📌 Organisation de l'épreuve

Partie 1 – Automatismes (6 pts)
9 questions rapides, sans justification. Calculatrice interdite. Durée conseillée : 20 min.
Partie 2 – Problèmes (14 pts)
4 exercices avec justifications obligatoires. Calculatrice autorisée. 2 points pour rédaction.
Conseil général
Si une question est bloquante, laisse une trace de ta recherche et passe à la suivante.
Indices disponibles
Pour chaque question, des indices progressifs t'aident sans dévoiler la réponse.
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⏱ Partie 1 · 20 min · Sans calculatrice
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📋 Partie 1 – Automatismes (6 points – sans calculatrice)
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## Question 1

Géométrie de base

Quelle est la mesure, en degrés, d'un angle droit ?

Pense au symbole du petit carré que l'on dessine dans un coin pour indiquer ce type d'angle.
Un angle droit mesure \(\boldsymbol{90°}\)
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## Question 2

Statistiques – Moyenne

Voici une série de quatre notes : 8, 10, 11, 11.

Quelle est la moyenne de cette série ?

A. 9,5
B. 10
C. 10,5
D. 11
La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par le nombre de valeurs.

\(\text{Moyenne} = \dfrac{8 + 10 + 11 + 11}{4} = \dfrac{40}{4} = 10\)

Réponse B. 10
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## Question 3

Pourcentages

Dans un collège de 800 élèves, 25 % des élèves portent des lunettes.

Combien d'élèves portent des lunettes ?

25 % correspond à « un quart ». Que signifie prendre le quart d'un nombre ?
25 % peut s'écrire comme une fraction. Peux-tu simplifier ce calcul avant de le poser ?

Méthode 1 : \(25\% = \dfrac{1}{4}\) donc \(800 \div 4 = 200\)

Méthode 2 : \(\dfrac{25}{100} \times 800 = \dfrac{25 \times 800}{100} = 200\)

200 élèves portent des lunettes
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## Question 4

Lecture de graphique

Le graphique ci-contre donne l'évolution de la température (en °C) en fonction de l'horaire (en heures).

Entre 8h et 16h, de combien de degrés la température a-t-elle augmenté ?

Évolution de la température

Repère sur l'axe horizontal les valeurs 8 et 16, puis lis la température correspondante sur l'axe vertical. La variation, c'est la différence.

À \(8\)h : température \(= 15\,°C\)

À \(16\)h : température \(= 30\,°C\)

Augmentation : \(30 - 15 = 15\,°C\)

La température a augmenté de 15 °C
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## Question 5

Vitesse – Durée – Distance

Une voiture roule à 90 km/h. Combien de temps met-elle pour parcourir 45 km ?

A. 15 min
B. 30 min
C. 45 min
D. 1 h
Quelle fraction du trajet horaire représente 45 km ? En déduire la durée correspondante.

En 1 h la voiture parcourt 90 km. Or \(45 = \dfrac{90}{2}\), donc elle met la moitié de 1 h = 30 min.

Réponse B. 30 min
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## Question 6

Périmètre – Losange

Donner le périmètre du losange ABCD représenté ci-contre.

Losange ABCD, côté = 3 cm

Quelle est la propriété fondamentale d'un losange concernant la longueur de ses côtés ?

Un losange a ses 4 côtés égaux. Chaque côté mesure 3 cm.

\(\mathcal{P} = 4 \times 3 = 12\) cm

\(\boldsymbol{\mathcal{P} = 12}\) cm
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## Question 7

Équation du 1er degré

Pour résoudre l'équation \(4x - 3 = 20\) on effectue le calcul :

A. \(x = \dfrac{20}{4} + 3\)
B. \(x = (20-4)+3\)
C. \(x = 20\times4+3\)
D. \(x = \dfrac{20+3}{4}\)
Pour isoler \(x\), commence par faire « passer » le \(-3\) de l'autre côté. Que devient-il ?
Une fois les termes en x regroupés d'un côté et les constantes de l'autre, comment isoler x ?

### Résolution de \(4x - 3 = 20\)

\(4x\ \) | \(-\) | \(3\) \(= 20\) |
↓ on ajoute 3 des deux membres ↓ | \(+3\)
\(4\)\(x\) | \(=\) | \(23\) |
↓ on divise les deux membres par 4 ↓ | \(\div 4\)
\(x\) | \(=\) | \(\dfrac{20+3}{4}\) |

Réponse D. \(x = \dfrac{20+3}{4}\)
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## Question 8

Théorème de Thalès

Sur la figure, les droites \((DE)\) et \((AC)\) sont parallèles.

Écrire une égalité de rapports permettant de déterminer la longueur \(AB\).

\(BD=3,\ BE=4{,}5,\ DE=4,\ AC=6\)

Le théorème de Thalès relie les longueurs dans deux triangles homothétiques. Quels sont les deux triangles ici ?
Identifie les deux triangles emboîtés et les côtés qui se correspondent. Écris l'égalité des rapports.

Les droites \((DE)\) et \((AC)\) sont parallèles et \(B\) est le sommet commun.

