📌 Deux méthodes pour simplifier une fraction

Méthode 1 — Divisions successives
On divise le numérateur et le dénominateur par un même petit nombre (2, 3, 5…), autant de fois que possible, jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun.
Critères de divisibilité :
÷ 2 : dernier chiffre pair (0,2,4,6,8)
÷ 3 : somme des chiffres divisible par 3
÷ 5 : se termine par 0 ou 5
÷ 9 : somme des chiffres divisible par 9
÷ 10 : se termine par 0
Méthode 2 — Décomposition en facteurs premiers
On décompose numérateur et dénominateur en produits de facteurs premiers à l'aide de tableaux de division. On écrit la fraction sous forme développée, puis on barre en rouge les facteurs communs. Il ne reste que les facteurs non communs.
Ex : 1230 = 2 × 2 × 3
— = 2 × 2 × 32 × 3 × 5 = 25
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## Exercice 1 / 8

Méthode 1 — Divisions successives

Simplifier chaque fraction en effectuant des divisions successives.

a. 1824
b. 3555
c. 4560
d. 3648
Y a-t-il un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur ? Par quoi commencer ?
Une fois une division effectuée, est-ce que la fraction obtenue peut encore être simplifiée ?
Comment savoir si une fraction est simplifiée ? Qu'est-ce que cela signifie pour ses diviseurs communs ?
a) 18/24
18 et 24 : deux derniers chiffres pairs → ÷ 2
1824 ÷ 2 912 ÷ 3 34
9 et 12 : 9+1=10 non div. par 2 → essai 3 : 9=3×3 ✓ et 12=3×4 ✓
3 et 4 : aucun diviseur commun.
18/24 = 3/4
b) 35/55
35 et 55 : se terminent par 5 → ÷ 5
3555 ÷ 5 711
7 et 11 : deux nombres premiers, aucun diviseur commun.
35/55 = 7/11
c) 45/60
45 et 60 : 60 pair mais 45 impair → pas ÷ 2. Se terminent par 5 et 0 → ÷ 5
4560 ÷ 5 912 ÷ 3 34
9 : somme 9 div. par 3 ✓ ; 12 : somme 3 div. par 3 ✓
3 et 4 : aucun diviseur commun.
45/60 = 3/4
d) 36/48
36 et 48 : deux derniers chiffres pairs → ÷ 2, puis encore ÷ 2, puis ÷ 3
3648 ÷ 2 1824 ÷ 2 912 ÷ 3 34
3 et 4 : aucun diviseur commun.
36/48 = 3/4
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## Exercice 2 / 8

Méthode 2 — Facteurs premiers

Simplifier chaque fraction en décomposant le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.

a. 1230
b. 2842
c. 140294
d. 6084
Comment décompose-t-on un nombre en produit de facteurs premiers ? Par quel diviseur commence-t-on en général ?
Une fois les deux décompositions écrites, que cherches-tu à identifier entre le numérateur et le dénominateur ?
Qu'arrive-t-il à un facteur qui apparaît autant en haut qu'en bas d'une fraction ?
a) 12/30
Numérateur

12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |

Dénominateur

30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |

2 × 2 × 3 2 × 3 × 5 = 2 5
12/30 = 2/5
b) 28/42
Numérateur

28 | 2
14 | 2
7 | 7
1 |

Dénominateur

42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |

2 × 2 × 7 2 × 3 × 7 = 2 3
28/42 = 2/3
c) 140/294
Numérateur

140 | 2
70 | 2
35 | 5
7 | 7
1 |

Dénominateur

294 | 2
147 | 3
49 | 7
7 | 7
1 |

2 × 2 × 5 × 7 2 × 3 × 7 × 7 = 2 × 5 3 × 7 = 10 21
140/294 = 10/21
d) 60/84
Numérateur

60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |

Dénominateur

84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |

2 × 2 × 3 × 5 2 × 2 × 3 × 7 = 5 7
60/84 = 5/7
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## Exercice 3 / 8

Méthode 1 Méthode 2 Au choix

Simplifier chaque fraction. Choisir librement la méthode.

