Chapitre · 4ème

# Fractions — 1ère partie

Rappels · Définitions · Simplification · Dénominateur commun · Comparaison · Opérations
Rappels — Diviseurs et nombres premiers
📘 Définition — Diviseur

Un nombre \(B\) est un diviseur du nombre \(A\) si, lorsqu'on divise \(A\) par \(B\), on obtient un nombre entier sans reste.

✏️ Exemples
Donner tous les diviseurs de \(12\), puis donner 5 multiples de \(12\).
Diviseurs de 12 : on cherche tous les entiers qui divisent 12 sans reste.
\(12 \div 1 = 12\) ✓ \(12 \div 2 = 6\) ✓ \(12 \div 3 = 4\) ✓ \(12 \div 4 = 3\) ✓ \(12 \div 6 = 2\) ✓ \(12 \div 12 = 1\) ✓
Les diviseurs de \(12\) sont : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
5 multiples de 12 : on multiplie 12 par 1, 2, 3, 4, 5…
\(12, 24, 36, 48, 60\)
📘 Définition — Nombre premier

Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.

📋 Liste des nombres premiers entre 1 et 30
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
I. Définitions et égalités
1) Définition
📘 Définition — Quotient

\(a\) et \(b\) désignent deux nombres relatifs (\(b \neq 0\)).

Le quotient de \(a\) par \(b\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). On le note \(a \div b\) ou \(\dfrac{a}{b}\).

\(a \div b = \dfrac{a}{b}\)

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers, on dit que \(\dfrac{a}{b}\) est une fraction. \(a\) est le numérateur et \(b\) est le dénominateur.

✏️ Exemple
Quel est le quotient de \(-3\) par \(8\) ? Vérifier le résultat.
Le quotient de \(-3\) par \(8\) est \(\dfrac{-3}{8}\).
C'est le nombre qui, multiplié par \(8\), donne \(-3\).
Vérification : \(\dfrac{-3}{8} \times 8 = -3\) ✓
2) Règle de calcul
📗 Propriété

Un quotient ne change pas si on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

\(a\), \(b\) et \(k\) désignent trois nombres relatifs (\(b \neq 0\) et \(k \neq 0\))

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}\)
✏️ Exemples
Compléter les égalités suivantes :

(a) \(\dfrac{3}{5} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{60}\) (b) \(\dfrac{28}{42} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{6}\)

(a) \(5 \times 12 = 60\), donc on multiplie aussi le numérateur par \(12\) :
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 12}{5 \times 12} = \dfrac{36}{60}\)
(b) \(42 \div 7 = 6\), donc on divise aussi le numérateur par \(7\) :
\(\dfrac{28}{42} = \dfrac{28 \div 7}{42 \div 7} = \dfrac{4}{6}\)
💡 On multiplie (ou divise) en même temps le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
🧩 Exercice
Compléter les égalités suivantes :

(a) \(\dfrac{2}{7} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{35}\) (b) \(\dfrac{5}{9} = \dfrac{45}{\ \ ?\ \ }\) (c) \(\dfrac{36}{48} = \dfrac{\ \ ?\ \ }{4}\)

(a) \(7 \times 5 = 35\) :
\(\dfrac{2}{7} = \dfrac{2 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{10}{35}\)
(b) \(5 \times 9 = 45\) :
\(\dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \times 9}{9 \times 9} = \dfrac{45}{81}\)
(c) \(48 \div 12 = 4\) :
\(\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 \div 12}{48 \div 12} = \dfrac{3}{4}\)
II. Simplifier des fractions
📋 Méthode

Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. On peut utiliser deux méthodes :

- ACritères de divisibilité : on identifie un diviseur commun et on divise étape par étape
- BDécomposition en facteurs premiers : on décompose les deux nombres, on repère les facteurs communs et on simplifie en une seule fois

On recommence jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun autre que \(1\) : la fraction est alors irréductible.

💡 Rappel — Critères de divisibilité

Divisible par 2 : chiffre des unités pair. | Divisible par 3 : somme des chiffres divisible par 3. | Divisible par 5 : chiffre des unités = 0 ou 5. | Divisible par 7 : pas de critère simple, on teste.

✏️ Exemple A — Méthode par critères de divisibilité
Simplifier \(\dfrac{18}{24}\) au maximum.
\(18\) et \(24\) sont tous les deux pairs → divisibles par \(2\) :
\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 2}{24 \div 2} = \dfrac{9}{12}\)
Somme des chiffres de \(9\) : \(9\) ✓ Somme des chiffres de \(12\) : \(1+2=3\) ✓ → divisibles par \(3\) :
\(\dfrac{9}{12} = \dfrac{9 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{3}{4}\)
\(3\) et \(4\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\) : fraction irréductible.
\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\)
✏️ Exemple B — Méthode par décomposition en facteurs premiers
Simplifier \(\dfrac{140}{294}\) au maximum.
Étape 1 — Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers :
Numérateur : 140
140
70
35
7
1
2
2
5
7
\(140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7\)
Dénominateur : 294
294
147
49
7
1
2
3
7
7
\(294 = 2 \times 3 \times 7 \times 7\)
Étape 2 — Écrire la fraction avec les décompositions et identifier les facteurs communs (en rouge) :
2 × 2 × 5 × 7
2 × 3 × 7 × 7
Étape 3 — Barrer les facteurs communs et simplifier :
2 × 2 × 5 × 7
2 × 3 × 7 × 7
=
2 × 5
3 × 7
=
10
21
\(10\) et \(21\) n'ont pas de facteur commun : fraction irréductible.
\(\dfrac{140}{294} = \dfrac{10}{21}\)
🧩 Exercice
Simplifier les fractions suivantes au maximum. Utiliser la méthode B (facteurs premiers) pour (c).

