Chapitre

# Calcul littéral

I. Expression littérale
📘 Définition

Une expression littérale est un calcul contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

✏️ Exemples

Les expressions suivantes sont des expressions littérales :

- \(2x + 5\) — une lettre : \(x\)
- \(3a + 4b\) — deux lettres : \(a\) et \(b\)
- \(2x + 3y - 5\) — deux lettres : \(x\) et \(y\)

II. Simplifier et réduire
1. Simplifier
📌 Convention

Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe \(\times\) lorsqu'il est placé devant une lettre ou une parenthèse.

\(2 \times b = 2b \qquad\qquad 4 \times (a+3) = 4(a+3)\)
📗 Propriété

Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l'ordre de ses facteurs.

\(3 \times x \times 2 = 2 \times 3 \times x = 6x\)
✏️ Exemple
Simplifier les expressions suivantes :

1) | \(2 \times b\) | . . . . . .\(= 2b\)
2) | \(a \times b\) | . . . . . .\(= ab\)
3) | \(1 \times x\) | . . . . . .\(= x\)
4) | \(4 \times (7a + 3)\) | . . . . . .\(= 4(7a+3)\)
5) | \(2x \times 3x\) | . . . . . .\(= 6x^2\)
6) | \(x \times x\) | . . . . . .\(= x^2\)
7) | \(x \times x \times x\) | . . . . . .\(= x^3\)

💡 3) Multiplier par 1 ne change pas un nombre : \(1 \times x = x\).
💡 4) On supprime le \(\times\), mais on ne développe pas — la parenthèse reste telle quelle.
💡 5) On regroupe les nombres : \(2 \times 3 = 6\), puis les lettres : \(x \times x = x^2\).
🧩 Exercice
Simplifier les expressions suivantes :

a) | \(5 \times a\) | . . . . . .\(= 5a\)
b) | \(3 \times y \times 4\) | . . . . . .\(= 12y\)
c) | \(1 \times a \times b\) | . . . . . .\(= ab\)
d) | \(5x \times 2x\) | . . . . . .\(= 10x^2\)

💡 b) On regroupe les nombres : \(3 \times 4 = 12\), puis la lettre : \(12y\).
💡 c) \(1 \times a \times b = ab\) — le 1 disparaît.
💡 d) \(5 \times 2 = 10\) et \(x \times x = x^2\), donc \(10x^2\).
2. Réduire
📗 Propriété

On peut regrouper les termes semblables, c'est-à-dire les termes qui contiennent la même lettre.

\(\textcolor{#1a6fa0}{ax} + \textcolor{#1a6fa0}{bx}\) se réduit en \(\textcolor{#1a6fa0}{(a+b)x}\)
\(\textcolor{#1b7a40}{ax} - \textcolor{#1b7a40}{bx}\) se réduit en \(\textcolor{#1b7a40}{(a-b)x}\)
⚠️ Attention – Ne pas confondre !
Multiplication répétée
\(x^2 = x \times x\)
Ex : si \(x=3\), alors \(x^2 = 9\)
Addition répétée
\(2x = x + x\)
Ex : si \(x=3\), alors \(2x = 6\)

\(x^2 \neq 2x\) — ce sont deux choses complètement différentes !

✏️ Exemple
Réduire, si possible, les expressions suivantes :

1) | \(2x + 3x\) | \(2x\) \(+\) \(3x\) | . . . . . .\(= 5x\)
2) | \(5x - 3x\) | \(5x\) \(-\) \(3x\) | . . . . . .\(= 2x\)
3) | \(2x + 2y\) | \(2x\) \(+\) \(2y\) | . . . . . .Impossible (\(x\) et \(y\) sont différents)
4) | \(2x + 10 + x\) | \(2x\) \(+\) \(10\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x = 1x}\) | . . . . . .\(3x\) \(+\) \(10\)

💡 Les termes de même couleur ont la même lettre : on les additionne ou soustrait.
💡 3) \(x\) et \(y\) sont deux lettres différentes : impossible à réduire.
💡 4) Quand on voit juste \(x\) sans chiffre devant, c'est \(1x\) ! Donc \(2x + 1x = 3x\). Le \(\textcolor{#c0392b}{10}\) est un nombre sans lettre : il reste seul.
🧩 Exercice
Réduire, si possible, les expressions suivantes :

a) | \(4x + 2x\) | \(4x\) \(+\) \(2x\) | . . . . . .\(= 6x\)
b) | \(7a - 3a + 2\) | \(7a\) \(-\) \(3a\) \(+\) \(2\) | . . . . . .\(4a\) \(+\) \(2\)
c) | \(3x + 5y + x\) | \(3x\) \(+\) \(5y\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(4x\) \(+\) \(5y\)
d) | \(6b + 3a + 2b\) | \(3a\) \(+\) \(6b\) \(+\) \(2b\) | . . . . . .\(3a\) \(+\) \(8b\)

💡 Termes de même couleur = même lettre = on les regroupe.
💡 c) Le \(x\) seul vaut \(1x\) : \(3x + 1x = 4x\). Le \(5y\) reste seul car \(y \neq x\).
💡 d) On peut réorganiser : \(3a + 6b + 2b = 3a + 8b\).
III. Substituer dans une expression littérale
📘 Définition

Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est attribuer un nombre à chaque lettre de l'expression afin d'effectuer le calcul.

