📌 Organisation de l'épreuve

Partie 1 – Automatismes (6 pts)
9 questions rapides, sans justification. Calculatrice interdite. Durée conseillée : 20 min.
Partie 2 – Problèmes (14 pts)
4 exercices avec justifications obligatoires. Calculatrice autorisée. 2 points pour la rédaction.
Conseil général
Si une question est bloquante, laisse une trace de ta recherche et passe à la suivante.
Indices disponibles
Pour chaque question, des indices progressifs t'aident sans dévoiler la réponse.
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⏱ Partie 1 · 20 min · Sans calculatrice
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📋 Partie 1 – Automatismes (6 points – sans calculatrice)
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## Question 1

Calcul mental – Fractions

Quel est le tiers de 18 ?

Le tiers d'un nombre, c'est ce nombre divisé par 3. Comment divise-t-on 18 par 3 ?

Le tiers de 18 signifie \(\dfrac{18}{3}\).

\(18 \div 3 = 6\)

Le tiers de 18 est \(\boldsymbol{6}\)
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## Question 2

Conversions – Durée

Un film dure 240 min. Quelle est sa durée en heures ?

1 heure = 60 minutes. Pour convertir des minutes en heures, on divise par 60.

\(1\text{ h} = 60\text{ min}\), donc \(240\text{ min} = 240 \div 60\)

\(240 \div 60 = 4\text{ h}\)

240 min \(=\) \(\boldsymbol{4}\) heures
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## Question 3

Statistiques – Médiane

Les notes obtenues par un élève sont : 8 ; 12 ; 6 ; 19 ; 15.

Que vaut la médiane de cette série de notes ?

La médiane se lit après avoir rangé les valeurs dans l'ordre croissant. Range ces 5 notes de la plus petite à la plus grande.
Sur un nombre impair de valeurs, la médiane est celle qui se trouve en position centrale après tri.

On range les notes dans l'ordre croissant :

\[6 \;;\; 8 \;;\; \boldsymbol{12} \;;\; 15 \;;\; 19\]

Il y a 5 valeurs. La médiane est la valeur centrale, c'est-à-dire la 3ème : \(\boldsymbol{12}\).

La médiane est \(\boldsymbol{12}\)
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## Question 4

Droite graduée – Fractions

Sur cette droite graduée, l'abscisse du point E est :

A. \(\dfrac{5}{4}\)
B. \(\dfrac{3}{2}\)
C. \(\dfrac{7}{4}\)
D. \(\dfrac{5}{2}\)
Compte le nombre de carreaux entre 0 et 1. Cela donne le dénominateur de la fraction.
Le numérateur correspond à la distance entre 0 et E, mesurée en nombre de carreaux.

L'unité (entre 0 et 1) est divisée en 4 carreaux. Chaque carreau vaut donc \(\dfrac{1}{4}\).

Le point E se trouve à 7 carreaux de l'origine.

Son abscisse est \(\dfrac{7}{4}\).

Réponse C. \(\boldsymbol{\dfrac{7}{4}}\)
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## Question 5

Trigonométrie – Angles d'un triangle

Dans le triangle \(ABC\), rectangle en \(B\), on sait que \(\widehat{A} = 35°\).

Calculer \(\widehat{C}\).

Triangle \(ABC\) rectangle en \(B\)

La somme des angles d'un triangle est toujours \(180°\). Tu connais déjà deux angles : \(\widehat{A} = 35°\) et \(\widehat{B} = 90°\) (angle droit). Que vaut le troisième ?

Propriété : la somme des angles d'un triangle est égale à \(180°\).

Dans le triangle \(ABC\), rectangle en \(B\) :

\[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°\]

\[35° + 90° + \widehat{C} = 180°\]

\[\widehat{C} = 180° - 125° = 55°\]

\(\boldsymbol{\widehat{C} = 55°}\)
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## Question 6

Trigonométrie – Cosinus

Dans le triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), quel calcul doit-on effectuer pour déterminer \(\cos(\widehat{ABC})\) ?

Triangle \(ABC\) rectangle en \(A\)

Rappel : \(\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\). Pour l'angle \(\widehat{ABC}\), situe d'abord l'hypoténuse (le côté en face de l'angle droit).
L'angle droit est en A : identifie l'hypoténuse, puis le côté adjacent à l'angle en B.

Dans un triangle rectangle, on rappelle la formule :

\[\cos(\text{angle}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\]

Pour l'angle \(\widehat{ABC}\) dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) :

- L'hypoténuse est \(BC\) (côté opposé à l'angle droit en \(A\))
- Le côté adjacent à \(\widehat{ABC}\) est \(AB\)

Donc : \(\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}\)

\(\boldsymbol{\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}}\)
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## Question 7

Théorème de Thalès

Sur la figure ci-contre, dans le triangle \(ADE\), les droites \((DE)\) et \((CB)\) sont parallèles.

