Chapitre

# Proportionnalité — Leçon complète

Partie 1 : Proportionnalité · Partie 2 : Pourcentages, Durées, Vitesse

## Partie 1 – Proportionnalité

Reconnaître, compléter et exploiter graphiquement
I. Reconnaître une situation de proportionnalité
1) Cas d'un tableau
📘 Définition

Dire qu'un tableau de nombres à deux lignes est un tableau de proportionnalité signifie que l'on obtient les nombres d'une ligne en multipliant ceux de l'autre ligne par un même nombre non nul, que l'on appelle coefficient de proportionnalité.

✏️ Exemple — Marchand de roses
Un marchand de roses réalise le tarif suivant. S'agit-il d'un tableau de proportionnalité ?

Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2
--- | --- | ---
Nombre de roses | 2 | 5
Prix (en €) | 1,5 | 3,75

Pour vérifier qu'il s'agit d'un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients Prix ÷ Nombre de roses pour chaque colonne :

\(\dfrac{1{,}5}{2} = 0{,}75\)
\(\dfrac{3{,}75}{5} = 0{,}75\)
Les quotients sont égaux, donc c'est bien un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est 0,75.

💡 Cela signifie que chaque rose coûte 0,75 € = 75 centimes.

💡 Méthode — Comment vérifier ?

Pour vérifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients de chaque colonne (valeur de la 2ᵉ ligne ÷ valeur de la 1ʳᵉ ligne). Si tous les quotients sont égaux, c'est un tableau de proportionnalité et ce quotient commun est le coefficient de proportionnalité.

2) Cas de situations communes

Il faut aussi être capable dans des cas simples de reconnaître, sans calcul, des situations de proportionnalité.

✏️ Exemple
Parmi ces situations, lesquelles sont des situations de proportionnalité ?

- Situation 1 : Léo décide de réaliser une recette de cuisine pour 5 personnes. Il a la recette pour 1 personne.
- Situation 2 : Marc décide de regarder l'évolution de sa taille durant sa vie.
- Situation 3 : Mohamed roule à une vitesse moyenne de 60 km/h.
- Situation 4 : Dans une librairie, un livre coûte 7 euros. Le libraire fait une promo : 1 acheté, 1 offert.

✅ Situation 1 — Proportionnalité

Pour 5 fois plus de personnes, on utilise 5 fois plus de chaque ingrédient. C'est bien une situation de proportionnalité.

❌ Situation 2 — Non proportionnelle

On ne grandit pas de façon régulière tout au long de sa vie. Ce n'est pas proportionnel.

✅ Situation 3 — Proportionnalité

À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle au temps : 2 fois plus de temps = 2 fois plus de distance.

❌ Situation 4 — Non proportionnelle

Avec la promo « 1 acheté, 1 offert », acheter 1 livre coûte 7 € mais acheter 2 livres coûte aussi 7 €. Le prix n'est pas proportionnel.

3) Règles de calculs dans des tableaux de proportionnalité
📗 Méthode

- On peut additionner ou soustraire des colonnes d'un tableau de proportionnalité pour en obtenir une nouvelle colonne.
- On peut multiplier ou diviser une colonne d'un tableau de proportionnalité par un nombre non nul pour en obtenir une nouvelle colonne.

✏️ Exemple — Marchand de pommes
Compléter le tableau en utilisant les règles de calcul :

Grandeur | ÷ 2 |  | 1 + 2 | 2 + 3 | × 2
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Masse (en kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10
Prix (en €) | 1,2 | 2,4 | ? | ? | ?

Prix pour 3 kg — colonne 3 = colonne 1 + colonne 2 :

\(1{,}2 + 2{,}4 = 3{,}6\ €\)

Prix pour 5 kg — colonne 4 = colonne 2 + colonne 3 :

\(2{,}4 + 3{,}6 = 6\ €\)

Prix pour 10 kg — colonne 5 = colonne 4 × 2 :

\(6 \times 2 = 12\ €\)

Grandeur | 1 | 2 | 3 | 5 | 10
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Masse (en kg) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10
Prix (en €) | 1,2 | 2,4 | 3,6 | 6 | 12

II. Compléter un tableau de proportionnalité
📘 Définition

Dans un tableau de proportionnalité, si l'on connaît trois valeurs, alors on peut calculer la valeur manquante, appelée la quatrième proportionnelle.

✏️ Situation de départ

Clarisse réalise une recette de cuisine et utilise les données d'un magazine. Il manque malheureusement une partie de la page. Aidez-la à compléter le tableau.

Grandeur | Colonne 1 | Colonne 2
--- | --- | ---
Masse de sucre (en g) | 25 | ?
Masse de farine (en g) | 150 | 450

On connaît 25 g de sucre pour 150 g de farine. On cherche la masse de sucre nécessaire pour 450 g de farine. Voici 4 méthodes pour y arriver.

