Chapitre

# Notion de fonction

I. Utiliser la notion de fonction
1) Définition et notation
📘 Définition

Une fonction est un procédé qui, à un nombre de départ \(x\), fait correspondre un autre nombre unique, noté \(f(x)\).

Nombre de départ \(x\)
valeur choisie
⟶
Fonction \(f\)
procédé de calcul
⟶
Nombre correspondant \(f(x)\)
résultat
On note : \(f : x \mapsto f(x)\)
✏️ Exemple
Prenons la fonction \(f\) qui, à un nombre de départ, associe son carré. Appliquer cette fonction avec comme nombre de départ \(2\), \(-1\) et \(\frac{1}{2}\).
Départ : 2\(f(2) = 2^2 = \mathbf{4}\)
Départ : −1\(f(-1) = (-1)^2 = \mathbf{1}\)
Départ : ½\(f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \mathbf{\tfrac{1}{4}}\)
La fonction \(f\) qui, à un nombre de départ, associe son carré s'écrit : \(f : x \mapsto x^2\), ou encore \(f(x) = x^2\).
2) Tableau de valeurs
📘 Définition

On peut représenter les couples de nombres liés par une même fonction dans un tableau de valeurs. La ligne du haut contient les valeurs de départ \(x\), la ligne du bas les images \(f(x)\) correspondantes.

✏️ Exemple
Pour la fonction \(f(x) = x^2\), compléter le tableau de valeurs suivant :

\(x\) | −3 | 0 |  | 3
\(f(x)\) |  |  | 9 |

On calcule \(f(x) = x^2\) pour chaque valeur de \(x\) :

\(x = -3\)\(f(-3) = (-3)^2 = 9\)
\(x = 0\)\(f(0) = 0^2 = 0\)
\(f(x) = 9\)\(x^2 = 9\) donc \(x = 3\) (ou \(x = -3\))
\(x = 3\)\(f(3) = 3^2 = 9\)

\(x\) | −3 | 0 | 3 | 3
\(f(x)\) | 9 | 0 | 9 | 9

3) Représentation graphique
📘 Définition

La représentation graphique (ou courbe) d'une fonction \(f\) est l'ensemble des points de coordonnées \((x\,;\,f(x))\).

Chaque colonne du tableau de valeurs donne les coordonnées d'un point de la courbe : si \(x = 2\) et \(f(2) = 4\), alors le point \(A(2\,;\,4)\) est sur la courbe.

✏️ Exemple
Soit la fonction \(f(x) = x^2\). Les points du tableau précédent sont :
\(A(-3\,;\,9)\) \(B(0\,;\,0)\) \(C(3\,;\,9)\)

On place ces points dans le repère puis on les relie pour tracer la courbe de la fonction.

II. Image d'un nombre par une fonction
📘 Définition

Par une fonction \(f\), lorsqu'au nombre de départ \(a\), on fait correspondre le nombre \(b\), on dit que \(b\) est l'image de \(a\) par la fonction \(f\).

\(f(a) = b \quad \Longleftrightarrow \quad b \text{ est l'image de } a \text{ par } f\)
🔑 Point clé — Image

« Image de \(a\) » signifie que \(a\) est la valeur de départ. On connaît \(a\) et on cherche le résultat \(f(a)\).

C'est un simple calcul : on remplace \(x\) par \(a\) dans l'expression de \(f\).

💡 Notation

Si \(f : 2 \mapsto 10\), cela se lit « \(f\) envoie \(2\) sur \(10\) ». Donc l'image de \(2\) par \(f\) est \(10\), ce qui s'écrit \(f(2) = 10\).

Trouver une image à partir de l'expression algébrique
📋 Méthode

Pour trouver l'image de \(a\) par \(f\) :

- 1On part de l'expression \(f(x) = \ldots\)
- 2On remplace \(x\) par \(a\) dans cette expression
- 3On calcule le résultat

✏️ Exemple
Soit la fonction \(f : x \mapsto 2x + 5\). Trouver l'image de \(3\) par la fonction \(f\).

On cherche l'image de \(3\) : c'est \(3\) qui est la valeur de départ. On calcule \(f(3)\).

Expression\(f(x) = 2x + 5\)
On substitue\(f(3) = 2 \times 3 + 5\)
On calcule\(f(3) = 6 + 5\)
Résultat\(f(3) = \mathbf{11}\)
L'image de \(3\) par \(f\) est \(\mathbf{11}\).
📝 Exercice

Soit la fonction \(g(x) = 3x - 7\). Calculer l'image de \(4\) par \(g\).

