📖 Ce qu'il faut savoir
Image et antécédent
Image de \(a\) par \(f\) : on remplace \(x\) par \(a\) et on calcule \(f(a)\).
→ \(a\) est le nombre de départ, \(f(a)\) est le nombre d'arrivée.
Antécédent de \(b\) par \(f\) : on résout \(f(x) = b\) pour trouver \(x\).
→ \(b\) est le nombre d'arrivée, l'antécédent est le nombre de départ.
\(f(2) = 5\) se lit : « l'image de \(2\) par \(f\) est \(5\) » ou « \(2\) est un antécédent de \(5\) par \(f\) ».
Proportionnalité & graphique
Une fonction est proportionnelle si \(f(x) = k \cdot x\) : la droite passe par l'origine \((0\,;\,0)\).
Pour tracer : on place au moins 2 points du tableau, puis on trace la droite à la règle.
Lecture graphique : on part de l'axe des \(x\) (image) ou de l'axe des \(y\) (antécédent), on trace les pointillés.
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Exercice 1 – Tableau de valeurs

## Exercice 1 / 5

Lecture de tableau · Image · Antécédent
✓ Vu
La fonction \(f\) est décrite par le tableau de valeurs suivant :

\(x\) | \(-3\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(9\)
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
\(f(x)\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(0\) | \(-2\) | \(3\) | \(9\)

Compléter le tableau suivant :

En français | Notation mathématique
--- | ---
……… est l'image de …… par la fonction \(f\) | \(f(0) = 5\)
…… est un antécédent de …… par la fonction \(f\) | \(f(-1) = 3\)
…… est l'image de \(3\) par la fonction \(f\) | \(f(3) = \ldots\)
…… est un antécédent de \(0\) par la fonction \(f\) | \(f(\ldots) = 0\)
…… est l'image de \(1\) par \(f\) | \(f(\ldots) = \ldots\)

💡 Indices
Pour trouver l'image de \(a\), repère la colonne où \(x = a\) et lis la valeur de \(f(x)\) dans cette colonne.
Pour trouver un antécédent de \(b\), repère dans la ligne \(f(x)\) la cellule qui vaut \(b\), puis lis la valeur de \(x\) dans la même colonne.
Attention : une valeur peut avoir plusieurs antécédents ! Regarde toutes les colonnes. Y a-t-il plusieurs colonnes où \(f(x) = 3\) ?

En français | Notation mathématique
--- | ---
\(5\) est l'image de \(0\) par la fonction \(f\) | \(f(0) = 5\)
\(-1\) est un antécédent de \(3\) par la fonction \(f\) | \(f(-1) = 3\)
\(-2\) est l'image de \(3\) par la fonction \(f\) | \(f(3) = -2\)
\(1\) est un antécédent de \(0\) par la fonction \(f\) | \(f(1) = 0\)
\(0\) est l'image de \(1\) par \(f\) | \(f(1) = 0\)

⚠️ La valeur \(3\) a deux antécédents : \(-1\) et \(5\) (car \(f(-1) = 3\) et \(f(5) = 3\)). Un antécédent suffit pour répondre à la question, mais il peut y en avoir plusieurs.
💬
Exercice 2 – Traduire en phrases

## Exercice 2 / 5

Vocabulaire · Image · Antécédent
✓ Vu
\(f\) est une fonction telle que \(f(-3) = 4\). Traduire cette égalité par une phrase comportant :
1Le mot « image »
2Le mot « antécédent »
💡 Indices
Dans \(f(-3) = 4\), quel est le nombre qu'on met dans la fonction ? Quel est le résultat obtenu ? C'est tout ce qu'il faut pour construire les deux phrases.
Dans f(−3) = 4, quel nombre a-t-on « mis en entrée » dans la fonction, et quel nombre est « sorti » ? Les mots « image » et « antécédent » désignent-ils l'entrée ou la sortie ?
1. Avec le mot « image » : « \(4\) est l'image de \(-3\) par la fonction \(f\). »
2. Avec le mot « antécédent » : « \(-3\) est un antécédent de \(4\) par la fonction \(f\). »
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Exercice 3 – Fonctions \(g\) et \(h\)

## Exercice 3 / 5

Calculs · Tableau · Graphique
✓ Vu
On considère \(g(x) = 4x + 6\) et \(h(x) = 3x - 7\).
1Calculer l'image de \(-1\) par \(g\).
2Calculer l'image de \(-2\) par \(h\).
3Calculer l'antécédent de \(8\) par \(g\).
4Calculer l'antécédent de \(9\) par \(h\).
5Remplir le tableau suivant :

