Chapitre · 4ème

# Fractions — 2ème partie

Multiplication · Proportions · Inverse · Division · Enchaînement d'opérations
I. Multiplier des fractions
📋 Règle

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\(a\), \(b\), \(c\), \(d\) désignent quatre nombres (\(b \neq 0\) et \(d \neq 0\))

\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)
💡 Remarque — Entier × fraction

Tout entier \(k\) peut s'écrire \(\dfrac{k}{1}\), donc : \(k \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{k}{1} \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{k \times a}{b}\)

✏️ Exemples — Calcul direct
Calculer les expressions suivantes :

(A) \(A = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{-1}{4}\)

On multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux :
\(A = \dfrac{3 \times (-1)}{8 \times 4} = \dfrac{-3}{32}\)
\(3\) et \(32\) n'ont pas de facteur commun : la fraction est simplifiée.
\(A = -\dfrac{3}{32}\)

(B) \(B = \dfrac{-4}{3} \times \dfrac{-5}{7}\)

Négatif × négatif = positif :
\(B = \dfrac{(-4) \times (-5)}{3 \times 7} = \dfrac{20}{21}\)
\(20\) et \(21\) n'ont pas de facteur commun : la fraction est simplifiée.
\(B = \dfrac{20}{21}\)

(C) \(C = 3 \times \dfrac{2}{7}\)

On écrit \(3 = \dfrac{3}{1}\) :
\(C = \dfrac{3}{1} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{1 \times 7} = \dfrac{6}{7}\)
\(C = \dfrac{6}{7}\)
📋 Méthode — Simplifier un produit de fractions

On décompose les quatre nombres en facteurs premiers, on réécrit le produit développé, on surligne en rouge les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, puis on ne garde que ce qui reste.

- 1Décomposer les 4 nombres en facteurs premiers
- 2Réécrire \(\dfrac{\text{num}_1 \times \text{num}_2}{\text{dén}_1 \times \text{dén}_2}\) développé et surligner en rouge les facteurs communs
- 3Écrire le résultat avec les facteurs non surlignés et calculer

✏️ Exemple — Simplification
Calculer \(A = \dfrac{15}{16} \times \dfrac{12}{35}\) en simplifiant.
Étape 1 — Décomposer les 4 nombres :
15 (num. 1)
15
5
1
3
5
\(15 = 3 \times 5\)
16 (dén. 1)
16
8
4
2
1
2
2
2
2
\(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
12 (num. 2)
12
6
3
1
2
2
3
\(12 = 2 \times 2 \times 3\)
35 (dén. 2)
35
7
1
5
7
\(35 = 5 \times 7\)
Étape 2 — Réécrire et surligner les facteurs communs en rouge :
2 × 2 × 3 × 3 × 5
2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7
Étape 3 — Ne garder que les facteurs non surlignés :
3 × 3
2 × 2 × 7
=
9
28
\(9\) et \(28\) n'ont pas de facteur commun : la fraction est simplifiée.
\(A = \dfrac{9}{28}\)
✏️ Exemple — Simplification
Calculer \(B = \dfrac{32}{75} \times \dfrac{55}{24}\) en simplifiant.
Étape 1 — Décomposer les 4 nombres :
32 (num. 1)
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
\(32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
75 (dén. 1)
75
25
5
1
3
5
5
\(75 = 3 \times 5 \times 5\)
55 (num. 2)
55
11
1
5
11
\(55 = 5 \times 11\)
24 (dén. 2)
24
12
6
3
1
2
2
2
3
\(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
Étape 2 — Réécrire et surligner les facteurs communs en rouge :
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 11
3 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2 × 3
Étape 3 — Ne garder que les facteurs non surlignés :
2 × 2 × 11
3 × 5 × 3
=
44
45
\(44\) et \(45\) n'ont pas de facteur commun : la fraction est simplifiée.
\(B = \dfrac{44}{45}\)
🧩 Exercice
Calculer les expressions suivantes. Utiliser la méthode de simplification pour (c) et (d).

