📐 Rappel — La double distributivité

Pour développer (a + b)(c + d), chaque terme du premier facteur distribue sur chaque terme du second : on obtient 4 produits.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
📊 Méthode du tableau
On place les termes du 1er facteur en ligne et du 2e facteur en colonne. Chaque case = un produit.

× | c | d | Σ
--- | --- | --- | ---
a | ac | ad | ac + ad
b | bc | bd | bc + bd

✏️ Méthode du calcul
On développe en deux étapes : d'abord le premier terme rouge distribue, puis le second terme rouge distribue.
= a(c + d) + b(c + d)
= ac + ad + bc + bd
🎯 Corrections vues
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Partie 1 — Avec des nombres entiers
Exercice 1
Entiers positifs
✓ Vu

Développe et réduis les expressions suivantes en utilisant la méthode du tableau puis la méthode du calcul.

A = (3 + 5)(2 + 4) B = (6 + 1)(3 + 2)
💡 Indices
Pour A, le tableau a pour en-têtes : colonne 2 et 4 ; ligne 3 et 5.
Chaque case du tableau est le produit de l'en-tête de sa ligne par l'en-tête de sa colonne. Commence par la première ligne : que donne 3 × chacune des colonnes ?
Pour B : avant de remplir le tableau, identifie les deux facteurs du produit. Lequel va en ligne, lequel va en colonne ? Comment les décomposer pour construire le tableau ?
✅ Correction

Expression A = (3 + 5)(2 + 4)

📊 Tableau

× | 2 | 4 | Σ
--- | --- | --- | ---
3 | 6 | 12 | 18
5 | 10 | 20 | 30

A = 18 + 30 = 48
✏️ Calcul
A = 3(2 + 4) + 5(2 + 4)
= 3 × 2 + 3 × 4 + 5 × 2 + 5 × 4
= 6 + 12 + 10 + 20
= 48

Expression B = (6 + 1)(3 + 2)

📊 Tableau

× | 3 | 2 | Σ
--- | --- | --- | ---
6 | 18 | 12 | 30
1 | 3 | 2 | 5

B = 30 + 5 = 35
✏️ Calcul
B = 6(3 + 2) + 1(3 + 2)
= 6 × 3 + 6 × 2 + 1 × 3 + 1 × 2
= 18 + 12 + 3 + 2
= 35
Partie 2 — Avec une inconnue x
Exercice 2
Littéraux simples
✓ Vu

Développe et réduis.

A = (x + 3)(x + 5) B = (x + 2)(x + 7)
💡 Indices
Pour A : identifie les deux facteurs du produit et décompose chacun pour construire le tableau. Que devient le produit de deux termes identiques comme x × x ?
Après la double distributivité, tu obtiens 4 termes. Certains sont-ils « semblables », c'est-à-dire de même nature (même partie littérale) ? Comment les regrouper ?
Parmi les 4 termes obtenus, quels sont ceux qui contiennent la même partie littérale ? Que donne leur addition ? L'expression finale doit avoir 3 termes.
✅ Correction

A = (x + 3)(x + 5)

📊 Tableau

× | x | 5
--- | --- | ---
x | x² | 5x
3 | 3x | 15

A = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15
✏️ Calcul
A = x(x + 5) + 3(x + 5)
= x² + x × 5 + 3 × x + 3 × 5
= x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15

B = (x + 2)(x + 7)

📊 Tableau

× | x | 7
--- | --- | ---
x | x² | 7x
2 | 2x | 14

B = x² + 7x + 2x + 14 = x² + 9x + 14
✏️ Calcul
B = x(x + 7) + 2(x + 7)
= x² + 7x + 2x + 14
= x² + 9x + 14
Exercice 3
Coefficient non nul
✓ Vu

Développe et réduis.

A = (2x + 1)(3x + 4) B = (4x + 3)(2x + 5)
💡 Indices
Pour A : que se passe-t-il quand on multiplie deux termes qui contiennent chacun la variable x ? Réfléchis à ce que signifie 2x × 3x : que donne le produit des coefficients, et que donne le produit des parties littérales ?
Pour A : parmi les 4 termes du développement, lesquels contiennent un x (sans exposant) ? Identifie-les dans ton tableau, puis additionne-les.
✅ Correction

A = (2x + 1)(3x + 4)

📊 Tableau

× | 3x | 4
--- | --- | ---
2x | 6x² | 8x
1 | 3x | 4

= 6x² + 8x + 3x + 4 = 6x² + 11x + 4
✏️ Calcul
A = 2x(3x + 4) + 1(3x + 4)
= 6x² + 8x + 3x + 4
= 6x² + 11x + 4

B = (4x + 3)(2x + 5)

📊 Tableau

× | 2x | 5
--- | --- | ---
4x | 8x² | 20x
3 | 6x | 15

= 8x² + 20x + 6x + 15 = 8x² + 26x + 15
✏️ Calcul
B = 4x(2x + 5) + 3(2x + 5)
= 8x² + 20x + 6x + 15
= 8x² + 26x + 15
Partie 3 — Avec des soustractions
Exercice 4
Termes négatifs
✓ Vu

Développe et réduis. Attention aux signes !

A = (x + 4)(x − 3) B = (x − 6)(x + 2)
💡 Indices
Pour A : la colonne −3 va donner des produits avec un facteur négatif. Quelle est la règle de signe pour un produit qui contient un nombre négatif ?
Pour B : attention aux signes — −6 est négatif. Comment calculer un produit quand les deux facteurs sont de signes différents ? Une fois les 4 termes trouvés, lesquels peut-on regrouper ?
✅ Correction

A = (x + 4)(x − 3)

📊 Tableau

× | x | −3
--- | --- | ---
x | x² | −3x
4 | 4x | −12

= x² − 3x + 4x − 12 = x² + x − 12
✏️ Calcul
A = x(x − 3) + 4(x − 3)
= x² − 3x + 4x − 12
= x² + x − 12

B = (x − 6)(x + 2)

📊 Tableau

× | x | 2
--- | --- | ---
x | x² | 2x
−6 | −6x | −12

= x² + 2x − 6x − 12 = x² − 4x − 12
✏️ Calcul
B = x(x + 2) − 6(x + 2)
= x² + 2x − 6x − 12
= x² − 4x − 12
Exercice 5
Deux termes négatifs
✓ Vu

Développe et réduis. Les deux facteurs ont un signe « − ».

A = (x − 5)(x − 2) B = (3x − 1)(x − 4)
💡 Indices
Pour A : la case [−5, −2] est le produit de deux nombres négatifs. Rappelle-toi la règle des signes : que donne le produit de deux termes de même signe ?
Les 4 cases de ton tableau sont remplies. Identifie les termes de même nature : lesquels sont des x², lesquels sont des x, lesquels sont des constantes ? Regroupe et réduis.
Pour B : identifie les lignes et colonnes du tableau. Quels produits vont donner un terme constant ? Quelle règle de signes s'applique quand −1 multiplie un nombre négatif ?
✅ Correction

A = (x − 5)(x − 2)

📊 Tableau

× | x | −2
--- | --- | ---
x | x² | −2x
−5 | −5x | +10

= x² − 2x − 5x + 10 = x² − 7x + 10
✏️ Calcul
A = x(x − 2) − 5(x − 2)
= x² − 2x − 5x + 10
= x² − 7x + 10

B = (3x − 1)(x − 4)

📊 Tableau

× | x | −4
--- | --- | ---
3x | 3x² | −12x
−1 | −x | +4

= 3x² − 12x − x + 4 = 3x² − 13x + 4
✏️ Calcul
B = 3x(x − 4) − 1(x − 4)
= 3x² − 12x − x + 4
= 3x² − 13x + 4
⭐ Défi — Expressions complexes
Exercice 6
Défi ★
✓ Vu

Développe et réduis entièrement.

A = (2x − 3)(5x + 2) B = (−x + 4)(3x − 7)
💡 Indices
Pour A : commence par remplir la case 2x × 5x. Que donne le produit de deux termes contenant chacun un x ? Ensuite, remplis les autres cases une par une.
Pour A : une fois les 4 cases remplies, quels termes peut-on regrouper ? Attention aux signes des produits impliquant −3.
Pour B : identifie les 4 cases. Quels produits impliquent deux négatifs ? Quelle est la règle de signe pour le produit de deux termes négatifs ? Remplis ensuite les autres cases.
✅ Correction

A = (2x − 3)(5x + 2)

📊 Tableau

× | 5x | 2
--- | --- | ---
2x | 10x² | 4x
−3 | −15x | −6

= 10x² + 4x − 15x − 6 = 10x² − 11x − 6
✏️ Calcul
A = 2x(5x + 2) − 3(5x + 2)
= 10x² + 4x − 15x − 6
= 10x² − 11x − 6

B = (−x + 4)(3x − 7)

📊 Tableau

× | 3x | −7
--- | --- | ---
−x | −3x² | +7x
4 | 12x | −28

= −3x² + 7x + 12x − 28 = −3x² + 19x − 28
✏️ Calcul
B = −x(3x − 7) + 4(3x − 7)
= −3x² + 7x + 12x − 28
= −3x² + 19x − 28

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