📖 Ce qu'il faut savoir
Décomposer en facteurs premiers

On divise successivement le nombre par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…) jusqu'à obtenir 1.

On écrit le nombre à gauche et le diviseur premier à droite, séparés par une barre verticale.
On continue jusqu'à atteindre 1.
Lots identiques & fractions irréductibles

Le nombre max de lots = le plus grand diviseur commun aux deux quantités. On le trouve grâce aux décompositions.

Pour simplifier une fraction : on repère les facteurs communs (surlignés en rouge), on les barre, et on garde ce qui reste.
Corrections vues :
0 / 3
🃏
Exercice 1 – Cartes Pokémon

## Exercice 1 / 3

Décompositions · Lots · Probabilité
✓ Vu
Une collectionneuse possède 252 cartes « feu » et 156 cartes « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques en utilisant toutes ses cartes.
1 a. Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 252 ?
Proposition 1
2² × 9 × 7
Proposition 2
2 × 2 × 3 × 21
Proposition 3
2² × 3² × 7
b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 156.
2 a. Peut-elle faire 36 paquets ?
b. Quel est le nombre maximum de paquets qu'elle peut réaliser ?
c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
3Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre ».

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1a : rappelle-toi la définition d'un nombre premier. Tous les facteurs dans une décomposition doivent l'être — passe en revue chacun. Q1b : par quel petit nombre premier commence-t-on toujours en premier lors d'une décomposition ? Pourquoi ?
Q2 : pour faire des paquets identiques, le nombre de paquets doit diviser les deux quantités à la fois. Comment les décompositions en facteurs premiers peuvent-elles t'aider à trouver le plus grand diviseur commun ?
Q3 : combien y a-t-il de cartes en tout ? Parmi elles, combien correspondent à l'événement souhaité ? Pense à utiliser le travail déjà fait pour simplifier ta fraction.

1a. Décomposition de 252

Proposition 1 ✗
2² × 9 × 7
9 = 3² n'est pas premier
Proposition 2 ✗
2 × 2 × 3 × 21
21 = 3 × 7 n'est pas premier
Proposition 3 ✓
2² × 3² × 7
Tous les facteurs sont premiers

1b. Décomposition de 156

156 | 2
78 | 2
39 | 3
13 | 13
1 |

156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13

2a. Peut-elle faire 36 paquets ?

252 ÷ 36 = 7 ✓ 156 ÷ 36 = 4,33… → 36 ne divise pas 156.
Non, elle ne peut pas faire 36 paquets.

2b & 2c. Nombre maximum de paquets

252

252 | 2
126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |

252 = 2² × 3² × 7
156

156 | 2
78 | 2
39 | 3
13 | 13
1 |

156 = 2² × 3 × 13
On repère les facteurs communs (en rouge) :
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
156 = 2 × 2 × 3 × 13
Les facteurs communs sont 2 × 2 × 3 = 12. Le plus grand diviseur commun est donc 12.
Elle peut faire au maximum 12 paquets.
Chaque paquet contient : 252 ÷ 12 = 21 cartes « feu » et 156 ÷ 12 = 13 cartes « terre ».

3. Probabilité d'une carte « terre »

Total de cartes = 252 + 156 = 408
P(« terre ») = 156 / 408

On utilise les décompositions pour simplifier :

156

156 | 2
78 | 2
39 | 3
13 | 13
1 |

156 = 2² × 3 × 13
408

408 | 2
204 | 2
102 | 2
51 | 3
17 | 17
1 |

408 = 2³ × 3 × 17
156408
=
2 × 2 × 3 × 13 2 × 2 × 3 × 2 × 17
=
13 2 × 17
=
13 34
P(carte « terre ») = 13/34
🥕
Exercice 2 – Paniers de légumes

## Exercice 2 / 3

Lots identiques · Division euclidienne
✓ Vu
José a récolté 39 salades, 78 carottes et 51 aubergines. Il veut préparer des paniers ayant tous la même composition, en utilisant tous les légumes.
On sait que 39 = 3 × 13.
1 a. Décomposer en facteurs premiers les nombres 39, 78 et 51.
b. En déduire le nombre de paniers maximum que José peut préparer.
c. Combien de salades, carottes et aubergines y aurait-il dans chaque panier ?

Finalement, José décide de préparer 13 paniers.

2 a. Combien d'aubergines ne seront pas utilisées ? Justifier.
b. Combien doit-il cueillir au minimum d'aubergines supplémentaires pour pouvoir toutes les utiliser ?

José souhaite ajouter des tomates à ses 13 paniers. Il estime qu'il en a entre 110 et 125 prêtes à être récoltées.

3Combien doit-il en cueillir au maximum pour éviter les pertes et que chaque panier ait toujours la même composition ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1a : rappelle-toi les critères de divisibilité par 2, 3, 5… Applique-les un par un à chaque nombre pour trouver par quel facteur premier commencer. Q1b : que doit-il se passer pour qu'un nombre soit un diviseur commun aux trois ?
Q2 : quand on répartit 51 aubergines en 13 paniers, qu'est-ce que la division euclidienne te donne comme information ? Que signifie le quotient ? Que signifie le reste ?
Q3 : pour que toutes les tomates se répartissent en parts égales entre 13 paniers, quel lien doit exister entre le nombre de tomates et 13 ? Quels nombres entre 110 et 125 ont ce lien avec 13 ?

