📖 Rappels — Les trois outils de la fiche
📦 Variable = mémoire
Une variable est une boîte dans l'ordinateur. Elle a un nom et stocke une valeur.
Le programme peut lire la boîte et la mettre à jour à chaque étape.
Ex : `mettre x à x * 3` → on relit x, on calcule, on remet dans x.
📐 Double distributivité
Chaque terme du 1er facteur distribue sur chaque terme du 2e :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
4 produits → on rassemble les termes en x.
🔑 Produit nul
Si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.
→ On pose chaque facteur égal à 0, on résout chaque petite équation avec des flèches.
L'équation a alors deux solutions (en général).
🧠 Logique mémoire étape par étape
① Stocker la réponse : `mettre x à réponse`
② Calculer en relisant : `mettre x à x + 5`
③ Afficher : `dire x`
À chaque étape, la boîte x change de contenu. C'est ce qui fait avancer le programme.
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📦 Partie 1 — Programmes de calcul avec variables

## Exercice 1 / 8

Programme → Scratch · Double distributivité
✓ Vu
Remplir le programme Scratch pour qu'il corresponde au programme de calcul.
Choisir un nombre
↓ Ajouter 3
↓ Multiplier par (le nombre de départ + 5)
↓ Donner le résultat
🚩 quand ⚑ est cliqué
demander Quel est le nombre ? et attendre
mettre n ▼ à
mettre a ▼ à +
mettre b ▼ à +
mettre résultat ▼ à *
dire
★En notant x le nombre de départ, montrer que le résultat s'écrit x² + 8x + 15. Utilise la double distributivité.
💡 Indices
Combien de variables faut-il pour mener ce calcul sans perdre le nombre de départ ? Pourquoi est-ce important ici ?
Pourquoi ne peut-on pas modifier n dès la première étape ? Quelle conséquence cela aurait-il pour la suite du calcul ?
Développe le produit (x+3)(x+5) en utilisant la double distributivité. Combien de termes obtiens-tu avant de simplifier ?
🔑 Trois boîtes mémoire : n garde le départ intact, a et b calculent les deux facteurs, résultat fait le produit final.
Choisir un nombre → n
↓ a = n + 3
↓ b = n + 5
↓ résultat = a × b
↓ Afficher résultat
🚩 quand ⚑ est cliqué
demander Quel est le nombre ? et attendre
mettre n ▼ à réponse
mettre a ▼ à n + 3
mettre b ▼ à n + 5
mettre résultat ▼ à a * b
dire résultat
🧠 Suivi des mémoires avec n = 2 :
① `n = 2` (départ stocké)
② `a = 2 + 3 = 5` (on relit n, n reste à 2)
③ `b = 2 + 5 = 7` (on relit n à nouveau)
④ `résultat = 5 × 7 = 35`

★ Développement — double distributivité

📊 Tableau

× | x | 5
--- | --- | ---
x | x² | 5x
3 | 3x | 15

= x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15
✏️ Calcul
= x(x + 5) + 3(x + 5)
= x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15
Vérification : x = 2 → 2² + 8×2 + 15 = 4 + 16 + 15 = 35 ✓

## Exercice 2 / 8

Programme ↔ Scratch · Coefficients
✓ Vu
Compléter le programme de calcul et le programme Scratch pour qu'ils correspondent.
Choisir un nombre
↓ Multiplier par 2
↓ Ajouter . . .
↓ Multiplier par (le double du nombre − 1)
↓ Donner le résultat
🚩 quand ⚑ est cliqué
demander Quel est le nombre ? et attendre
mettre n ▼ à
mettre a ▼ à * 2
mettre a ▼ à a + 3
mettre b ▼ à * − 1
mettre résultat ▼ à *
dire
★En notant x le nombre de départ, montrer que le résultat s'écrit 4x² + 4x − 3.
💡 Indices
Lis les blocs Scratch pour retrouver les expressions de a et b. Quelle opération effectue chaque bloc sur la variable ?
Une fois a et b identifiés, écris le produit a × b sous forme de facteurs, puis identifie les termes à développer.
Développe (2x+3)(2x−1) terme à terme. Réunis ensuite les termes de même degré.
🔑 En lisant le Scratch : `a + 3` → la case manquante est 3. La mémoire n reste intacte pour calculer b = 2n − 1.
Choisir un nombre
↓ Multiplier par 2
↓ Ajouter 3
↓ Multiplier par (le double du nombre − 1)
↓ Donner le résultat
🚩 quand ⚑ est cliqué
demander Quel est le nombre ? et attendre
mettre n ▼ à réponse
mettre a ▼ à n * 2
mettre a ▼ à a + 3
mettre b ▼ à n * 2 − 1
mettre résultat ▼ à a * b
dire résultat
🧠 Suivi des mémoires avec n = 3 :
① `n = 3` (départ) ② `a = 3×2 = 6` ③ `a = 6+3 = 9` ④ `b = 3×2−1 = 5` ⑤ `résultat = 9×5 = 45`