Par le théorème de Thalès :

\[\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{BE}{BC} = \dfrac{DE}{AC}\]

Soit numériquement : \(\dfrac{3}{BA} = \dfrac{4{,}5}{BC} = \dfrac{4}{6}\)

Pour calculer \(BA\) : on utilise \(\dfrac{3}{BA} = \dfrac{4}{6}\), ce qui donne \(BA = \dfrac{3 \times 6}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5\)
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## Question 9

Algorithmique – Scratch

On considère l'algorithme Scratch ci-contre.

Quel résultat obtient-on si on choisit 1 comme nombre de départ ?

Programme Scratch

Lis le programme ligne par ligne. Commence par : variable ← 1 (le nombre choisi).
Suis le programme étape par étape avec le nombre choisi, en appliquant chaque opération dans l'ordre.

Étape 1 : variable \(\leftarrow 1\)

Étape 2 : résultat \(\leftarrow 8 \times 1 = 8\)

Étape 3 : résultat \(\leftarrow 8 + 10 = 18\)

Étape 4 : résultat \(\leftarrow 18 \div 2 = 9\)

Le résultat affiché est 9
⏱ Partie 2 · 1h40 · Calculatrice autorisée
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🔬 Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points – calculatrice autorisée)
⚠️ Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées. La clarté du raisonnement et la rédaction sont évaluées sur 2 points. Si une question est bloquante, laisse quand même une trace de ta démarche.
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## Exercice 1 (3 points)

Géométrie – Angles
Sur la figure, les points \(B\), \(A\) et \(D\) sont alignés. Les droites \((BA)\) et \((EC)\) sont parallèles.

1. Rappeler la propriété de la somme des angles d'un triangle, puis calculer la mesure de l'angle \(\widehat{ACB}\) repéré par la lettre \(x\).
2. a. Que peut-on dire des droites \((AB)\) et \((EB)\) ? Justifier.
   b. En déduire la mesure de l'angle \(\widehat{CBE}\) repéré par \(y\).
3. Déterminer la mesure de l'angle \(\widehat{ADC}\) repéré par \(z\), en expliquant chaque étape.

\(B,A,D\) alignés · \((BA)\) parallèle à \((EC)\) · \(\widehat{ABC}=36°\) · \(\widehat{BAC}=108°\)

La somme des angles d'un triangle vaut \(180°\). Dans le triangle \(ABC\), tu connais deux angles : \(36°\) et \(108°\). Que peux-tu en déduire pour \(x\) ?
Que signifie « perpendiculaire » pour les angles formés ? Quelle relation entre les droites parallèles peut-on utiliser ici ?
Dans le triangle ACD, utilise les propriétés du triangle isocèle et la somme des angles pour trouver z.

### Question 1 – Angle \(x = \widehat{ACB}\)

Propriété : la somme des angles d'un triangle est égale à \(180°\).

Dans le triangle \(ABC\) :

\[\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180°\]

\[36° + 108° + x = 180°\]

\[x = 180° - 144° = \mathbf{36°}\]

### Question 2a – Droites \((AB)\) et \((EB)\)

\((BA)\) est parallèle à \((EC)\) et \((EB)\) est perpendiculaire à \((EC)\) (angle droit en \(E\)).

Donc \((EB)\) est perpendiculaire à \((BA)\), c'est-à-dire \((AB) \perp (EB)\).

### Question 2b – Angle \(y = \widehat{CBE}\)

En \(B\), les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{CBE}\) sont complémentaires (somme \(= 90°\)) :

\[y = 90° - 36° = \mathbf{54°}\]

### Question 3 – Angle \(z = \widehat{ADC}\)

\(B\), \(A\), \(D\) alignés donc \(\widehat{BAD} = 180°\) (angle plat).

\(\widehat{CAD} = 180° - \widehat{BAC} = 180° - 108° = 72°\)

Le triangle \(ACD\) est isocèle en \(D\) (d'après la figure), donc :

\[\widehat{ACD} = \widehat{CAD} = 72°\]

La somme des angles du triangle \(ACD\) donne :

\[z = 180° - 72° - 72° = \mathbf{36°}\]

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## Exercice 2 (2 points)

Probabilités
Une urne contient 21 jetons numérotés de 1 à 21, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard.

1. On note \(A\) l'événement « obtenir 2, 3 ou 10 ». Calculer \(p(A)\) sous forme de fraction irréductible.
2. a. On note \(B\) l'événement « obtenir un jeton dont le numéro est un diviseur de 24 ». Donner les issues de \(B\).
   b. Déterminer \(p(B)\).

\(p(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues total}}\). Combien de jetons correspondent à \(A\) ? L'urne en contient combien au total ?
Les diviseurs de 24 sont les entiers qui divisent 24 sans reste. Lesquels sont compris entre 1 et 21 ?