📐 Méthode 1 — Le passage à l'unité

On calcule d'abord la masse de sucre pour 1 g de farine, puis on multiplie par 450.

\(150 \div 25 = 6\ \text{g de farine pour 1 g de sucre}\)
\(450 \div 6 = 75\ \text{g de sucre}\)
La quatrième proportionnelle est 75 g de sucre.
📗 Méthode 2 — Le coefficient de proportionnalité

On calcule le coefficient de proportionnalité (sucre ÷ farine), puis on l'applique à 450.

\(150 \div 25 = 6\)
\(450 \div 6 = 75\ \text{g de sucre}\)
La quatrième proportionnelle est 75 g de sucre.
📙 Méthode 3 — Les règles de calculs

On cherche une opération simple reliant les deux colonnes connues, puis on l'applique à la valeur manquante.

On remarque que \(150 \times 3 = 450\), donc on passe de la colonne 1 à la colonne 2 en multipliant par 3.

\(25 \times 3 = 75\ \text{g de sucre}\)
La quatrième proportionnelle est 75 g de sucre.
⭐ Méthode 4 — Le produit en croix (méthode la plus courante)

On multiplie les deux valeurs en diagonale, puis on divise par la troisième valeur connue.

Sucre | 25 | ?
Farine | 150 | 450

On multiplie en diagonale (25 × 450) et on divise par la valeur restante (150).
\(? = 25 \times 450 \div 150 = 75\ \text{g de sucre}\)
La quatrième proportionnelle est 75 g de sucre.
⭐ C'est la méthode la plus utilisée car elle fonctionne dans tous les cas, même quand le coefficient de proportionnalité n'est pas un nombre simple.
III. Exploitation graphique
📗 Propriété

Lorsqu'on représente graphiquement une situation de proportionnalité, les points sont alignés et la droite qui les relie passe par l'origine (le point (0 ; 0)).

Réciproquement, si les points sont alignés et que la droite passe par l'origine, alors la situation est une situation de proportionnalité.

✏️ Exemple — Marchand de pommes
Voici le graphique représentant le prix en fonction de la masse de pommes achetées (coefficient de proportionnalité : 1,20 €/kg). Les points sont alignés et la droite passe par l'origine.
Points du tableau
Droite de proportionnalité
Origine (0 ; 0)
💡 La droite passe par (0 ; 0) : si on n'achète rien, on ne paie rien.
✏️ Comparaison — Proportionnel vs non proportionnel
Trois situations : une proportionnelle, deux non proportionnelles (droite ne passant pas par l'origine, et courbe).
✅ Proportionnel
Droite passant par (0 ; 0)
❌ Non proportionnel
Droite ne passant pas par (0 ; 0)
❌ Non proportionnel
Pas une droite
💡 Remarque — Lecture graphique

Pour lire une valeur sur un graphique de proportionnalité, on part d'une valeur sur un axe, on trace une ligne jusqu'à la droite, puis on lit la valeur correspondante sur l'autre axe.

✏️ Exemple — Lecture graphique
En utilisant le graphique du marchand de pommes, lire le prix pour 4 kg, et la masse que l'on peut acheter avec 7,20 €.
4 kg → 4,80 €
7,20 € → 6 kg
Pour 4 kg : on lit en face de 4 sur l'axe horizontal → 4,80 €
Pour 7,20 € : on lit en face de 7,20 sur l'axe vertical → 6 kg
🚫 Automatismes — Partie 1 (sans calculatrice)
Ces calculs doivent être maîtrisés mentalement ou par raisonnement rapide, sans calculatrice.
🔑 Pas de produit en croix ici — on raisonne par passage à l'unité ou par règle simple (×2, ÷2, etc.).
1 – Proportionnalité directe
a) 3 kg de pommes coûtent 6 €. 5 kg coûtent €
b) Une voiture roule à 90 km en 1 h. En 2 h → km. En 30 min → km
c) 5 stylos coûtent 8 €. 10 stylos → €. 1 stylo → €
2 – Passage à l'unité
a) 4 cahiers coûtent 10 €. 7 cahiers coûtent €
b) 6 L d'essence coûtent 9 €. 1 L coûte €. 15 L coûtent €
3 – Proportionnalité
a) 8 gâteaux coûtent 12 €. 2 gâteaux → €. 20 gâteaux → €
b) 15 pages lues en 10 min. 30 pages → min. 45 pages → min
💡 Correction — Partie 1
1a) 1 kg → 6 ÷ 3 = 2 € | 5 kg → 5 × 2 = 10 €
1b) ×2 → 2 h = 180 km | 30 min = ½ h → 90 ÷ 2 = 45 km
1c) ×2 → 10 stylos = 16 € | 16 ÷ 10 = 1,60 € le stylo
2a) 1 cahier → 10 ÷ 4 = 2,50 € | 7 × 2,50 = 17,50 €
2b) 1 L → 9 ÷ 6 = 1,50 € | 15 × 1,50 = 22,50 €
3a) 1 gâteau → 12 ÷ 8 = 1,50 € | 2 gâteaux = 3 € | ×10 → 20 gâteaux = 30 €
3b) ×2 → 30 pages = 20 min | ×3 → 45 pages = 30 min