(a) \(\dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{7}\) (b) \(\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{8}{9}\) (c) \(\dfrac{9}{14} \times \dfrac{7}{3}\) (d) \(\dfrac{10}{21} \times \dfrac{14}{15}\)

(a)
\(\dfrac{5}{3} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{5 \times 2}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}\)
(b) Négatif × positif = négatif :
\(\dfrac{-3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{(-3) \times 8}{4 \times 9} = \dfrac{-24}{36}\)
On simplifie \(\dfrac{-24}{36}\) : \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\) ; \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3\)
-(2 × 2 × 2 × 3)
2 × 2 × 3 × 3
-2
3
(c) \(9 = 3 \times 3\) ; \(14 = 2 \times 7\) ; \(7 = 7\) ; \(3 = 3\)
3 × 3 × 7
2 × 7 × 3
3
2
(d) \(10 = 2 \times 5\) ; \(21 = 3 \times 7\) ; \(14 = 2 \times 7\) ; \(15 = 3 \times 5\)
2 × 5 × 2 × 7
3 × 7 × 3 × 5
2 × 2
3 × 3
=
4
9
II. Proportions
📋 Règle

Pour calculer une fraction d'un nombre (ou d'une quantité), on multiplie la fraction par ce nombre.

\(\dfrac{a}{b}\) de \(n\) = \(\dfrac{a}{b} \times n\)
🧃 Problème
Florian boit les deux tiers d'une canette de soda de 33 centilitres. Quelle quantité de soda a-t-il bue ?
On cherche les deux tiers de 33 cl. On multiplie \(\dfrac{2}{3}\) par \(33\) :
\(\dfrac{2}{3} \times 33 = \dfrac{2 \times 33}{3} = \dfrac{66}{3} = 22\)
✓ Conclusion Florian a bu 22 cl de soda.
🧩 Exercices

Calculer :

(a) Les trois quarts de 48. (b) \(\dfrac{2}{5}\) de 35 mètres. (c) Un collège compte 630 élèves. \(\dfrac{3}{7}\) d'entre eux sont en 4ème. Combien y a-t-il d'élèves en 4ème ?

(a) \(\dfrac{3}{4} \times 48 = \dfrac{3 \times 48}{4} = \dfrac{144}{4} = 36\)
(b) \(\dfrac{2}{5} \times 35 = \dfrac{2 \times 35}{5} = \dfrac{70}{5} = 14\) mètres
(c) \(\dfrac{3}{7} \times 630 = \dfrac{3 \times 630}{7} = \dfrac{1890}{7} = 270\) élèves
III. Inverses et divisions
1) Inverse d'un nombre
📘 Définition — Inverse

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à \(1\).

📗 Propriété

\(a\), \(b\) désignent des nombres non nuls.

L'inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\) — L'inverse de \(c\) est \(\dfrac{1}{c}\)

On retourne simplement la fraction.

✏️ Exemples
Donner l'inverse de chacun des nombres suivants et vérifier.

(a) \(2\) (b) \(1\) (c) \(5\) (d) \(\dfrac{5}{8}\)

(a) L'inverse de \(2\) est \(\dfrac{1}{2}\). Vérification : \(2 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\) ✓
(b) L'inverse de \(1\) est \(1\). Vérification : \(1 \times 1 = 1\) ✓
(c) L'inverse de \(5\) est \(\dfrac{1}{5}\). Vérification : \(5 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{5} = 1\) ✓
(d) L'inverse de \(\dfrac{5}{8}\) est \(\dfrac{8}{5}\). Vérification : \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{8}{5} = \dfrac{5 \times 8}{8 \times 5} = \dfrac{40}{40} = 1\) ✓
2) Diviser par une fraction
📗 Propriété

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.

\(a\), \(b\), \(c\), \(d\) désignent quatre nombres (\(b \neq 0\), \(c \neq 0\), \(d \neq 0\))

\(a \div b = a \times \dfrac{1}{b}\) et \(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\)
💡 Mémo

Pour diviser par une fraction, on retourne la fraction qui suit le signe ÷ et on transforme en multiplication.

