Chapitre – Partie 2

# Calcul littéral

Signe devant une parenthèse · Factoriser · Récapitulatif

I. Signe devant une parenthèse
📗 Règle
\(\textcolor{#1b7a40}{+}(a + b) = a + b\) → les signes ne changent pas
\(\textcolor{#c0392b}{-}(a + b) = \textcolor{#c0392b}{-}a \textcolor{#c0392b}{-} b\) → les signes s'inversent tous
\(\textcolor{#c0392b}{-}(a - b) = \textcolor{#c0392b}{-}a \textcolor{#1b7a40}{+} b\) → les signes s'inversent tous
💡 Mémo

+ ( ) → on garde tout − ( ) → on change tout

✏️ Exemple

Réduire les expressions suivantes :

A) | \(A = 3 - (2x + 1)\) | \(A = 3 \textcolor{#c0392b}{-} (\textcolor{#c0392b}{+}2x \textcolor{#c0392b}{+} 1)\) | . . . . . . \(= 3 \textcolor{#c0392b}{- 2x - 1}\) \(= 2 - 2x\)
B) | \(B = x + (1 - x)\) | \(B = x \textcolor{#1b7a40}{+} (1 - x)\) | . . . . . . \(= x \textcolor{#1b7a40}{+ 1 - x}\) \(= 1\)
C) | \(C = +(5x + 3) - (2x + 1)\) | \(C = \textcolor{#1b7a40}{+}(5x+3) \textcolor{#c0392b}{-}(2x+1)\) | . . . . . . \(= \textcolor{#1b7a40}{5x+3} \textcolor{#c0392b}{-2x-1}\) \(= \textcolor{#1a6fa0}{(5-2)x} + \textcolor{#b85c0b}{(3-1)}\) \(= 3x + 2\)
D) | \(D = 7(x + 2) - (x + 2)\) | \(D = \textcolor{#1b7a40}{7}(x+2) \textcolor{#c0392b}{-}(x+2)\) | . . . . . . \(= \textcolor{#2563eb}{7x+14} \textcolor{#c0392b}{-x-2}\) \(= \textcolor{#1a6fa0}{(7-1)x} + \textcolor{#b85c0b}{(14-2)}\) \(= 6x + 12\)

💡 La colonne colorée met en évidence le signe devant chaque parenthèse.
💡 D) On développe d'abord \(7(x+2) = 7x+14\), puis on enlève la seconde parenthèse.
🧩 Exercice

Réduire :

a) | \(E = 5 - (3x - 2)\) | \(E = 5 \textcolor{#c0392b}{-}(\textcolor{#c0392b}{+}3x \textcolor{#c0392b}{-} 2)\) | . . . . . . \(= 5 \textcolor{#c0392b}{-3x+2}\) \(= 7 - 3x\)
b) | \(F = 2x - (x + 4) + 3\) | \(F = 2x \textcolor{#c0392b}{-}(x+4)+3\) | . . . . . . \(= 2x \textcolor{#c0392b}{-x-4}+3\) \(= x - 1\)
c) | \(G = -(x - 1) + (2x + 3)\) | \(G = \textcolor{#c0392b}{-}(x-1) \textcolor{#1b7a40}{+}(2x+3)\) | . . . . . . \(= \textcolor{#c0392b}{-x+1} + \textcolor{#1b7a40}{2x+3}\) \(= x + 4\)

💡 a) \(-(3x-2) = -3x+2\) : le signe de \(-2\) devient \(+2\).
💡 c) \(-(x-1) = -x+1\) ; \(+(2x+3) = 2x+3\). Puis on regroupe : \(-x+2x = x\) et \(1+3 = 4\).
II. Factoriser une somme ou une différence
📒 Définition

Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit. C'est l'opération inverse du développement.

📗 Propriété

\(\textcolor{#c0392b}{k}\), \(\textcolor{#1a6fa0}{a}\) et \(\textcolor{#1b7a40}{b}\) désignent des nombres. \(\textcolor{#c0392b}{k}\) est le facteur commun.

\(\textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b} = \textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#1b7a40}{b})\)
\(\textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b} = \textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#1b7a40}{b})\)
💡 Comment trouver le facteur commun ?

On cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, et la partie littérale présente dans tous les termes.

✏️ Exemple

Factoriser les expressions suivantes :

A) | \(A = 2 \times x + 2 \times 4\) | \(A = \textcolor{#c0392b}{2} \times x + \textcolor{#c0392b}{2} \times 4\) | . . . . . . Facteur commun : \(2\) \(= 2(x + 4)\)
B) | \(B = 3x + 6\) | \(B = \textcolor{#c0392b}{3} \times x + \textcolor{#c0392b}{3} \times 2\) | . . . . . . Facteur commun : \(3\) \(= 3(x + 2)\) Vérif : \(3(x+2)=3x+6\) ✓
C) | \(C = 7x^2 + 14x\) | \(C = \textcolor{#c0392b}{7x} \times x + \textcolor{#c0392b}{7x} \times 2\) | . . . . . . Facteur commun : \(7x\) \(= 7x(x + 2)\) Vérif : \(7x(x+2)=7x^2+14x\) ✓

💡 La colonne colorée montre comment on décompose pour faire apparaître le facteur commun en rouge.
💡 On peut toujours vérifier en redéveloppant le résultat.
🧩 Exercice

Factoriser :

a) | \(H = 4x + 8\) | \(H = \textcolor{#c0392b}{4} \times x + \textcolor{#c0392b}{4} \times 2\) | . . . . . .\(= 4(x+2)\)
b) | \(I = 6x^2 - 9x\) | \(I = \textcolor{#c0392b}{3x} \times 2x - \textcolor{#c0392b}{3x} \times 3\) | . . . . . .\(= 3x(2x-3)\)
c) | \(J = 5x + 5\) | \(J = \textcolor{#c0392b}{5} \times x + \textcolor{#c0392b}{5} \times 1\) | . . . . . .\(= 5(x+1)\)
d) | \(K = 12x^2 + 8x\) | \(K = \textcolor{#c0392b}{4x} \times 3x + \textcolor{#c0392b}{4x} \times 2\) | . . . . . .\(= 4x(3x+2)\)

💡 La colonne colorée montre la décomposition avec le facteur commun en rouge.
III. Récapitulatif général
📗 Les 4 grandes opérations du calcul littéral

Opération | Ce que ça fait | Exemple en couleurs
🔵 Simplifier | Supprimer le signe × | \(\textcolor{#b85c0b}{3} \times \textcolor{#6b3fa0}{x} = 3x\)
🟣 Réduire | Regrouper les termes semblables | \(\textcolor{#1a6fa0}{2x} + \textcolor{#1a6fa0}{3x} = (\textcolor{#1a6fa0}{2+3})x = 5x\)
🟢 Développer | Produit → somme | \(\textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a}+\textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a}+\textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)
🟠 Factoriser | Somme → produit | \(\textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a}+\textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b} = \textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a}+\textcolor{#1b7a40}{b})\)

📝 Mémo : Développer et factoriser sont des opérations inverses. On vérifie toujours une factorisation en redéveloppant.
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