(a) \(\dfrac{12}{16}\) (b) \(\dfrac{30}{75}\) (c) \(\dfrac{56}{84}\)

(a) Pairs → \(\div 2\) : \(\dfrac{6}{8}\) → encore pairs → \(\div 2\) :
\(\dfrac{12}{16} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\)
(b) Finissent par 0 et 5 → \(\div 5\) : \(\dfrac{6}{15}\) → somme des chiffres : 6 et 6 → \(\div 3\) :
\(\dfrac{30}{75} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\)
(c) Décomposition de 56 et 84 :
56
56
28
14
7
1
2
2
2
7
\(56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7\)
84
84
42
21
7
1
2
2
3
7
\(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\)
Facteurs communs (en rouge) :
2 × 2 × 2 × 7
2 × 2 × 3 × 7
2 × 2 × 2 × 7
2 × 2 × 3 × 7
=
2
3
III. Mettre des fractions au même dénominateur
📋 Méthode

Pour trouver un dénominateur commun, on cherche un multiple commun aux deux dénominateurs. On prend le plus petit possible.

- 1On écrit la liste des multiples de chaque dénominateur et on repère le premier multiple en commun
- 2On convertit chaque fraction pour qu'elle ait ce dénominateur commun

✏️ Exemple 1 — L'un est multiple de l'autre
Réduire \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{1}{2}\) au même dénominateur.
Liste des multiples :
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16…
Multiples de 2 : 2, 4, 6, 8…
Premier multiple commun : 4. (4 est déjà un multiple de 2 : \(2 \times 2 = 4\))
Conversion :
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\) (dénominateur déjà 4)
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4}\)
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\)
✏️ Exemple 2 — Aucun n'est multiple de l'autre
Réduire \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{5}{2}\) au même dénominateur.
Liste des multiples :
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12…
Multiples de 2 : 2, 4, 6, 8…
Premier multiple commun : 6.
Conversion :
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}\)
\(\dfrac{5}{2} = \dfrac{5 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{15}{6}\)
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\) et \(\dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{6}\)
🧩 Exercice
Mettre les fractions suivantes au même dénominateur :

(a) \(\dfrac{1}{4}\) et \(\dfrac{3}{8}\) (b) \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{3}{4}\) (c) \(\dfrac{5}{6}\) et \(\dfrac{3}{4}\)

(a)
Multiples de 4 : 4, 8, 12…
Multiples de 8 : 8, 16…
Dénominateur commun : 8.
\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}\) et \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}\)
(b)
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12…
Multiples de 4 : 4, 8, 12…
Dénominateur commun : 12.
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}\) et \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}\)
(c)
Multiples de 6 : 6, 12, 18…
Multiples de 4 : 4, 8, 12…
Dénominateur commun : 12.
\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}\) et \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}\)
IV. Comparer des fractions
1) Égalité des produits en croix
📗 Propriété — Produit en croix

\(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) désignent des nombres relatifs (\(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)).

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\)

Deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux.

✏️ Exemple
Les fractions \(\dfrac{12}{24}\) et \(\dfrac{3}{6}\) sont-elles égales ?
On calcule les deux produits en croix :
\(12 \times 6 = 72\) et \(24 \times 3 = 72\)
Les deux produits sont égaux : \(72 = 72\). ✓
✓ Conclusion Les fractions \(\dfrac{12}{24}\) et \(\dfrac{3}{6}\) sont égales.
2) Mise au même dénominateur
📗 Propriété — Comparaison

\(a\), \(b\) et \(c\) désignent trois nombres positifs (\(c \neq 0\)).

Si \(a < b\), alors \(\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}\)

Deux fractions au même dénominateur se comparent en comparant leurs numérateurs.