### Question 1 – \(p(A)\)

\(A = \{2,\,3,\,10\}\) → 3 issues favorables sur 21 au total :

\[p(A) = \dfrac{3}{21} = \dfrac{1}{7}\] (on simplifie par 3)

\(\boldsymbol{p(A) = \dfrac{1}{7}}\)

### Question 2a – Issues de \(B\)

Diviseurs de 24 : \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)

On ne retient que ceux compris entre 1 et 21 (24 est exclu) :

\[B = \{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12\}\]

### Question 2b – \(p(B)\)

7 issues favorables sur 21 :

\[p(B) = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}\] (on simplifie par 7)

\(\boldsymbol{p(B) = \dfrac{1}{3}}\)
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## Exercice 3 (4,5 points)

Fonction affine – Lessive
Un paquet de lessive vide pèse 200 g. On y verse de la lessive. On sait que 1 cm³ de lessive pèse 1,5 g.

1. Quelle est la masse totale d'un paquet contenant 1 600 cm³ de lessive ?
2. On considère la fonction \(f : x \mapsto 1{,}5x + 200\).
   a. Que représente \(f(x)\) dans ce contexte ?
   b. Représenter graphiquement \(f\) dans un repère orthogonal.
3. a. Par lecture graphique, trouver le volume pour un paquet de 2 300 g.
   b. Retrouver ce résultat par le calcul.
   c. Un pavé de \(12\,\text{cm} \times 8\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) peut-il contenir ce volume ? Argumenter.

Calcule d'abord la masse de la lessive seule (volume × masse par cm³), puis ajoute la masse du paquet vide.
Traduis « f(x) = 2300 » en équation, puis isole x.
Le volume d'un pavé droit = longueur × largeur × hauteur. Compare ce volume au volume trouvé en 3b.

### Question 1 – Masse pour 1 600 cm³

Masse de la lessive : \(1{,}5 \times 1\,600 = 2\,400\) g

Masse totale : \(2\,400 + 200 = 2\,600\) g

La masse totale est 2 600 g

### Question 2a – Signification de \(f(x)\)

\(f(x) = 1{,}5x + 200\) représente la masse totale en grammes d'un paquet contenant un volume \(x\) cm³ de lessive.

### Question 2b – Représentation graphique de \(f\)

\(f\) est une fonction affine. Pour tracer la droite, on calcule deux points :

\(x = 0\ :\ f(0) = 200\) → point \(A(0\,;\,200)\)

\(x = 1600\ :\ f(1600) = 2600\) → point \(B(1600\,;\,2600)\)

### Question 3a – Lecture graphique pour 2 300 g

On repère sur le graphique la valeur de \(x\) pour \(y = 2\,300\). On lit : \(x \approx 1\,400\) cm³.

Volume \(\approx\) 1 400 cm³

### Question 3b – Résolution par le calcul

On résout \(1{,}5x + 200 = 2300\) :

\(1{,}5x\ \) | \(+\) | \(200\) \(= 2300\) |
↓ on soustrait 200 des deux membres ↓ | \(-200\)
\(1{,}5\)\(x\) | \(=\) | \(2100\) |
↓ on divise les deux membres par 1,5 ↓ | \(\div 1{,}5\)
\(x\) | \(=\) | \(\dfrac{2100}{1{,}5} = 1400\) |

Le volume de lessive est 1 400 cm³

### Question 3c – Capacité du pavé

Volume du pavé : \(12 \times 8 \times 15 = 1\,440\) cm³

Or \(1\,440 > 1\,400\), donc le pavé peut parfaitement contenir le volume souhaité.

✓ Le pavé peut contenir les 1 400 cm³ de lessive
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## Exercice 4 (2,5 points)

Arithmétique – Facteurs premiers
Dans un collège, 91 filles et 77 garçons participent à un club sciences. On souhaite former des groupes ayant le même nombre de filles et le même nombre de garçons.

1. Décomposer 91 et 77 en produit de facteurs premiers.
2. En déduire le nombre maximum de groupes que l'on peut former. Argumenter.
3. Dans ce cas, combien d'élèves y aura-t-il dans chaque groupe ?

Pour décomposer un nombre, cherche le plus petit diviseur premier (2, 3, 5, 7, 11, 13…). 91 est-il divisible par 7 ?
Le nombre de groupes doit diviser à la fois 91 et 77. Utilise les décompositions trouvées pour identifier le plus grand diviseur commun.

### Question 1 – Décompositions en facteurs premiers

Décomposition de 91

91 | 7
13 | 13
1 |

\(91 = 7 \times 13\)

Décomposition de 77

77 | 7
11 | 11
1 |

\(77 = 7 \times 11\)

### Question 2 – Nombre maximum de groupes

On compare les décompositions :

\(91 = \) 7 \(\times\) 13

\(77 = \) 7 \(\times\) 11

Le seul facteur commun (en rouge) est 7. Les facteurs en vert (13 et 11) ne sont pas communs.

Le nombre maximum de groupes est donc 7, car 7 est le plus grand diviseur commun à 91 et à 77.

### Question 3 – Composition d'un groupe

Filles par groupe : \(91 \div 7 = \) 13 filles

Garçons par groupe : \(77 \div 7 = \) 11 garçons

Chaque groupe compte \(13 + 11 = \boldsymbol{24}\) élèves

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