5ème

# Statistiques

I. Vocabulaire
📘 Définitions

- Lors d'une étude statistique, on étudie sur une population un caractère qui peut prendre plusieurs valeurs.
- L'effectif d'une valeur est le nombre de fois que cette valeur apparaît.
- La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total.

\(\text{fréquence} = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}\)
✏️ Exemple
On a interrogé les 25 élèves de 5A au sujet de leur sport préféré. Voici leurs réponses :
football, basket, danse, handball, football, danse, basket, handball, football, football, basket, tennis, danse, danse, football, basket, football, tennis, football, basket, danse, danse, football, basket, tennis.

Répondre aux questions suivantes :

1. Quelle est la population étudiée ?
2. Quel est le caractère étudié ?
3. Quelles sont les valeurs possibles ?
4. Quel est l'effectif total ?
5. Quel est l'effectif de la valeur « football » ?
6. Quelle est la fréquence de la valeur « football » ?

Sport | Football | Basket | Danse | Handball | Tennis
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 8 | 6 | 6 | 2 | 3

1. La population étudiée est l'ensemble des 25 élèves de 5A.
2. Le caractère étudié est le sport préféré.
3. Les valeurs possibles sont : football, basket, danse, handball, tennis.
4. L'effectif total est \(25\).
5. L'effectif de la valeur « football » est \(8\).
6. La fréquence de « football » est \(\dfrac{8}{25} = 0{,}32\), soit \(32\%\).
🧩 Exercice
On a relevé les notes obtenues par 20 élèves à un contrôle de mathématiques :
12, 15, 8, 10, 15, 12, 9, 14, 12, 10, 8, 15, 12, 11, 14, 10, 12, 9, 14, 10.

1. Quelle est la population étudiée ?
2. Quel est le caractère étudié ?
3. Quel est l'effectif de la note 12 ?
4. Quelle est la fréquence de la note 15 ?

1. La population étudiée est l'ensemble des 20 élèves.
2. Le caractère étudié est la note obtenue au contrôle.
3. La note 12 apparaît 5 fois, donc son effectif est \(5\).
4. La note 15 apparaît 3 fois : fréquence \(= \dfrac{3}{20} = 0{,}15\), soit \(15\%\).
II. Moyenne
📘 Définition

La moyenne d'une série de données est égale au quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.

\(\text{moyenne} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{effectif total}}\)
✏️ Exemple
Un élève a réalisé quatre contrôles de mathématiques et a obtenu les résultats suivants : 12 ; 15 ; 7 et 10. Quelle est sa moyenne ?
On additionne toutes les notes : \(12 + 15 + 7 + 10 = 44\)
On divise par le nombre de notes : \(\dfrac{44}{4} = 11\)
La moyenne est \(11\)
Moyenne pondérée
📘 Définition

La moyenne pondérée d'une série de données est égale à la somme des produits de chaque valeur par son effectif (ou coefficient), divisée par l'effectif total.

\(\text{moyenne pondérée} = \dfrac{\text{somme des (valeur} \times \text{effectif)}}{\text{effectif total}}\)
💡 Remarque

On utilise la moyenne pondérée lorsque les valeurs n'ont pas toutes le même poids (par exemple avec des coefficients différents).

✏️ Exemple
En voulant recalculer sa moyenne, notre élève se rend compte que les évaluations avaient des coefficients différents :

Note | 12 | 15 | 7 | 10
--- | --- | --- | --- | ---
Coefficient | 4 | 2 | 0,5 | 1

Quelle est sa moyenne pondérée ?

