📌 L'identité à connaître par cœur
(a + b)(a − b)  = a² − b²
Forme factorisée
(a + b)(a − b)
⇄
Forme développée
a² − b²
➡ Développer (factorisé → développé)
On repère a et b, on applique directement :
(x + 3)(x − 3) = x² − 3² = x² − 9
Ici a = x et b = 3, donc b² = 9.
⬅ Factoriser (développé → factorisé)
On cherche si les deux termes sont des carrés parfaits :
x² − 16 = (x + 4)(x − 4)
Car 16 = 4², donc b = 4.
⚠️ Piège classique
a² + b² n'est pas factorisable avec cette identité. Il faut obligatoirement un « − » entre les deux carrés.
🎯 Corrections vues
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Partie 1 — Développer
Exercice 1 / 6
Développer — Application directe
✓ Vu

Développer les expressions suivantes en utilisant l'identité.

Pour chaque expression, commencer par repérer a et b.

A = (x + 3)(x − 3)
B = (x + 5)(x − 5)
C = (x + 7)(x − 7)
D = (4 + y)(4 − y)
💡 Indices
Pour A : identifie ce qui joue le rôle de a et de b dans l'identité, puis applique la formule.
Pour D : l'ordre des termes dans (a+b)(a−b) compte. Identifie bien lequel des deux est a et lequel est b.
✅ Correction — On applique directement l'identité, sans tableau
A = (x + 3)(x − 3)
a = xetb = 3 A = x² − 3² = x² − 9
B = (x + 5)(x − 5)
a = xetb = 5 B = x² − 5² = x² − 25
C = (x + 7)(x − 7)
a = xetb = 7 C = x² − 7² = x² − 49
D = (4 + y)(4 − y)
a = 4 etb = y D = 4² − y² = 16 − y²
Exercice 2 / 6
Double distributivité — Tableau et Calcul
✓ Vu

Développer par double distributivité, puis vérifier que le résultat correspond bien à l'identité a² − b².

💡 La double distributivité donne 4 termes. Deux d'entre eux ont des signes opposés et s'annulent toujours — c'est pourquoi l'identité fonctionne !
E = (x + 4)(x − 4)
F = (2x + 1)(2x − 1)
💡 Indices
Pour E : développe par double distributivité et observe ce qui se passe avec les termes du milieu.
Pour F : identifie a et b dans cette expression, en faisant attention aux expressions plus complexes qu'un simple entier ou une simple lettre.
✅ Correction — Double distributivité avec les deux méthodes
E = (x + 4)(x − 4)
📊 Méthode du tableau

× | x | −4
--- | --- | ---
x | x² | −4x
4 | +4x | −16

E = x² − 4x + 4x − 16 = x² − 16
✏️ Méthode du calcul
E = x × (x − 4) + 4 × (x − 4)
= x² − 4x + 4x − 16
= x² − 16
👀 Les termes −4x et +4x s'annulent — c'est toujours le cas avec deux facteurs conjugués. Il reste bien x² − 4² = x² − 16.
F = (2x + 1)(2x − 1)
📊 Méthode du tableau

× | 2x | −1
--- | --- | ---
2x | 4x² | −2x
1 | +2x | −1

F = 4x² − 2x + 2x − 1 = 4x² − 1
✏️ Méthode du calcul
F = 2x × (2x − 1) + 1 × (2x − 1)
= 4x² − 2x + 2x − 1
= 4x² − 1
Partie 2 — Factoriser
Exercice 3 / 6
Factoriser — Carrés simples
✓ Vu

Factoriser les expressions suivantes en utilisant l'identité.

Méthode : trouver a et b, puis écrire (a+b)(a−b).

G = x² − 9
H = x² − 25
I = x² − 1
J = x² − 64
💡 Indices
Pour G : écris chaque terme comme un carré pour identifier a et b.
Pour J : quel entier faut-il élever au carré pour obtenir 64 ?
✅ Correction — On applique directement l'identité, sans tableau
G = x² − 9
x² = (x)² → a = x 9 = 3² → b = 3 G = (x + 3)(x − 3)
Tableau récapitulatif — H, I, J

Expression | a(car a² = …) | b(car b² = …) | Forme factorisée
--- | --- | --- | ---
H = x² − 25 | x | 5 | (x + 5)(x − 5)
I = x² − 1 | x | 1 | (x + 1)(x − 1)
J = x² − 64 | x | 8 | (x + 8)(x − 8)

Exercice 4 / 6
Factoriser — Avec coefficients
✓ Vu

Factoriser les expressions suivantes. Attention : a et b ne sont pas toujours aussi simples !

