Chapitre – Partie 2

# Théorème de Thalès

Contraposée & Réciproque

I. Contraposée du théorème de Thalès
📙 Théorème (contraposée)

Si les points A, B, D d'une part et A, C, E d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si

\(\dfrac{AD}{AB} \neq \dfrac{AE}{AC}\)

alors les droites \((BC)\) et \((DE)\) ne sont pas parallèles.

💡 Remarque

Pour conclure, il suffit de comparer deux quotients. Si les deux fractions sont égales → droites parallèles. Si elles sont différentes → droites non parallèles.

✏️ Exemple – Méthode
Dans la figure ci-contre, on a AB = 4 cm, AD = 7,2 cm, AC = 4,4 cm et AE = 8,8 cm.
Les droites (BC) et (DE) sont-elles parallèles ?
Grand triangle ABE… jusqu'à D et E
Petit triangle ABC
On a : A, B, D alignés dans cet ordre ; A, C, E alignés dans cet ordre.
AB = 4 cm ; AD = 7,2 cm ; AC = 4,4 cm ; AE = 8,8 cm
Gauche
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AD}}{\textcolor{#1b7a40}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{7{,}2}}{\textcolor{#1b7a40}{4}} \approx \textcolor{#555}{1{,}8}\)
Milieu
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{DE}}{\textcolor{#1b7a40}{BC}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{?}}{\textcolor{#1b7a40}{?}}\)
non calculable
Droite
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AE}}{\textcolor{#1b7a40}{AC}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{8{,}8}}{\textcolor{#1b7a40}{4{,}4}} = \textcolor{#555}{2}\)
Or : \(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AD}}{\textcolor{#1b7a40}{AB}} \neq \dfrac{\textcolor{#c0392b}{AE}}{\textcolor{#1b7a40}{AC}}\) car \(1{,}8 \neq 2\)
Donc : D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites \((BC)\) et \((DE)\) ne sont pas parallèles.
🧩 Exercice
On a AB = 6 cm, AD = 9 cm, AC = 8 cm et AE = 13 cm (avec A, B, D alignés et A, C, E alignés).
Les droites (BC) et (DE) sont-elles parallèles ?
On a : A, B, D alignés dans cet ordre ; A, C, E alignés dans cet ordre.
AB = 6 cm ; AD = 9 cm ; AC = 8 cm ; AE = 13 cm
Gauche
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AD}}{\textcolor{#1b7a40}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{9}}{\textcolor{#1b7a40}{6}} = \textcolor{#555}{1{,}5}\)
Milieu
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{DE}}{\textcolor{#1b7a40}{BC}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{?}}{\textcolor{#1b7a40}{?}}\)
non calculable
Droite
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AE}}{\textcolor{#1b7a40}{AC}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{13}}{\textcolor{#1b7a40}{8}} \approx \textcolor{#555}{1{,}625}\)
Or : \(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AD}}{\textcolor{#1b7a40}{AB}} \neq \dfrac{\textcolor{#c0392b}{AE}}{\textcolor{#1b7a40}{AC}}\) car \(1{,}5 \neq 1{,}625\)
Donc : D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites \((BC)\) et \((DE)\) ne sont pas parallèles.
II. Réciproque du théorème de Thalès
📗 Théorème (réciproque)

Si les points A, B, D d'une part et A, C, E d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si

\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\)

alors les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles.

✏️ Exemple – Méthode
Dans la figure ci-contre, on a AF = 3,6 cm, CA = 7,2 cm, AE = 4,4 cm et BA = 8,8 cm.
Les droites (BC) et (FE) sont-elles parallèles ?
Grand triangle BAC
Petit triangle FAE
On a : F, A, B alignés dans cet ordre ; E, A, C alignés dans cet ordre.
AF = 3,6 cm ; BA = 8,8 cm ; AE = 4,4 cm ; CA = 7,2 cm
Gauche
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AB}}{\textcolor{#1b7a40}{AF}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{8{,}8}}{\textcolor{#1b7a40}{3{,}6}} \approx \textcolor{#555}{2{,}44}\)
Milieu
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{BC}}{\textcolor{#1b7a40}{EF}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{?}}{\textcolor{#1b7a40}{?}}\)
non calculable
Droite
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AC}}{\textcolor{#1b7a40}{AE}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{7{,}2}}{\textcolor{#1b7a40}{4{,}4}} \approx \textcolor{#555}{1{,}64}\)
Or : \(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AB}}{\textcolor{#1b7a40}{AF}} \neq \dfrac{\textcolor{#c0392b}{AC}}{\textcolor{#1b7a40}{AE}}\) car \(2{,}44 \neq 1{,}64\)
Donc : D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites \((BC)\) et \((EF)\) ne sont pas parallèles.
🧩 Exercice
Dans une configuration de type « papillon » en A, on a AF = 4 cm, AB = 8 cm, AE = 3 cm et AC = 6 cm (avec F, A, B alignés et E, A, C alignés).
Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ?
On a : F, A, B alignés dans cet ordre ; E, A, C alignés dans cet ordre.
AF = 4 cm ; AB = 8 cm ; AE = 3 cm ; AC = 6 cm
Gauche
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AB}}{\textcolor{#1b7a40}{AF}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{8}}{\textcolor{#1b7a40}{4}} = \textcolor{#555}{2}\)
Milieu
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{BC}}{\textcolor{#1b7a40}{EF}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{?}}{\textcolor{#1b7a40}{?}}\)
non calculable
Droite
\(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AC}}{\textcolor{#1b7a40}{AE}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{6}}{\textcolor{#1b7a40}{3}} = \textcolor{#555}{2}\)
Or : \(\dfrac{\textcolor{#c0392b}{AB}}{\textcolor{#1b7a40}{AF}} = \dfrac{\textcolor{#c0392b}{AC}}{\textcolor{#1b7a40}{AE}}\) car \(2 = 2\)
Donc : D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((BC)\) et \((EF)\) sont parallèles.
III. Récapitulatif
📗 Les 2 situations

Situation | Condition | Conclusion
🟠 Contraposée | \(\dfrac{AB}{AD} \neq \dfrac{AC}{AE}\) | → \((BC)\) et \((DE)\) non //
🟢 Réciproque | \(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}\) | → \((BC)\) et \((DE)\) sont //

📝 Mémo : Dans les deux cas, on calcule uniquement deux quotients et on les compare. Il faut toujours vérifier au préalable que les points sont bien alignés dans le même ordre sur chaque droite.
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