Puissance positive
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}\)
\(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\))
Puissance négative
\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
Ex. : \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
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## Exercice 1 – Calculer une puissance

Puissances positives Puissances négatives Calcul direct

Calcule les expressions suivantes. Pour les exposants négatifs, donne le résultat sous forme de fraction irréductible.

Exposants positifs
a) \(3^3 =\)
b) \(2^6 =\)
c) \(5^2 =\)
d) \(4^0 =\)
Exposants négatifs
e) \(2^{-1} =\)
f) \(2^{-3} =\)
g) \(3^{-2} =\)
h) \(5^{-1} =\)
i) \(4^{-2} =\)
j) \(2^{-5} =\)

💡 Indices

Pour une puissance négative : \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\). Commence par calculer \(a^n\) comme d'habitude, puis place ce résultat au dénominateur d'une fraction avec 1 au numérateur.
Pense à ce que signifie « mettre 1 au-dessus ». Si tu connais la valeur de \(a^n\), comment écrire \(\dfrac{1}{a^n}\) sous forme décimale ? Est-ce que la fraction peut encore se simplifier ?

Exposants positifs

Rappel : \(a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}\) et \(a^0 = 1\) pour tout \(a \neq 0\).
a) \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = \mathbf{27}\) b) \(2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{64}\) c) \(5^2 = 5 \times 5 = \mathbf{25}\) d) \(4^0 = \mathbf{1}\) (tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1)

Exposants négatifs

Rappel : \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\). On calcule d'abord \(a^n\), puis on place le résultat en dénominateur.
e) \(2^{-1} = \dfrac{1}{2^1} = \dfrac{1}{2}\) f) \(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\) g) \(3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}\) h) \(5^{-1} = \dfrac{1}{5^1} = \dfrac{1}{5}\) i) \(4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}\) j) \(2^{-5} = \dfrac{1}{2^5} = \dfrac{1}{32}\)
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## Exercice 2 – Retrouver l'exposant

Puissances positives Puissances négatives Sens inverse

On te donne le résultat. Retrouve l'exposant manquant \(\square\). L'exposant peut être positif, nul ou négatif.

Exposants positifs ou nuls
a) \(2^{\square} = 8\)
b) \(3^{\square} = 81\)
c) \(5^{\square} = 125\)
d) \(7^{\square} = 1\)
Exposants négatifs — résultat sous forme de fraction
e) \(2^{\square} = \dfrac{1}{4}\)
f) \(3^{\square} = \dfrac{1}{27}\)
g) \(5^{\square} = \dfrac{1}{25}\)
h) \(2^{\square} = \dfrac{1}{16}\)
i) \(4^{\square} = \dfrac{1}{4}\)
j) \(10^{\square} = \dfrac{1}{1000}\)

💡 Indices

Pour les fractions : si le résultat est \(\dfrac{1}{a^n}\), alors l'exposant est \(-n\). Commence par reconnaître \(a^n\) au dénominateur, puis déduis l'exposant.
Essaie d'écrire le dénominateur comme une puissance de la base. Une fois que tu reconnais \(a^n\) en bas, que devient \(\dfrac{1}{a^n}\) selon la définition des puissances négatives ?

Exposants positifs ou nuls

a) \(2^{\square} = 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3\) → \(\square = \mathbf{3}\) b) \(3^{\square} = 81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4\) → \(\square = \mathbf{4}\) c) \(5^{\square} = 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3\) → \(\square = \mathbf{3}\) d) \(7^{\square} = 1 = 7^0\) → \(\square = \mathbf{0}\)

Exposants négatifs

Méthode : si le résultat est \(\dfrac{1}{a^n}\), reconnaître \(a^n\) au dénominateur, puis conclure \(\square = -n\).
e) \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2} = 2^{-2}\) → \(\square = \mathbf{-2}\) f) \(\dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{3^3} = 3^{-3}\) → \(\square = \mathbf{-3}\) g) \(\dfrac{1}{25} = \dfrac{1}{5^2} = 5^{-2}\) → \(\square = \mathbf{-2}\) h) \(\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{2^4} = 2^{-4}\) → \(\square = \mathbf{-4}\) i) \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4^1} = 4^{-1}\) → \(\square = \mathbf{-1}\) j) \(\dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}\) → \(\square = \mathbf{-3}\)
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## Exercice 3 – Puissances de 10 positives

Puissances de 10 Écriture décimale

Complète le tableau suivant. Pour chaque puissance de 10, écris sa valeur décimale, puis indique le nombre de zéros après le 1.

