Chapitre · Repérage — 4ème

# Repérage dans l'espace : le pavé droit

Coordonnées 3D · Abscisse · Ordonnée · Cote

I — Le repère de l'espace
1. Définition
📘 Définition

Tout point M d'un pavé droit peut être repéré à partir d'un sommet et des arêtes partant de ce sommet. Un point M est repéré par trois nombres, appelés les coordonnées de M :

M(xM ; yM ; zM)

- xM est l'abscisse de M — lue sur l'axe rouge (Dx)
- yM est l'ordonnée de M — lue sur l'axe vert (Dy)
- zM est la cote (ou altitude) de M — lue sur l'axe bleu (Dz)

2. Les trois axes
x
Axe (Dx) — rouge

Horizontal, allant vers la gauche. Donne l'abscisse.

y
Axe (Dy) — vert

Horizontal, allant vers l'avant. Donne l'ordonnée.

z
Axe (Dz) — bleu

Vertical, allant vers le haut. Donne la cote.

💡 Convention

L'origine du repère est le point O, sommet du pavé droit d'où partent les trois axes. Ses coordonnées sont O(0 ; 0 ; 0).

3. Exemple — Le repère du pavé droit
🔍 Illustration — Repère de l'espace

Dans le repère ci-contre, H est l'origine O(0 ; 0 ; 0). Les trois axes partent de H :

- (Dx) en rouge est l'axe des abscisses
- (Dy) en vert est l'axe des ordonnées
- (Dz) en bleu est l'axe des cotes

Lire les coordonnées d'un point :
→ Je lis sa position sur l'axe rouge (x)
→ Je lis sa position sur l'axe vert (y)
→ Je lis sa hauteur sur l'axe bleu (z)
Exemple : C se trouve en x = 0, y = 0, z = 3 → C(0 ; 0 ; 3)
4. Méthode — Lire les coordonnées d'un point
📐 Méthode — 3 étapes

① | Lire l'abscisse x | Depuis le point, se déplacer parallèlement aux axes y et z jusqu'à l'axe rouge. La valeur lue est x.
② | Lire l'ordonnée y | Depuis le point, se déplacer parallèlement aux axes x et z jusqu'à l'axe vert. La valeur lue est y.
③ | Lire la cote z | Depuis le point, se déplacer parallèlement aux axes x et y jusqu'à l'axe bleu vertical. La valeur lue est z.

📗 Propriété — Points remarquables

- Un point sur l'axe des abscisses a y = 0 et z = 0.
- Un point sur l'axe des ordonnées a x = 0 et z = 0.
- Un point sur l'axe des cotes a x = 0 et y = 0.
- Un point dans le plan du sol (plan xOy) a z = 0.

II — Exercice d'application
✏️ Exercice 1 — Lire et placer des coordonnées

En utilisant le repère du pavé droit ci-dessous (H est l'origine, unité = 1 carreau), réponds aux questions suivantes.

Fig. — Repère du pavé droit (H est l'origine)

1. Identifier les axes

Axe | Nom | Couleur
--- | --- | ---
(Dx) | Axe des . . . . . . .abscisses | rouge
(Dy) | Axe des . . . . . . .ordonnées | vert
(Dz) | Axe des . . . . . . .cotes | bleu

2. Coordonnées des sommets

1 | G( … ; … ; … ) | . . . .G(4 ; 0 ; 0)
2 | F( … ; … ; … ) | . . . .F(4 ; 2 ; 0)
3 | E( … ; … ; … ) | . . . .E(0 ; 2 ; 0)
4 | H( … ; … ; … ) | . . . .H(0 ; 0 ; 0) — origine
5 | A( … ; … ; … ) | . . . .A(4 ; 2 ; 3)
6 | B( … ; … ; … ) | . . . .B(4 ; 0 ; 3)

💡 Pour lire les coordonnées : descends du point vers le sol pour trouver z, projette-toi sur l'axe rouge pour x, et sur l'axe vert pour y.

3. Placer les points J et K

Dans ton cahier, sur le même repère, place :

- J(3 ; 2 ; 0) — dans le plan du sol (z = 0)
- K(2 ; 0 ; 3) — en hauteur (z = 3)

Correction — Placement des points J et K

J(3 ; 2 ; 0)
→ x = 3 : avancer de 3 sur l'axe rouge
→ y = 2 : avancer de 2 sur l'axe vert
→ z = 0 : rester dans le plan du sol
K(2 ; 0 ; 3)
→ x = 2 : avancer de 2 sur l'axe rouge
→ y = 0 : rester sur l'axe rouge
→ z = 3 : monter de 3 (hauteur max.)
III — Ce que je dois savoir

📦 | Repère de l'espace | Un sommet O (origine) et trois axes perpendiculaires : (Dx) rouge, (Dy) vert, (Dz) bleu.
📖 | Coordonnées d'un point | M(x ; y ; z) : x = abscisse (rouge), y = ordonnée (vert), z = cote/altitude (bleu).
🔢 | Lire les coordonnées | Projeter le point sur chaque axe : parallèlement aux deux autres axes.
✏️ | Placer un point | Avancer de x sur l'axe rouge, puis de y sur l'axe vert, puis monter de z.
⚠️ | Points dans le sol | Tout point avec z = 0 est dans le plan du sol (plan xOy).

⚠️ Erreurs fréquentes

- Inverser x et y : toujours lire x en premier (axe rouge), y en second (axe vert), z en troisième (axe bleu).
- Oublier z : même si z = 0, il faut toujours écrire la troisième coordonnée. On écrit G(4 ; 0 ; 0) et non G(4 ; 0).
- Confondre l'axe vert et le rouge : l'axe vert (y) part vers l'avant du pavé, l'axe rouge (x) part vers la gauche.

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