Chapitre 2

# Puissances

I. Puissances avec exposant positif
📌 Convention – Calculatrice

Pour calculer des puissances à la calculatrice, on utilise la touche \(x^n\). Dans un tableur, on utilise la touche ^ du clavier.

📘 Définition

On pose \(a\) un nombre relatif non nul et \(n\) un nombre entier supérieur ou égal à 2. Le produit de \(n\) fois le même facteur \(a\) se note \(a^n\) et se lit « \(a\) exposant \(n\) ».

\(a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ fois}}\)

On dit que ce produit est une puissance de \(a\).

📌 Convention

\(a^1 = a\) et si \(a \neq 0\), \(a^0 = 1\).

📢 Règle – Signe d'une puissance
Exposant pair
\((-a)^{\text{pair}} > 0\)
Ex : \((-3)^4 = 81 > 0\)
Exposant impair
\((-a)^{\text{impair}} < 0\)
Ex : \((-3)^3 = -27 < 0\)
⚠️ Attention

\((-2)^3\) et \(-2^3\) ne sont pas la même chose !

\((-2)^3 = (-2)\times(-2)\times(-2) = \mathbf{-8}\)
\(-2^3 = -(2\times 2\times 2) = \mathbf{-8}\) aussi !
(mais \(-2^4 = -16\) alors que \((-2)^4 = 16\))
✏️ Exemples

Calculer les puissances suivantes :

1) | \(3^7\) = | . . . . .\(3\times3\times3\times3\times3\times3\times3 = 2187\)
2) | \((-2)^3\) = | . . . . .\((-2)\times(-2)\times(-2) = -8\)
3) | \(-2^3\) = | . . . . .\(-(2\times2\times2) = -8\)
4) | \((-1)^{250}\) = | . . . . .250 est pair, donc \((-1)^{250} = 1\)
5) | \((-1)^{51}\) = | . . . . .51 est impair, donc \((-1)^{51} = -1\)

💡 Pour \((-1)^n\) : si \(n\) est pair, le résultat est 1 ; si \(n\) est impair, le résultat est −1.
🧹 Exercice

Calculer sans calculatrice :

a) | \(2^5\) = | . . . .\(32\) | b) | \(3^4\) = | . . . .\(81\)
c) | \((-5)^2\) = | . . . .\(25\) | d) | \(-5^2\) = | . . . .\(-25\)
e) | \(10^6\) = | . . . .\(1\,000\,000\) | f) | \((-3)^5\) = | . . . .\(-243\)

💡 c) et d) : attention ! \((-5)^2 = 25 > 0\) (exposant pair) mais \(-5^2 = -25 < 0\) (le signe moins est en dehors).
Puissances à exposant négatif
📘 Définition

On pose \(a\) un nombre relatif non nul et \(n\) un entier strictement positif. On définit :

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)

On dit que \(a^{-n}\) est la puissance de \(a\) d’exposant \(-n\).

💗 Propriétés
Forme fraction
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
Ex : \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
Convention exposant 0
\(a^0 = 1 \quad (a \neq 0)\)
Ex : \(7^0 = 1\), \((-5)^0 = 1\)
⚠️ Attention – piège fréquent

Un exposant négatif ne donne pas un résultat négatif !

❌ Erreur courante
\(2^{-3} = -8\) ← faux !
✓ Résultat correct
\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\) ← positif !

L’exposant négatif signifie qu’on prend l’inverse de la puissance positive, pas qu’on la rend négative.

✏️ Exemples

Calculer les puissances suivantes et simplifier :

1) | \(2^{-3}\) = | . . . . . \(\dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
2) | \(5^{-2}\) = | . . . . . \(\dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\)
3) | \((-4)^{-2}\) = | . . . . . \(\dfrac{1}{(-4)^2} = \dfrac{1}{16}\) (positif !)
4) | \((-3)^{-3}\) = | . . . . . \(\dfrac{1}{(-3)^3} = \dfrac{1}{-27} = -\dfrac{1}{27}\) (négatif car impair)

1) \(2^{-3}\)
\(2^{-3}\) = \(\dfrac{1}{2^3}\) = \(\dfrac{1}{2 \times 2 \times 2}\) = \(\dfrac{1}{8}\)
2) \(5^{-2}\)
\(5^{-2}\) = \(\dfrac{1}{5^2}\) = \(\dfrac{1}{25}\) = \(0{,}04\)
3) \((-4)^{-2}\) — exposant pair ⇒ résultat positif
\((-4)^{-2}\) = \(\dfrac{1}{(-4)^2}\) = \(\dfrac{1}{16}\) positif ✓
4) \((-3)^{-3}\) — exposant impair ⇒ résultat négatif
\((-3)^{-3}\) = \(\dfrac{1}{(-3)^3}\) = \(\dfrac{1}{-27}\) = \(-\dfrac{1}{27}\)
🧹 Exercice