L'image de \(4\) : \(4\) est la valeur de départ, on calcule \(g(4)\).

Expression\(g(x) = 3x - 7\)
On substitue\(g(4) = 3 \times 4 - 7\)
On calcule\(g(4) = 12 - 7 = \mathbf{5}\)
L'image de \(4\) par \(g\) est \(\mathbf{5}\).
Lire une image dans un tableau de valeurs
📋 Méthode

Dans un tableau de valeurs, l'image d'un nombre \(a\) se lit en cherchant \(a\) dans la ligne \(x\), puis en lisant le nombre qui se trouve directement en dessous.

✏️ Exemple
Voici un tableau de valeurs de la fonction \(g\). Lire l'image de \(-52\) et l'image de \(2\).

\(x\) | 2 | 8 | −52
\(g(x)\) | 5 | 2 | 8

Image de \(-52\) : on cherche \(-52\) dans la ligne \(x\). En dessous, on lit \(8\).
→ L'image de \(-52\) par \(g\) est \(\mathbf{8}\), soit \(g(-52) = 8\).

Image de \(2\) : on cherche \(2\) dans la ligne \(x\). En dessous, on lit \(5\).
→ L'image de \(2\) par \(g\) est \(\mathbf{5}\), soit \(g(2) = 5\).

Lire une image sur une représentation graphique
📋 Méthode

Sur un graphique, pour lire l'image d'un nombre \(a\) par \(h\) :

- 1On repère \(a\) sur l'axe des abscisses (axe horizontal)
- 2On monte verticalement jusqu'à la courbe
- 3On lit la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées (axe vertical)

✏️ Exemple
Sur la représentation graphique de \(h\), lire l'image de \(2\).

On repère \(2\) sur l'axe des abscisses → on monte jusqu'à la courbe → on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.

En partant de \(x = 2\) sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe et on lit \(y = 1\) sur l'axe vertical.

L'image de \(2\) par \(h\) est \(\mathbf{1}\), donc \(h(2) = 1\).
III. Antécédent d'un nombre par une fonction
📘 Définition

Par une fonction \(f\), lorsqu'au nombre de départ \(a\), on fait correspondre le nombre \(b\), on dit que \(a\) est un antécédent de \(b\) par la fonction \(f\).

\(f(a) = b \quad \Longleftrightarrow \quad a \text{ est un antécédent de } b \text{ par } f\)
🔑 Point clé — Antécédent

« Antécédent de \(b\) » signifie que \(b\) est la valeur d'arrivée. On connaît le résultat et on cherche quelle valeur de départ a pu le produire.

Cela revient à résoudre une équation : on pose \(f(x) = b\) et on cherche \(x\).

💡 Notation

Si \(f : -5 \mapsto 0\), cela signifie que \(-5\) est un antécédent de \(0\) par \(f\), ce qui s'écrit \(f(-5) = 0\).

⚠️ Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (par exemple, \(9\) a deux antécédents par \(f(x) = x^2\) : les nombres \(3\) et \(-3\)) ou aucun.

🔵 Image de \(a\)

\(a\) est la valeur de départ.
On calcule \(f(a)\).
→ Calcul direct.

🟢 Antécédent de \(b\)

\(b\) est la valeur d'arrivée.
On résout \(f(x) = b\).
→ Résolution d'équation.

Trouver un antécédent à partir de l'expression algébrique
📋 Méthode — Résoudre une équation

Pour trouver un antécédent de \(b\) par \(f\), on résout l'équation \(f(x) = b\) :

- 1On écrit \(f(x) = b\) en remplaçant \(f(x)\) par son expression
- 2On résout l'équation en isolant \(x\) avec la méthode des flèches
- 3On vérifie en recalculant \(f(\text{résultat})\)

✏️ Exemple
Soit la fonction \(f : x \mapsto 2x + 5\). Trouver l'antécédent de \(3\) par la fonction \(f\).

On cherche l'antécédent de \(3\) : \(3\) est la valeur d'arrivée. On résout l'équation \(f(x) = 3\), soit \(2x + 5 = 3\).

\(2x \;+\;\) \(5\) \(\;=\; 3\)
\(-5\)
\(-5\)
\(2\)\(x \;=\; -2\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \;=\; -1\)
L'antécédent de \(3\) par \(f\) est \(x = -1\)
✅ Vérification : \(f(-1) = 2 \times (-1) + 5 = -2 + 5 = 3\) ✓
📝 Exercice

Soit la fonction \(g(x) = 3x - 7\). Trouver l'antécédent de \(5\) par \(g\).

