📌 Trois méthodes pour simplifier des fractions

Méthode 1 — Divisions successives
On divise le numérateur et le dénominateur par un même petit nombre (2, 3, 5…), autant de fois que possible, jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun.
Critères de divisibilité :
÷ 2 : dernier chiffre pair (0,2,4,6,8)
÷ 3 : somme des chiffres divisible par 3
÷ 5 : se termine par 0 ou 5
÷ 9 : somme des chiffres divisible par 9
÷ 10 : se termine par 0
Méthode 2 — Décomposition en facteurs premiers
On décompose numérateur et dénominateur en produits de facteurs premiers à l'aide de tableaux de division. On écrit la fraction sous forme développée, puis on barre en rouge les facteurs communs. Il ne reste que les facteurs non communs.
Ex : 1230 = 2 × 2 × 3
— = 2 × 2 × 32 × 3 × 5 = 25
Méthode 3 — Simplification d'un produit de fractions (4ème)
Pour simplifier un produit de fractions, on décompose tous les numérateurs et tous les dénominateurs en facteurs premiers. On barre en rouge les facteurs identiques présents en haut et en bas, dans n'importe quelle position du produit.
Ex : 4524 × 1215 = 3×3×52×2×2×3 × 2×2×33×5 = 32
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## Exercice 1 / 9

Méthode 1 — Divisions successives

Simplifier chaque fraction en effectuant des divisions successives.

a. 1824
b. 3555
c. 4560
d. 3648
Comment tester si un nombre est divisible par 2 ? Y a-t-il un moyen de le savoir sans faire la division entière ?
Après une première simplification, comment savoir si on peut encore continuer ? Quels diviseurs tester en priorité ?
Comment savoir si une fraction est entièrement simplifiée ? Quelle condition doit être remplie par le numérateur et le dénominateur ?
a) 18/24
18 et 24 : deux derniers chiffres pairs → ÷ 2
1824 ÷ 2 912 ÷ 3 34
9 et 12 : 9+1=10 non div. par 2 → essai 3 : 9=3×3 ✓ et 12=3×4 ✓
3 et 4 : aucun diviseur commun.
18/24 = 3/4
b) 35/55
35 et 55 : se terminent par 5 → ÷ 5
3555 ÷ 5 711
7 et 11 : deux nombres premiers, aucun diviseur commun.
35/55 = 7/11
c) 45/60
45 et 60 : 60 pair mais 45 impair → pas ÷ 2. Se terminent par 5 et 0 → ÷ 5
4560 ÷ 5 912 ÷ 3 34
9 : somme 9 div. par 3 ✓ ; 12 : somme 3 div. par 3 ✓
3 et 4 : aucun diviseur commun.
45/60 = 3/4
d) 36/48
36 et 48 : deux derniers chiffres pairs → ÷ 2, puis encore ÷ 2, puis ÷ 3
3648 ÷ 2 1824 ÷ 2 912 ÷ 3 34
3 et 4 : aucun diviseur commun.
36/48 = 3/4
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## Exercice 2 / 9

Méthode 2 — Facteurs premiers

Simplifier chaque fraction en décomposant le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.

a. 1230
b. 2842
c. 140294
d. 6084
Comment construire un tableau de décomposition en facteurs premiers ? Par quel diviseur commence-t-on toujours, et comment continue-t-on ?
Une fois les décompositions écrites, comment les organiser en une seule fraction ? Que cherche-t-on ensuite entre le numérateur et le dénominateur ?
Quand un facteur apparaît à la fois en haut et en bas, que peut-on faire ? Qu'est-ce qui reste pour former la fraction finale ?
a) 12/30
Numérateur

12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |

Dénominateur

30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |

2 × 2 × 3 2 × 3 × 5 = 2 5
12/30 = 2/5
b) 28/42
Numérateur

28 | 2
14 | 2
7 | 7
1 |

Dénominateur

42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |

2 × 2 × 7 2 × 3 × 7 = 2 3
28/42 = 2/3
c) 140/294
Numérateur

140 | 2
70 | 2
35 | 5
7 | 7
1 |

Dénominateur

294 | 2
147 | 3
49 | 7
7 | 7
1 |

2 × 2 × 5 × 7 2 × 3 × 7 × 7 = 2 × 5 3 × 7 = 10 21
140/294 = 10/21
d) 60/84
Numérateur

60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |

Dénominateur

84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |

2 × 2 × 3 × 5 2 × 2 × 3 × 7 = 5 7
60/84 = 5/7
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## Exercice 3 / 9

Méthode 1 Méthode 2 Au choix

Simplifier chaque fraction. Choisir librement la méthode.