✏️ Exemples
Calculer :

(A) \(A = 6 \div 0{,}5\)

On écrit \(0{,}5 = \dfrac{1}{2}\), donc son inverse est \(2\) :
\(A = 6 \div \dfrac{1}{2} = 6 \times 2 = 12\)
\(A = 12\)

(B) \(B = \dfrac{2}{3} \div \dfrac{5}{7}\)

On retourne \(\dfrac{5}{7}\) et on multiplie :
\(B = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 5} = \dfrac{14}{15}\)
\(14\) et \(15\) n'ont pas de facteur commun : la fraction est simplifiée.
\(B = \dfrac{14}{15}\)

(C) \(C = \dfrac{4}{15} \div \dfrac{5}{3} \times \dfrac{15}{7}\)

On traite de gauche à droite. D'abord la division (on retourne \(\dfrac{5}{3}\)) :
\(\dfrac{4}{15} \div \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{15} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{4 \times 3}{15 \times 5} = \dfrac{12}{75}\)
Puis on multiplie par \(\dfrac{15}{7}\) :
\(\dfrac{12}{75} \times \dfrac{15}{7} = \dfrac{12 \times 15}{75 \times 7} = \dfrac{180}{525}\)
On simplifie maintenant le résultat final \(\dfrac{180}{525}\). On décompose les deux nombres :
180 (numérateur)
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
\(180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\)
525 (dénominateur)
525
175
35
7
1
3
5
5
7
\(525 = 3 \times 5 \times 5 \times 7\)
On surligne en rouge les facteurs communs :
2 × 2 × 3 × 3 × 5
3 × 5 × 5 × 7
On ne garde que les facteurs non surlignés :
2 × 2 × 3
5 × 7
=
12
35
\(12\) et \(35\) n'ont pas de facteur commun : la fraction est simplifiée.
\(C = \dfrac{12}{35}\)
🧩 Exercice
Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

(a) \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8}\) (b) \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3}\) (c) \(4 \div \dfrac{2}{3}\) (d) \(\dfrac{7}{12} \div \dfrac{14}{9}\)

(a) \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{3 \times 8}{4 \times 9} = \dfrac{24}{36}\)
On simplifie \(\dfrac{24}{36}\) : \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\) ; \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3\)
2 × 2 × 2 × 3
2 × 2 × 3 × 3
2
3
(b) \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 10} = \dfrac{15}{60}\)
On simplifie \(\dfrac{15}{60}\) : \(15 = 3 \times 5\) ; \(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5\)
3 × 5
2 × 2 × 3 × 5
1
4
(c) \(4 \div \dfrac{2}{3} = 4 \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2} = \dfrac{12}{2}\)
On simplifie \(\dfrac{12}{2}\) : \(12 = 2 \times 2 \times 3\) ; \(2 = 2\)
2 × 2 × 3
2
2 × 3 = 6
(d) \(\dfrac{7}{12} \div \dfrac{14}{9} = \dfrac{7}{12} \times \dfrac{9}{14} = \dfrac{7 \times 9}{12 \times 14} = \dfrac{63}{168}\)
On simplifie \(\dfrac{63}{168}\) : \(63 = 3 \times 3 \times 7\) ; \(168 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7\)
3 × 3 × 7
2 × 2 × 2 × 3 × 7
3
2 × 2 × 2
=
3
8
IV. Enchaînement d'opérations
📋 Règle — Priorités opératoires

Comme avec les nombres relatifs, lorsqu'il y a plusieurs opérations, on effectue dans l'ordre :

- 1Les calculs entre parenthèses
- 2Les multiplications et les divisions
- 3Les additions et les soustractions

✏️ Exemples
Calculer :

(A) \(A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{5}\)

La multiplication est prioritaire sur la soustraction.
Étape 1 — Multiplication :
\(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{15}\)
Étape 2 — Soustraction : \(15\) est un multiple de \(3\) (\(3 \times 5 = 15\)) :
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}\)
\(A = \dfrac{10}{15} - \dfrac{4}{15} = \dfrac{6}{15}\)
On simplifie \(\dfrac{6}{15}\) : \(6 = 2 \times 3\) ; \(15 = 3 \times 5\)
2 × 3
3 × 5
2
5
\(A = \dfrac{2}{5}\)

