📖 Ce qu'il faut savoir
Théorème de Thalès

Si deux droites coupent deux sécantes depuis le même point, et que deux côtés sont parallèles, alors les rapports des longueurs sont égaux.

Grand triangle ÷ petit triangle = même rapport pour les 3 côtés correspondants.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

hyp² = côté1² + côté2²

⚠️ L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit !

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Exercice 1 – La rivière

## Exercice 1 / 3

Thalès · Vitesse
✓ Vu
Une famille se promène au bord d'une rivière. Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière. Sur le schéma ci-dessous, les points C, E et D sont alignés, ainsi que les points A, E et B. On sait que AE = 20 pas, BE = 5 pas et BD = 1 pas.
1

Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

2

Déterminer, en nombre de pas, la longueur AC de la rivière.

3

Montrer que la longueur CE vaut 13,3 m, en arrondissant au décimètre près (1 pas = 65 cm).

4

Un enfant lâche un bâton dans la rivière au niveau du point E. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en 5 secondes jusqu'au point C.

a

Calculer la vitesse du bâton en m/s.

b

Est-il vrai que le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à 10 km/h ?

💡 Indice – débloque-les un par un

Question 1 : regarde les angles formés en A et en B par rapport au sol. Que peut-on dire de (AC) et (BD) par rapport à la droite (AB) ? Quel théorème cela permet-il d'utiliser ?
Question 2 : les droites étant parallèles, quel théorème peut-on appliquer ? Ce théorème donne une relation entre les longueurs des segments — quels rapports peut-on écrire ? Comment en déduire AC ?
Question 3 : le triangle AEC est rectangle — en quel sommet ? Quelle est alors l'hypoténuse ? Pense à convertir les mesures dans la même unité avant d'appliquer le théorème. Question 4 : comment calcule-t-on une vitesse à partir d'une distance et d'un temps ? Quelle conversion d'unité sera nécessaire pour exprimer le résultat en km/h ?

Question 1 – Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?

On a : La droite (AC) est perpendiculaire à la droite (AB).
La droite (BD) est perpendiculaire à la droite (AB).
(les deux triangles ont un angle droit en A et en B)
Or : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
Donc : les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

Question 2 – Longueur AC en nombre de pas

On a : A, E, B alignés
C, E, D alignés
les droites (AC) et (BD) sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès
AEEB = CEED = ACBD
205 = CEED = AC1
205 = AC1
AC = 20 × 1 ÷ 5 = 4 pas
Donc : la largeur de la rivière AC mesure 4 pas.

Question 3 – Montrer que CE ≈ 13,3 m

⚠️ On convertit d'abord : 1 pas = 65 cm = 0,65 m
AE = 20 × 0,65 = 13 m | AC = 4 × 0,65 = 2,6 m
On a : Le triangle AEC est rectangle en A.
AE = 13 m
AC = 2,6 m
Hypoténuse : CE
Or : d'après le théorème de Pythagore
CE² = AE² + AC²
CE² = 13² + 2,6²
CE² = 169 + 6,76
CE² = 175,76
CE = √175,76 ≈ 13,257…
Donc : CE ≈ 13,3 m (arrondi au décimètre). ✓

Question 4a – Vitesse du bâton en m/s

On utilise un tableau de proportionnalité :

Distance (m) | 13,3 | ?
Temps (s) | 5 | 1

? = 13,3 × 1 ÷ 5 = 2,66 m/s

La vitesse du bâton est de 2,66 m/s.

Question 4b – Vitesse inférieure à 10 km/h ?

⚠️ On cherche la distance parcourue en 1 heure, c'est-à-dire en 3 600 secondes.

On utilise un tableau de proportionnalité :

Distance (m) | 2,66 | ?
Temps (s) | 1 | 3 600

? = 2,66 × 3 600 ÷ 1 = 9 576 m

9 576 m = 9,576 km
Or : 9,576 km < 10 km
Donc : Oui, le bâton se déplace bien à une vitesse moyenne inférieure à 10 km/h.
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Exercice 2 – Le cerf-volant

## Exercice 2 / 3

Thalès · Pythagore
✓ Vu
Thomas décide d'accrocher sa ficelle de cerf-volant au sol en T. Le cerf-volant est en C. La longueur de fil TC = 15 m, la distance TH = 20 pas et un pas de Thomas mesure 0,6 m. Les points T, C, E sont alignés et les points T, H, F sont alignés. EF = 13,5 m.
1

Calculer la longueur TH en mètre.

2

Calculer la longueur CH en mètre.

3

Thomas voudrait dérouler plus de corde afin que le cerf-volant atteigne l'altitude E de sorte que EF = 13,5 m. Calculer la longueur TE.

💡 Indice – débloque-les un par un

Question 1 : quelle relation y a-t-il entre TH et TC d'après l'énoncé ? Comment en déduire la valeur de TH ?
Question 2 : dans le triangle TCH, en quel sommet est l'angle droit ? Quelle est donc l'hypoténuse ? Quel théorème relie les trois côtés d'un triangle rectangle ?
Question 3 : y a-t-il deux triangles qui partagent un sommet commun et dont deux côtés seraient parallèles ? Si oui, quel théorème s'applique ? Quels rapports peut-on alors écrire pour trouver EF ?