✏️ Exemple
Comparer \(\dfrac{1}{15}\) ; \(\dfrac{2}{12}\) et \(\dfrac{7}{10}\).
Étape 1 — Trouver un dénominateur commun :
Multiples de 15 : 15, 30, 45, 60, 75…
Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72…
Multiples de 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60…
Premier multiple commun : 60.
Étape 2 — Convertir :
\(\dfrac{1}{15} = \dfrac{1 \times 4}{15 \times 4} = \dfrac{4}{60}\)
\(\dfrac{2}{12} = \dfrac{2 \times 5}{12 \times 5} = \dfrac{10}{60}\)
\(\dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 6}{10 \times 6} = \dfrac{42}{60}\)
Étape 3 — Comparer : \(4 < 10 < 42\)
✓ Conclusion \(\dfrac{1}{15} < \dfrac{2}{12} < \dfrac{7}{10}\)
🧩 Exercice
Comparer les fractions suivantes :

(a) \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{6}\) (b) \(\dfrac{7}{12}\) ; \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{5}{8}\)

(a)
Multiples de 4 : 4, 8, 12…
Multiples de 6 : 6, 12…
Dénominateur commun : 12.
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}\) et \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\)
\(9 < 10\) donc \(\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}\).
(b)
Multiples de 12 : 12, 24…
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24…
Multiples de 8 : 8, 16, 24…
Dénominateur commun : 24.
\(\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}\) ; \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{24}\) ; \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}\)
\(8 < 14 < 15\) donc \(\dfrac{1}{3} < \dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{8}\).
V. Additionner et soustraire des fractions
📋 Méthode

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions :

- 1On met les deux fractions au même dénominateur
- 2On additionne (ou soustrait) uniquement les numérateurs
- 3On garde le dénominateur commun — on ne l'additionne pas !
- 4On simplifie si possible

\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\) et \(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)
💡 Remarque importante

On n'additionne jamais les dénominateurs. ✗ \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}\)

✏️ Exemples
Calculer les expressions suivantes :

(A) \(A = \dfrac{2}{8} - \dfrac{4}{8}\) — même dénominateur

Même dénominateur (\(8\)) : on soustrait directement les numérateurs.
\(A = \dfrac{2-4}{8} = \dfrac{-2}{8}\)
Simplification (\(\div 2\)) :
\(A = \dfrac{-1}{4}\)
\(A = -\dfrac{1}{4}\)

(B) \(B = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8}\) — l'un est multiple de l'autre

Multiples de 4 : 4, 8…
Multiples de 8 : 8…
Dénominateur commun : 8. On transforme uniquement \(\dfrac{3}{4}\) :
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}\)
\(B = \dfrac{6}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\)
\(7\) et \(8\) n'ont pas de diviseur commun : irréductible.
\(B = \dfrac{7}{8}\)

(C) \(C = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\) — aucun n'est multiple de l'autre

Multiples de 2 : 2, 4, 6, 8…
Multiples de 3 : 3, 6, 9…
Dénominateur commun : 6. On transforme les deux :
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}\)
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}\)
\(C = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}\)
\(7\) et \(6\) n'ont pas de diviseur commun : irréductible.
\(C = \dfrac{7}{6}\)

(D) \(D = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}\) — aucun n'est multiple de l'autre

Multiples de 6 : 6, 12, 18…
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16…
Dénominateur commun : 12. On transforme les deux :
\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}\)
\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}\)
\(D = \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\)
\(7\) et \(12\) n'ont pas de diviseur commun : irréductible.
\(D = \dfrac{7}{12}\)

(E) \(E = 2 + \dfrac{1}{3}\) — entier + fraction

On écrit \(2\) comme une fraction de dénominateur \(3\) :
\(2 = \dfrac{2 \times 3}{1 \times 3} = \dfrac{6}{3}\)
\(E = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\)
\(E = \dfrac{7}{3}\)

(F) \(F = \dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right)\) — deux cas « ni l'un ni l'autre »

Étape 1 — Calculer les parenthèses : dénominateurs 3 et 4.
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12…
Multiples de 4 : 4, 8, 12…
Dénominateur commun : 12.
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}\) et \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\)
\(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{12}\)
Étape 2 : dénominateurs 2 et 12.
Multiples de 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12…
Multiples de 12 : 12…
Dénominateur commun : 12.
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}\)
\(F = \dfrac{6}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{5}{12}\)
\(5\) et \(12\) n'ont pas de diviseur commun : irréductible.
\(F = \dfrac{5}{12}\)
🧩 Exercice
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible :

(a) \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\) (b) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\) (c) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{9}\) (d) \(1 - \dfrac{3}{7}\) (e) \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3}\)

(a) Même dénominateur :
\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\) (irréductible)
(b) Dénominateurs 3 et 4 — aucun n'est multiple de l'autre :
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12…
Multiples de 4 : 4, 8, 12…
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\) et \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}\)
\(\dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{17}{12}\) (irréductible)
(c) Dénominateurs 6 et 9 — aucun n'est multiple de l'autre :
Multiples de 6 : 6, 12, 18…
Multiples de 9 : 9, 18…
\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}\) et \(\dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{18}\)
\(\dfrac{15}{18} - \dfrac{4}{18} = \dfrac{11}{18}\) (irréductible)
(d) On écrit \(1 = \dfrac{7}{7}\) :
\(\dfrac{7}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}\) (irréductible)
(e) Dénominateurs 4, 6 et 3 — aucun n'est multiple des deux autres :
Multiples de 4 : 4, 8, 12…
Multiples de 6 : 6, 12…
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12…
\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\) ; \(\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}\) ; \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}\)
\(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\)
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