Déterminer la longueur \(AD\).

\(AC = 4\text{ cm}\), \(CB = 2\text{ cm}\), \(DE = 7\text{ cm}\)

Les droites \((DE)\) et \((CB)\) sont parallèles. Le point \(A\) est à l'extérieur et les droites coupent les côtés du triangle en \(C\) et \(B\). On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans le triangle \(ADE\).
Écris le rapport qui contient AD à partir de l'égalité de Thalès, puis isole AD.

### Application du théorème de Thalès

Les droites \((CB)\) et \((DE)\) sont parallèles et coupent les côtés du triangle \(ADE\) depuis le sommet \(A\).

D'après le théorème de Thalès :

\[\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AE} = \frac{CB}{DE}\]

Or \(AB = AC + CB = 4 + 2 = 6\) cm.

On utilise le rapport connu : \(\dfrac{AC}{AD} = \dfrac{CB}{DE}\)

\[\frac{4}{AD} = \frac{2}{7}\]

Par le produit en croix :

\[AD = \frac{4 \times 7}{2} = \frac{28}{2} = 14 \text{ cm}\]

\(\boldsymbol{AD = 14 \text{ cm}}\)
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## Question 8

Pourcentages

Dans un collège, 25 % des 300 élèves participent à une olympiade de mathématiques.

Combien d'élèves ne participent pas à cette olympiade ?

Commence par calculer combien d'élèves participent. \(25\% = \dfrac{1}{4}\), donc calcule \(300 \div 4\).
Une fois le nombre de participants trouvé, combien d'élèves ne participent pas ?

Élèves qui participent :

\(25\%\) correspond à \(\dfrac{1}{4}\), donc on divise par 4 :

\(300 \div 4 = 75 \text{ élèves}\)

Élèves qui ne participent pas :

\(300 - 75 = 225 \text{ élèves}\)

225 élèves ne participent pas à l'olympiade
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## Question 9

Algorithmique – Scratch

Une élève souhaite réaliser un programme pour dessiner un carré.

Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 3 et 5 ?

Programme Scratch – dessiner un carré

Un carré a 4 côtés. La ligne 3 (« répéter … fois ») doit donc permettre de tracer les 4 côtés.
Pour faire un tour complet en n étapes égales, de combien tourne-t-on à chaque étape ?

Ligne 3 – Répéter … fois :

Un carré a 4 côtés, donc on répète 4 fois.

Ligne 5 – Tourner de … degrés :

Pour tracer un carré, on tourne aux angles droits, soit 90° à chaque sommet.

Vérification : \(4 \times 90° = 360°\) → on fait bien un tour complet. ✓

Ligne 3 : 4 fois | Ligne 5 : 90 degrés
⏱ Partie 2 · 1h40 · Calculatrice autorisée
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🔬 Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points – calculatrice autorisée)
⚠️ Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées. La clarté du raisonnement et la rédaction sont évaluées sur 2 points. Si une question est bloquante, laisse quand même une trace de ta démarche.
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## Exercice 1 (3 points)

Statistiques – Développement durable
Dans le cadre d'un projet de labellisation « Éducation au développement durable », un collège réalise deux enquêtes.

1. La première enquête porte sur le gaspillage alimentaire à la cantine. On relève la masse (en kg) d'aliments jetés chaque semaine pendant 7 semaines :

Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
Masse (kg) | 62 | 59 | 74 | 68 | 55 | 61 | 71

L'objectif est que la moyenne hebdomadaire ne dépasse pas 65 kg. Montrer que ce collège a atteint son objectif.

2. La seconde enquête porte sur les déplacements à vélo. Le diagramme ci-dessous représente, pour chaque distance, l'effectif des élèves se rendant au collège à vélo.

Distance parcourue à vélo par les élèves du collège

a. Déterminer l'effectif total d'élèves de ce collège.

b. L'affirmation « Plus de 30 % des élèves ont parcouru au moins 5 km à vélo » est-elle vraie ? Justifier en précisant la démarche.

La moyenne se calcule en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par le nombre de semaines (ici 7). Compare ensuite avec 65 kg.
Pour l'effectif total, additionne les effectifs de toutes les barres du diagramme (de 0 km à 8 km).
« Au moins 5 km » signifie 5 km ou plus. Identifie les barres concernées et calcule leur proportion sur le total.

### Question 1 – Moyenne des déchets

On calcule la moyenne hebdomadaire :

\[\text{Moyenne} = \frac{62 + 59 + 74 + 68 + 55 + 61 + 71}{7} = \frac{450}{7} \approx 64{,}3 \text{ kg}\]

Or \(64{,}3 \text{ kg} < 65 \text{ kg}\).