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction :

a) | \(3^{-2}\) = | . . . .\(\dfrac{1}{9}\) | b) | \(4^{-3}\) = | . . . .\(\dfrac{1}{64}\)
c) | \((-2)^{-4}\) = | . . . .\(\dfrac{1}{16}\) (positif) | d) | \((-5)^{-3}\) = | . . . .\(-\dfrac{1}{125}\)
e) | \(10^{-4}\) = | . . . .\(\dfrac{1}{10000} = 0{,}0001\)

a) \(3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}\)
b) \(4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}\)
c) \((-2)^{-4} = \dfrac{1}{(-2)^4} = \dfrac{1}{16}\) (pair → positif)
d) \((-5)^{-3} = \dfrac{1}{(-5)^3} = \dfrac{1}{-125} = -\dfrac{1}{125}\) (impair → négatif)
e) \(10^{-4} = \dfrac{1}{10^4} = \dfrac{1}{10000} = 0{,}0001\)
Priorités opératoires avec les puissances
📢 Règle – Priorités opératoires

Dans une expression contenant des puissances, on calcule dans l’ordre :

Priorité 1
( ) Parenthèses
Calculer d’abord ce qui est entre parenthèses
→
Priorité 2
Puissances
Ex : \(2^3\), \(3^2\)
→
Priorité 3
× et ÷
Multiplications, divisions
→
Priorité 4
+ et −
Additions, soustractions
✏️ Exemples
\(A = 4 - 4 \times 2^3\)
Départ\(A = 4 - 4 \times 2^3\)
✦ Puiss.\(= 4 - 4 \times \mathbf{8}\) (car \(2^3 = 8\))
× ÷\(= 4 - \mathbf{32}\) (car \(4 \times 8 = 32\))
+ −\(A = \mathbf{-28}\)
\(B = 4^3 + 5 \times 3^2 - 10\)
Départ\(B = 4^3 + 5 \times 3^2 - 10\)
✦ Puiss.\(= \mathbf{64} + 5 \times \mathbf{9} - 10\) (car \(4^3 = 64\) et \(3^2 = 9\))
× ÷\(= 64 + \mathbf{45} - 10\) (car \(5 \times 9 = 45\))
+ −\(B = \mathbf{99}\)
🧹 Exercice

Calculer en respectant les priorités opératoires :

\(C = 3^2 + 2 \times 4^2\)
\(D = 5^3 - 3 \times 2^4 + 7\)
Départ\(C = 3^2 + 2 \times 4^2\)
Puiss.\(= 9 + 2 \times 16\)
×\(= 9 + 32\)
+\(C = 41\)
Départ\(D = 5^3 - 3 \times 2^4 + 7\)
Puiss.\(= 125 - 3 \times 16 + 7\)
×\(= 125 - 48 + 7\)
+ −\(D = 84\)
II. Puissances de 10
1. Puissances de 10 positives
💗 Propriété

Soit \(n\) un nombre entier strictement positif :

\(10^n = \underbrace{10 \times 10 \times \ldots \times 10}_{n \text{ fois}} = \underbrace{1\overbrace{00\ldots0}^{n \text{ zéros}}}\)

💡 \(10^n\) s’écrit avec un 1 suivi de \(n\) zéros.

✏️ Exemple – Tableau

Puissance | Écriture décimale | Nb de zéros | Nom
--- | --- | --- | ---
\(10^1\) | 10 | 1 | dix
\(10^2\) | . . .100 | 2 | cent
\(10^3\) | . . .1 000 | 3 | mille
\(10^6\) | . . .1 000 000 | 6 | un million
\(10^9\) | . . .1 000 000 000 | 9 | un milliard

💡 Retiens : \(10^6\) = 1 million, \(10^9\) = 1 milliard. Ces deux valeurs sont très utilisées en sciences !
2. Puissances de 10 négatives
💗 Propriété

Soit \(n\) un nombre entier strictement positif :

\(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n} = \dfrac{1}{\underbrace{10 \times \ldots \times 10}_{n}} = \underbrace{0{,}\overbrace{00\ldots0}^{n-1 \text{ zéros}}1}\)

💡 \(10^{-n}\) s’écrit \(0{,}\underbrace{00\ldots0}_{n-1}1\) : le chiffre 1 se trouve en position \(n\) après la virgule.