1a. Décompositions de 39, 78 et 51

39

39 | 3
13 | 13
1 |

39 = 3 × 13
78

78 | 2
39 | 3
13 | 13
1 |

78 = 2 × 3 × 13
51

51 | 3
17 | 17
1 |

51 = 3 × 17

1b. Nombre maximum de paniers

On repère les facteurs communs (en rouge) dans les trois décompositions :
39 = 3 × 13 | 78 = 2 × 3 × 13 | 51 = 3 × 17
Le seul facteur commun aux trois est 3. Le plus grand diviseur commun est donc 3.
José peut préparer au maximum 3 paniers.

1c. Composition de chaque panier

Méthode 1 : Division par le plus grand diviseur commun.

Salades : 39 ÷ 3 = 13
Carottes : 78 ÷ 3 = 26
Aubergines : 51 ÷ 3 = 17

Méthode 2 : On reprend les décompositions et on surligne en vert les facteurs non communs — ce sont eux qui restent dans chaque paquet.

39 = 3 × 13 → 13 salades par panier
78 = 2 × 3 × 2 × 13 → 26 carottes par panier
51 = 3 × 17 → 17 aubergines par panier

2a. Aubergines non utilisées avec 13 paniers

51 = 13 × 3 + 12
→ 13 paniers utilisent 13 × 3 = 39 aubergines, il en reste 12.
12 aubergines ne seront pas utilisées.

2b. Aubergines supplémentaires à cueillir

Pour un 14ème panier complet, il faudrait 13 × 4 = 52 aubergines.
Il en manque : 52 − 51 = 1 aubergine.
José doit cueillir 1 aubergine supplémentaire.

3. Nombre maximum de tomates (entre 110 et 125)

On cherche un multiple de 13 entre 110 et 125.
13 × 8 = 104 (trop petit) | 13 × 9 = 117 ✓ | 13 × 10 = 130 (trop grand)
José doit cueillir au maximum 117 tomates (= 13 × 9, soit 9 par panier).
🔬
Exercice 3 – Laboratoire et vaccins

## Exercice 3 / 3

Fractions · Simplification · Proportion
✓ Vu
Dans un laboratoire A, cinq groupes de 29 souris ont reçu la même souche de virus. Dans les 3 groupes vaccinés, aucune souris n'est malade. Dans chacun des 2 groupes non vaccinés, 23 souris ont développé la maladie.
1Expliquer pourquoi la proportion de souris malades est 46/145.
2Justifier sans calculatrice pourquoi on ne peut pas simplifier cette fraction.
3Dans un laboratoire B, la proportion de souris malades est 140/870.
a. Décomposer 140 et 870 en produit de facteurs premiers.
b. En déduire la forme irréductible de cette proportion.

💡 Indices – débloque-les un par un

Q1 : fais un bilan rapide : combien de groupes sont vaccinés, combien ne le sont pas ? Combien de souris par groupe ? Q2 : pour montrer qu'une fraction est irréductible, que doit-on vérifier sur son numérateur et son dénominateur ?
Q3a : rappelle-toi les critères de divisibilité. Par quel nombre premier commence-t-on généralement ? Applique la même méthode aux deux nombres. Q3b : une fois les deux décompositions trouvées, qu'est-ce qui doit apparaître dans les deux pour être barré en rouge ?
Une fois les facteurs communs barrés, que reste-t-il au numérateur et au dénominateur ? Comment obtenir la fraction finale ? Et comment s'assurer qu'elle est bien irréductible ?

1. Pourquoi 46/145 ?

Souris malades : 2 groupes × 23 = 46 souris malades
Total de souris : 5 groupes × 29 = 145 souris
Proportion = 46 / 145

2. Pourquoi 46/145 est-elle irréductible ?

46

46 | 2
23 | 23
1 |

46 = 2 × 23
145

145 | 5
29 | 29
1 |

145 = 5 × 29
46 = 2 × 23 et 145 = 5 × 29. Ces deux nombres n'ont aucun facteur premier commun : la fraction 46/145 est déjà irréductible.

3a. Décompositions de 140 et 870

140

140 | 2
70 | 2
35 | 5
7 | 7
1 |

140 = 2 × 2 × 5 × 7
870

870 | 2
435 | 3
145 | 5
29 | 29
1 |

870 = 2 × 3 × 5 × 29

3b. Fraction irréductible de 140/870

On repère les facteurs communs (en rouge) puis on simplifie :

140 870
=
2 × 2 × 5 × 7 2 × 2 × 5 × 3 × 29
=
7 3 × 29
=
7 87
La proportion irréductible de souris malades dans le laboratoire B est 7/87.

🏠 Menu