📌 Les 3 méthodes pour trouver une valeur manquante

① Coefficient de proportionnalité
On calcule k = y ÷ x à partir d'une colonne connue, puis on multiplie ou divise.
? = k × x | ? = y ÷ k
② Passage à l'unité
On trouve la valeur pour 1, puis on multiplie par le nombre voulu.
valeur pour 1 = y ÷ x
③ Produit en croix
On isole la valeur inconnue en multipliant les deux valeurs connues en diagonale, puis en divisant par la valeur restante.
? = (voisine × opposée) ÷ restante
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## Exercice 1 / 7

Coefficient k Tableaux
✓ Vu

Les tableaux suivants sont des tableaux de proportionnalité. En utilisant le coefficient de proportionnalité, trouver toutes les valeurs manquantes (notées ?). Vérifier en calculant tous les quotients à la fin.

Tableau A

x | 3 | ? | 18 | ?
y | 7,5 | 12,5 | ? | 32,5

Tableau B

x | 2,4 | ? | 8
y | 3,6 | 6,75 | ?

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Quelle colonne te donne les deux valeurs connues ? Que peux-tu calculer à partir de cette colonne ?
Une fois le coefficient trouvé, comment s'en sert-on pour calculer une valeur manquante ? La méthode change-t-elle selon si c'est x ou y qui manque ?
Pour le tableau B, lequel des trois couples (x ; y) est complet ? C'est lui qui sert de point de départ pour trouver les autres.
Méthode : Identifier la colonne complète → calculer k = y ÷ x → déduire toutes les valeurs manquantes → vérifier.
Tableau A

Colonne 1 complète : k = 7,5 ÷ 3 = 2,5

x₂ = 12,5 ÷ 2,5 = 5 | y₃ = 2,5 × 18 = 45 | x₄ = 32,5 ÷ 2,5 = 13

x | 3 | 5 | 18 | 13
y | 7,5 | 12,5 | 45 | 32,5

Vérification : 7,5÷3 = 12,5÷5 = 45÷18 = 32,5÷13 = 2,5 ✓

Tableau B

Colonne 1 complète : k = 3,6 ÷ 2,4 = 1,5

x₂ = 6,75 ÷ 1,5 = 4,5 | y₃ = 1,5 × 8 = 12

x | 2,4 | 4,5 | 8
y | 3,6 | 6,75 | 12

Vérification : 3,6÷2,4 = 6,75÷4,5 = 12÷8 = 1,5 ✓

## Exercice 2 / 7

Passage à l'unité Problèmes concrets
✓ Vu

Résoudre chaque problème en utilisant la méthode du passage à l'unité. Construire un tableau de proportionnalité et présenter les calculs clairement.

a. Une pompe vide un bassin de 4 500 litres en 2 heures 30 minutes. Combien de litres cette pompe vide-t-elle en 1 heure 40 minutes ?
(Indication : convertis les durées en minutes.)
b. Sur une carte à l'échelle 1/50 000, une forêt mesure 4,8 cm de longueur. Quelle est la longueur réelle de cette forêt, en kilomètres ?
(Rappel : l'échelle 1/50 000 signifie que 1 cm sur la carte = 50 000 cm en réalité.)
c. 14 ouvriers fabriquent 252 pièces en une journée. En supposant que chaque ouvrier produit le même nombre de pièces, combien faut-il d'ouvriers pour produire 360 pièces par jour ?

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Pour a. : les durées sont-elles dans la même unité ? Convertis avant de poser le tableau.
Pour b. : que signifie une échelle de 1/50 000 ? Quelle longueur réelle correspond à 1 cm sur la carte ?
Pour c. : le nombre de pièces produites et le nombre d'ouvriers sont-ils proportionnels ? Comment trouver ce que produit un ouvrier ?
Méthode passage à l'unité : Étape 1 → valeur pour 1. Étape 2 → valeur pour n = (val. pour 1) × n (ou ÷ n selon le sens).
a. — Pompe (conversion de temps)

2 h 30 min = 150 min | 1 h 40 min = 100 min

Temps (min) | 150 | 1 | 100
Volume vidé (L) | 4 500 | ? | ?