Question 1 – Longueur TH en mètre

TH = 20 × 0,6 = 12 m
TH = 12 m

Question 2 – Longueur CH en mètre

On a : Le triangle TCH est rectangle en H (H est au sol).
TC = 15 m (hypoténuse) | TH = 12 m
Or : d'après le théorème de Pythagore :
TC² = TH² + CH²
15² = 12² + CH²
225 = 144 + CH²
CH² = 225 − 144 = 81
CH = √81 = 9 m
Donc : CH = 9 m

Question 3 – Longueur TE

On a : T, C, E alignés et T, H, F alignés et (CH) ∥ (EF) (les deux triangles sont rectangles sur le sol)
Or : d'après le théorème de Thalès :
TETC = TFTH = EFCH
TE15 = 13,59
TE = 13,5 × 15 ÷ 9 = 22,5 m
Donc : Thomas devra dérouler une longueur TE = 22,5 m de corde.
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Exercice 3 – L'étagère

## Exercice 3 / 3

Pythagore · Thalès · Pourcentages
✓ Vu
Une famille a acheté une étagère affichée à 139,90 € avec une réduction de 10 %. L'étagère est montée à plat au sol (position 1) et relevée contre le mur (position 2). On a AB = AB' = 0,80 m et BC = B'C' = 2,25 m. Le mur mesure 2,40 m de hauteur.
1

Quel a été le montant de la réduction ? (Trouver les deux méthodes.)

2

Vérifier que l'étagère ne touchera pas le plafond au moment de la relever.

Rappel : AB = 0,80 m et BC = 2,25 m

3

On installe quatre tablettes horizontales régulièrement espacées [DE], [FG], [HI] et [JK]. Données : B'C' = 2,25 m, AB' = 0,80 m.

a

Calculer la longueur C'E.

b

Calculer la longueur de la tablette [DE].

c

Calculer la longueur de la tablette [HI].

💡 Indice – débloque-les un par un

Question 1 : une remise de 10 %, ça veut dire qu'on soustrait 10 % du prix initial. Comment calcule-t-on 10 % d'un nombre ? Existe-t-il une façon plus directe d'obtenir le prix final en calculant un seul pourcentage ?
Question 2 : dans le triangle ABC, en quel sommet est l'angle droit ? Quel théorème permet de calculer un côté d'un triangle rectangle ? Quelle condition sur la longueur trouvée permettrait de conclure que l'étagère ne touche pas le plafond ?
Questions 3b et 3c : dans chaque cas, cherche deux triangles emboîtés qui partagent un sommet et dont un côté serait parallèle à un autre. Une fois la configuration identifiée, quels rapports le théorème de Thalès permet-il d'écrire ?

Question 1 – Montant de la réduction

Méthode 1 : trouver 10 % du prix

Pourcentage (%) | 100 | 10
Prix (€) | 139,90 | ?

? = 10 × 139,90 ÷ 100 = 13,99 €

La réduction est de 13,99 €.

Méthode 2 : trouver directement le prix payé (90 %)

Pourcentage (%) | 100 | 90
Prix (€) | 139,90 | ?

? = 90 × 139,90 ÷ 100 = 125,91 €

Réduction = 139,90 − 125,91 = 13,99 €
La réduction est de 13,99 €. ✓

Question 2 – L'étagère touchera-t-elle le plafond ?

On a : Le triangle ABC est rectangle en B.
AB = 0,80 m | BC = 2,25 m | Hypoténuse : AC
Or : d'après le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 0,80² + 2,25²
AC² = 0,64 + 5,0625 = 5,7025
AC = √5,7025 = 2,3879… ≈ 2,39 m
Or : 2,39 m < 2,40 m (hauteur du plafond)
Donc : L'étagère ne touchera pas le plafond lors du relevage. ✓

Question 3a – Longueur C'E

Les 5 intervalles (4 tablettes + 1 au-dessus) sont régulièrement espacés sur C'B' = 2,25 m. Donc chaque intervalle vaut C'B'/5.

C'E = C'B' ÷ 5 = 2,25 ÷ 5 = 0,45 m
C'E = 0,45 m

Question 3b – Longueur de la tablette [DE]

On a : C', D alignés sur le côté gauche de l'étagère
C', E, B' alignés sur le côté droit de l'étagère
les droites (DE) et (AB') sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès dans le grand triangle C'AB' et le petit triangle C'DE :
C'B'C'E = C'AC'D = AB'DE
2,250,45 = C'AC'D = 0,80DE
2,250,45 = 0,80DE
DE = 0,80 × 0,45 ÷ 2,25 = 0,16 m
Donc : la tablette [DE] mesure 0,16 m.

Question 3c – Longueur de la tablette [HI]

⚠️ La tablette [HI] est la 3ème en partant du haut. C'I = 3 × C'E = 3 × 0,45 = 1,35 m
On a : C', D, E, I alignés sur le côté droit de l'étagère
C', J, H alignés sur le côté gauche de l'étagère
les droites (HI) et (DE) sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès dans le grand triangle C'IH et le petit triangle C'ED :
C'IC'E = C'HC'D = HIDE
1,350,45 = C'HC'D = HI0,16
1,350,45 = HI0,16
HI = 1,35 × 0,16 ÷ 0,45 = 0,48 m
Donc : la tablette [HI] mesure 0,48 m.

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