\(x\) | \(-1\) |
--- | --- | ---
\(g(x)\) |  | \(8\)

6Représenter la fonction \(g\) sur le graphique.
📏 Graduation : Axe \(x\) de \(-1\) à \(2\) (1 grand carreau = 0,5) · Axe \(y\) de \(-4\) à \(10\) (1 grand carreau = 2). Place au moins 2 points du tableau, puis trace la droite à la règle.
💡 Indices
Pour calculer une image, remplace \(x\) par la valeur donnée et calcule. Attention aux négatifs : \(4 \times (-1) = -4\), pas \(+4\).
Pour l'antécédent de 8 par g : quelle équation traduit « g associe à un nombre la valeur 8 » ? Pour résoudre, comment isole-t-on d'abord le terme en x ?
Pour tracer une droite, combien de points sont nécessaires au minimum ? Tu as déjà calculé ou relevé plusieurs couples (x ; g(x)) dans le tableau — lesquels sont les plus pratiques à placer sur le graphique ?

1. Image de \(-1\) par \(g\)

\(g(-1) = 4 \times (-1) + 6 = -4 + 6 = 2\)
L'image de \(-1\) par \(g\) est \(\mathbf{2}\).

2. Image de \(-2\) par \(h\)

\(h(-2) = 3 \times (-2) - 7 = -6 - 7 = -13\)
L'image de \(-2\) par \(h\) est \(\mathbf{-13}\).

3. Antécédent de \(8\) par \(g\)

On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 8\), c'est-à-dire :

\(4x\) \(+\,6\) \(= 8\)
\(-\,6\)
\(-\,6\)
\(4\)\(x = 2\)
\(\div\,4\)
\(\div\,4\)
\(x = \dfrac{1}{2}\)
L'antécédent de \(8\) par \(g\) est \(\dfrac{1}{2}\).

4. Antécédent de \(9\) par \(h\)

On cherche \(x\) tel que \(h(x) = 9\), c'est-à-dire :

\(3x\) \(-\,7\) \(= 9\)
\(+\,7\)
\(+\,7\)
\(3\)\(x = 16\)
\(\div\,3\)
\(\div\,3\)
\(x = \dfrac{16}{3}\)
L'antécédent de \(9\) par \(h\) est \(\dfrac{16}{3}\).

5. Tableau complété

\(x\) | \(-1\) | \(\frac{1}{2}\)
--- | --- | ---
\(g(x)\) | \(2\) | \(8\)

\(g(-1) = 2\) (Q1) | antécédent de \(8\) par \(g\) est \(\frac{1}{2}\) (Q3)

6. Représentation graphique de \(g\)

Points clés à placer : \((-1\,;\,2)\) et \(\left(\frac{1}{2}\,;\,8\right)\). La droite monte fortement car le coefficient directeur est \(4\).
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Exercice 4 – Fonction \(f(x) = 3x - 1\)

## Exercice 4 / 5

Calculs · Graphique · Proportionnalité
✓ Vu
On considère la fonction \(f(x) = 3x - 1\).
1Calculer l'image de \(2\) par \(f\).
2Que vaut \(f(1)\) ?
3Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = 6\) ?
4Calculer l'antécédent de \(7\) par \(f\).
5Remplir le tableau de valeurs :

\(x\) | \(2\) | \(1\) |  |
--- | --- | --- | --- | ---
\(f(x)\) |  |  | \(6\) | \(7\)

6Placer quelques points du tableau sur le graphique, puis tracer la fonction \(f\).
📏 Graduation : \(x\) de \(-5\) à \(6\), \(y\) de \(-3\) à \(7\). Place au moins 2 points bien espacés, puis trace la droite à la règle.
7Lire graphiquement \(f(0{,}2)\).
8Lire graphiquement : pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = 2{,}4\) ?
9Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifier.
💡 Indices
Pour les questions 1 et 2 : remplace \(x\) par la valeur demandée dans \(f(x) = 3x - 1\) et calcule.
Pour les antécédents (Q3 et Q4) : pose \(3x - 1 =\) valeur cherchée, puis résous l'équation avec les flèches.
Pour la proportionnalité : qu'est-ce qui caractérise graphiquement une situation de proportionnalité ? Calcule f(0) et réfléchis à ce que cela signifie pour la représentation graphique.

1. Image de \(2\) par \(f\)

\(f(2) = 3 \times 2 - 1 = 6 - 1 = 5\)
L'image de \(2\) par \(f\) est \(\mathbf{5}\).