a. 7290
b. 125200
c. 48132
Quels critères pourraient guider ton choix de méthode entre les deux proposées ?
Par quel nombre 125 et 200 sont-ils tous les deux divisibles ? Est-ce qu'on peut appliquer cette division plusieurs fois ?
a) 72/90 — méthode 1
72 et 90 : deux derniers chiffres pairs → ÷ 2
Puis sommes de chiffres : 3+6=9 et 4+5=9, les deux div. par 9 → ÷ 9
7290 ÷ 2 3645 ÷ 9 45
4 et 5 : aucun diviseur commun.
72/90 = 4/5
b) 125/200 — méthode 1
125 (finit par 5) et 200 (finit par 0) → ÷ 5 trois fois
125200 ÷ 5 2540 ÷ 5 58
5 et 8 : aucun diviseur commun.
125/200 = 5/8
c) 48/132 — méthode 2
Numérateur

48 | 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |

Dénominateur

132 | 2
66 | 2
33 | 3
11 | 11
1 |

2 × 2 × 2 × 2 × 3 2 × 2 × 3 × 11 = 2 × 2 11 = 4 11
48/132 = 4/11
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## Exercice 4 / 8

🧩 Problème Méthode 1
🍕 Les parts de pizza
Une pizza est découpée en 24 parts égales. Après le repas, il reste 16 parts.
1. Quelle fraction de la pizza reste-t-il ? Écrire la fraction puis la simplifier.
2. Quelle fraction a-t-on mangée ? La simplifier également.
Quelles sont les deux informations du problème qui correspondent au numérateur et au dénominateur ?
Quel est le plus petit nombre qui divise à la fois 16 et 24 ?
1. Fraction restante

Il reste 16 parts sur 24 : fraction = 1624

1624 ÷ 2 812 ÷ 2 46 ÷ 2 23
Il reste 2/3 de la pizza.
2. Fraction mangée

On a mangé 24 − 16 = 8 parts : fraction = 824

824 ÷ 2 412 ÷ 2 26 ÷ 2 13
On a mangé 1/3 de la pizza.

✓ Vérification : 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1 ✓

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## Exercice 5 / 8

🧩 Problème Méthode 2
📐 La salle de classe
Dans une école, une salle a une superficie de 126 m². L'école entière fait 378 m².
1. Quelle fraction de l'école représente cette salle ? Écrire la fraction.
2. Simplifier cette fraction en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
Quelle opération permet d'obtenir la fraction représentant la salle à partir des données du problème ?
Quels critères de divisibilité peux-tu utiliser pour tester 126 et 378 ? Pense au dernier chiffre, et à la somme des chiffres.
Qu'est-ce qui va se passer avec les facteurs qui apparaissent en même temps au numérateur et au dénominateur ?
1. Fraction de l'école

La salle représente 126378 de l'école.

2. Simplification par facteurs premiers
Numérateur

126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |

Dénominateur

378 | 2
189 | 3
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |

2 × 3 × 3 × 7 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 1 3
La salle représente 1/3 de l'école.
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## Exercice 6 / 8

🧩 Problème Méthode 1
🏃 La course scolaire
Lors d'une course scolaire, 75 élèves participent. 45 d'entre eux terminent avant la sonnerie.
1. Quelle fraction des élèves a terminé la course ? Simplifier.
2. Quelle fraction n'a pas terminé ? Simplifier. Vérifier que les deux fractions s'additionnent bien à 1.
Y a-t-il un diviseur commun évident à 45 et 75 ? Regarde leur dernier chiffre.
Comment obtient-on la fraction des non-finisseurs à partir de celle des finisseurs ? Les deux fractions doivent-elles s'additionner à quelque chose de précis ?
1. Fraction des finisseurs

4575 : 45 et 75 se terminent par 5 → ÷ 5. Puis 9 et 15 : sommes 9 et 6, les deux divisibles par 3 → ÷ 3.

4575 ÷ 5 915 ÷ 3 35
3/5 des élèves ont terminé la course.
2. Fraction des non-finisseurs

75 − 45 = 30 élèves n'ont pas terminé : 3075

3075 ÷ 5 615 ÷ 3 25
2/5 des élèves n'ont pas terminé.

✓ Vérification : 3/5 + 2/5 = 5/5 = 1 ✓

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## Exercice 7 / 8

🧩 Problème Méthode 2
💧 La citerne
Une citerne contient 252 litres d'eau. On en utilise 168 litres pour arroser le jardin.
1. Quelle fraction de la citerne a-t-on utilisée ? Simplifier avec la méthode des facteurs premiers.
2. Quelle fraction reste-t-il dans la citerne ?
Quelles informations du problème correspondent au numérateur et au dénominateur ? