📐 Fiche méthode — Résoudre une équation produit nul
Si \(\textcolor{#dc2626}{A} \times \textcolor{#16a34a}{B} = 0\), alors \(\textcolor{#dc2626}{A} = 0\) ou \(\textcolor{#16a34a}{B} = 0\)
Un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul.
📋 Les 3 étapes
1. Repérer les facteurs et le \(= 0\)
2. Écrire \(\textcolor{#dc2626}{A} = 0\) ou \(\textcolor{#16a34a}{B} = 0\)
3. Résoudre chaque équation avec des flèches → conclure
💡 Exemple
\(\textcolor{#dc2626}{(x+2)} \times \textcolor{#16a34a}{(x-5)} = 0\)
Soit \(\textcolor{#dc2626}{x+2=0}\) ou \(\textcolor{#16a34a}{x-5=0}\)
Soit \(\textcolor{#dc2626}{x=-2}\) ou \(\textcolor{#16a34a}{x=5}\)
Les solutions sont −2 et 5
Progression
0 / 9
Partie 1 — Équations directes
Exercice 1 / 9
['Très facilePremiers pas']
✓ Vu

Résoudre les équations suivantes :

\( \textcolor{#dc2626}{x} \times \textcolor{#16a34a}{(x-3)} = 0 \)
\( \textcolor{#dc2626}{(x+7)} \times \textcolor{#16a34a}{x} = 0 \)

💡 Indices

Le 1er facteur est simplement \(x\). Si \(x=0\), le produit est nul. Cherche pour quelle valeur le 2e facteur s'annule.
Pour résoudre cette équation : quelle opération permet d'isoler \(x\) ?
a) \(x(x-3) = 0\)

\(x = 0\) ou \(x - 3 = 0\)

1er facteur = 0
\(x = 0\)
\(x = 0\)
2e facteur = 0
\(x - 3 = 0\)
\(x = 3\)
\(x = 3\)
Les solutions de \(x(x-3)=0\) sont \(\boxed{{x=0}}\) et \(\boxed{{x=3}}\).
b) \((x+7)x = 0\)

\(x + 7 = 0\) ou \(x = 0\)

1er facteur = 0
\(x + 7 = 0\)
\(x = -7\)
\(x = -7\)
2e facteur = 0
\(x = 0\)
\(x = 0\)
Les solutions de \((x+7)x=0\) sont \(\boxed{{x=-7}}\) et \(\boxed{{x=0}}\).
Exercice 2 / 9
['FacileFacteurs simples']
✓ Vu

Résoudre les équations suivantes :

\( \textcolor{#dc2626}{(x-4)} \times \textcolor{#16a34a}{(x+9)} = 0 \)
\( \textcolor{#dc2626}{(2x-6)} \times \textcolor{#16a34a}{(x+1)} = 0 \)

💡 Indices

Isole \(x\) en deux étapes.
Chaque facteur nul donne une solution. Combien de solutions l'équation admet-elle au total ?
a) \((x-4)(x+9) = 0\)

\(x-4=0\) ou \(x+9=0\)

1er facteur = 0
\(x - 4 = 0\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
2e facteur = 0
\(x + 9 = 0\)
\(x = -9\)
\(x = -9\)
Les solutions de \((x-4)(x+9)=0\) sont \(\boxed{{x=4}}\) et \(\boxed{{x=-9}}\).
b) \((2x-6)(x+1) = 0\)

\(2x-6=0\) ou \(x+1=0\)

1er facteur = 0
\(2x - 6 = 0\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
\(x = 3\)
2e facteur = 0
\(x + 1 = 0\)
\(x = -1\)
\(x = -1\)
Les solutions de \((2x-6)(x+1)=0\) sont \(\boxed{{x=3}}\) et \(\boxed{{x=-1}}\).
Exercice 3 / 9
['IntermédiaireDeux opérations par facteur']
✓ Vu

Résoudre les équations suivantes :

\( \textcolor{#dc2626}{(3x+1)} \times \textcolor{#16a34a}{(5x-10)} = 0 \)
\( \textcolor{#dc2626}{(4x-8)} \times \textcolor{#16a34a}{(2x+3)} = 0 \)

💡 Indices

Isole \(x\). Ne t'arrête pas si le résultat n'est pas un entier.
Une solution fractionnaire est tout à fait valide — écris-la sous forme de fraction irréductible.
a) \((3x+1)(5x-10) = 0\)

\(3x+1=0\) ou \(5x-10=0\)

1er facteur = 0
\(3x+1=0\)
\(3x=-1\)
\(x=-\tfrac{1}{3}\)
\(x = -\tfrac{1}{3}\)
2e facteur = 0
\(5x-10=0\)
\(5x=10\)
\(x=2\)
\(x=2\)
Les solutions de \((3x+1)(5x-10)=0\) sont \(\boxed{{x=-\frac{{1}}{{3}}}}\) et \(\boxed{{x=2}}\).
b) \((4x-8)(2x+3) = 0\)

\(4x-8=0\) ou \(2x+3=0\)

1er facteur = 0
\(4x-8=0\)
\(4x=8\)
\(x=2\)
\(x=2\)
2e facteur = 0
\(2x+3=0\)
\(2x=-3\)
\(x=-\tfrac{3}{2}\)
\(x=-\tfrac{3}{2}\)
Les solutions de \((4x-8)(2x+3)=0\) sont \(\boxed{{x=2}}\) et \(\boxed{{x=-\frac{{3}}{{2}}}}\).
Exercice 4 / 9
['Intermédiaire3 facteurs']
✓ Vu
📌 La règle s'étend à 3 facteurs : si \(A \times B \times C = 0\), alors \(A=0\) ou \(B=0\) ou \(C=0\) → trois solutions possibles.

Résoudre l'équation :

\( \textcolor{#dc2626}{x} \times \textcolor{#16a34a}{(2x-4)} \times \textcolor{#2563eb}{(x+6)} = 0 \)

💡 Indices

3 facteurs → 3 équations à résoudre séparément → 3 solutions.
Chaque facteur peut s'annuler séparément. Résous chaque équation obtenue.

\(x=0\) ou \(2x-4=0\) ou \(x+6=0\)

1er facteur = 0
\(x=0\)
\(x=0\)
2e facteur = 0
\(2x-4=0\)
\(2x=4\)
\(x=2\)
\(x=2\)
3e facteur = 0
\(x+6=0\)
\(x=-6\)
\(x=-6\)
Les solutions de \(x(2x-4)(x+6)=0\) sont \(\boxed{{x=0}}\), \(\boxed{{x=2}}\) et \(\boxed{{x=-6}}\).
Partie 2 — Factoriser puis résoudre
Exercice 5 / 9
['IntermédiaireFactoriser par x']
✓ Vu

On considère l'expression \(A = x^2 + 3x\)

1. Factoriser l'expression \(A\).
2. Résoudre l'équation \(x^2 + 3x = 0\) en utilisant la factorisation.

💡 Indices

Dans \(x^2+3x\), les deux termes ont \(x\) en facteur commun : \(x^2 = x \cdot x\) et \(3x = x \cdot 3\). Que reste-t-il dans la parenthèse ?
Une fois factorisé, reconnais la forme de l'équation et applique la règle appropriée.
Question 1 — Factoriser \(A = x^2+3x\)
On identifie \(x\) comme facteur commun :
\(A = \textcolor{#16a34a}{x} \cdot x + \textcolor{#16a34a}{x} \cdot 3\)
\(A = x(x+3)\)
Question 2 — Résoudre \(x^2+3x = 0\)
Grâce à la factorisation, l\'équation devient :
\(\textcolor{#dc2626}{x} \times \textcolor{#16a34a}{(x+3)} = 0\)

\(x=0\) ou \(x+3=0\)

1er facteur = 0
\(x=0\)
\(x=0\)
2e facteur = 0
\(x+3=0\)
\(x=-3\)
\(x=-3\)
Les solutions de \(x^2+3x=0\) sont \(\boxed{{x=0}}\) et \(\boxed{{x=-3}}\).
Exercice 6 / 9
['DifficileIdentité remarquable']
✓ Vu
🔍 Rappel : \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). Cette identité transforme une différence de carrés en produit !

On considère l'expression \(B = x^2 - 16\)

1. Factoriser \(B\) à l'aide de l'identité \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
2. Résoudre l'équation \(x^2-16=0\).

💡 Indices

Reconnais dans cette expression la forme d'une identité remarquable. Laquelle ?
Une fois l'expression factorisée, quelle règle permet de trouver les solutions ?
Question 1 — Factoriser \(B = x^2-16\)
\(x^2 - 16 = x^2 - 4^2\) — on reconnaît \(a^2-b^2\) avec \(\textcolor{#dc2626}{a=x}\) et \(\textcolor{#16a34a}{b=4}\)
D'après l'identité \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) :
\(B = \textcolor{#dc2626}{(x+4)}\textcolor{#16a34a}{(x-4)}\)
Question 2 — Résoudre \(x^2-16=0\)
Grâce à la factorisation : \(\textcolor{#dc2626}{(x+4)} \times \textcolor{#16a34a}{(x-4)} = 0\)

\(x+4=0\) ou \(x-4=0\)

1er facteur = 0
\(x+4=0\)
\(x=-4\)
\(x=-4\)
2e facteur = 0
\(x-4=0\)
\(x=4\)
\(x=4\)
Les solutions de \(x^2-16=0\) sont \(\boxed{{x=-4}}\) et \(\boxed{{x=4}}\).
Exercice 7 / 9
['DifficileFacteur commun']
✓ Vu
⚠️ Ces expressions ne sont pas encore sous forme de produit. Il faut d'abord factoriser en identifiant le facteur commun, puis appliquer la règle du produit nul.

Pour chaque expression, factoriser puis résoudre l'équation = 0 :

a) \(C = (x+5)(x-2) - (x+5)(3x-1)\)
b) \(D = 2x(x-3) + (x-3)\)

💡 Indices

Quel est le facteur commun aux deux termes ? Mets-le en évidence.
Une fois le facteur commun mis en évidence, simplifie ce qui reste entre parenthèses. Pour D : attention au terme apparent.
a) Factoriser et résoudre \(C = 0\)
Facteur commun : \((x+5)\)
\(C = \textcolor{#dc2626}{(x+5)}(x-2) - \textcolor{#dc2626}{(x+5)}(3x-1)\)
\(C = \textcolor{#dc2626}{(x+5)}\big[(x-2)-(3x-1)\big]\)
\(C = \textcolor{#dc2626}{(x+5)}\big[x-2-3x+1\big]\)
\(C = \textcolor{#dc2626}{(x+5)} \times \textcolor{#16a34a}{(-2x-1)}\)

\(x+5=0\) ou \(-2x-1=0\)

1er facteur = 0
\(x+5=0\)
\(x=-5\)
\(x=-5\)
2e facteur = 0
\(-2x-1=0\)
\(-2x=1\)
\(x=-\tfrac{1}{2}\)
\(x=-\tfrac{1}{2}\)
Les solutions de \(C=0\) sont \(\boxed{{x=-5}}\) et \(\boxed{{x=-\frac{{1}}{{2}}}}\).
b) Factoriser et résoudre \(D = 0\)
Facteur commun : \((x-3)\)
\(D = 2x \cdot \textcolor{#dc2626}{(x-3)} + 1 \cdot \textcolor{#dc2626}{(x-3)}\)
\(D = \textcolor{#dc2626}{(x-3)} \times \textcolor{#16a34a}{(2x+1)}\)

\(x-3=0\) ou \(2x+1=0\)

1er facteur = 0
\(x-3=0\)
\(x=3\)
\(x=3\)
2e facteur = 0
\(2x+1=0\)
\(2x=-1\)
\(x=-\tfrac{1}{2}\)
\(x=-\tfrac{1}{2}\)
Les solutions de \(D=0\) sont \(\boxed{{x=3}}\) et \(\boxed{{x=-\frac{{1}}{{2}}}}\).
Partie 3 — Problèmes
Exercice 8 / 9
['ProblèmeProgramme de calcul']
✓ Vu