★ Développement — (2x + 3)(2x − 1)

📊 Tableau

× | 2x | −1
--- | --- | ---
2x | 4x² | −2x
3 | 6x | −3

= 4x² − 2x + 6x − 3 = 4x² + 4x − 3
✏️ Calcul
= 2x(2x − 1) + 3(2x − 1)
= 4x² − 2x + 6x − 3
= 4x² + 4x − 3
Vérification : x = 3 → 4×9 + 4×3 − 3 = 36 + 12 − 3 = 45 ✓
📐 Partie 2 — Double distributivité

## Exercice 3 / 8

Développer · Signe +
✓ Vu
Développe et réduis en utilisant le tableau puis le calcul.
A = (x + 4)(x + 6) B = (3x + 2)(x + 5)
💡 Indices
Utilise un tableau à double entrée pour développer le produit. Chaque case contient le produit de deux termes.
Complète le tableau pour B. Réunis ensuite les termes en x.
A = (x + 4)(x + 6)
📊 Tableau

× | x | 6
--- | --- | ---
x | x² | 6x
4 | 4x | 24

= x² + 6x + 4x + 24 = x² + 10x + 24
✏️ Calcul
A = x(x + 6) + 4(x + 6)
= x² + 6x + 4x + 24
= x² + 10x + 24
B = (3x + 2)(x + 5)
📊 Tableau

× | x | 5
--- | --- | ---
3x | 3x² | 15x
2 | 2x | 10

= 3x² + 15x + 2x + 10 = 3x² + 17x + 10
✏️ Calcul
B = 3x(x + 5) + 2(x + 5)
= 3x² + 15x + 2x + 10
= 3x² + 17x + 10

## Exercice 4 / 8

Développer · Signes négatifs
✓ Vu
Développe et réduis. Attention aux signes !
A = (x − 5)(x + 3) B = (2x − 3)(3x + 4)
💡 Indices
Attention aux signes négatifs dans le tableau. Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.
Réunis les termes en x en faisant attention aux signes. Puis calcule la constante.
⚠️ Règle des signes : (−) × (+) = (−) et (−) × (−) = (+). Vérifier chaque case du tableau !
A = (x − 5)(x + 3)
📊 Tableau

× | x | 3
--- | --- | ---
x | x² | 3x
−5 | −5x | −15

= x² + 3x − 5x − 15 = x² − 2x − 15
✏️ Calcul
A = x(x + 3) − 5(x + 3)
= x² + 3x − 5x − 15
= x² − 2x − 15
B = (2x − 3)(3x + 4)
📊 Tableau

× | 3x | 4
--- | --- | ---
2x | 6x² | 8x
−3 | −9x | −12

= 6x² + 8x − 9x − 12 = 6x² − x − 12
✏️ Calcul
B = 2x(3x + 4) − 3(3x + 4)
= 6x² + 8x − 9x − 12
= 6x² − x − 12
🔑 Partie 3 — Équations produit nul