🔍 Stratégie
Le premier terme est-il un carré parfait ? → Quel est a ?
Le second terme (après le −) est-il un carré parfait ? → Quel est b ?
K = 4x² − 9
L = 9x² − 16
M = 25 − x²
N = 4x² − 49
💡 Indices
Pour K : le premier terme n'est pas un simple carré — cherche comment l'écrire sous la forme (…)².
Pour M : attention à l'ordre des termes — lequel joue le rôle de a, lequel joue le rôle de b ?
✅ Correction — On applique directement l'identité, sans tableau
K = 4x² − 9
4x² = (2x)² → a = 2x 9 = 3² → b = 3 K = (2x + 3)(2x − 3)
L = 9x² − 16
9x² = (3x)² → a = 3x 16 = 4² → b = 4 L = (3x + 4)(3x − 4)
M = 25 − x²
25 = 5² → a = 5 x² = (x)² → b = x M = (5 + x)(5 − x)
N = 4x² − 49
4x² = (2x)² → a = 2x 49 = 7² → b = 7 N = (2x + 7)(2x − 7)
Partie 3 — Dans les deux sens
Exercice 5 / 6
Trier et transformer
✓ Vu

Pour chaque expression, dire si elle est développée ou factorisée, puis la réécrire sous l'autre forme.

P = (x+6)(x−6)
Q = x² − 36
R = (3+x)(3−x)
S = 4x² − 1
T = x² − 100
U = (5x+2)(5x−2)
💡 Indices
Les expressions avec (…)(…) sont factorisées → les développer. Les expressions avec x² − nombre sont développées → les factoriser.
Pour S : écris chaque terme comme un carré, puis applique l'identité.
✅ Correction — On applique directement l'identité, sans tableau

Expression | Forme initiale | a et b | Autre forme
--- | --- | --- | ---
P = (x+6)(x−6) | Factorisée | a=x, b=6 | x² − 36
Q = x² − 36 | Développée | a=x, b=6 | (x+6)(x−6)
R = (3+x)(3−x) | Factorisée | a=3, b=x | 9 − x²
S = 4x² − 1 | Développée | a=2x, b=1 | (2x+1)(2x−1)
T = x² − 100 | Développée | a=x, b=10 | (x+10)(x−10)
U = (5x+2)(5x−2) | Factorisée | a=5x, b=2 | 25x² − 4

Détail — P = (x+6)(x−6) → Développer
a = x, b = 6 P = x² − 6² = x² − 36
Détail — Q = x² − 36 → Factoriser
x² = (x)² → a = x 36 = 6² → b = 6 Q = (x + 6)(x − 6)
Exercice 6 / 6
Calcul astucieux avec des nombres
✓ Vu

Calculer astucieusement en utilisant l'identité a² − b² = (a+b) × (a−b).

💡 On part de la forme développée (soustraction de deux carrés) pour obtenir la forme factorisée (un produit). Un produit de nombres ronds est souvent bien plus simple à calculer !
V = 51² − 49²
W = 103² − 97²

Identifier a et b, puis appliquer (a+b) × (a−b).

💡 Indices
Pour V : peut-on écrire 51² − 49² comme un produit du type (a+b)(a−b) ? Si oui, les calculs deviennent beaucoup plus simples.
Pour W : applique la même idée qu'en V.
✅ Correction — On applique directement l'identité, sans tableau
V = 51² − 49²
a = 51 etb = 49 V = (51 + 49) × (51 − 49) = 100 × 2 = 200
W = 103² − 97²
a = 103 etb = 97 W = (103 + 97) × (103 − 97) = 200 × 6 = 1 200
🧠 Sans l'identité : 51² = 2 601 et 49² = 2 401, puis 2 601 − 2 401 = 200. Avec l'identité : 100 × 2 = 200 en 2 secondes !

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