Chapitre

# Multiples, diviseurs
et nombres premiers

I. Effectuer une division euclidienne
📘 Rappel

La division euclidienne d'un nombre entier (le dividende) par un autre nombre entier non nul (le diviseur) est l'opération qui consiste à calculer le quotient entier et le reste entier tel que :

dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur
✏️ Exemple
Division euclidienne de 29 par 3.
29 −27
2
3 9
dividende = diviseur × quotient + reste 29 = 3 × 9 + 2

Le dividende est 29, le diviseur est 3, le quotient est 9 et le reste est 2. On vérifie : 2 < 3 ✓

II. Multiples et diviseurs
📘 Définition

a et b sont des nombres entiers. Dire que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a revient à dire que a est dans la table de multiplication de b.

✏️ Exemples

35 est un multiple de 7 car 35 = 7 × 5. Donc 7 est un diviseur de 35.

24 est un multiple de 6 car 24 = 6 × 4. Donc 6 est un diviseur de 24.

📗 Propriété

a et b sont des nombres entiers. Dire que a est divisible par b, que a est un multiple de b ou que b divise a signifie que le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0.

✏️ Exemple
Montrer que 258 est divisible par 6.

On effectue la division euclidienne de 258 par 6 :

258 −24
18 −18
0
6 43
dividende = diviseur × quotient + reste 258 = 6 × 43 + 0

Le reste est égal à 0, donc 258 est bien divisible par 6.

📗 Propriété – Critères de divisibilité

Un nombre est divisible :

- Par 2 quand son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
- Par 5 quand son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Par 10 quand son chiffre des unités est 0.
- Par 3 quand la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Par 9 quand la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

✏️ Exemple
Le nombre 1 256 475 est-il divisible par 2, 5, 10, 3 ou 9 ?

Par 2 ? Le chiffre des unités est 5 (ce n'est ni 0, 2, 4, 6, 8).
→ Non, 1 256 475 n'est pas divisible par 2.

Par 5 ? Le chiffre des unités est 5.
→ Oui, 1 256 475 est divisible par 5.

Par 10 ? Le chiffre des unités est 5 (ce n'est pas 0).
→ Non, 1 256 475 n'est pas divisible par 10.

Par 3 ? Somme des chiffres : 1 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 5 = 30. Or 30 = 3 × 10.
→ Oui, 1 256 475 est divisible par 3.

Par 9 ? Somme des chiffres : 30. Or 30 n'est pas un multiple de 9.
→ Non, 1 256 475 n'est pas divisible par 9.

III. Nombres premiers
a) Définition
📘 Définition

Dire qu'un nombre est premier signifie qu'il a exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.

✏️ Exemple
Rayer les nombres qui ne sont pas premiers dans cette liste.
Premier Non premier 1
b) Décomposition en facteurs premiers
📙 Règle

Décomposer un nombre entier en facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers.

✏️ Exemple
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
✏️ Exemple
Décomposition de 132 en facteurs premiers :

132 | 2
66 | 2
33 | 3
11 | 11
1 |

132 = 2 × 2 × 3 × 11
🧩 Exercice
Trouver la décomposition en facteurs premiers des nombres 12, 84 et 142.
12

12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |

12 = 2 × 2 × 3
84

84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |

84 = 2 × 2 × 3 × 7
142

142 | 2
71 | 71
1 |

142 = 2 × 71
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