📖 Ce qu'il faut savoir
Trois fonctions importantes
Racine carrée : \(h(x) = \sqrt{x}\) — donne le nombre positif dont le carré est \(x\).
Carré : \(g(x) = x^2\) — aire d'un carré de côté \(x\).
Inverse : \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) — donne le nombre par lequel multiplier \(x\) pour obtenir 1.
Quand une fonction n'existe-t-elle pas ?
\(\sqrt{x}\) n'existe pas si \(x < 0\) (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un négatif).
\(x^2\) existe toujours : on peut élever n'importe quel nombre au carré.
\(\dfrac{1}{x}\) n'existe pas si \(x = 0\) (division par zéro impossible).
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√
Exercice 1 – Fonction racine carrée \(h\)

## Exercice 1 / 3

Racine carrée · Image · Antécédent · Domaine
✓ Vu
On considère la fonction \(h\) qui, à un nombre de départ, associe sa racine carrée.
1Que vaut \(h(x)\) ?
2Que vaut \(h(9)\) ?
3Pour quelle valeur \(x\), \(h(x) = 9\) ?
4Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\), \(h(x)\) n'existe pas ? Justifier.
💡 Indices
Pour Q1 : traduis en notation mathématique ce que dit l'énoncé. « Associe sa racine carrée » → quelle opération mathématique est la racine carrée ?
Pour Q3 : si h(x) = 9, que vaut √x d'après la formule de h ? Rappelle-toi ce que signifie la racine carrée d'un nombre : quel est le lien entre √x et x ?
Pour Q4 : essaie de calculer \(\sqrt{-1}\) ou \(\sqrt{-4}\) sur ta calculatrice. Que se passe-t-il ? Quel type de nombres pose problème ?

1. Expression de \(h(x)\)

La fonction associe à \(x\) sa racine carrée.
\(h(x) = \sqrt{x}\)

2. Valeur de \(h(9)\)

\(h(9) = \sqrt{9} = 3\)
car \(3^2 = 9\) et \(3 \geq 0\)
\(h(9) = 3\)

3. Antécédent de \(9\) par \(h\)

On cherche \(x\) tel que \(h(x) = 9\), c'est-à-dire \(\sqrt{x} = 9\).

\(\sqrt{\phantom{x}}\)\(x = 9\)
carré
carré
\(x = 9^2 = 81\)
L'antécédent de \(9\) par \(h\) est \(81\).

4. Valeurs pour lesquelles \(h(x)\) n'existe pas

⚠️ \(h(x) = \sqrt{x}\) n'existe pas lorsque \(x < 0\).
En effet, aucun nombre n'a un carré négatif : il n'existe donc aucun nombre dont la racine carrée serait un nombre négatif.
Par exemple : \(\sqrt{-4}\) n'existe pas, car aucun nombre au carré ne peut donner \(-4\).
\(h(x)\) n'existe pas pour tout \(x < 0\).
□
Exercice 2 – Fonction carré \(g\)

## Exercice 2 / 3

Carré · Image · Antécédent · Domaine
✓ Vu
On considère la fonction \(g\) qui, à un nombre de départ \(x\), associe l'aire d'un carré de côté \(x\).
1Que vaut \(g(x)\) ?
2Que vaut \(g(9)\) ?
3Pour quelle valeur \(x\), \(g(x) = 9\) ?
4Existe-t-il des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(g(x)\) n'existe pas ? Justifier.
💡 Indices
Pour Q1 : quelle est la formule de l'aire d'un carré de côté \(x\) ? Tu la connais depuis le primaire !
Pour Q3 : trouver l'antécédent de 9, c'est trouver un \(x\) dont l'image par \(g\) vaut 9. Quelle équation cela donne-t-il ? Quel(s) nombre(s) vérifient cette équation, sachant que \(x\) doit rester positif dans ce contexte ?
Pour Q4 : peut-on toujours calculer \(x^2\) ? Essaie avec des nombres négatifs, des fractions, zéro… \((-3)^2\) par exemple, ça donne quoi ?

1. Expression de \(g(x)\)

L'aire d'un carré de côté \(x\) vaut côté × côté \(= x \times x = x^2\).
\(g(x) = x^2\)

2. Valeur de \(g(9)\)

\(g(9) = 9^2 = 81\)
\(g(9) = 81\)

3. Antécédent de \(9\) par \(g\)

On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 9\), c'est-à-dire \(x^2 = 9\).

\(x\)\({}^2\) \(= 9\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(x = \sqrt{9} = 3\)
L'antécédent de \(9\) par \(g\) est \(3\) (un carré a un côté positif).
💡 Mathématiquement, \(x^2 = 9\) admet deux solutions : \(x = 3\) et \(x = -3\). Mais ici, \(x\) représente un côté de carré, donc une longueur : on garde uniquement \(x = 3 > 0\).

4. Valeurs pour lesquelles \(g(x)\) n'existe pas

On peut toujours calculer \(x^2\), quel que soit \(x\).
Par exemple : \((-3)^2 = 9\), \(0^2 = 0\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
✓ \(g(x)\) existe pour tout \(x\). Il n'y a pas de valeur exclue.
÷
Exercice 3 – Fonction inverse \(f\)

## Exercice 3 / 3

Inverse · Image · Antécédent · Domaine
✓ Vu
On considère la fonction \(f\) qui, à un nombre de départ \(x\), associe son inverse.
1Que vaut \(f\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\) ?
2Que vaut \(f(x)\) ?
3Pour quelle valeur de \(x\), \(f(x) = \dfrac{5}{9}\) ?
4Existe-t-il des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) n'existe pas ? Justifier.
💡 Indices
L'inverse d'un nombre \(a\), c'est le nombre par lequel on multiplie \(a\) pour obtenir \(1\). Autrement dit, \(a \times \text{inverse}(a) = 1\). Comment s'écrit-il en fraction ?
Pour Q1 : si \(a \times \text{inverse}(a) = 1\), que doit valoir l'inverse d'une fraction \(\frac{a}{b}\) pour que le produit tombe bien sur 1 ? Essaie avec un exemple simple comme \(\frac{2}{3}\).
Pour Q3 : quelle équation obtient-on en remplaçant \(f(x)\) par \(\frac{5}{9}\) ? Comment isoler \(x\) à partir d'une équation de la forme \(\frac{1}{x} = \ldots\) ?

2. Expression de \(f(x)\)

L'inverse de \(x\) est le nombre qui, multiplié par \(x\), donne \(1\).
\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)

1. Valeur de \(f\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\)

\(f\!\left(\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{5}{4}\)

3. Antécédent de \(\dfrac{5}{9}\) par \(f\)

On cherche \(x\) tel que \(f(x) = \dfrac{5}{9}\), c'est-à-dire :

\(\dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{9}\)
Produit en croix :
\(1 \times 9 = 5 \times x\)
\(9 = 5x\)
\(x = \dfrac{9}{5}\)
L'antécédent de \(\dfrac{5}{9}\) par \(f\) est \(\dfrac{9}{5}\).

4. Valeurs pour lesquelles \(f(x)\) n'existe pas

⚠️ \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) n'existe pas lorsque \(x = 0\).
En effet, la division par zéro est impossible : \(\dfrac{1}{0}\) n'a aucune valeur.
\(f(x)\) n'existe pas pour \(x = 0\) uniquement.

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