Leçon – Proportionnalité (partie 2)

# Pourcentages · Durées · Vitesse moyenne

I. Pourcentages
📗 Méthode

Calculer \(t\%\) d'une quantité revient à multiplier cette quantité par \(\dfrac{t}{100}\).

Pour calculer un pourcentage on peut utiliser un tableau de proportionnalité et un produit en croix.

✏️ Exemple 1
Un livre en édition limitée coûte 40 €. Son prix augmente de 30 %. Quel est son nouveau prix ?
Méthode 1 – Calculer l'augmentation

On cherche d'abord 30 % de 40 €, puis on ajoute au prix initial.

Pourcentage (%) | 100 | 30
Valeur (€) | 40 | ?

?= 30× 40÷ 100
Augmentation\(30 \times 40 \div 100 = \mathbf{12}\text{ €}\)
Nouveau prix\(40 + 12 = \mathbf{52}\text{ €}\)
Réponse : Le nouveau prix est 52 €.
Méthode 2 – Nouveau prix directement

Après une hausse de 30 %, le nouveau prix représente \(100 + 30 = 130\%\) du prix initial.

Pourcentage (%) | 100 | 130
Valeur (€) | 40 | ?

?= 130× 40÷ 100
Calcul\(130 \times 40 \div 100 = \mathbf{52}\text{ €}\)
Réponse : Le nouveau prix est directement 52 €.
✏️ Exemple 2
25 filles et 20 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un devoir commun. 60 % des filles et 50 % des garçons ont obtenu la moyenne.
1) Calculer le nombre de filles et de garçons qui ont obtenu la moyenne.

Filles (60 % de 25)

Pourcentage (%) | 100 | 60
Nombre de filles | 25 | ?

?= 60× 25÷ 100 =15 filles

Garçons (50 % de 20)

💡 50 % = la moitié, donc on peut trouver directement : \(20 \div 2 = 10\) garçons, sans tableau ni calcul !

Pourcentage (%) | 100 | 50
Nombre de garçons | 20 | ?

?= 50× 20÷ 100 =10 garçons
Réponse : 15 filles et 10 garçons ont obtenu la moyenne.
2) Calculer le pourcentage d'élèves qui ont obtenu la moyenne dans l'ensemble des deux classes.

Au total : \(25 + 20 = 45\) élèves, dont \(15 + 10 = 25\) ont obtenu la moyenne.

On cherche quel pourcentage représente 25 élèves sur 45.

Nombre d'élèves | 45 | 25
Pourcentage (%) | 100 | ?

?= 25× 100÷ 45 ≈55,6 %
Réponse : Environ 55,6 % des élèves ont obtenu la moyenne dans l'ensemble des deux classes.
II. Les durées
📌 Rappel – Égalités à connaître
\(1\text{ min} = 60\text{ s}\) \(\qquad\) \(1\text{ h} = 60\text{ min}\) \(\qquad\) \(1\text{ j} = 24\text{ h}\)
📗 Méthode – Conversion de durées

Pour convertir une durée, on utilise un tableau à deux colonnes (une colonne par unité) :

- La première ligne contient l'égalité de référence (ex. \(1\text{ h} = 60\text{ min}\)).
- La deuxième ligne contient la valeur à convertir et le résultat inconnu \(?\).
- On calcule ensuite avec le produit en croix : \(? = \ldots \times \ldots \div \ldots\)

✏️ Exemples
Convertir les durées suivantes :

\(1{,}6\text{ h} = \text{ ?}\text{ min}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
1,6 | ?

?= 1,6× 60÷ 1
Résultat : \(1{,}6\text{ h} = \mathbf{96}\text{ min}\)

\(0{,}15\text{ min} = \text{ ?}\text{ h}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 0,15

?= 0,15× 1÷ 60
Résultat : \(0{,}15\text{ min} = \mathbf{0{,}0025}\text{ h}\)

\(1\text{ h }15\text{ min} = \text{ ?}\text{ h}\)

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

On convertit d'abord 15 min en h :

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 15

?= 15× 1÷ 60 =0,25 h
Résultat : \(1\text{ h }15\text{ min} = 1 + 0{,}25 = \mathbf{1{,}25}\text{ h}\)
III. Vitesse moyenne
📘 Définition

La vitesse moyenne d'un objet mobile sur un trajet est la vitesse que cet objet aurait en parcourant la même distance pendant la même durée à vitesse constante.

📙 Méthode – Tableau distance / temps

On utilise un tableau de proportionnalité avec la distance sur la première ligne et le temps sur la deuxième ligne. On calcule ensuite grâce au produit en croix.

\(v = \dfrac{d}{t}\) \(\qquad\) \(d = v \times t\) \(\qquad\) \(t = \dfrac{d}{v}\)

⚠️ Attention aux unités : si la vitesse est en km/h, la distance doit être en km et le temps en heures.

✏️ Exemple 1
Une famille décide de faire un trajet en voiture de 350 km. Elle réalise ce trajet en 3,2 h. Quelle a été sa vitesse moyenne sur tout le trajet ?

On cherche la vitesse \(v\) : c'est le nombre de km parcourus en 1 h.

Distance (km) | 350 | ?
Temps (h) | 3,2 | 1

?= 350× 1÷ 3,2
Calcul \(350 \times 1 \div 3{,}2 \approx \mathbf{109{,}4}\text{ km/h}\)
Réponse : La vitesse moyenne de la famille est d'environ 109,4 km/h.
✏️ Exemple 2
Un train roule durant 3 h 30 min à la vitesse moyenne de 150 km/h. Quelle distance a-t-il parcouru ?

Étape 1 – Convertir 3 h 30 min en heures

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 30

?= 30× 1÷ 60 =0,5 h

Donc \(3\text{ h }30\text{ min} = 3 + 0{,}5 = \mathbf{3{,}5}\text{ h}\).

Étape 2 – Calculer la distance

On cherche la distance \(d\) parcourue en 3,5 h à 150 km/h.

Distance (km) | 150 | ?
Temps (h) | 1 | 3,5

?= 150× 3,5÷ 1
Calcul \(150 \times 3{,}5 \div 1 = \mathbf{525}\text{ km}\)
Réponse : Le train a parcouru 525 km pendant les 3 h 30 min.
🧩 Exercice
Un cycliste roule à 24 km/h. Quelle distance parcourt-il en 2 h 15 min ?

Étape 1 – Convertir 2 h 15 min en heures

Égalité\(1\text{ h} = 60\text{ min}\)

h | min
--- | ---
1 | 60
? | 15

?= 15× 1÷ 60 =0,25 h

Donc \(2\text{ h }15\text{ min} = 2 + 0{,}25 = \mathbf{2{,}25}\text{ h}\).

Étape 2 – Calculer la distance

Distance (km) | 24 | ?
Temps (h) | 1 | 2,25

?= 24× 2,25÷ 1
Calcul \(24 \times 2{,}25 \div 1 = \mathbf{54}\text{ km}\)
Réponse : Le cycliste parcourt 54 km en 2 h 15 min.
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