Litres en 1 min : 4 500 ÷ 150 = 30 L/min

Litres en 100 min : 30 × 100 = 3 000 litres

La pompe vide 3 000 litres en 1 heure 40 minutes.
b. — Carte à l'échelle 1/50 000

Distance carte (cm) | 1 | 4,8
Distance réelle (cm) | 50 000 | ?

Longueur réelle : 50 000 × 4,8 = 240 000 cm

Conversion : 240 000 cm ÷ 100 000 = 2,4 km

La forêt mesure 2,4 km en réalité.
c. — Ouvriers (sens inverse)

Ouvriers | 14 | 1 | ?
Pièces/jour | 252 | ? | 360

Pièces par ouvrier : 252 ÷ 14 = 18 pièces/ouvrier

Ouvriers nécessaires : 360 ÷ 18 = 20 ouvriers

Il faut 20 ouvriers pour produire 360 pièces par jour.

## Exercice 3 / 7

Produit en croix Tableaux — décimaux
✓ Vu

En utilisant uniquement le produit en croix, trouver toutes les valeurs manquantes. Détailler les calculs.

Tableau a

7 | ?
11,2 | 19,2

Tableau b

? | 13,5
7,6 | 5,7

Tableau c

0,8 | ? | 3,6
2,6 | 6,5 | ?

Tableau d

1,4 | 3,5 | ?
? | 8,75 | 12,5

Tableau e

15 | ? | 45
8,4 | 22,4 | ?

Tableau f

? | 9 | 21
4,4 | ? | 18,2

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Quelle propriété du produit en croix permet de trouver une valeur manquante ? Comment identifier les valeurs en diagonale ?
Pour le tableau a., quelle valeur est en diagonale de l'inconnue ? Quelles sont les trois valeurs à utiliser dans le produit en croix ?
Pour les tableaux à 3 colonnes : quelle colonne peut servir de référence ? Comment appliquer le produit en croix entre cette colonne et chaque inconnue ?
Tableau a

? = (7 × 19,2) ÷ 11,2 = 134,4 ÷ 11,2 = 12

Tableau b

? = (13,5 × 7,6) ÷ 5,7 = 102,6 ÷ 5,7 = 18

Tableau c

Réf. col.1 (0,8 / 2,6)

Col.2 ? = (0,8 × 6,5) ÷ 2,6 = 5,2 ÷ 2,6 = 2

Col.3 ? = (0,8 × ?) … → ? = (3,6 × 2,6) ÷ 0,8 = 9,36 ÷ 0,8 = 11,7

Tableau d

Réf. col.2 (3,5 / 8,75)

Col.1 ? = (3,5 × ?) → ? lig.2 col.1 = (1,4 × 8,75) ÷ 3,5 = 12,25 ÷ 3,5 = 3,5

Col.3 ? lig.1 = (3,5 × 12,5) ÷ 8,75 = 43,75 ÷ 8,75 = 5

Tableau e

Réf. col.1 (15 / 8,4)

Col.2 ? = (15 × 22,4) ÷ 8,4 = 336 ÷ 8,4 = 40

Col.3 ? = (8,4 × 45) ÷ 15 = 378 ÷ 15 = 25,2

Tableau f

Réf. col.3 (21 / 18,2)

Col.1 ? lig.1 = (21 × 4,4) ÷ 18,2 = 92,4 ÷ 18,2 = ≈ 5,08…

Exact : 92,4 ÷ 18,2 = 462/91 ≈ 5,077 (résultat non entier, laisser sous forme décimale arrondie à 10⁻²)

Col.2 ? lig.2 = (18,2 × 9) ÷ 21 = 163,8 ÷ 21 = 7,8

💡 Tableau f : le résultat de la colonne 1 n'est pas un décimal « agréable ». Cela arrive en 4ème — vérifier par le produit en croix inverse.