2. Valeur de \(f(1)\)

\(f(1) = 3 \times 1 - 1 = 3 - 1 = 2\)
\(f(1) = 2\)

3. Antécédent de \(6\) par \(f\)

On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 6\) :

\(3x\) \(-\,1\) \(= 6\)
\(+\,1\)
\(+\,1\)
\(3\)\(x = 7\)
\(\div\,3\)
\(\div\,3\)
\(x = \dfrac{7}{3}\)
La valeur cherchée est \(\dfrac{7}{3}\).

4. Antécédent de \(7\) par \(f\)

On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 7\) :

\(3x\) \(-\,1\) \(= 7\)
\(+\,1\)
\(+\,1\)
\(3\)\(x = 8\)
\(\div\,3\)
\(\div\,3\)
\(x = \dfrac{8}{3}\)
L'antécédent de \(7\) par \(f\) est \(\dfrac{8}{3}\).

5. Tableau complété

\(x\) | \(2\) | \(1\) | \(\frac{7}{3}\) | \(\frac{8}{3}\)
--- | --- | --- | --- | ---
\(f(x)\) | \(5\) | \(2\) | \(6\) | \(7\)

6, 7 & 8. Graphique de \(f\) avec lectures

Pointillés verts : lecture de \(f(0{,}2) = -0{,}4\) | Pointillés rouges : \(f(x) = 2{,}4\) → \(x \approx 1{,}13\) (soit \(\frac{17}{15}\))
Q7. On part de \(x = 0{,}2\) sur l'axe des \(x\) → pointillé vertical jusqu'à la droite → pointillé horizontal jusqu'à l'axe des \(y\) → \(f(0{,}2) = -0{,}4\).
Q8. On part de \(y = 2{,}4\) sur l'axe des \(y\) → pointillé horizontal jusqu'à la droite → pointillé vertical jusqu'à l'axe des \(x\) → \(x \approx 1{,}13\) (soit \(\frac{17}{15}\)).

9. Proportionnalité

⚠️ \(f(x) = 3x - 1\) n'est pas une situation de proportionnalité. En effet, \(f(0) = 3 \times 0 - 1 = -1 \neq 0\) : la droite ne passe pas par l'origine \((0\,;\,0)\). Une fonction de proportionnalité s'écrit sous la forme \(f(x) = k \cdot x\), sans terme constant.
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Exercice 5 – Tableau de la fonction \(h\)

## Exercice 5 / 5

Lecture de tableau · Antécédents multiples
✓ Vu
On donne le tableau de valeurs suivant :

\(x\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\)
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
\(h(x)\) | \(0{,}5\) | \(2\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3{,}5\) | \(-0{,}5\) | \(-1\)

1Quelle est l'image de \(0{,}5\) par la fonction \(h\) ?
2Quelle est l'image de \(-1\) par la fonction \(h\) ?
3Donner un antécédent de \(-0{,}5\) par la fonction \(h\).
4Donner le(s) antécédent(s) de \(-1\) par la fonction \(h\).
💡 Indices
Pour l'image d'une valeur, cherche cette valeur dans la ligne \(x\) du tableau et lis ce qui est en dessous dans la ligne \(h(x)\).
Pour un antécédent, cherche la valeur dans la ligne \(h(x)\) et lis la valeur de \(x\) au-dessus. Il peut y en avoir plusieurs !

1. Image de \(0{,}5\) par \(h\)

On lit la colonne \(x = 0{,}5\) : \(h(0{,}5) = -2\)
L'image de \(0{,}5\) par \(h\) est \(\mathbf{-2}\).

2. Image de \(-1\) par \(h\)

On lit la colonne \(x = -1\) : \(h(-1) = 0{,}5\)
L'image de \(-1\) par \(h\) est \(\mathbf{0{,}5}\).

3. Un antécédent de \(-0{,}5\) par \(h\)

On cherche \(-0{,}5\) dans la ligne \(h(x)\) : on le trouve pour \(x = 1{,}5\).
Un antécédent de \(-0{,}5\) par \(h\) est \(\mathbf{1{,}5}\).

4. Les antécédents de \(-1\) par \(h\)

On cherche toutes les occurrences de \(-1\) dans la ligne \(h(x)\) :
\(h(0) = -1\) ✓ et \(h(2) = -1\) ✓
Les antécédents de \(-1\) par \(h\) sont \(\mathbf{0}\) et \(\mathbf{2}\).
⚠️ Il y a deux antécédents : cela montre que \(h\) n'est pas une fonction affine (une droite ne peut passer deux fois par la même valeur de \(y\), sauf si elle est horizontale).

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