Voici deux programmes de calcul appliqués à un nombre \(x\) :

Programme A
1 Choisir un nombre \(x\)
2 Ajouter 4
3 Multiplier par le nombre de départ
Programme B
1 Choisir un nombre \(x\)
2 Soustraire 1
3 Multiplier par 3
4 Ajouter 3
1. Montrer que le programme A donne \(x^2+4x\) et que le programme B donne \(3x\).
2. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) les deux programmes donnent-ils le même résultat ? Mettre en équation puis résoudre.

💡 Indices

Calcule B en appliquant les opérations étape par étape. Pour Q2 : traduis « mêmes résultats » en équation.
Ramène tout d'un même côté. L'expression obtenue peut-elle être factorisée ?
Question 1 — Exprimer les résultats
Programme A : on part de \(x\), on ajoute 4 → \(x+4\), on multiplie par \(x\) :
\(A = x(x+4) = x^2+4x\)
Programme B : on soustrait 1 → \(x-1\), on multiplie par 3 → \(3(x-1)=3x-3\), on ajoute 3 :
\(B = 3x-3+3 = 3x\)
Question 2 — Pour quels \(x\) a-t-on \(A = B\) ?
\(x^2+4x = 3x\)
\(x^2+4x-3x = 0\)
\(x^2+x = 0\)
On factorise par \(x\) :
\(\textcolor{#dc2626}{x} \times \textcolor{#16a34a}{(x+1)} = 0\)

\(x=0\) ou \(x+1=0\)

1er facteur = 0
\(x=0\)
\(x=0\)
2e facteur = 0
\(x+1=0\)
\(x=-1\)
\(x=-1\)
Les deux programmes donnent le même résultat pour \(\boxed{{x=0}}\) (résultat : \(0\)) et \(\boxed{{x=-1}}\) (résultat : \(-3\)).
Exercice 9 / 9
['ProblèmeCalcul d\'aire']
✓ Vu

Un grand rectangle a pour longueur \((x+5)\) cm et pour largeur \((x+1)\) cm. À l'intérieur, un petit carré de côté \(x\) cm est découpé en haut à gauche (zone en rouge).

1. Exprimer, en fonction de \(x\), l'aire du grand rectangle (développée et réduite) et l'aire du petit carré.
2. Exprimer et simplifier l'aire de la zone restante (bleue).
3. Pour quelle valeur de \(x\) la zone restante a-t-elle une aire nulle ?

💡 Indices

Exprime l'aire du grand rectangle et celle du petit carré en fonction de x.
La zone restante est la différence des deux aires. Pour Q3 : pour quelle valeur de x cette zone est-elle nulle ?
Question 1 — Les deux aires
Aire du grand rectangle :
\((x+5)(x+1) = x^2+x+5x+5\)
\(\mathcal{A}_{\text{grand}} = x^2+6x+5\)
Aire du petit carré :
\(\mathcal{A}_{\text{carré}} = x \times x = x^2\)
Question 2 — Aire de la zone restante
\(\mathcal{A}_{\text{zone}} = \mathcal{A}_{\text{grand}} - \mathcal{A}_{\text{carré}}\)
\(= (x^2+6x+5) - x^2\)
\(= \cancel{{x^2}}+6x+5-\cancel{{x^2}}\)
\(\mathcal{A}_{\text{zone}} = 6x+5\)
Question 3 — Quand la zone est-elle nulle ?
On résout \(6x+5=0\) :
Résolution
\(6x+5=0\)
\(6x=-5\)
\(x=-\tfrac{5}{6}\)
\(x=-\tfrac{5}{6}\)
La zone serait nulle pour \(x=-\frac{{5}}{{6}}\), une valeur négative qui n'a pas de sens géométrique. La zone bleue n'est jamais nulle pour \(x>0\).

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