## Exercice 4 / 7

Produit en croix Grand tableau
✓ Vu

Compléter ce tableau de proportionnalité en utilisant le produit en croix. Il y a 5 valeurs manquantes — trouver l'ordre de résolution le plus efficace.

Ligne 1 | 1,2 | ? | 4,8 | ? | 12 | ?
Ligne 2 | ? | 3,5 | 14 | 22,75 | ? | 52,5

Conseil : repère d'abord la seule colonne complète, calcule le coefficient, puis complète tout le tableau.

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Parmi toutes les colonnes, laquelle est entièrement connue ? C'est elle qui servira de point de départ.
Le coefficient de ce tableau n'est pas un nombre « rond ». Quelle méthode évite de multiplier les erreurs d'arrondi ?
Pour chaque colonne incomplète, quelles sont les trois valeurs connues à utiliser dans le produit en croix ? Fais-le colonne par colonne.

Colonne de référence : col.3 → (4,8 ; 14). Coefficient k = 14 ÷ 4,8 = 35/12 (fraction exacte). On va utiliser le produit en croix colonne par colonne.

Col. 1 — lg2 manquante : ? = (1,2 × 14) ÷ 4,8 = 16,8 ÷ 4,8 = 3,5

Col. 2 — lg1 manquante : ? = (3,5 × 4,8) ÷ 14 = 16,8 ÷ 14 = 1,2

On pouvait aussi utiliser col.1 complète : lg1 col.2 = (1,2 × 3,5) ÷ 3,5 = 1,2 — en utilisant le coefficient entre col.1 et col.2.

Col. 4 — lg1 manquante : ? = (22,75 × 4,8) ÷ 14 = 109,2 ÷ 14 = 7,8

Col. 5 — lg2 manquante : ? = (12 × 14) ÷ 4,8 = 168 ÷ 4,8 = 35

Col. 6 — lg1 manquante : ? = (52,5 × 4,8) ÷ 14 = 252 ÷ 14 = 18

Ligne 1 | 1,2 | 1,2 | 4,8 | 7,8 | 12 | 18
Ligne 2 | 3,5 | 3,5 | 14 | 22,75 | 35 | 52,5

Vérification : tous les quotients lg2÷lg1 valent 35/12 ≈ 2,917 ✓

## Exercice 5 / 7

Coefficient k Passage unité Problèmes
✓ Vu

Résoudre chaque problème par la méthode de ton choix. Construire un tableau et présenter les calculs.

a. [Méthode libre] Une machine remplit 1 320 bouteilles en 1 heure 6 minutes. Combien de bouteilles remplit-elle en 2 heures 45 minutes ?
(Convertir les durées en minutes.)
b. [Produit en croix] Sur une carte à l'échelle 1/25 000, la distance entre deux villages est de 6,4 cm. La distance réelle est de 1,6 km. Vérifier que l'échelle est correcte, puis calculer la distance réelle correspondant à 9,5 cm sur cette même carte.
c. [Passage à l'unité] Un médicament est dosé à raison de 8 mg pour 1 kg de masse corporelle. Un patient pèse 73 kg. Quelle dose doit-il recevoir ? Donner le résultat arrondi au milligramme.
d. [Produit en croix] Un train à grande vitesse parcourt 385 km en 1 h 45 min. Quelle distance parcourt-il en 2 h 20 min à la même vitesse ?
(Convertir les durées en minutes.)

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Pour a. : les durées sont-elles exprimées dans la même unité ? Convertis avant de commencer.
Pour b. : commencer par vérifier que les données de l'énoncé sont cohérentes entre elles. Ensuite, quelle colonne est complète et peut servir de référence ?
Pour d. : convertis les durées en minutes, puis identifie les quatre valeurs du tableau. Laquelle est l'inconnue ? Quelles trois valeurs utiliser dans le produit en croix ?
a. — Machine à bouteilles

1h06 = 66 min | 2h45 = 165 min

Méthode coefficient : k = 1 320 ÷ 66 = 20 bouteilles/min

Bouteilles en 165 min : 20 × 165 = 3 300 bouteilles

En 2h45, la machine remplit 3 300 bouteilles.
b. — Carte (vérification + calcul)

1,6 km = 160 000 cm. Quotient : 160 000 ÷ 6,4 = 25 000. L'échelle est bien 1/25 000 ✓

Distance carte (cm) | 6,4 | 9,5
Distance réelle (km) | 1,6 | ?

