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Exercice 1
20 points · Tableur & statistiques
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Exercice 1 Tableur · Statistiques · Proportions
La feuille de calcul indique la répartition par âge des élèves inscrits à l'escalade.

Âge | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | Total
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 1 | 3 | 8 | 12 | 4 | 2 | ?

Q1. Quel est le nombre d'élèves âgés de 12 ans inscrits à l'escalade ?

Q2. Calculer le nombre total d'élèves inscrits.

Q3. Quelle formule saisir dans la cellule H2 pour obtenir le total ?

Q4. Le professeur affirme : « \(\frac{1}{5}\) des élèves ont 14 ans ou plus ». A-t-il raison ?

Q5. L'année dernière la moyenne d'âge était 13 ans. A-t-elle augmenté cette année ?

Q6. L'association prévoit une hausse de 10 % des inscriptions. Combien d'élèves l'année prochaine ?

La colonne D correspond à l'âge 12. Que lis-tu dans la cellule D2 ?
Commence par compter les élèves ayant 14 ans ou plus. Puis exprime cette quantité en fraction du total et réduis-la.
La moyenne se calcule en multipliant chaque âge par son effectif, en additionnant, puis en divisant par le total. Compare ensuite le résultat à 13.

### Q1 – Effectif des 12 ans

La cellule D2 contient 8.

Il y a 8 élèves de 12 ans inscrits à l'escalade.

### Q2 – Effectif total

N = 1 + 3 + 8 + 12 + 4 + 2 = 30
Il y a 30 élèves inscrits à l'escalade.

### Q3 – Formule dans H2

= SOMME(B2 : G2) ou = B2 + C2 + D2 + E2 + F2 + G2

### Q4 – Au moins 14 ans

Élèves de 14 ou 15 ans : 4 + 2 = 6.

\(\dfrac{6}{30} = \dfrac{1 \times 6}{5 \times 6} = \dfrac{1}{5}\)
✓ Le professeur a raison : \(\frac{1}{5}\) des élèves ont 14 ans ou plus.

### Q5 – Moyenne d'âge

\(\text{Moyenne} = \dfrac{10 \times 1 + 11 \times 3 + 12 \times 8 + 13 \times 12 + 14 \times 4 + 15 \times 2}{30} = \dfrac{381}{30} = 12{,}7\)

Or 12,7 < 13, donc la moyenne d'âge n'a pas augmenté — elle a légèrement baissé.

### Q6 – Hausse de 10 %

Méthode 1 : On calcule d'abord l'augmentation (10 %), puis on l'ajoute au total.

| Situation initiale | Augmentation
--- | --- | ---
Pourcentage | 100 % | 10 %
Nombre d'élèves | 30 | ?

? = 10 × 30 ÷ 100 = 3 élèves (augmentation)
Total l'année prochaine = 30 + 3 = 33 élèves

Méthode 2 : On obtient directement le nouveau total avec 110 %.

| Situation initiale | Après hausse
--- | --- | ---
Pourcentage | 100 % | 110 %
Nombre d'élèves | 30 | ?

? = 110 × 30 ÷ 100 = 33 élèves
Il y aura 33 élèves inscrits à l'escalade l'année prochaine.
Exercice 2
22 points · Géométrie
✓ Vu
Exercice 2 Pythagore · Trigonométrie · Thalès
Le jardin botanique est représenté par le quadrilatère ABCD. On sait que AB = 500 m, BE = 250 m, DE = 750 m et les segments [AC] et [BD] se coupent en E.

Q1. Quelle est la longueur du segment [DB] ?

Q2. Dans le triangle rectangle ABD, montrer que AD ≈ 866 m.

Q3a. Calculer le sinus de l'angle \(\widehat{EAB}\).

Q3b. En déduire la mesure en degrés de \(\widehat{EAB}\).

Q4a. Montrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

Q4b. Montrer que la longueur du segment [CD] est égale à 1 500 m.

Q5. Un piéton fait le tour du jardin à 1,1 m/s. Le temps est-il inférieur à une heure ?