## Partie 2 – Pourcentages · Durées · Vitesse

Applications de la proportionnalité
I. Pourcentages
📗 Méthode

Calculer \(t\%\) d'une quantité revient à multiplier cette quantité par \(\dfrac{t}{100}\).

Pour calculer un pourcentage on peut utiliser un tableau de proportionnalité et un produit en croix.

✏️ Exemple 1
Un livre en édition limitée coûte 40 €. Son prix augmente de 30 %. Quel est son nouveau prix ?
Méthode 1 – Calculer l'augmentation

On cherche d'abord 30 % de 40 €, puis on ajoute au prix initial.

Pourcentage (%) | 100 | 30
Valeur (€) | 40 | ?

?=30×40÷100
Augmentation\(30 \times 40 \div 100 = \mathbf{12}\text{ €}\)
Nouveau prix\(40 + 12 = \mathbf{52}\text{ €}\)
Réponse :Le nouveau prix est 52 €.
Méthode 2 – Nouveau prix directement

Après une hausse de 30 %, le nouveau prix représente \(100 + 30 = 130\%\) du prix initial.

Pourcentage (%) | 100 | 130
Valeur (€) | 40 | ?

?=130×40÷100
Calcul\(130 \times 40 \div 100 = \mathbf{52}\text{ €}\)
Réponse :Le nouveau prix est directement 52 €.
✏️ Exemple 2
25 filles et 20 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un devoir commun. 60 % des filles et 50 % des garçons ont obtenu la moyenne.
1) Calculer le nombre de filles et de garçons qui ont obtenu la moyenne.

Filles (60 % de 25)

Pourcentage (%) | 100 | 60
Nombre de filles | 25 | ?

?=60×25÷100=15 filles

Garçons (50 % de 20)

💡 50 % = la moitié, donc on peut trouver directement : \(20 \div 2 = 10\) garçons, sans tableau ni calcul !

Pourcentage (%) | 100 | 50
Nombre de garçons | 20 | ?

?=50×20÷100=10 garçons
Réponse :15 filles et 10 garçons ont obtenu la moyenne.
2) Calculer le pourcentage d'élèves qui ont obtenu la moyenne dans l'ensemble des deux classes.

Au total : \(25 + 20 = 45\) élèves, dont \(15 + 10 = 25\) ont obtenu la moyenne.

Nombre d'élèves | 45 | 25
Pourcentage (%) | 100 | ?

?=25×100÷45≈55,6 %
Réponse :Environ 55,6 % des élèves ont obtenu la moyenne dans l'ensemble des deux classes.
II. Les durées
📌 Rappel – Égalités à connaître
\(1\text{ min} = 60\text{ s}\) \(\qquad\) \(1\text{ h} = 60\text{ min}\) \(\qquad\) \(1\text{ j} = 24\text{ h}\)
📗 Méthode – Conversion de durées

Pour convertir une durée, on utilise un tableau à deux colonnes (une colonne par unité) :

- La première ligne contient l'égalité de référence (ex. \(1\text{ h} = 60\text{ min}\)).
- La deuxième ligne contient la valeur à convertir et le résultat inconnu \(?\).
- On calcule ensuite avec le produit en croix : \(? = \ldots \times \ldots \div \ldots\)

✏️ Exemples
Convertir les durées suivantes :

\(1{,}6\text{ h} = \text{ ?}\text{ min}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
1,6 | ?

?=1,6×60÷1
Résultat :\(1{,}6\text{ h} = \mathbf{96}\text{ min}\)

\(0{,}15\text{ min} = \text{ ?}\text{ h}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 0,15

?=0,15×1÷60
Résultat :\(0{,}15\text{ min} = \mathbf{0{,}0025}\text{ h}\)

\(1\text{ h }15\text{ min} = \text{ ?}\text{ h}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

On convertit d'abord 15 min en h :

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 15

?=15×1÷60=0,25 h
Résultat :\(1\text{ h }15\text{ min} = 1 + 0{,}25 = \mathbf{1{,}25}\text{ h}\)
III. Vitesse moyenne
📘 Définition

La vitesse moyenne d'un objet mobile sur un trajet est la vitesse que cet objet aurait en parcourant la même distance pendant la même durée à vitesse constante.