? = (9,5 × 1,6) ÷ 6,4 = 15,2 ÷ 6,4 = 2,375 km

9,5 cm sur la carte correspond à 2,375 km en réalité.
c. — Dosage médicament

Masse (kg) | 1 | 73
Dose (mg) | 8 | ?

Dose = 8 × 73 = 584 mg

Le patient doit recevoir 584 mg.
d. — TGV

1h45 = 105 min | 2h20 = 140 min

Distance (km) | 385 | ?
Temps (min) | 105 | 140

? = (385 × 140) ÷ 105 = 53 900 ÷ 105 = ≈ 513,3 km

Exact : 53 900 / 105 = 10 780/21 ≈ 513,33 km

Le train parcourt environ 513,3 km en 2 h 20 min.

## Exercice 6 / 7

Produit en croix Recette & Géographie
✓ Vu

Résoudre chaque problème en construisant un tableau, puis en appliquant le produit en croix.

Problème A — Recette de brioche
Une recette de brioche pour 8 personnes demande 350 g de farine, 120 g de beurre et 3 œufs.

- 1. Quelles quantités de farine et de beurre faut-il pour 14 personnes ?
- 2. Pour combien de personnes peut-on préparer cette recette avec exactement 200 g de beurre ?
- 3. Peut-on réaliser cette recette pour exactement 11 personnes avec des ingrédients entiers ? Justifier.

Problème B — Population et superficie
La densité de population d'une région est de 85 habitants par km². La région A a une superficie de 3 200 km². La région B, voisine, compte 374 000 habitants (même densité).

- 1. Combien d'habitants compte la région A ?
- 2. Quelle est la superficie de la région B ?

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Comment organiser les données de la recette en tableau(x) de proportionnalité ? Quelles sont les grandeurs qui varient ensemble ?
Pour Q3 : 11 n'est pas un multiple de 8. Qu'est-ce que cela implique pour les quantités d'ingrédients ?
Pour la densité : quelle formule relie la densité, la superficie et le nombre d'habitants ? Laquelle de ces trois grandeurs cherche-t-on ?

Problème A — Recette de brioche

A.1 — Farine et beurre pour 14 personnes

Personnes | 8 | 14
Farine (g) | 350 | ?

Farine : ? = (14 × 350) ÷ 8 = 4 900 ÷ 8 = 612,5 g

Personnes | 8 | 14
Beurre (g) | 120 | ?

Beurre : ? = (14 × 120) ÷ 8 = 1 680 ÷ 8 = 210 g

Pour 14 personnes : 612,5 g de farine et 210 g de beurre.
A.2 — Personnes avec 200 g de beurre

Personnes | 8 | ?
Beurre (g) | 120 | 200

? = (200 × 8) ÷ 120 = 1 600 ÷ 120 = 13,33… personnes

Arrondi à l'entier inférieur : on peut faire la recette pour 13 personnes (en utilisant un peu moins de 200 g de beurre).

A.3 — Recette pour 11 personnes avec ingrédients entiers ?

Personnes | 8 | 11
Farine (g) | 350 | ?

Farine : (11 × 350) ÷ 8 = 3 850 ÷ 8 = 481,25 g → non entier.

Personnes | 8 | 11
Beurre (g) | 120 | ?

Beurre : (11 × 120) ÷ 8 = 1 320 ÷ 8 = 165 g → entier mais...

Personnes | 8 | 11
Œufs | 3 | ?

Œufs : (11 × 3) ÷ 8 = 33 ÷ 8 = 4,125 œufs → non entier.

Non, ce n'est pas possible car la farine et les œufs donnent des quantités non entières pour 11 personnes.

Problème B — Population et superficie

B.1 — Habitants de la région A

Superficie (km²) | 1 | 3 200
Habitants | 85 | ?