Le point E est sur le segment [BD]. Quelle relation y a-t-il entre BE, ED et BD ?
Le triangle ABD est rectangle en A : quel est le côté le plus long (l'hypoténuse) ? Applique le théorème de Pythagore en isolant AD².
Dans le triangle EAB rectangle en E, repère le côté opposé à \(\widehat{EAB}\) et l'hypoténuse. Quelle fonction trigonométrique utilises-tu avec opposé et hypoténuse ?
Les droites (AB) et (DC) sont parallèles, et E est l'intersection de [AC] et [BD]. Quelle configuration te permet d'écrire les rapports de Thalès ?

### Q1 – Longueur de [DB]

E est sur le segment [BD], donc :

BD = BE + ED = 250 + 750 = 1 000 m

### Q2 – Longueur de [AD] (Théorème de Pythagore)

On a : Le triangle ABD est rectangle en A. L'hypoténuse est [BD], le côté cherché est [AD]. Or : D'après le théorème de Pythagore :
\(BD^2 = AB^2 + AD^2\)
\(1000^2 = 500^2 + AD^2\)
\(AD^2 = 1\,000\,000 - 250\,000 = 750\,000\)
\(AD = \sqrt{750\,000} \approx 866{,}03\) m
Donc : AD mesure environ 866 m. ✓

### Q3a – Sinus de \(\widehat{EAB}\) (Trigonométrie)

On a : Le triangle EAB est rectangle en E. Le côté [EB] est opposé à \(\widehat{EAB}\) : EB = 250 m Le côté [AB] est l'hypoténuse : AB = 500 m Or : D'après la trigonométrie :
\(\sin\!\left(\widehat{EAB}\right) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{EB}{AB} = \dfrac{250}{500} = \dfrac{1}{2}\)
Donc : \(\sin\!\left(\widehat{EAB}\right) = \dfrac{1}{2}\)

### Q3b – Mesure de \(\widehat{EAB}\)

\(\widehat{EAB} = \arcsin\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = 30°\)
\(\widehat{EAB} = \mathbf{30°}\)

### Q4a – Droites (AB) et (DC) parallèles

D'après le codage de la figure, les droites (AB) et (DC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AD).

Par propriété, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.

Donc les droites (AB) et (DC) sont parallèles. ✓

### Q4b – Longueur [CD] = 1 500 m (Théorème de Thalès)

On a : Les droites (AB) et (DC) sont parallèles. Les points B, E, D sont alignés dans cet ordre. Les points A, E, C sont alignés dans cet ordre (car [AC] et [BD] se coupent en E). Or : D'après le théorème de Thalès :
Rapport 1
ED
EB
=
Rapport 2
EC
EA
=
Rapport 3
DC
AB

On utilise Rapport 1 = Rapport 3 :

750
250
=
DC
500

Produit en croix :

DC = 500 × 750 ÷ 250 = 500 × 3 = 1 500 m
Donc : DC mesure bien 1 500 m. ✓

### Q5 – Temps pour faire le tour

Périmètre du jardin :

AB + BC + CD + DA ≈ 500 + 1 323 + 1 500 + 866 = 4 189 m

Temps nécessaire à 1,1 m/s :

t = 4 189 ÷ 1,1 ≈ 3 808 s

Or une heure = 60 × 60 = 3 600 s. 3 808 > 3 600.

Le temps est supérieur à une heure (environ 1 h 3 min 28 s).
Exercice 3 — QCM
20 points · 5 questions
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QCM – Question 1 Carré d'un nombre négatif

\((-3)^2\) est égal à :

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
−9 | −6 | 6 | 9

\((-3)^2\) signifie \((-3) \times (-3)\). Quel signe obtient-on en multipliant deux nombres négatifs ?

### Réponse D : 9

\((-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\)

Le produit de deux nombres de même signe est positif.

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QCM – Question 2 Facteurs premiers de 360

La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 360 est :

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
\(2^3 \times 9 \times 5\) | \(8 \times 3^2 \times 5\) | \(2^3 \times 3^2 \times 7\) | \(2^3 \times 3^2 \times 5\)

Seuls des nombres premiers (2, 3, 5, 7…) peuvent figurer dans une décomposition. Lesquelles des réponses contiennent 9 ou 8, qui ne sont pas premiers ?

