Chapitre

# Symétrie centrale

I. Symétrie centrale
📘 Définition

Dire que deux figures sont symétriques par rapport à un point signifie que, en effectuant un demi-tour autour de ce point, les figures se superposent.

- Le point O est appelé le centre de symétrie.
- Le symétrique de la figure ℱ par rapport à O est ℱ′.
- Les figures ℱ et ℱ′ sont symétriques par la symétrie centrale de centre O.

II. Construction du symétrique d'un point
✏️ Exemple
Construire le symétrique du point A par rapport au centre O.
Figure initiale — A et O
Figure avec le symétrique A′
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📐 Méthode — Construire le symétrique d'un point

1. Tracer la droite passant par A et par O (à la règle).
2. Régler le compas sur la distance AO.
3. Poser la pointe du compas en O et reporter la même distance de l'autre côté de O sur la droite.
4. Le point obtenu est A′, le symétrique de A par rapport à O.
5. Vérifier : O est bien le milieu du segment [AA′].

💡 Clé : O est toujours le milieu de [AA′]. On a donc OA = OA′.
III. Propriétés de conservation
📗 Propriétés

Lorsque l'on réalise une symétrie centrale :

- Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques le sont aussi.
- Si deux segments sont symétriques, alors ils sont parallèles et de même longueur.
- Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils sont de même mesure.
- Si deux figures sont symétriques, alors elles ont le même périmètre et la même aire.

IV. Axe(s) et centre(s) de symétrie d'une figure
1. Axe de symétrie d'une figure
📘 Définition

Dire qu'une droite est un axe de symétrie d'une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à cette droite sont confondus (la figure se superpose à elle-même par pliage).

✏️ Exemple
Trouver les axes de symétrie des figures suivantes.
Carré
4 axes
— en rouge : 2 médianes
— en bleu : 2 diagonales
Rectangle
2 axes
Les 2 médianes seulement
(pas les diagonales)
Croix en T / Croix +
Croix + : 2 axes
(vertical et horizontal)
Losange
2 axes
(les 2 diagonales)
2. Centre de symétrie d'une figure
📘 Définition

Dire qu'un point est un centre de symétrie d'une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à ce point sont confondus (la figure se superpose à elle-même après un demi-tour).

✏️ Exemple
Trouver le(s) centre(s) de symétrie des figures suivantes, lorsqu'il y en a.
Triangle équilatéral
❌ Aucun centre
Un demi-tour ne le superpose pas
Rectangle
✓ 1 centre
L'intersection des diagonales
Pentagone régulier
❌ Aucun centre
Nombre de côtés impair
Hexagone régulier
✓ 1 centre
Le centre de l'hexagone
💡 Règle pratique : Les polygones réguliers à nombre de côtés pair ont un centre de symétrie. Ceux à nombre de côtés impair n'en ont pas.
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