📙 Méthode – Tableau distance / temps

On utilise un tableau de proportionnalité avec la distance sur la première ligne et le temps sur la deuxième ligne. On calcule ensuite grâce au produit en croix.

\(v = \dfrac{d}{t}\) \(\qquad\) \(d = v \times t\) \(\qquad\) \(t = \dfrac{d}{v}\)

⚠️ Attention aux unités : si la vitesse est en km/h, la distance doit être en km et le temps en heures.

✏️ Exemple 1
Une famille décide de faire un trajet en voiture de 350 km. Elle réalise ce trajet en 3,2 h. Quelle a été sa vitesse moyenne sur tout le trajet ?

On cherche la vitesse \(v\) : c'est le nombre de km parcourus en 1 h.

Distance (km) | 350 | ?
Temps (h) | 3,2 | 1

?=350×1÷3,2
Calcul\(350 \times 1 \div 3{,}2 \approx \mathbf{109{,}4}\text{ km/h}\)
Réponse :La vitesse moyenne de la famille est d'environ 109,4 km/h.
✏️ Exemple 2
Un train roule durant 3 h 30 min à la vitesse moyenne de 150 km/h. Quelle distance a-t-il parcouru ?

Étape 1 – Convertir 3 h 30 min en heures

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 30

?=30×1÷60=0,5 h

Donc \(3\text{ h }30\text{ min} = 3 + 0{,}5 = \mathbf{3{,}5}\text{ h}\).

Étape 2 – Calculer la distance

Distance (km) | 150 | ?
Temps (h) | 1 | 3,5

?=150×3,5÷1
Calcul\(150 \times 3{,}5 \div 1 = \mathbf{525}\text{ km}\)
Réponse :Le train a parcouru 525 km pendant les 3 h 30 min.
🧩 Exercice
Un cycliste roule à 24 km/h. Quelle distance parcourt-il en 2 h 15 min ?

Étape 1 – Convertir 2 h 15 min en heures

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 15

?=15×1÷60=0,25 h

Donc \(2\text{ h }15\text{ min} = 2 + 0{,}25 = \mathbf{2{,}25}\text{ h}\).

Étape 2 – Calculer la distance

Distance (km) | 24 | ?
Temps (h) | 1 | 2,25

?=24×2,25÷1
Calcul\(24 \times 2{,}25 \div 1 = \mathbf{54}\text{ km}\)
Réponse :Le cycliste parcourt 54 km en 2 h 15 min.
🚫 Automatismes — Partie 2 (sans calculatrice)
Pourcentages à maîtriser mentalement. Astuces : 50 % = ÷ 2, 25 % = ÷ 4, 10 % = ÷ 10, 20 % = ÷ 5, 5 % = ÷ 20, 1 % = ÷ 100.
💡 Pourcentages composés : 12 % = 10 % + 2 × 1 %. Pour un solde : il reste (100 − réduction) %.
4 – Pourcentages clés difficile
a) 10 % de 80 =
b) 25 % de 200 =
c) 50 % de 64 =
d) 5 % de 300 =
5 – Pourcentages composés difficile
a) 20 % de 150 =
b) 12 % de 250 =
6 – Augmentations
a) Un article coûte 40 €. Il augmente de 10 %. Nouveau prix → €
b) Un abonnement coûte 60 €. Il augmente de 20 %. Nouveau prix → €
7 – Soldes difficile
a) Un pull coûte 50 €. Il est soldé à −30 %. Nouveau prix → €
b) Un vélo coûte 400 €. Il baisse de 15 %. Nouveau prix → €
8 – Fraction → pourcentage difficile
a) 3 sur 4 = %
b) 46 sur 200 = %
c) 18 sur 300 = %
💡 Correction — Partie 2
4a) 10 % de 80 = 80 ÷ 10 = 8
4b) 25 % de 200 = 200 ÷ 4 = 50
4c) 50 % de 64 = 64 ÷ 2 = 32
4d) 5 % de 300 = 300 ÷ 20 = 15
5a) 20 % de 150 = 150 ÷ 5 = 30
5b) 12 % de 250 : 10 % = 25, 2 % = 5 → 25 + 5 = 30
6a) 10 % de 40 = 4 → 40 + 4 = 44 €
6b) 20 % de 60 = 12 → 60 + 12 = 72 €
7a) Il reste 70 %. 10 % de 50 = 5, 70 % = 7×5 = 35 €
7b) Il reste 85 %. 10 % = 40, 5 % = 20, 85 % = 340 → 340 €
8a) 3/4 → ×25 = 75 %
8b) 46/200 = 23/100 = 23 %
8c) 18/300 = 6/100 = 6 %
🏠 Menu