Chapitre

# Proportionnalité

I. Reconnaître une situation de proportionnalité
1) Cas d'un tableau
📘 Définition

Dire qu'un tableau de nombres à deux lignes est un tableau de proportionnalité signifie que l'on obtient les nombres d'une ligne en multipliant ceux de l'autre ligne par un même nombre non nul, que l'on appelle coefficient de proportionnalité.

✏️ Exemple — Marchand de roses
Un marchand de roses réalise le tarif suivant. S'agit-il d'un tableau de proportionnalité ?

Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2
--- | --- | ---
Nombre de roses | 2 | 5
Prix (en €) | 1,5 | 3,75

Pour vérifier qu'il s'agit d'un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients Prix ÷ Nombre de roses pour chaque colonne :

\(\dfrac{1{,}5}{2} = 0{,}75\)
\(\dfrac{3{,}75}{5} = 0{,}75\)
Les quotients sont égaux, donc c'est bien un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est 0,75.

💡 Cela signifie que chaque rose coûte 0,75 € = 75 centimes.

💡 Méthode — Comment vérifier ?

Pour vérifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients de chaque colonne (valeur de la 2ᵉ ligne ÷ valeur de la 1ʳᵉ ligne). Si tous les quotients sont égaux, c'est un tableau de proportionnalité et ce quotient commun est le coefficient de proportionnalité.

2) Cas de situations communes

Il faut aussi être capable dans des cas simples de reconnaître, sans calcul, des situations de proportionnalité.

✏️ Exemple
Parmi ces situations, lesquelles sont des situations de proportionnalité ?

- Situation 1 : Léo décide de réaliser une recette de cuisine pour 5 personnes. Il a la recette pour 1 personne.
- Situation 2 : Marc décide de regarder l'évolution de sa taille durant sa vie.
- Situation 3 : Mohamed roule à une vitesse moyenne de 60 km/h.
- Situation 4 : Dans une librairie, un livre coûte 7 euros. Le libraire fait une promo : 1 acheté, 1 offert.

✅ Situation 1 — Proportionnalité

Pour 5 fois plus de personnes, on utilise 5 fois plus de chaque ingrédient. C'est bien une situation de proportionnalité.

❌ Situation 2 — Non proportionnelle

On ne grandit pas de façon régulière tout au long de sa vie : on grandit vite enfant, puis on s'arrête. Ce n'est pas proportionnel.

✅ Situation 3 — Proportionnalité

À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle au temps : 2 fois plus de temps = 2 fois plus de distance.

❌ Situation 4 — Non proportionnelle

Avec la promo « 1 acheté, 1 offert », acheter 1 livre coûte 7 € mais acheter 2 livres coûte aussi 7 €. Le prix n'est pas proportionnel au nombre de livres.

3) Règles de calculs dans des tableaux de proportionnalité
📗 Méthode

- On peut additionner ou soustraire des colonnes d'un tableau de proportionnalité pour en obtenir une nouvelle colonne.
- On peut multiplier ou diviser une colonne d'un tableau de proportionnalité par un nombre non nul pour en obtenir une nouvelle colonne.

✏️ Exemple — Marchand de pommes
Compléter le tableau en utilisant les règles de calcul :

Grandeur | ÷ 2 |  | 1 + 2 | 2 + 3 | × 2
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Masse (en kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10
Prix (en €) | 1,2 | 2,4 | ? | ? | ?

Prix pour 3 kg — colonne 3 = colonne 1 + colonne 2 :

\(1{,}2 + 2{,}4 = 3{,}6\ €\)

Prix pour 5 kg — colonne 4 = colonne 2 + colonne 3 :

\(2{,}4 + 3{,}6 = 6\ €\)

Prix pour 10 kg — colonne 5 = colonne 4 × 2 :

\(6 \times 2 = 12\ €\)

Grandeur | 1 | 2 | 3 | 5 | 10
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Masse (en kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10
Prix (en €) | 1,2 | 2,4 | 3,6 | 6 | 12

II. Compléter un tableau de proportionnalité
📘 Définition

Dans un tableau de proportionnalité, si l'on connaît trois valeurs, alors on peut calculer la valeur manquante, appelée la quatrième proportionnelle.

✏️ Situation de départ

Clarisse réalise une recette de cuisine et utilise les données d'un magazine. Il manque malheureusement une partie de la page. Aidez-la à compléter le tableau.

Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2
--- | --- | ---
Masse de sucre (en g) | 25 | ?
Masse de farine (en g) | 150 | 450

On connaît 25 g de sucre pour 150 g de farine. On cherche la masse de sucre nécessaire pour 450 g de farine. Voici 4 méthodes pour y arriver.

📐 Méthode 1 — Le passage à l'unité

On calcule d'abord la masse de sucre pour 1 g de farine, puis on multiplie par 450.

Grandeur | Colonne 1 | → pour 1 g de sucre | → pour 450 g de farine
--- | --- | --- | ---
Masse de sucre (en g) | 25 | 1 | 75
Masse de farine (en g) | 150 | \(\dfrac{150}{25} = 6\) | 450
Opération |  | ÷ 25 | × 75

Pour 1 g de sucre, on a besoin de :

\(150 \div 25 = 6\ \text{g de farine}\)

On cherche combien de sucre pour 450 g de farine. On divise 450 par 6 :

\(450 \div 6 = 75\ \text{g de sucre}\)
La quatrième proportionnelle est 75 g de sucre.
📗 Méthode 2 — Le coefficient de proportionnalité

On calcule le coefficient de proportionnalité (sucre ÷ farine), puis on l'applique à 450.

Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2
--- | --- | ---
Masse de sucre (en g) | 25 | 75
Masse de farine (en g) | 150 | 450
Coefficient (farine ÷ sucre) | × 6 sur toute la ligne

Le coefficient de proportionnalité (de la ligne sucre vers la ligne farine) est :

\(150 \div 25 = 6\)

Pour trouver la masse de sucre à partir de 450 g de farine, on divise par 6 :

\(450 \div 6 = 75\ \text{g de sucre}\)
La quatrième proportionnelle est 75 g de sucre.
📙 Méthode 3 — Les règles de calculs

On cherche une opération simple reliant les deux colonnes connues, puis on l'applique à la valeur manquante.

Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2
--- | --- | ---
Masse de sucre (en g) | 25 | 75
Masse de farine (en g) | 150 | 450
Opération (colonne 1 → colonne 2) | × 3

On remarque que \(150 \times 3 = 450\), donc on passe de la colonne 1 à la colonne 2 en multipliant par 3.

Dans un tableau de proportionnalité, on applique la même opération à toutes les lignes.
\(25 \times 3 = 75\ \text{g de sucre}\)
La quatrième proportionnelle est 75 g de sucre.
⭐ Méthode 4 — Le produit en croix (méthode la plus courante)

On multiplie les deux valeurs en diagonale, puis on divise par la troisième valeur connue.

Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2
--- | --- | ---
Masse de sucre (en g) | 25 | ?
Masse de farine (en g) | 150 | 450

Sucre | 25 | ?
Farine | 150 | 450

On multiplie en diagonale (25 × 450) et on divise par la valeur restante (150).
\(? = 25 \times 450 \div 150 = 75\ \text{g de sucre}\)
La quatrième proportionnelle est 75 g de sucre.
⭐ C'est la méthode la plus utilisée car elle fonctionne dans tous les cas, même quand le coefficient de proportionnalité n'est pas un nombre simple.
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