a. 7290
b. 125200
c. 48132
Les deux méthodes mènent au même résultat. Laquelle semble plus adaptée selon la taille des nombres ? Qu'est-ce qui rend l'une plus rapide que l'autre dans certains cas ?
Pour b) : que remarques-tu sur le dernier chiffre de 125 et de 200 ? Est-ce que ça indique un diviseur commun possible ? Peut-on simplifier plusieurs fois avec ce même diviseur ?
a) 72/90 — méthode 1
72 et 90 : deux derniers chiffres pairs → ÷ 2
Puis sommes de chiffres : 3+6=9 et 4+5=9, les deux div. par 9 → ÷ 9
7290 ÷ 2 3645 ÷ 9 45
4 et 5 : aucun diviseur commun.
72/90 = 4/5
b) 125/200 — méthode 1
125 (finit par 5) et 200 (finit par 0) → ÷ 5 trois fois
125200 ÷ 5 2540 ÷ 5 58
5 et 8 : aucun diviseur commun.
125/200 = 5/8
c) 48/132 — méthode 2
Numérateur

48 | 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |

Dénominateur

132 | 2
66 | 2
33 | 3
11 | 11
1 |

2 × 2 × 2 × 2 × 3 2 × 2 × 3 × 11 = 2 × 2 11 = 4 11
48/132 = 4/11
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## Exercice 4 / 9

🧩 Problème Méthode 1
🍕 Les parts de pizza
Une pizza est découpée en 24 parts égales. Après le repas, il reste 16 parts.
1. Quelle fraction de la pizza reste-t-il ? Écrire la fraction puis la simplifier.
2. Quelle fraction a-t-on mangée ? La simplifier également.
Pour écrire la fraction, qu'est-ce qui représente le « tout » (dénominateur) et quelle partie cherche-t-on à exprimer (numérateur) ?
16 et 24 partagent-ils un diviseur commun évident ? Après une première simplification, le travail est-il terminé ?
1. Fraction restante

Il reste 16 parts sur 24 : fraction = 1624

1624 ÷ 2 812 ÷ 2 46 ÷ 2 23
Il reste 2/3 de la pizza.
2. Fraction mangée

On a mangé 24 − 16 = 8 parts : fraction = 824

824 ÷ 2 412 ÷ 2 26 ÷ 2 13
On a mangé 1/3 de la pizza.

✓ Vérification : 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1 ✓

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## Exercice 5 / 9

🧩 Problème Méthode 2
📐 La salle de classe
Dans une école, une salle a une superficie de 126 m². L'école entière fait 378 m².
1. Quelle fraction de l'école représente cette salle ? Écrire la fraction.
2. Simplifier cette fraction en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
Quelle fraction représente la surface de la salle par rapport à la surface totale ? Lequel est le numérateur, lequel est le dénominateur ?
Comment tester si 126 est divisible par 2 ? Par 3 ? Quels critères de divisibilité connais-tu pour ces nombres ?
Une fois les décompositions écrites, que cherche-t-on entre le numérateur et le dénominateur pour pouvoir simplifier ?
1. Fraction de l'école

La salle représente 126378 de l'école.

2. Simplification par facteurs premiers
Numérateur

126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |

Dénominateur

378 | 2
189 | 3
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |

2 × 3 × 3 × 7 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 1 3
La salle représente 1/3 de l'école.
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## Exercice 6 / 9

🧩 Problème Méthode 1
🏃 La course scolaire
Lors d'une course scolaire, 75 élèves participent. 45 d'entre eux terminent avant la sonnerie.
1. Quelle fraction des élèves a terminé la course ? Simplifier.
2. Quelle fraction n'a pas terminé ? Simplifier. Vérifier que les deux fractions s'additionnent bien à 1.
Que remarques-tu sur le dernier chiffre de 45 et 75 ? Quel diviseur commun cela suggère-t-il ? Y en a-t-il d'autres ?
Comment obtenir le nombre de non-finisseurs à partir des données ? Comment écrire et simplifier la fraction correspondante ? Comment vérifier que les deux fractions sont cohérentes ?
1. Fraction des finisseurs

4575 : 45 et 75 se terminent par 5 → ÷ 5. Puis 9 et 15 : sommes 9 et 6, les deux divisibles par 3 → ÷ 3.

4575 ÷ 5 915 ÷ 3 35
3/5 des élèves ont terminé la course.
2. Fraction des non-finisseurs

75 − 45 = 30 élèves n'ont pas terminé : 3075

3075 ÷ 5 615 ÷ 3 25
2/5 des élèves n'ont pas terminé.

