📖 Ce qu'il faut savoir
Fonctions affine & linéaire
Affine : \(f(x) =\) \(a\)\(x +\) \(b\) avec \(a \neq 0\)
Linéaire : \(f(x) =\) \(a\)\(x\) (cas \(b = 0\))
\(a\) = coefficient directeur · \(b\) = ordonnée à l'origine
Image et antécédent
Image de \(n\) : remplace \(x\) par \(n\) et calcule → \(f(n) = ?\)
Antécédent de \(m\) : résous \(f(x) = m\) → trouve \(x\)
Image = résultat · Antécédent = point de départ
Lire \(a\) et \(b\) sur un graphique
\(b\) : là où la droite coupe l'axe des ordonnées.
\(a\) : avance de 1 vers la droite depuis \((0;b)\) → monte/descend de combien ?
Croissante → \(a>0\) · Décroissante → \(a<0\)
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Exercice 2 – Fonction linéaire \(f(x) = 4x\)

## Exercice 2 / 3

Image · Antécédent · Linéaire
✓ Vu
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = 4x\).
1Donner l'image de \(5\) par \(f\).
2Déterminer l'antécédent de \(5\) par \(f\).
3Quel est le coefficient directeur de \(f\) ainsi que son ordonnée à l'origine ?
💡 Indices
Pour la question 1, « l'image de 5 » signifie : que vaut \(f(x)\) quand \(x = 5\) ? Remplace \(x\) par \(5\) dans la formule et calcule.
Pour la question 2, trouver l'antécédent de 5 revient à chercher pour quel \(x\) la fonction vaut 5. Pose l'équation correspondante et isole \(x\).
Pour la question 3, compare \(f(x) = 4x\) avec la forme générale d'une fonction affine. Qu'est-ce qui est absent dans cette expression ?

Question 1 – Image de \(5\) par \(f\)

On remplace \(x\) par \(5\) :

f(5) = 4 × 5 = 20
L'image de \(5\) par \(f\) est 20.

Question 2 – Antécédent de \(5\) par \(f\)

🔍 Chercher l'antécédent de 5, c'est résoudre \(f(x) = 5\), c'est-à-dire \(4x = 5\).
4x = 5
÷ 4
÷ 4
x = 5⁄4 = 1,25
L'antécédent de \(5\) par \(f\) est \(\dfrac{5}{4} = 1{,}25\).

Question 3 – Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

f(x) = 4x + 0
\(f\) est linéaire : \(a = 4\) · \(b = 0\)
⚠️ Comme \(b = 0\), la droite passe par l'origine \((0\,;\,0)\) : c'est bien une fonction linéaire.
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Exercice 3 – Lire \(a\) et \(b\) sur un graphique

## Exercice 3 / 3

Lecture graphique · Coefficient directeur · Ordonnée à l'origine
✓ Vu
Deux droites sont représentées dans le repère ci-dessous : droite \(d_1\) et droite \(d_2\).
Pour chacune, déterminer \(b\) puis \(a\), et écrire l'expression de la fonction associée.
📐 Méthode :

1. Repère où la droite coupe l'axe des ordonnées → lis \(y\) : c'est \(b\).
2. Depuis \((0\,;\,b)\), avance d'1 unité vers la droite.
3. La droite monte (+) ou descend (−) de combien ? C'est \(a\).

Droite \(d_1\) Droite \(d_2\)
1Lire \(a\) et \(b\) pour la droite \(d_1\), puis écrire son expression.
2Lire \(a\) et \(b\) pour la droite \(d_2\), puis écrire son expression.
3L'une de ces fonctions est-elle linéaire ? Justifie.
💡 Indices
Les points colorés pleins sur l'axe des ordonnées marquent l'intersection de chaque droite avec cet axe. La valeur de \(y\) à ce point, c'est directement \(b\). Pour \(d_1\), le point est en dessous de l'axe des abscisses…
Pour trouver \(a\) : le coefficient directeur exprime comment \(y\) varie quand \(x\) augmente. Observe deux points de la droite pour le calculer.
Une fonction est linéaire si et seulement si \(b = 0\) (la droite passe par l'origine). Regarde les valeurs de \(b\) que tu viens de trouver.

Droite \(d_1\) (violette)

La droite coupe l'axe des ordonnées en \(y = -1\) → \(b = -1\).

Depuis \((0\,;\,-1)\), avance de 1 unité vers la droite : la droite monte de 2 unités → \(a = 2\).

\(d_1 : f(x) =\) \(2\)\(x\) \(-\,1\) — fonction affine

Droite \(d_2\) (rouge)

La droite coupe l'axe des ordonnées en \(y = 3\) → \(b = 3\).

Depuis \((0\,;\,3)\), avance de 1 unité vers la droite : la droite descend de 1 unité → \(a = -1\).

\(d_2 : g(x) =\) \(-1\)\(x\) \(+\,3\) — fonction affine

Question 3 – Linéaire ?

Pour \(d_1\) : \(b = -1 \neq 0\) → pas linéaire.
Pour \(d_2\) : \(b = 3 \neq 0\) → pas linéaire.
Aucune n'est linéaire : une fonction linéaire exige \(b = 0\) et passe par l'origine \((0\,;\,0)\).
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Exercice 4 – Fonction affine \(g(x) = 4x + 1\)

## Exercice 4 / 3

Image · Antécédent · Affine
✓ Vu
Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x) = 4x + 1\).
1Donner l'image de \(5\) par \(g\).
2Déterminer l'antécédent de \(6\) par \(g\).
3Quel est le coefficient directeur de \(g\) ainsi que son ordonnée à l'origine ?
💡 Indices
Pour la question 1, remplace \(x\) par \(5\) dans \(g(x) = 4x + 1\). Attention à bien ajouter le \(+1\) après avoir calculé \(4 \times 5\).
Pour la question 2, trouver l'antécédent de 6 revient à résoudre une équation. Applique les opérations inverses dans le bon ordre pour isoler \(x\).
Pour la question 3, identifie les paramètres \(a\) et \(b\) de \(g(x) = 4x + 1\), puis rappelle-toi ce qui distingue une fonction affine d'une fonction linéaire.

Question 1 – Image de \(5\) par \(g\)

On remplace \(x\) par \(5\) :

g(5) = 4 × 5 + 1 = 20 + 1 = 21
L'image de \(5\) par \(g\) est 21.

Question 2 – Antécédent de \(6\) par \(g\)

🔍 Chercher l'antécédent de 6, c'est résoudre \(g(x) = 6\), c'est-à-dire \(4x + 1 = 6\).
4x + 1 = 6
− 1
− 1
4x = 5
÷ 4
÷ 4
x = 5⁄4 = 1,25
L'antécédent de \(6\) par \(g\) est \(\dfrac{5}{4} = 1{,}25\).
✅ Vérification : \(g\!\left(\dfrac{5}{4}\right) = 4 \times \dfrac{5}{4} + 1 = 5 + 1 = 6\) ✓

Question 3 – Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

g(x) = 4x + 1
\(g\) est affine : \(a = 4\) · \(b = 1\)
💡 Comme \(b = 1 \neq 0\), la fonction est affine (et non linéaire). La droite coupe l'axe des ordonnées en \((0\,;\,1)\).

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