(B) \(B = \dfrac{2}{3} \div \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right)\)

Les parenthèses sont prioritaires.
Étape 1 — Parenthèses : \(4\) est un multiple de \(2\) (\(2 \times 2 = 4\)) :
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\)
\(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\)
Étape 2 — Division :
\(B = \dfrac{2}{3} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{1} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 1} = \dfrac{8}{3}\)
\(B = \dfrac{8}{3}\)

(C) \(C = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{3}{5}\)

Les parenthèses sont prioritaires.
Étape 1 — Parenthèses : dénominateurs 2 et 3, aucun n'est multiple de l'autre :
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\) et \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}\)
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\)
Étape 2 — Multiplication : on calcule d'abord le produit brut :
\(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 5} = \dfrac{15}{30}\)
On simplifie maintenant \(\dfrac{15}{30}\). On décompose :
\(15 = 3 \times 5\) et \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
3 × 5
2 × 3 × 5
1
2
\(C = \dfrac{1}{2}\)

(D) \(D = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{6} \div \dfrac{2}{3}\)

Multiplications et divisions d'abord, avant l'addition.
Étape 1a — Multiplication :
\(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 9} = \dfrac{6}{36}\)
Étape 1b — Division :
\(\dfrac{1}{6} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{1 \times 3}{6 \times 2} = \dfrac{3}{12}\)
Étape 2 — Addition : dénominateurs 36 et 12 — \(36\) est un multiple de \(12\) (\(12 \times 3 = 36\)) :
\(\dfrac{3}{12} = \dfrac{9}{36}\)
\(D = \dfrac{6}{36} + \dfrac{9}{36} = \dfrac{15}{36}\)
Étape 3 — Simplification finale : \(15 = 3 \times 5\) ; \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3\)
3 × 5
2 × 2 × 3 × 3
5
2 × 2 × 3
=
5
12
\(D = \dfrac{5}{12}\)
🧩 Exercice
Calculer en respectant les priorités opératoires :

(a) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}\) (b) \(\dfrac{3}{4} \div \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}\right)\) (c) \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{10} \div \dfrac{3}{2}\)

(a) Multiplication en premier :
\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 3} = \dfrac{2}{6}\)
Soustraction — même dénominateur \(6\) :
\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6}\)
Simplification finale de \(\dfrac{3}{6}\) : \(3 = 3\) ; \(6 = 2 \times 3\)
3
2 × 3
1
2
\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}\)
(b) Parenthèses en premier — \(6\) est un multiple de \(2\) :
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\) → \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6}\)
Division :
\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{6}{4} = \dfrac{3 \times 6}{4 \times 4} = \dfrac{18}{16}\)
Simplification finale de \(\dfrac{18}{16}\) : \(18 = 2 \times 3 \times 3\) ; \(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
2 × 3 × 3
2 × 2 × 2 × 2
3 × 3
2 × 2 × 2
=
9
8
\(\dfrac{3}{4} \div \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{9}{8}\)
(c) Multiplication et division en premier :
\(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 4} = \dfrac{6}{20}\)
\(\dfrac{1}{10} \div \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{10} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \times 2}{10 \times 3} = \dfrac{2}{30}\)
Soustraction — dénominateurs 20 et 30, aucun n'est multiple de l'autre :
Multiples de 20 : 20, 40, 60… Multiples de 30 : 30, 60…
\(\dfrac{6}{20} = \dfrac{18}{60}\) et \(\dfrac{2}{30} = \dfrac{4}{60}\)
\(\dfrac{18}{60} - \dfrac{4}{60} = \dfrac{14}{60}\)
Simplification finale de \(\dfrac{14}{60}\) : \(14 = 2 \times 7\) ; \(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5\)
2 × 7
2 × 2 × 3 × 5
7
2 × 3 × 5
=
7
30
\(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{10} \div \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{30}\)
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