✓ Vérification : 3/5 + 2/5 = 5/5 = 1 ✓

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## Exercice 7 / 9

🧩 Problème Méthode 2
💧 La citerne
Une citerne contient 252 litres d'eau. On en utilise 168 litres pour arroser le jardin.
1. Quelle fraction de la citerne a-t-on utilisée ? Simplifier avec la méthode des facteurs premiers.
2. Quelle fraction reste-t-il dans la citerne ?
Quelle fraction représente les litres utilisés par rapport au total ? Quel critère de divisibilité peut t'aider à commencer la décomposition de 168 ?
Pour 252 : quels critères de divisibilité peux-tu appliquer successivement ? Comment sais-tu quand la décomposition est terminée ?
Comment obtenir la fraction restante à partir de la fraction utilisée ? Comment vérifier que cette nouvelle fraction est bien sous forme irréductible ?
1. Fraction utilisée

On a utilisé 168252 de la citerne.

Numérateur

168 | 2
84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |

Dénominateur

252 | 2
126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |

2 × 2 × 2 × 3 × 7 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2 3
On a utilisé 2/3 de la citerne.
2. Fraction restante

Il reste 3 − 23 = 13 dans la citerne. Cette fraction est déjà simplifiée.

Il reste 1/3 de la citerne.
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## Exercice 8 / 9

🧩 Problème ⭐ Très difficile
📊 Le sondage
Un collège a mené un sondage auprès de ses 840 élèves. 504 d'entre eux déclarent préférer les maths aux autres matières.
1. Quelle fraction des élèves préfère les maths ? Simplifier par la méthode de ton choix.
2. Parmi les 504 élèves qui préfèrent les maths, 280 sont en 6ème ou 5ème. Quelle fraction des « matheux » sont en 6ème ou 5ème ? Simplifier.
3. Quelle fraction de l'ensemble du collège cela représente-t-il ?
Pour la question 1 : quelle fraction représente les élèves en 3ème par rapport au total ? Par quels diviseurs commencer la décomposition ?
Pour la question 2 : quelle fraction écrire ? Quels outils de divisibilité peux-tu appliquer pour simplifier ?
Pour la question 3 : quelle fraction représente les élèves de 4ème ? Y a-t-il un lien entre les fractions des trois questions qui pourrait permettre de trouver la réponse autrement ?
1. Fraction des « matheux »

504840 : les deux sont pairs et divisibles par 2, puis encore par 2, par 2, par 3 :

504840 ÷ 2 252420 ÷ 2 126210 ÷ 2 63105 ÷ 3 2135 ÷ 7 35
3/5 des élèves préfèrent les maths.
2. Fraction des matheux en 6ème/5ème

280504 :

280504 ÷ 2 140252 ÷ 2 70126 ÷ 2 3563 ÷ 7 59
5/9 des élèves qui préfèrent les maths sont en 6ème ou 5ème.
3. Fraction de l'ensemble du collège

Les 280 élèves sur 840 : 280840

280840 ÷ 2 140420 ÷ 2 70210 ÷ 2 35105 ÷ 5 721 ÷ 7 13
1/3 de l'ensemble du collège sont des matheux de 6ème ou 5ème.
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## Exercice 9 / 9

Méthode 3 — Produit de fractions (4ème) ⭐ Difficile

Simplifier chaque produit de fractions en décomposant tous les termes en facteurs premiers, puis en barrant les facteurs communs.

a. 4524 × 1215
b. 149 × 2135
c. 1825 × 3554
Comment organiser la décomposition des quatre nombres pour faciliter la simplification ? Peut-on rassembler tous les facteurs en une seule expression ?
Un facteur du numérateur peut-il se simplifier avec un facteur du dénominateur qui vient d'une fraction différente ? Pourquoi ?
Une fois les simplifications faites, comment obtenir la fraction finale à partir de ce qui reste en haut et en bas ?
a) 45/24 × 12/15

On décompose les quatre nombres :

45 (num. 1)

45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 |

24 (dén. 1)

24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |

12 (num. 2)

12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |

15 (dén. 2)

15 | 3
5 | 5
1 |

3 × 3 × 5 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 2 × 3 3 × 5 = 3 2
45/24 × 12/15 = 3/2
b) 14/9 × 21/35

On décompose les quatre nombres :

14 (num. 1)

14 | 2
7 | 7
1 |

9 (dén. 1)

9 | 3
3 | 3
1 |

21 (num. 2)

21 | 3
7 | 7
1 |

35 (dén. 2)

35 | 5
7 | 7
1 |

2 × 7 3 × 3 × 3 × 7 5 × 7 = 2 × 7 3 × 5 = 14 15
14/9 × 21/35 = 14/15
c) 18/25 × 35/54

On décompose les quatre nombres :

18 (num. 1)

18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |

25 (dén. 1)

25 | 5
5 | 5
1 |

35 (num. 2)

35 | 5
7 | 7
1 |

54 (dén. 2)

54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 |

2 × 3 × 3 5 × 5 × 5 × 7 2 × 3 × 3 × 3 = 7 5 × 3 = 7 15
18/25 × 35/54 = 7/15

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