### Réponse D : \(2^3 \times 3^2 \times 5\)

Réponses A et B : Les réponses A et B contiennent 9 et 8, qui ne sont pas des nombres premiers.

La réponse C donne \(2^3 \times 3^2 \times 7 = 504\), et non 360 : elle est fausse.

Décomposition de 360 en facteurs premiers :

360 | 2
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 |

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = \(2^3 \times 3^2 \times 5\)
Vérification : \(8 \times 9 \times 5 = 360\) ✓
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QCM – Question 3 Aire d'un rectangle

Un rectangle d'aire 135 cm² a pour largeur 3 cm. Combien mesure sa longueur ?

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
15 cm | 45 cm | 132 cm | 405 cm

L'aire d'un rectangle = longueur × largeur. Si tu connais l'aire et la largeur, comment isoles-tu la longueur ?

### Réponse B : 45 cm

Aire = Longueur × Largeur → 135 = L × 3
L = 135 ÷ 3 = 45 cm
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QCM – Question 4 Expression littérale – Longueur d'un segment

Quelle expression correspond à la longueur du segment [BG] ?

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
\(3x^2\) | \(2x^2+3\) | \(5x\) | \(2x+3\)

BD et DE sont codés comme égaux, donc chacun vaut \(x\). EG vaut 3. Comment additionne-t-on les trois parties pour obtenir BG ?

### Réponse D : \(2x + 3\)

BG = BD + DE + EG = \(x + x + 3 = 2x + 3\)
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QCM – Question 5 Translation

Le rectangle ADCB est partagé en 9 rectangles identiques. L'image du rectangle GFHI par la translation qui transforme D en M est :

A | B | C | D
--- | --- | --- | ---
EKLF | HMNJ | KBOL | MPCN

La translation qui envoie D sur M déplace chaque point du même vecteur. Applique ce déplacement aux quatre coins du rectangle GFHI.

### Réponse C : KBOL

La translation qui envoie D sur M envoie : G → K, F → B, H → O, I → L.

L'image de GFHI est KBOL. ✓
Exercice 4
20 points · Programme de calcul & fonctions
✓ Vu
Exercice 4 Programme de calcul · Développement · Fonction affine

Q1. Montrer que si l'on choisit 5, le résultat est 2.

Q2a. Parmi les expressions proposées, laquelle correspond au programme (nombre de départ : \(x\)) ?

Expression A | Expression B | Expression C | Expression D
--- | --- | --- | ---
\(x+4 \times x-2-x^2\) | \(x+4 \times x-2-2x\) | \((x+4)(x-2)-x^2\) | \((x+4)(x-2)-2x\)

Q2b. Montrer que le résultat peut s'écrire \(2x - 8\).

Q3. On appelle \(f\) la fonction définie par \(f(x) = 2x - 8\).

Q3a. La représentation n°3 est celle de \(f\). Expliquer pourquoi les n°1 et n°2 ne conviennent pas.

Q3b. Déterminer l'image de 4 par \(f\).

Q4. Quel nombre de départ donne le résultat 100 ?

Suis les étapes du programme avec 5 : ajoute 4, soustrais 2, multiplie les deux résultats, puis soustrais le carré de 5.
\(f(x) = 2x-8\) est une fonction affine : sa courbe est forcément une droite. Le coefficient 2 (positif) indique que la droite est croissante. Que peux-tu en déduire sur les représentations 1 et 2 ?
Trouver le nombre de départ pour un résultat de 100 revient à résoudre \(2x - 8 = 100\). Utilise la méthode des flèches pour isoler \(x\).

### Q1 – Application avec 5

• À gauche : 5 + 4 = 9 · À droite : 5 − 2 = 3

• En multipliant : 9 × 3 = 27

• En soustrayant 5² : 27 − 25 = 2 ✓

### Q2a – Expression correspondant au programme

Réponse C : \((x+4)(x-2) - x^2\)

En notant \(x\) le nombre de départ, le programme calcule :

- On ajoute 4 au nombre de départ : \(x + 4\)
- On soustrait 2 au nombre de départ : \(x - 2\)
- On multiplie les deux résultats obtenus : \((x+4)(x-2)\)
- On soustrait le carré du nombre de départ : \((x+4)(x-2) - x^2\)

L'expression A oublie les parenthèses ; D confond \(x^2\) avec \(2x\) ; B cumule les deux erreurs.