✏️ Exemple – Tableau

Puissance | Écriture décimale | Lecture
--- | --- | ---
\(10^{-1}\) | 0,1 | un dixième
\(10^{-2}\) | . . .0,01 | un centième
\(10^{-3}\) | . . .0,001 | un millième
\(10^{-6}\) | . . .0,000 001 | un millième de millième

💡 Méthode : pour \(10^{-3} = 0{,}001\), il y a \(3-1=2\) zéros entre la virgule et le 1.
3. Multiplier un nombre par une puissance de 10
🔨 Méthode – Déplacement de la virgule
× 10n avec n > 0

On déplace la virgule de \(n\) rangs vers la droite (le nombre grossit).

\(3{,}14 \times 10^3 = 3\underbrace{140}_{3\text{ rangs}} = 3140\)
× 10−n avec n > 0

On déplace la virgule de \(n\) rangs vers la gauche (le nombre diminue).

\(5{,}7 \times 10^{-2} = 0{,}057\)
✏️ Exemple visuel – Codes couleur

Écrire en notation décimale : \(4{,}2 \times 10^3\) et \(3{,}78 \times 10^{-2}\)

\(4{,}2 \times 10^3\) → on décale de 3 rangs vers la droite :

4,2
→ 3 rangs
4200
= 4 200

\(3{,}78 \times 10^{-2}\) → on décale de 2 rangs vers la gauche :

3,78
← 2 rangs
0,0378
= 0,0378
🧹 Exercice

Écrire en notation décimale :

a) \(5{,}3 \times 10^4\) = . . .53 000
b) \(2{,}07 \times 10^2\) = . . .207
c) \(9 \times 10^{-3}\) = . . .0,009
d) \(1{,}5 \times 10^{-4}\) = . . .0,000 15
e) \(4210 \times 10^5\) = . . .421 000 000
f) \(0{,}678 \times 10^6\) = . . .678 000
💡 e) \(4210 \times 10^5\) : on décale de 5 rangs à droite, ce qui donne \(421\,000\,000\).
💡 f) \(0{,}678 \times 10^6\) : on décale de 6 rangs à droite, ce qui donne \(678\,000\).
III. Écriture scientifique
📘 Définition

L’écriture scientifique d’un nombre décimal est l’écriture de la forme \(a \times 10^n\) avec :

- \(a\) est un nombre décimal tel que \(1 \leq a < 10\) (un seul chiffre avant la virgule, non nul)
- \(n\) est un entier relatif

🔨 Méthode – Mettre en écriture scientifique
1
Placer la virgule
Placer la virgule juste après le premier chiffre non nul pour obtenir un nombre \(a\) tel que \(1 \leq a < 10\).
2
Compter le décalage
Compter de combien de rangs et dans quel sens il faut déplacer la virgule pour revenir à la position d’origine.
3
Déterminer l’exposant
Déplacement vers la droite → exposant positif | vers la gauche → exposant négatif.
Si un exposant était déjà présent, additionner les deux.
1. Grands nombres (exposant positif)
✏️ Exemple – \(1\,785\,000\,000\)
1
Placer la virgule
1 785 000 000
→
1, 785
(on garde seulement les chiffres significatifs)

Ainsi \(a = 1{,}785\) et \(1 \leq 1{,}785 < 10\) ✓

2
Compter le décalage

Pour revenir de \(1{,}785\) à \(1\,785\,000\,000\), la virgule se déplace de 9 rangs vers la droite.

3
Exposant
Déplacement → droite ⇒ \(n = +9\)
✓\(1\,785\,000\,000 = \)\(1{,}785 \times 10^9\)
2. Petits nombres (exposant négatif)
✏️ Exemple – \(0{,}012\)
1
Placer la virgule
0,0 12
→
1,2

\(a = 1{,}2\) ✓

2
Compter le décalage

Pour revenir de \(1{,}2\) à \(0{,}012\), la virgule se déplace de 2 rangs vers la gauche.