Puissance | Valeur décimale | Nombre de zéros
--- | --- | ---
\(10^0\) |  |
\(10^1\) |  |
\(10^2\) |  |
\(10^3\) |  |
\(10^5\) |  |
\(10^7\) |  |
\(10^9\) |  |

Puis réponds : comment obtient-on facilement \(10^n\) (avec \(n\) entier positif) ? Explique avec tes mots.

💡 Indices

\(10^3\) veut dire que 10 se multiplie par lui-même 3 fois. Essaie de le calculer et regarde le résultat : qu'est-ce qui change quand l'exposant augmente de 1 ?
Compare l'exposant et le nombre de zéros dans chaque résultat. Que remarques-tu ?

Puissance | Valeur décimale | Nombre de zéros
--- | --- | ---
\(10^0\) | 1 | 0
\(10^1\) | 10 | 1
\(10^2\) | 100 | 2
\(10^3\) | 1 000 | 3
\(10^5\) | 100 000 | 5
\(10^7\) | 10 000 000 | 7
\(10^9\) | 1 000 000 000 | 9

Règle : \(10^n\) s'écrit avec un 1 suivi de \(n\) zéros. C'est le moyen le plus rapide de lire ou écrire une grande puissance de 10 !
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## Exercice 4 – Puissances de 10 négatives

Puissances de 10 Exposant négatif Fraction & décimal

Complète le tableau. Pour chaque puissance de 10 négative, écris :

- la forme fractionnaire (ex. : \(\dfrac{1}{100}\))
- la valeur décimale (ex. : \(0{,}01\))
- le nombre de chiffres après la virgule avant d'atteindre le 1

Puissance | Forme fractionnaire | Valeur décimale | Nb de chiffres après la virgule
--- | --- | --- | ---
\(10^{-1}\) |  |  |
\(10^{-2}\) |  |  |
\(10^{-3}\) |  |  |
\(10^{-4}\) |  |  |
\(10^{-6}\) |  |  |
\(10^{-9}\) |  |  |

Même question : comment obtient-on facilement \(10^{-n}\) ? Explique le lien entre l'exposant et la position du 1 dans l'écriture décimale.

💡 Indices

\(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\). Commence par calculer \(10^n\) (c'est facile : un 1 suivi de \(n\) zéros), puis place ce nombre en dénominateur.
Pour passer de la fraction à l'écriture décimale, pense à ce que signifie diviser par 10, par 100, par 1 000… Où se retrouve le 1 après la virgule selon la taille du dénominateur ?
Rappel : \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\). Au dénominateur, \(10^n\) est un 1 suivi de \(n\) zéros. Dans l'écriture décimale, le chiffre 1 se trouve en position \(n\) après la virgule.

Puissance | Forme fractionnaire | Valeur décimale | Nb de chiffres après la virgule
--- | --- | --- | ---
\(10^{-1}\) | \(\dfrac{1}{10}\) | 0,1 | 1
\(10^{-2}\) | \(\dfrac{1}{100}\) | 0,01 | 2
\(10^{-3}\) | \(\dfrac{1}{1\,000}\) | 0,001 | 3
\(10^{-4}\) | \(\dfrac{1}{10\,000}\) | 0,0001 | 4
\(10^{-6}\) | \(\dfrac{1}{1\,000\,000}\) | 0,000001 | 6
\(10^{-9}\) | \(\dfrac{1}{1\,000\,000\,000}\) | 0,000000001 | 9

Règle : \(10^{-n}\) s'écrit \(0{,}\underbrace{00\cdots0}_{n-1 \text{ zéros}}1\). Le chiffre 1 occupe la \(n\)-ième place après la virgule. Par exemple \(10^{-3} = 0{,}001\) : il y a 2 zéros entre la virgule et le 1, le 1 est en 3ᵉ position décimale.
🏆
Bravo, tous les exercices sont faits !
⭐⭐⭐⭐⭐

Tu maîtrises maintenant les puissances positives et négatives. Refais les exercices seul(e) pour bien ancrer les réflexes !

✓ 4 exercices 🔢 Puissances maîtrisées
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