La moyenne est d'environ \(64{,}3\) kg, ce qui est inférieur à \(65\) kg → objectif atteint ✓

### Question 2a – Effectif total

On additionne tous les effectifs lus sur le diagramme :

\[33 + 32 + 42 + 31 + 35 + 27 + 23 + 21 + 13 = 257 \text{ élèves}\]

L'effectif total est 257 élèves

### Question 2b – Au moins 5 km à vélo

« Au moins 5 km » signifie 5 km ou plus. On additionne les effectifs correspondants :

\[27 + 23 + 21 + 13 = 84 \text{ élèves}\]

On calcule la proportion :

\[\frac{84}{257} \approx 0{,}327 \approx 32{,}7\,\%\]

Or \(32{,}7\% > 30\%\).

L'affirmation est VRAIE : \(32{,}7\%\) des élèves ont parcouru au moins 5 km à vélo
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## Exercice 2 (3 points)

Programme de calcul – Identités remarquables

On donne le programme de calcul suivant :

1. Lorsque le nombre choisi est 4, vérifier que le programme affiche 55, en précisant chacune des étapes de calcul.

2. On appelle \(x\) le nombre choisi au départ.

a. Écrire, en fonction de \(x\), le résultat obtenu par le programme.

b. Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle correspond au résultat ?

Applique le programme étape par étape avec le nombre 4. Commence par : 4 → multiplier par 2 → élever au carré → retrancher 9.
Refais les mêmes étapes avec x à la place du nombre. Fais attention aux parenthèses lors de l'élévation au carré.
Reconnais la forme de l'expression obtenue. Rappelle-toi quelle identité remarquable permet de factoriser une différence de deux carrés.

### Question 1 – Application avec 4

On suit les étapes du programme :

- Nombre choisi : \(4\)
- On multiplie par 2 : \(4 \times 2 = 8\)
- On élève au carré : \(8^2 = 64\)
- On retranche 9 : \(64 - 9 = 55\)

Le programme affiche bien \(55\). ✓

### Question 2a – Expression en fonction de \(x\)

On applique le programme avec \(x\) :

- Nombre choisi : \(x\)
- On multiplie par 2 : \(x \times 2 = 2x\)
- On élève au carré : \((2x)^2 = 4x^2\) (ne pas oublier les parenthèses !)
- On retranche 9 : \(4x^2 - 9\)

Le résultat est \(\boldsymbol{4x^2 - 9}\)

### Question 2b – Identification de l'expression

On reconnaît une identité remarquable :

\[4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2\]

Or \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), avec ici \(a = 2x\) et \(b = 3\) :

\[4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)\]

On peut vérifier en développant : \((2x-3)(2x+3) = 4x^2 + 6x - 6x - 9 = 4x^2 - 9\). ✓

Réponse C. \(\boldsymbol{(2x-3)(2x+3)}\)
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## Exercice 3 (3 points)

Fonctions affines – Représentations graphiques
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) : \[f : x \mapsto 4x + 3 \qquad g : x \mapsto 6x\] Leurs représentations graphiques \((d_1)\) et \((d_2)\) sont tracées ci-dessous.

1. Parmi ces deux fonctions, laquelle représente une situation de proportionnalité ?
2. Calculer l'image de 0 par la fonction \(g\).
3. Déterminer l'antécédent de 0 par la fonction \(f\).

Représentations graphiques \((d_1)\) et \((d_2)\)

4. Associer à chaque droite la fonction qu'elle représente. Justifier la réponse.
5. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection de \((d_1)\) et \((d_2)\).

Une fonction de proportionnalité s'écrit \(f(x) = kx\) (pas de terme constant). Regarde les deux expressions : laquelle n'a pas de terme constant ?
Trouver l'antécédent de 0 revient à résoudre une équation. Laquelle ?
Une fonction linéaire a une propriété graphique particulière. Laquelle permet d'identifier sa représentation ?

### Question 1 – Proportionnalité

Une fonction représente une situation de proportionnalité si et seulement si c'est une fonction linéaire, c'est-à-dire de la forme \(f(x) = kx\) (sans terme constant).

\(g : x \mapsto 6x\) est linéaire (pas de constante).

\(f : x \mapsto 4x + 3\) est affine mais pas linéaire (terme constant \(+3\)).

La fonction \(\boldsymbol{g}\) représente une situation de proportionnalité

### Question 2 – Image de 0 par \(g\)

\(g(0) = 6 \times 0 = 0\)

\(\boldsymbol{g(0) = 0}\)

### Question 3 – Antécédent de 0 par \(f\)

On résout \(f(x) = 0\), soit \(4x + 3 = 0\) :

\(4\)\(x\) | \(+\) | \(3\) \(= 0\) |
↓ on soustrait 3 des deux membres ↓ | \(-3\)
\(4x\) | \(=\) | \(-3\) |
↓ on divise les deux membres par 4 ↓ | \(\div 4\)
\(x\) | \(=\) | \(-\dfrac{3}{4}\) |

L'antécédent de 0 par \(f\) est \(\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}}\)

### Question 4 – Association droites / fonctions

La représentation de \(g\) (fonction linéaire) passe obligatoirement par l'origine du repère \((0;0)\).