3
Exposant
Déplacement ← gauche ⇒ \(n = -2\)
✓\(0{,}012 = \)\(1{,}2 \times 10^{-2}\)
3. Quand un exposant est déjà présent
✏️ Exemple – \(23{,}6 \times 10^4\)
1
Placer la virgule

\(23{,}6\) → on décale d’1 rang à gauche pour obtenir \(a = 2{,}36\)

2
Additionner les exposants
exposant déjà présent : 4 + décalage : −1 = 3
✓\(23{,}6 \times 10^4 = \)\(2{,}36 \times 10^{3}\)
✏️ Exercice – Tableau récapitulatif

Compléter le tableau suivant :

Écriture décimale | Écriture avec puissance de 10 | Écriture scientifique
--- | --- | ---
1 785 000 000 | . . .\(1785 \times 10^6\) | . . .\(1{,}785 \times 10^9\)
. . .236 000 | \(23{,}6 \times 10^4\) | . . .\(2{,}36 \times 10^5\)
0,012 | . . .\(12 \times 10^{-3}\) | . . .\(1{,}2 \times 10^{-2}\)
. . .7 569 | . . .\(7569 \times 10^0\) | \(7{,}569 \times 10^3\)
. . .0,001 | . . .\(1 \times 10^{-3}\) | . . .\(1 \times 10^{-3}\)
. . .0,000 025 7 | \(257 \times 10^{-4}\) | . . .\(2{,}57 \times 10^{-2}\)

Ligne 1 – 1 785 000 000

1
Placer la virgule après le 1er chiffre non nul
1785000000
→
1,785
\(a = 1{,}785\) ✓
2
Compter le décalage

Pour revenir de \(1{,}785\) à \(1\,785\,000\,000\) : 9 rangs vers la droite.

3
Exposant
→ droite⇒\(n = +9\)
✓\(1\,785\,000\,000\)=\(1785 \times 10^6 = 1{,}785 \times 10^9\)

Ligne 2 – \(23{,}6 \times 10^4\)

1
Placer la virgule
2,36
→
2,36
\(a = 2{,}36\) ✓
2
Décalage + exposant existant

Pour revenir de \(2{,}36\) à \(23{,}6\) : 1 rang vers la droite, donc décalage = +1.

exposant présent : \(+4\) + décalage : \(+1\) = \(n = 5\)
✓\(23{,}6 \times 10^4\)=\(236\,000 = 2{,}36 \times 10^5\)

Ligne 3 – 0,012

1
Premier chiffre non nul = le 1
0,012
→
1,2
\(a = 1{,}2\) ✓
2
Décalage

Pour revenir de \(1{,}2\) à \(0{,}012\) : 2 rangs vers la gauche.

← gauche⇒\(n = -2\)
✓\(0{,}012\)=\(12 \times 10^{-3} = 1{,}2 \times 10^{-2}\)

Ligne 4 – \(7{,}569 \times 10^3\)

2
Déjà en écriture scientifique — retrouver l’écriture décimale
7,569
→ 3 rangs
7569
= 7 569
✓\(7{,}569 \times 10^3\)=\(7569 \times 10^0 = 7\,569\)

Ligne 5 – 0,001

1
Premier chiffre non nul = le dernier 1
0,001
→
1
\(a = 1\) ✓
2
Décalage

Pour revenir de \(1\) à \(0{,}001\) : 3 rangs vers la gauche.

← gauche⇒\(n = -3\)
✓\(0{,}001\)=\(1 \times 10^{-3}\)

Ligne 6 – \(257 \times 10^{-4}\)

1
Placer la virgule dans 257
257
→
2,57
\(a = 2{,}57\) ✓

Or \(257 = 2{,}57 \times 10^{\color{green}{2}}\) (décalage de +2 rangs à droite pour revenir à 257)

2
Additionner les exposants
exposant déjà présent : \(-4\) + exposant de \(257\) : \(+2\) = \(n = -2\)

Calcul : \(257 \times 10^{-4} = 2{,}57 \times 10^{2} \times 10^{-4} = 2{,}57 \times 10^{2+(-4)}\)

3
Vérification – écriture décimale
2,57
← 2 rangs
0,0257
= 0,000 025 7
✓\(257 \times 10^{-4}\)=\(2{,}57 \times 10^{-2} = 0{,}0257\)
🧹 Exercice – Écriture scientifique

Mettre en écriture scientifique :

a) 45 800 = . .\(4{,}58 \times 10^4\)
b) 0,00307 = . .\(3{,}07 \times 10^{-3}\)
c) \(0{,}2 \times 10^{-5}\) = . .\(2 \times 10^{-6}\)
d) 1 milliard = . .\(10^9\)
e) 609 000 = . .\(6{,}09 \times 10^5\)
f) 0,000 082 = . .\(8{,}2 \times 10^{-5}\)

a) 45 800

1
Placer la virgule
45800
→
4,58
\(a=4{,}58\) ✓
2
Décalage

Pour revenir de \(4{,}58\) à \(45\,800\) : 4 rangs vers la droite.