## Exercice 5 / 8

Produit nul · Facteurs simples
✓ Vu
Résoudre les équations suivantes :
\( \textcolor{#dc2626}{(x+4)} \times \textcolor{#2563eb}{(x-7)} = 0 \)
\( \textcolor{#dc2626}{(3x-6)} \times \textcolor{#2563eb}{(x+2)} = 0 \)
💡 Indices
Si un produit est nul, que peut-on dire de ses facteurs ? Pose une équation pour chacun.
Pour résoudre une équation du type ax + b = 0, isole x en deux étapes : d'abord isoler le terme en x, puis isoler x.
Si \(\textcolor{#dc2626}{A} \times \textcolor{#2563eb}{B} = 0\), alors \(\textcolor{#dc2626}{A = 0}\) ou \(\textcolor{#2563eb}{B = 0}\)
a) \((x+4)(x-7) = 0\)

\(x + 4 = 0\) ou \(x - 7 = 0\)

1er facteur = 0
\(x + 4 = 0\)
\(x = -4\)
\(x = -4\)
2e facteur = 0
\(x - 7 = 0\)
\(x = 7\)
\(x = 7\)
Les solutions de \((x+4)(x-7)=0\) sont \(x = -4\) et \(x = 7\).
b) \((3x-6)(x+2) = 0\)

\(3x - 6 = 0\) ou \(x + 2 = 0\)

1er facteur = 0
\(3x - 6 = 0\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(x = 2\)
2e facteur = 0
\(x + 2 = 0\)
\(x = -2\)
\(x = -2\)
Les solutions de \((3x-6)(x+2)=0\) sont \(x = 2\) et \(x = -2\).

## Exercice 6 / 8

Produit nul · Fractions
✓ Vu
Résoudre les équations suivantes :
\( \textcolor{#dc2626}{(5x+2)} \times \textcolor{#2563eb}{(4x-3)} = 0 \)
\( \textcolor{#dc2626}{(2x+7)} \times \textcolor{#2563eb}{(6x-4)} = 0 \)
💡 Indices
Même méthode que l'exercice précédent : pose chaque facteur égal à zéro et résous.
Une solution fractionnaire est valide. Simplifie la fraction si possible.
a) \((5x+2)(4x-3) = 0\)

\(5x + 2 = 0\) ou \(4x - 3 = 0\)

1er facteur = 0
\(5x + 2 = 0\)
\(5x = -2\)
\(x = -\dfrac{2}{5}\)
\(x = -\dfrac{2}{5}\)
2e facteur = 0
\(4x - 3 = 0\)
\(4x = 3\)
\(x = \dfrac{3}{4}\)
\(x = \dfrac{3}{4}\)
Les solutions de \((5x+2)(4x-3)=0\) sont \(x = -\dfrac{2}{5}\) et \(x = \dfrac{3}{4}\).
b) \((2x+7)(6x-4) = 0\)

\(2x + 7 = 0\) ou \(6x - 4 = 0\)

1er facteur = 0
\(2x + 7 = 0\)
\(2x = -7\)
\(x = -\dfrac{7}{2}\)
\(x = -\dfrac{7}{2}\)
2e facteur = 0
\(6x - 4 = 0\)
\(6x = 4\)
\(x = \dfrac{2}{3}\)
\(x = \dfrac{2}{3}\)
Les solutions de \((2x+7)(6x-4)=0\) sont \(x = -\dfrac{7}{2}\) et \(x = \dfrac{2}{3}\).
🔗 Partie 4 — Scratch + résolution complète

## Exercice 7 / 8

Développer puis résoudre
✓ Vu
Voici un programme Scratch qui calcule le produit de deux expressions. On cherche pour quelles valeurs de x ce programme affiche 0.
🚩 quand ⚑ est cliqué
demander Valeur de x ? et attendre
mettre x ▼ à réponse
mettre a ▼ à x * 2 + 6
mettre b ▼ à x − 4
mettre résultat ▼ à a * b
dire résultat
🧠 Ce programme calcule a × b. On cherche pour quelles valeurs de x ce produit vaut 0.
1Identifier les expressions stockées dans a et b en fonction de x.
2Écrire l'équation à résoudre sous forme de produit nul.
3Résoudre cette équation avec la méthode du produit nul.
4Développer et réduire a × b par double distributivité.
💡 Indices
Lis les blocs Scratch pour identifier les expressions de a et b, puis écris l'équation à résoudre.
Applique la règle du produit nul et résous chaque équation séparément.
Développe le produit avec un tableau. Réunis ensuite les termes de même degré.

