Chapitre – Partie 1

# Calcul littéral

Simplifier · Réduire · Substituer · Tester · Développer

I. Simplifier et réduire
1. Simplifier
📘 Convention

Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe × lorsqu'il est placé devant une lettre ou une parenthèse.

\(2 \times b = 2b \qquad\qquad 4 \times (a+3) = 4(a+3)\)
📗 Propriété

Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l'ordre des facteurs : on regroupe d'abord les nombres, puis les lettres.

\(\textcolor{#b85c0b}{3} \times \textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#b85c0b}{2} = (\textcolor{#b85c0b}{3 \times 2}) \times \textcolor{#6b3fa0}{x} = \textcolor{#b85c0b}{6}\textcolor{#6b3fa0}{x}\)
✏️ Exemple

Simplifier les expressions suivantes :

1) | \(2 \times b\) | \(2 \times b\) | . . . . . .\(= 2b\)
2) | \(a \times b\) | \(a \times b\) | . . . . . .\(= ab\)
3) | \(1 \times x\) | \(1 \times x\) | . . . . . .\(= x\) (multiplier par 1 ne change rien)
4) | \(4 \times (7a + 3)\) | \(4 \times (7a + 3)\) | . . . . . .\(= 4(7a+3)\)
5) | \(2x \times 3x\) | \((\textcolor{#b85c0b}{2} \times \textcolor{#b85c0b}{3}) \times (\textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#6b3fa0}{x})\) | . . . . . .\(= 6x^2\)
6) | \(x \times x\) | \(\textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#6b3fa0}{x}\) | . . . . . .\(= x^2\)
7) | \(x \times x \times x\) | \(\textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#6b3fa0}{x} \times \textcolor{#6b3fa0}{x}\) | . . . . . .\(= x^3\)
8) | \(3x \times 2x \times 2x\) | \((\textcolor{#b85c0b}{3 \times 2 \times 2}) \times (\textcolor{#6b3fa0}{x \times x \times x})\) | . . . . . .\(= 12x^3\)
9) | \(2x \times 3y \times 2x\) | \((\textcolor{#b85c0b}{2 \times 3 \times 2}) \times (\textcolor{#6b3fa0}{x \times x}) \times \textcolor{#1b7a40}{y}\) | . . . . . .\(= 12x^2y\)

💡 5, 8, 9) On regroupe d'abord les nombres ensemble, puis les lettres ensemble.
💡 6) \(x \times x = x^2\) (x au carré). 7) \(x \times x \times x = x^3\) (x au cube).
2. Réduire
📗 Propriété

On peut regrouper les termes semblables, c'est-à-dire les termes qui contiennent la même lettre avec le même exposant.

\(\textcolor{#1a6fa0}{a}x + \textcolor{#1b7a40}{b}x = (\textcolor{#1a6fa0}{a}+\textcolor{#1b7a40}{b})x\)
\(\textcolor{#1a6fa0}{a}x - \textcolor{#1b7a40}{b}x = (\textcolor{#1a6fa0}{a}-\textcolor{#1b7a40}{b})x\)
💡 Rappel clé – le coefficient 1 invisible

La lettre \(x\) toute seule cache un coefficient 1 invisible :

\(x = \textcolor{#2563eb}{1} \times x = \textcolor{#2563eb}{1}x\)

Donc \(x + x = \textcolor{#2563eb}{1}x + \textcolor{#2563eb}{1}x = (\textcolor{#2563eb}{1}+\textcolor{#2563eb}{1})x = \textcolor{#1b7a40}{\mathbf{2x}}\).

✏️ Exemple

Réduire, si possible, les expressions suivantes :

1) | \(2x + 3x\) | \(2x\) \(+\) \(3x\) | . . . . . .\(= (2+3)x = 5x\)
2) | \(5x - 3x\) | \(5x\) \(-\) \(3x\) | . . . . . .\(= (5-3)x = 2x\)
3) | \(2x + 2y\) | \(2x\) \(+\) \(2y\) | . . . . . .Non réductible \(x\) et \(y\) sont des lettres différentes
4) | \(3x + 10\) | \(3x\) \(+\) \(10\) | . . . . . .Non réductible \(3x\) a une lettre, \(10\) n'en a pas
5) | \(x + x\) | \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(= (1+1)x = 2x\)
6) | \(3x + 2y + x\) | \(3x\) \(+\) \(2y\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(4x\) \(+\) \(2y\)
7) | \(4x + 12 - 3x + 8\) | \(4x\) \(+\) \(12\) \(-\) \(3x\) \(+\) \(8\) | . . . . . .\(x\) \(+\) \(20\)

💡 Les termes de même couleur ont la même lettre : on les additionne ou soustrait.
💡 5) \(x\) seul = \(1x\). Donc \(x + x = 1x + 1x = 2x\).
💡 7) On regroupe : \((4-3)x + (12+8) = 1x + 20 = x + 20\). On n'écrit pas le coefficient 1.
II. Substituer dans une expression littérale
📒 Définition

Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est remplacer chaque lettre par un nombre puis effectuer le calcul.

✏️ Exemple

Calculer \(A = 2x + 3y - 5\) lorsque \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 1}\) et \(\textcolor{#1b7a40}{y = 3}\).