→ droite⇒\(n=+4\)
✓\(45\,800\)=\(4{,}58 \times 10^4\)

b) 0,00307

1
Premier chiffre non nul = 3
0,00307
→
3,07
\(a=3{,}07\) ✓
2
Décalage

Pour revenir de \(3{,}07\) à \(0{,}00307\) : 3 rangs vers la gauche.

← gauche⇒\(n=-3\)
✓\(0{,}00307\)=\(3{,}07 \times 10^{-3}\)

c) \(0{,}2 \times 10^{-5}\)

1
Placer la virgule dans 0,2
0,2
→
2
\(a=2\) ✓

Or \(0{,}2 = 2 \times 10^{-1}\) (1 rang vers la gauche pour revenir à 0,2)

2
Additionner les exposants
exposant présent : \(-5\) + exposant de \(0{,}2\) : \(-1\) = \(n=-6\)

\(0{,}2 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{-1} \times 10^{-5} = 2 \times 10^{-1+(-5)}\)

✓\(0{,}2 \times 10^{-5}\)=\(2 \times 10^{-6}\)

d) 1 milliard

1
Écriture décimale
1000000000
→
1
\(a=1\) ✓
2
Décalage

Pour revenir de \(1\) à \(1\,000\,000\,000\) : 9 rangs vers la droite.

→ droite⇒\(n=+9\)

En écriture scientifique, \(a=1\) est autorisé car \(1 \leq 1 < 10\) ✓

✓1 milliard=\(10^9\)

e) 609 000

1
Placer la virgule — attention au zéro interne !
609000
→
6,09
\(a=6{,}09\) ✓

⚠️ Le zéro entre 6 et 9 est significatif, il ne faut pas l’oublier !

2
Décalage

Pour revenir de \(6{,}09\) à \(609\,000\) : 5 rangs vers la droite.

→ droite⇒\(n=+5\)
✓\(609\,000\)=\(6{,}09 \times 10^5\)

f) 0,000 082

1
Premier chiffre non nul = 8
0,000082
→
8,2
\(a=8{,}2\) ✓
2
Décalage

Pour revenir de \(8{,}2\) à \(0{,}000\,082\) : 5 rangs vers la gauche.

← gauche⇒\(n=-5\)
✓\(0{,}000\,082\)=\(8{,}2 \times 10^{-5}\)
IV. Préfixes
📘 Définition

En sciences, on utilise des préfixes devant les unités pour exprimer des multiples ou des sous-multiples de puissances de 10. Cela permet d’éviter d’écrire des nombres très grands ou très petits.

Exemple : 1 km (kilomètre) = \(10^3\) m = 1 000 m.

✏️ Tableau des préfixes

↑ Multiples (plus grand que l’unité)

Préfixe | Symbole | Puissance de 10 | Exemple (mètre) | Écriture décimale
--- | --- | --- | --- | ---
giga | G | \(10^9\) | 1 Gm | 1 000 000 000 m
méga | M | \(10^6\) | 1 Mm | 1 000 000 m
kilo | k | \(10^3\) | 1 km | 1 000 m
hecto | h | \(10^2\) | 1 hm | 100 m
déca | da | \(10^1\) | 1 dam | 10 m

↓ Sous-multiples (plus petit que l’unité)

Préfixe | Symbole | Puissance de 10 | Exemple (mètre) | Écriture décimale
--- | --- | --- | --- | ---
déci | d | \(10^{-1}\) | 1 dm | 0,1 m
centi | c | \(10^{-2}\) | 1 cm | 0,01 m
milli | m | \(10^{-3}\) | 1 mm | 0,001 m
micro | \(\mu\) | \(10^{-6}\) | 1 μm | 0,000 001 m
nano | n | \(10^{-9}\) | 1 nm | 0,000 000 001 m

📌 Moyen mnémotechnique

Pour retenir l’ordre des préfixes, de grand à petit :

Giga → Méga → Kilo → Hecto → Déca | unité | Déci → Centi → Milli → Micro → Nano
🧹 Exercice

Convertir en utilisant les préfixes :

a) 5 km = . .\(5 \times 10^3\) m
b) 3 cm = . .\(3 \times 10^{-2}\) m
c) 7 mm = . .\(7 \times 10^{-3}\) m
d) 2 Mm = . .\(2 \times 10^6\) m
e) 4 nm = . .\(4 \times 10^{-9}\) m
f) 6 μm = . .\(6 \times 10^{-6}\) m
💡 Méthode : il suffit de remplacer le préfixe par la puissance de 10 correspondante.
Ex : kilo = \(10^3\), donc 5 km = \(5 \times 10^3\) m.
⚠️ Attention à micro qui s’écrit avec le symbole grec \(\mu\) et non la lettre m (qui est réservé à milli).
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