### Q2b – Développement

\((x+4)(x-2) - x^2 = x^2\) \(-2x + 4x\) \(- 8 - x^2\)
\( = \) \(2x\) \(- 8\)
\(= \mathbf{2x - 8}\) ✓

### Q3a – Représentations qui ne conviennent pas

Représentation n°1 : \(f(x) = 2x-8\) est une fonction affine — sa courbe est une droite. La n°1 est une parabole (courbe) : elle ne convient pas.

Représentation n°2 : Le coefficient directeur est 2 > 0, donc la droite doit être croissante. La n°2 est décroissante : elle ne convient pas.

### Q3b – Image de 4 par \(f\)

\(f(4) = 2 \times 4 - 8 = 8 - 8 = \mathbf{0}\)
L'image de 4 par \(f\) est 0.

### Q4 – Nombre de départ donnant 100 (Équation)

On résout \(f(x) = 100\), soit \(2x - 8 = 100\) :

\(2x \;-\;\) \(8\) \(\;=\; 100\)
\(+8\)
\(+8\)
\(2\)\(x \;=\; 108\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 54\)
La solution est \(x = 54\)
Il faut choisir 54 comme nombre de départ pour obtenir 100.
Exercice 5
18 points · Probabilités & Scratch
✓ Vu
Exercice 5 Probabilités · Algorithmique Scratch
Partie A. Tom a un dé équilibré à 12 faces numérotées de 1 à 12.

A1. Expliquer pourquoi la probabilité d'obtenir 4 est \(\frac{1}{12}\).

A2. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

A3. Tom pense que la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est supérieure à 0,3. A-t-il raison ?

Partie B. Tom simule deux dés à 12 faces avec Scratch.

B1. Recopier les lignes 2, 3 et 4 du bloc « Lancer » en les complétant.

B2. Si dé 1 = 8 et dé 2 = 3, qu'affichera le programme ? Justifier.

Le dé est équilibré : chaque face a autant de chances que les autres. Combien y a-t-il de faces au total ? Combien portent le numéro 4 ?
Liste les multiples de 3 compris entre 1 et 12. Combien y en a-t-il ? Calcule la fraction et compare à 0,3.
Pour simuler un dé à 12 faces équilibré, de quel intervalle a-t-on besoin ? La ligne 4 doit calculer la somme des deux dés.

### A1 – Probabilité d'obtenir 4

Le dé a 12 faces équiprobables. Une seule porte le numéro 4.

\(P(4) = \dfrac{\text{nb d'issues favorables}}{\text{nb total d'issues}} = \dfrac{1}{12}\)

### A2 – Probabilité d'un nombre pair

Nombres pairs de 1 à 12 : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 → 6 nombres.

\(P(\text{pair}) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)

### A3 – Probabilité d'un multiple de 3

Multiples de 3 entre 1 et 12 : 3 ; 6 ; 9 ; 12 → 4 nombres.

\(P(\text{multiple de 3}) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33 > 0{,}3\)
Tom a raison : la probabilité est \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33 > 0{,}3\). ✓

### B1 – Bloc « Lancer » complété

Quand ⚑ cliqué
répéter 1000 fois
mettre Dé 1 à nombre aléatoire entre 1 et 12
mettre Dé 2 à nombre aléatoire entre 1 et 12
mettre Résultat à Dé 1 + Dé 2
si Résultat > 6 alors
dire « Gagné ! » pendant 2 secondes
fin si
fin répéter
Bloc « Lancer »
2 · mettre Dé 1 à nombre aléatoire entre 1 et 12 3 · mettre Dé 2 à nombre aléatoire entre 1 et 12 4 · mettre Résultat à Dé 1 + Dé 2

### B2 – Dé 1 = 8, Dé 2 = 3

Résultat = 8 + 3 = 11

Le test « Résultat > 6 » est vrai car 11 > 6.

Le programme affiche « Gagné ! » pendant 2 secondes.
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