Questions 1 et 2 — Lecture du programme

🧠 Suivi des mémoires :
`a = 2x + 6` (on relit x, on multiplie par 2, on ajoute 6)
`b = x − 4` (on relit x, on soustrait 4)
Le programme calcule : résultat = (2x + 6)(x − 4)
Équation à résoudre : \((2x+6)(x-4) = 0\)

Question 3 — Résolution par produit nul

\(2x + 6 = 0\) ou \(x - 4 = 0\)

1er facteur = 0
\(2x + 6 = 0\)
\(2x = -6\)
\(x = -3\)
\(x = -3\)
2e facteur = 0
\(x - 4 = 0\)
\(x = 4\)
\(x = 4\)
Le programme affiche 0 pour \(x = -3\) et pour \(x = 4\).

Question 4 — Développement de (2x + 6)(x − 4)

📊 Tableau

× | x | −4
--- | --- | ---
2x | 2x² | −8x
6 | 6x | −24

= 2x² − 8x + 6x − 24 = 2x² − 2x − 24
✏️ Calcul
= 2x(x − 4) + 6(x − 4)
= 2x² − 8x + 6x − 24
= 2x² − 2x − 24

## Exercice 8 / 8

Complet · Scratch + Développement + Résolution
✓ Vu
Un programme Scratch utilise deux mémoires a et b et calcule leur produit.
🚩 quand ⚑ est cliqué
demander Valeur de x ? et attendre
mettre x ▼ à réponse
mettre a ▼ à x * 3 − 9
mettre b ▼ à x * 2 + 5
mettre résultat ▼ à a * b
dire résultat
1Calculer le résultat affiché pour x = 0 et pour x = 3.
2Écrire et résoudre l'équation produit nul pour trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles le programme affiche 0.
3Développer et réduire le produit a × b par double distributivité.
4Vérifier les solutions trouvées en question 2 dans le développement de la question 3.
💡 Indices
Applique le programme étape par étape avec la valeur donnée.
Identifie les expressions de a et b, puis forme et résous l'équation produit nul.
Pour vérifier une solution, remplace x par cette valeur dans l'expression développée et vérifie que le résultat est bien 0.

Question 1 — Suivi des mémoires

🧠 Pour x = 0 : a = 3×0 − 9 = −9 · b = 2×0 + 5 = 5 · résultat = −9 × 5 = −45
🧠 Pour x = 3 : a = 3×3 − 9 = 9 − 9 = 0 · b = 2×3 + 5 = 11 · résultat = 0 × 11 = 0
Pour x = 0, le programme affiche −45. Pour x = 3, le programme affiche 0.

Question 2 — Équation produit nul : (3x − 9)(2x + 5) = 0

\(3x - 9 = 0\) ou \(2x + 5 = 0\)

1er facteur = 0
\(3x - 9 = 0\)
\(3x = 9\)
\(x = 3\)
\(x = 3\)
2e facteur = 0
\(2x + 5 = 0\)
\(2x = -5\)
\(x = -\dfrac{5}{2}\)
\(x = -\dfrac{5}{2}\)
Le programme affiche 0 pour \(x = 3\) et pour \(x = -\dfrac{5}{2}\).

Question 3 — Développement de (3x − 9)(2x + 5)

📊 Tableau

× | 2x | 5
--- | --- | ---
3x | 6x² | 15x
−9 | −18x | −45

= 6x² + 15x − 18x − 45 = 6x² − 3x − 45
✏️ Calcul
= 3x(2x + 5) − 9(2x + 5)
= 6x² + 15x − 18x − 45
= 6x² − 3x − 45

Question 4 — Vérification

Pour x = 3 : 6×9 − 3×3 − 45 = 54 − 9 − 45 = 0 ✓
Pour x = −5/2 : 6×(25/4) − 3×(−5/2) − 45 = 150/4 + 15/2 − 45 = 37,5 + 7,5 − 45 = 0 ✓

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