Substitue\(A = 2 \times \textcolor{#6b3fa0}{1} + 3 \times \textcolor{#1b7a40}{3} - 5\)
× d'abord\(A = \textcolor{#2563eb}{2} + \textcolor{#1b7a40}{9} - 5\)
G → D\(A = 11 - 5\)
Résultat\(\boxed{A = 6}\)
💡 Règle des priorités : on effectue les multiplications avant les additions/soustractions.
Ici : \(2 \times \textcolor{#6b3fa0}{1} = \textcolor{#2563eb}{2}\) et \(3 \times \textcolor{#1b7a40}{3} = \textcolor{#1b7a40}{9}\) en premier, puis \(2 + 9 - 5 = 6\).
🧩 Exercice

Calculer \(B = 4x - 3\) pour \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 5}\), puis pour \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 0}\).

Pour \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 5}\) :

Substitue\(B = 4 \times \textcolor{#6b3fa0}{5} - 3\)
× d'abord\(B = 20 - 3\)
Résultat\(\boxed{B = 17}\)

Pour \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 0}\) :

Substitue\(B = 4 \times \textcolor{#6b3fa0}{0} - 3\)
× d'abord\(B = 0 - 3\)
Résultat\(\boxed{B = -3}\)
III. Tester des égalités
1. Égalités d'expressions
📒 Définition

Tester une égalité, c'est calculer chacun des membres séparément et regarder si les deux résultats sont identiques.

✏️ Exemple

Vérifier l'égalité \(x(x + 7) = x^2 + 7x\).

Membre gauche
Expression\(x(x + 7)\)
Développe\(= \textcolor{#c0392b}{x} \times x + \textcolor{#c0392b}{x} \times 7\)
Simplifie\(= x^2 + 7x\)
Réduire ?\(x^2\) et \(7x\) ne sont pas de la même famille (\(x^2 \neq x\)) → impossible
Résultat\(x^2 + 7x\)
Membre droit
Expression\(x^2 + 7x\)
Réduire ?\(x^2\) et \(7x\) ne sont pas de la même famille → impossible
Résultat\(x^2 + 7x\)
Donc : Membre gauche \(= x^2 + 7x =\) Membre droit. L'égalité est vraie pour tout \(x\).
2. Contre-exemples
📒 Définition

Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel les deux membres donnent des résultats différents pour prouver que l'égalité est fausse. Cet exemple s'appelle un contre-exemple.

✏️ Exemple

Léo affirme : « pour tous les nombres \(x\), on a \(5x + 1 = 6x\) ». A-t-il raison ?

On choisit la valeur simple \(\textcolor{#6b3fa0}{x = 2}\) pour tester :

Membre gauche
Substitue\(5 \times \textcolor{#6b3fa0}{2} + 1\)
× d'abord\(= 10 + 1\)
Résultat\(= 11\)
Membre droit
Substitue\(6 \times \textcolor{#6b3fa0}{2}\)
Résultat\(= 12\)
Donc : \(11 \neq 12\) — L'égalité est fausse pour \(x = 2\).
\(x = 2\) est un contre-exemple : Léo a tort.
IV. Développer
📒 Définition

Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence.

📗 Propriété — Distributivité

\(\textcolor{#c0392b}{k}\), \(\textcolor{#1a6fa0}{a}\) et \(\textcolor{#1b7a40}{b}\) désignent des nombres. Le facteur extérieur \(\textcolor{#c0392b}{k}\) se distribue sur chaque terme :

\(\textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{k} \times \textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#c0392b}{k} \times \textcolor{#1b7a40}{b} = \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)
\(\textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{k} \times \textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#c0392b}{k} \times \textcolor{#1b7a40}{b} = \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)
✏️ Exemple

Développer : \(A = \textcolor{#c0392b}{5}(\textcolor{#1a6fa0}{x} + \textcolor{#1b7a40}{8})\)

Distribue\(= \textcolor{#c0392b}{5} \times \textcolor{#1a6fa0}{x} + \textcolor{#c0392b}{5} \times \textcolor{#1b7a40}{8}\)
Simplifie\(A = 5x + 40\)
✏️ Exemple

Développer : \(B = \textcolor{#c0392b}{x}(\textcolor{#1a6fa0}{x} - \textcolor{#1b7a40}{3})\)

Distribue\(= \textcolor{#c0392b}{x} \times \textcolor{#1a6fa0}{x} - \textcolor{#c0392b}{x} \times \textcolor{#1b7a40}{3}\)
Simplifie\(B = x^2 - 3x\)
🧩 Exercice

Développer et réduire :
\(C = 3(2x - 5)\) \(D = 2x(x + 4)\) \(E = 4(x+1) + 2(x-3)\)

\(C = 3(2x-5)\)

Distribue\(= \textcolor{#c0392b}{3} \times 2x - \textcolor{#c0392b}{3} \times 5\)
\(= 6x - 15\)

\(D = 2x(x+4)\)

Distribue\(= \textcolor{#c0392b}{2x} \times x + \textcolor{#c0392b}{2x} \times 4\)
\(= 2x^2 + 8x\)

\(E = 4(x+1) + 2(x-3)\)

Développe\(= \textcolor{#2563eb}{4x+4} + \textcolor{#1b7a40}{2x-6}\)
Réduit\(= \textcolor{#2563eb}{4x}+\textcolor{#1b7a40}{2x} + \textcolor{#b85c0b}{4-6}\)
\(= 6x - 2\)
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