 3 = 2412 = 2
La couturière peut obtenir exactement 2 morceaux.
2. Longueur d'un morceau utilisé

On prend les 2/3 d'un morceau de 38 m → c'est une multiplication.

23 × 38 = 2 × 33 × 8 = 624 = 14
Un morceau utilisé mesure 1/4 de mètre.
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## Exercice 7 / 7

🧩 Problème ⭐ Difficile
🚗 Le trajet en voiture
Une voiture parcourt 45 de litre d'essence pour chaque tranche de 13 d'heure de trajet.
1. Quelle quantité d'essence la voiture consomme-t-elle en 1 heure entière ?
2. Le réservoir contient 125 litres. Combien de tranches de 13 d'heure le réservoir peut-il couvrir ?
3. En déduire la durée totale du trajet possible avec ce réservoir, en heures.
Question 1 : si on connaît la consommation pour 1/3 d'heure, quelle opération permet d'obtenir la consommation pour une heure entière ?
Question 2 : on veut savoir combien de fois une certaine quantité entre dans une autre. Quelle opération traduit cette idée ?
Question 3 : tu connais le nombre de tranches de 1/3 d'heure. Comment convertir un nombre de tranches en une durée exprimée en heures ?
1. Consommation en 1 heure

1 heure = 3 tranches de 1/3 h. En 1/3 h, consommation = 45 L.

Consommation en 1 heure = 3 × 45

31 × 45 = 125
La voiture consomme 12/5 litres par heure.
2. Nombre de tranches couvertes par le réservoir

Réservoir : 125 L ; chaque tranche coûte 45 L.

Nombre de tranches = 125 ÷ 45

Inverse de 45 = 54
125 × 54 = 12 × 55 × 4 = 6020 = 3
Le réservoir couvre 3 tranches de 1/3 d'heure.
3. Durée totale du trajet

3 tranches de 13 h = 3 × 13

3 × 13 = 33 = 1
Avec ce réservoir, la voiture peut rouler exactement 1 heure.

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