Étape 1 — Calculer la somme des produits :
\((12 \times 4) + (15 \times 2) + (7 \times 0{,}5) + (10 \times 1)\)
\(= 48 + 30 + 3{,}5 + 10 = 91{,}5\)
Étape 2 — Calculer l'effectif total (somme des coefficients) :
\(4 + 2 + 0{,}5 + 1 = 7{,}5\)
Étape 3 — Diviser :
\(\text{moyenne} = \dfrac{91{,}5}{7{,}5} = 12{,}2\)
La moyenne pondérée est \(12{,}2\)
🧩 Exercice
Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes d'une classe lors d'un contrôle :

Note | 8 | 10 | 13 | 16 | 18
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 3 | 7 | 10 | 5 | 5

Calculer la moyenne de la classe.

Effectif total : \(3 + 7 + 10 + 5 + 5 = 30\)
Somme pondérée : \((8 \times 3) + (10 \times 7) + (13 \times 10) + (16 \times 5) + (18 \times 5)\)
\(= 24 + 70 + 130 + 80 + 90 = 394\)
Moyenne : \(\dfrac{394}{30} \approx 13{,}1\)
La moyenne de la classe est \(\approx 13{,}1\)
✅ Vérification : la moyenne est bien comprise entre la valeur minimale (8) et la valeur maximale (18).
III. Diagrammes
📋 Méthode — Diagramme en bâtons

Pour construire un diagramme en bâtons :

- 1On place les valeurs sur l'axe horizontal
- 2On place les effectifs sur l'axe vertical
- 3On trace un bâton vertical dont la hauteur correspond à l'effectif de chaque valeur

📋 Méthode — Diagramme circulaire

Pour construire un diagramme circulaire :

- 1On calcule la fréquence de chaque valeur
- 2On convertit en degrés : fréquence × 360° (ou produit en croix)
- 3On trace le disque avec un compas et on répartit les secteurs avec un rapporteur

✏️ Exemple
On reprend les données sur les sports préférés des élèves de 5A. Compléter le tableau des degrés pour le diagramme circulaire.

Sport | Football | Basket | Danse | Handball | Tennis | Total
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 8 | 6 | 6 | 2 | 3 | 25
Degrés | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | 360°

Méthode : on effectue un produit en croix pour chaque valeur.
Pour football : \(\dfrac{8}{25} \times 360° = \dfrac{8 \times 360}{25} = \dfrac{2880}{25} = 115{,}2°\)
Pour basket : \(\dfrac{6}{25} \times 360° = 86{,}4°\)
Pour danse : \(\dfrac{6}{25} \times 360° = 86{,}4°\)
Pour handball : \(\dfrac{2}{25} \times 360° = 28{,}8°\)
Pour tennis : \(\dfrac{3}{25} \times 360° = 43{,}2°\)

Sport | Football | Basket | Danse | Handball | Tennis | Total
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 8 | 6 | 6 | 2 | 3 | 25
Degrés | 115,2° | 86,4° | 86,4° | 28,8° | 43,2° | 360°

✅ Vérification : \(115{,}2 + 86{,}4 + 86{,}4 + 28{,}8 + 43{,}2 = 360°\) ✓
🧩 Exercice
Un groupe de 28 personnes a été interrogé sur leur groupe sanguin. Voici les résultats :

Groupe sanguin | O | A | B | AB | Total
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 13 | 10 | 4 | 1 | 28
Degrés | . . . | . . . | . . . | . . . | 360°

Compléter le tableau en calculant les degrés pour le diagramme circulaire.

Groupe O : \(\dfrac{13}{28} \times 360° \approx 167{,}1°\)
Groupe A : \(\dfrac{10}{28} \times 360° \approx 128{,}6°\)
Groupe B : \(\dfrac{4}{28} \times 360° \approx 51{,}4°\)
Groupe AB : \(\dfrac{1}{28} \times 360° \approx 12{,}9°\)

Groupe sanguin | O | A | B | AB | Total
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 13 | 10 | 4 | 1 | 28
Degrés | ≈ 167,1° | ≈ 128,6° | ≈ 51,4° | ≈ 12,9° | 360°

✓ Vérification \(167{,}1 + 128{,}6 + 51{,}4 + 12{,}9 = 360°\) ✓
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