Sur le graphique, \((d_1)\) passe par l'origine → \((d_1)\) représente \(g : x \mapsto 6x\).

\((d_2)\) ne passe pas par l'origine (ordonnée à l'origine \(= 3\)) → \((d_2)\) représente \(f : x \mapsto 4x + 3\).

### Question 5 – Point d'intersection (lecture graphique)

On lit les coordonnées du point où \((d_1)\) et \((d_2)\) se croisent sur le graphique.

Les droites se croisent au point \(\boldsymbol{(1{,}5 \;;\; 9)}\)

Vérification : \(g(1{,}5) = 6 \times 1{,}5 = 9\) ✓ et \(f(1{,}5) = 4 \times 1{,}5 + 3 = 9\) ✓

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## Exercice 4 (3 points)

Géométrie – Aire – Pythagore – Disque
Sur la figure : ABCD est un carré de côté 9 cm. Les segments de même longueur sont codés.

1. a. Le polygone IJKLMNOP est-il régulier (tous les côtés de même longueur) ? Justifier.

b. Justifier que l'aire de IJKLMNOP est égale à \(63 \text{ cm}^2\).

Polygone IJKLMNOP (octogone)

2. Les diagonales du carré ABCD se coupent en S. On a tracé le cercle de centre S et de diamètre 9 cm.

a. Déterminer l'aire du disque de centre S et de diamètre 9 cm.

b. Montrer que la différence entre l'aire du polygone et l'aire du disque représente moins de 1 % de l'aire du disque.

Cercle de centre S et diamètre 9 cm

Les petits segments codés ont tous la même longueur. Comment la calculer ? Puis utilise le théorème de Pythagore pour un côté oblique.
L'aire du polygone peut s'obtenir en retirant de l'aire du carré les parties extérieures au polygone.
Calcule l'écart entre les deux aires, puis exprime-le en pourcentage de l'aire du disque.

### Question 1a – Régularité du polygone IJKLMNOP

Le carré ABCD a un côté de 9 cm. D'après les codages, ce côté est divisé en 3 parties égales, donc :

\(AI = IJ = \ldots = \dfrac{9}{3} = 3 \text{ cm}\)

Le côté \(IJ\) est horizontal et mesure 3 cm.

Le côté oblique, par exemple \(IP\), est l'hypoténuse du triangle \(AIP\), rectangle en \(A\), avec \(AP = AI = 3\) cm. Par le théorème de Pythagore :

\[IP^2 = AP^2 + AI^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18\]

\[IP = \sqrt{18} \approx 4{,}2 \text{ cm} \neq 3 \text{ cm}\]

Puisque \(IJ \neq IP\), le polygone IJKLMNOP n'est pas régulier.

### Question 1b – Aire du polygone IJKLMNOP

Le polygone IJKLMNOP s'obtient en retirant les 4 triangles rectangles des coins du carré ABCD.

Chaque triangle (par exemple \(AIP\)) est rectangle en \(A\) avec \(AP = AI = 3\) cm :

\[\mathcal{A}_{\triangle AIP} = \frac{AP \times AI}{2} = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \text{ cm}^2\]

Les 4 triangles (en A, B, C, D) ont tous la même aire :

\[\mathcal{A}_{IJKLMNOP} = \mathcal{A}_{ABCD} - 4 \times \mathcal{A}_{\triangle AIP}\]

\[= 9 \times 9 - 4 \times 4{,}5 = 81 - 18 = 63 \text{ cm}^2\]

\(\boldsymbol{\mathcal{A}_{IJKLMNOP} = 63 \text{ cm}^2}\) ✓

### Question 2a – Aire du disque

Le diamètre est 9 cm, donc le rayon vaut :

\(r = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \text{ cm}\)

L'aire du disque est :

\[\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times r^2 = \pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi \approx 63{,}62 \text{ cm}^2\]

\(\boldsymbol{\mathcal{A}_{\text{disque}} = 20{,}25\pi \approx 63{,}62 \text{ cm}^2}\)

### Question 2b – Comparaison des aires

La différence entre l'aire du disque et l'aire du polygone :

\[20{,}25\pi - 63 \approx 63{,}62 - 63 = 0{,}62 \text{ cm}^2\]

Cette différence représente, par rapport à l'aire du disque :

\[\frac{0{,}62}{63{,}62} \approx 0{,}00975 \approx 0{,}97\,\%\]

Or \(0{,}97\% < 1\%\).

La différence représente environ 0,97 % de l'aire du disque, ce qui est bien inférieur à 1 % ✓

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