✏️ Exemple
Calculer \(A = 2x + 3y - 5\) lorsque \(x = 1\) et \(y = 3\).
Substitue\(A = 2 \times \textcolor{#6b3fa0}{1} + 3 \times \textcolor{#1b7a40}{3} - 5\)
\(\times\) d'abord\(A = \textcolor{#1a6fa0}{2} + \textcolor{#1b7a40}{9} - 5\)
G \(\to\) D\(A = 11 - 5\)
\(A = \textcolor{#c0392b}{6}\)
🧩 Exercice
Calculer \(B = 4x - 3\) pour \(x = 5\), puis pour \(x = 0\).

Pour \(x = 5\) :

Substitue\(B = 4 \times \textcolor{#6b3fa0}{5} - 3\)
\(\times\) d'abord\(B = 20 - 3\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{17}\)

Pour \(x = 0\) :

Substitue\(B = 4 \times \textcolor{#6b3fa0}{0} - 3\)
\(\times\) d'abord\(B = 0 - 3\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{-3}\)
IV. Développer
1. Simple distributivité
📘 Définition

Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence.

📙 Propriété – Distributivité

\(k\), \(a\) et \(b\) désignent des nombres :

\(\textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)
\(\textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)

Le facteur \(\textcolor{#c0392b}{k}\) se distribue sur chaque terme entre parenthèses.

✏️ Exemple
Développer : \(A = 13(100 - 1)\)
Distribue\(A = \textcolor{#c0392b}{13} \times \textcolor{#1a6fa0}{100} - \textcolor{#c0392b}{13} \times \textcolor{#1b7a40}{1}\)
Calcule\(A = \textcolor{#1a6fa0}{1\,300} - \textcolor{#1b7a40}{13}\)
\(A = \textcolor{#c0392b}{1\,287}\)
✏️ Exemple
Développer : \(B = 2(x + 3)\)
Distribue\(B = \textcolor{#c0392b}{2} \times \textcolor{#1a6fa0}{x} + \textcolor{#c0392b}{2} \times \textcolor{#1b7a40}{3}\)
Simplifie\(B = \textcolor{#c0392b}{2}\textcolor{#1a6fa0}{x} + \textcolor{#1b7a40}{6}\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{2x + 6}\)
🧩 Exercice
Développer et réduire les expressions suivantes :

\(C = 3(x + 5) \qquad D = 4(2x - 1) \qquad E = 5(x + 2) + 3x\)

\(C = 3(x+5)\)

Distribue\(= \textcolor{#c0392b}{3}x + \textcolor{#c0392b}{3} \times 5\)
\(= \textcolor{#c0392b}{3x + 15}\)

\(D = 4(2x-1)\)

Distribue\(= \textcolor{#c0392b}{4} \times 2x - \textcolor{#c0392b}{4} \times 1\)
\(= \textcolor{#c0392b}{8x - 4}\)

\(E = 5(x+2)+3x\)

Distribue\(= 5x + 10 + 3x\)
Réduit\(= \textcolor{#1a6fa0}{5x} + \textcolor{#c0392b}{10} + \textcolor{#1a6fa0}{3x}\)
\(= \textcolor{#c0392b}{8x + 10}\)
V. Tester des égalités
1. Égalités d'expressions
📘 Définition

Tester une égalité entre deux expressions littérales, c'est remplacer les lettres par des valeurs, calculer chacun des membres et regarder si les deux membres donnent le même résultat.

✏️ Exemple
Vérifier l'égalité \(x^2 + 7x = x(x + 7)\).
Gauche
Expression\(x^2 + 7x\)
Réduire ?\(x^2\) et \(7x\) n'ont pas
la même lettre (\(x^2 \neq x\))
→ on ne peut pas réduire.
Résultat\(\textcolor{#1a6fa0}{x^2 + 7x}\)
Droite
Expression\(x(x + 7)\)
On développe\(= \textcolor{#c0392b}{x} \times x + \textcolor{#c0392b}{x} \times 7\)
Simplifie\(= \textcolor{#1a6fa0}{x^2 + 7x}\)
Donc : Gauche \(= x^2 + 7x =\) Droite. L'égalité est vraie pour tout \(x\).
2. Contre-exemples
📘 Définition

Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions donnent des résultats différents pour prouver qu'elles ne sont pas égales. Cet exemple s'appelle un contre-exemple.

✏️ Exemple
Léo affirme : « pour tous les nombres \(x\), on a \(5x + 1 = 6x\) ». A-t-il raison ?

On teste pour \(x = 2\) :

Gauche
Substitue\(5 \times \textcolor{#6b3fa0}{2} + 1\)
\(\times\) d'abord\(= 10 + 1\)
\(= \textcolor{#c0392b}{11}\)
Droite
Substitue\(6 \times \textcolor{#6b3fa0}{2}\)
\(= \textcolor{#c0392b}{12}\)
Donc : Gauche \(= 11 \neq\) Droite \(= 12\). L'égalité est fausse pour \(x = 2\).

\(x = 2\) est un contre-exemple : Léo a tort.

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