? = 85 × 3 200 = 272 000 habitants

La région A compte 272 000 habitants.
B.2 — Superficie de la région B

Superficie (km²) | 1 | ?
Habitants | 85 | 374 000

? = (374 000 × 1) ÷ 85 = 4 400 km²

La région B a une superficie de 4 400 km².

## Exercice 7 / 7

Coefficient k Passage unité Produit en croix Synthèse
✓ Vu

Un lycéen organise la vente de gâteaux pour financer un voyage scolaire. Il prépare plusieurs sortes de gâteaux selon des recettes proportionnelles.

- a. Sa recette de muffins pour 12 muffins nécessite 180 g de sucre et 240 g de farine. Il veut en préparer 30. Quelles quantités de sucre et de farine lui faut-il ?
- b. Il vend les gâteaux 0,80 € pièce. Il en a vendu un certain nombre et a encaissé 28,80 €. Combien de gâteaux a-t-il vendus ? Quel est le coefficient de proportionnalité et que représente-t-il ?
- c. Son objectif est de récolter 150 €. Il a déjà vendu les gâteaux correspondant à 28,80 €. Combien doit-il encore vendre de gâteaux pour atteindre son objectif, sachant qu'il lui reste exactement 216 gâteaux ?
- d. Pour réaliser les 216 gâteaux restants, sa recette (pour 12 gâteaux) demande 3 œufs. Combien d'œufs lui faut-il au total ? Combien de boîtes de 12 œufs doit-il acheter ?

💡 Indices – clique sur celui dont tu as besoin

Pour a. : les quantités d'ingrédients et le nombre de muffins sont-ils proportionnels ? Quelle méthode utiliser pour passer de 12 à 30 muffins ?
Pour b. : quel est le prix de vente d'un gâteau ? Pour c. : combien lui manque-t-il par rapport à son objectif ? Comment convertir ce manque en nombre de gâteaux ?
Pour d. : combien d'œufs faut-il pour 216 gâteaux ? Peut-on acheter exactement ce nombre d'œufs avec des boîtes de 12 ?
a. — Ingrédients pour 30 muffins

Muffins | 12 | 30
Sucre (g) | 180 | ?

Sucre : ? = (30 × 180) ÷ 12 = 5 400 ÷ 12 = 450 g de sucre

Muffins | 12 | 30
Farine (g) | 240 | ?

Farine : ? = (30 × 240) ÷ 12 = 7 200 ÷ 12 = 600 g de farine

Pour 30 muffins : 450 g de sucre et 600 g de farine.
b. — Nombre de gâteaux vendus et coefficient

Gâteaux | 1 | ?
Prix (€) | 0,80 | 28,80

n = 28,80 ÷ 0,80 = 36 gâteaux

Le coefficient de proportionnalité est k = 0,80. Il représente le prix d'un gâteau (en €/gâteau).

Il a vendu 36 gâteaux. Coefficient : 0,80 €/gâteau.
c. — Combien de gâteaux encore à vendre ?

Recette déjà encaissée : 28,80 €. Manque : 150 − 28,80 = 121,20 €

Gâteaux | 1 | ?
Prix (€) | 0,80 | 121,20

Gâteaux à vendre encore : 121,20 ÷ 0,80 = 151,5 gâteaux

Comme on ne peut vendre qu'un nombre entier, il faut vendre 152 gâteaux (on dépasserait légèrement l'objectif : 152 × 0,80 = 121,60 €).

Vérification : 152 < 216, donc il en a assez. ✓

Il doit encore vendre 152 gâteaux pour dépasser les 150 €.
d. — Œufs nécessaires et boîtes à acheter

Muffins | 12 | 216
Œufs | 3 | ?

Œufs : ? = (216 × 3) ÷ 12 = 648 ÷ 12 = 54 œufs

Boîtes de 12 : 54 ÷ 12 = 4,5 → 5 boîtes à acheter (arrondi au supérieur).

Il lui faut 54 œufs, soit 5 boîtes de 12 (il restera 6 œufs).

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