\(5\) est la valeur d'arrivée. On résout \(g(x) = 5\), soit \(3x - 7 = 5\).

\(3x \;-\;\) \(7\) \(\;=\; 5\)
\(+7\)
\(+7\)
\(3\)\(x \;=\; 12\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \;=\; 4\)
L'antécédent de \(5\) par \(g\) est \(x = 4\)
✅ Vérification : \(g(4) = 3 \times 4 - 7 = 12 - 7 = 5\) ✓
Lire un antécédent dans un tableau de valeurs
📋 Méthode

Dans un tableau de valeurs, l'antécédent de \(b\) se lit en cherchant \(b\) dans la ligne \(g(x)\), puis en lisant le nombre qui se trouve directement au-dessus.

✏️ Exemple
Dans le tableau suivant, lire l'antécédent de \(8\) et l'antécédent de \(2\) par \(g\).

\(x\) | 2 | 8 | −52
\(g(x)\) | 5 | 2 | 8

Antécédent de \(8\) : on cherche \(8\) dans la ligne \(g(x)\). On le trouve dans la dernière colonne. Au-dessus, on lit \(-52\).
→ Un antécédent de \(8\) par \(g\) est \(\mathbf{-52}\).

Antécédent de \(2\) : on cherche \(2\) dans la ligne \(g(x)\). On le trouve dans la 2e colonne. Au-dessus, on lit \(8\).
→ Un antécédent de \(2\) par \(g\) est \(\mathbf{8}\).

Lire un antécédent sur une représentation graphique
📋 Méthode

Sur un graphique, pour lire un antécédent de \(b\) par \(h\) :

- 1On repère \(b\) sur l'axe des ordonnées (axe vertical)
- 2On trace horizontalement jusqu'à la courbe (il peut y avoir plusieurs intersections)
- 3On lit la (ou les) valeur(s) correspondante(s) sur l'axe des abscisses

✏️ Exemple
Sur la représentation graphique de \(h\), lire l'antécédent de \(2\).

On repère \(2\) sur l'axe des ordonnées → on trace horizontalement jusqu'à la courbe → on lit la valeur sur l'axe des abscisses.

En partant de \(y = 2\) sur l'axe vertical, on trace une ligne horizontale. Elle coupe la courbe en deux points : on lit \(x = -0{,}5\) et \(x = 0{,}5\) sur l'axe horizontal.

Les antécédents de \(2\) par \(h\) sont \(\mathbf{-0{,}5}\) et \(\mathbf{0{,}5}\), donc \(h(-0{,}5) = 2\) et \(h(0{,}5) = 2\).
IV. Bilan — Image et antécédent
📗 Récapitulatif

Situation | Ce que l'on connaît | Ce que l'on cherche | Stratégie
--- | --- | --- | ---
Image de \(a\) | \(a\) = valeur de départ | \(f(a)\) = ? | Calcul direct : remplacer \(x\) par \(a\)
Antécédent de \(b\) | \(b\) = valeur d'arrivée | \(x\) tel que \(f(x) = b\) | Équation : résoudre \(f(x) = b\)

📝 Exercice bilan

Soit la fonction \(f(x) = 4x - 2\).

1. Calculer l'image de \(0\) par \(f\).
2. Calculer l'image de \(-3\) par \(f\).
3. Trouver l'antécédent de \(10\) par \(f\).
4. Trouver l'antécédent de \(-6\) par \(f\).

1. Image de \(0\) — calcul direct

Substitue\(f(0) = 4 \times 0 - 2 = 0 - 2 = \mathbf{-2}\)

2. Image de \(-3\) — calcul direct

Substitue\(f(-3) = 4 \times (-3) - 2 = -12 - 2 = \mathbf{-14}\)

3. Antécédent de \(10\) — équation \(f(x) = 10\)

\(4x \;-\;\) \(2\) \(\;=\; 10\)
\(+2\)
\(+2\)
\(4\)\(x \;=\; 12\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x \;=\; 3\)
L'antécédent de \(10\) par \(f\) est \(x = 3\)
✅ Vérif. : \(f(3) = 4 \times 3 - 2 = 12 - 2 = 10\) ✓

4. Antécédent de \(-6\) — équation \(f(x) = -6\)

\(4x \;-\;\) \(2\) \(\;=\; -6\)
\(+2\)
\(+2\)
\(4\)\(x \;=\; -4\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x \;=\; -1\)
L'antécédent de \(-6\) par \(f\) est \(x = -1\)
✅ Vérif. : \(f(-1) = 4 \times (-1) - 2 = -4 - 2 = -6\) ✓
🏠 Menu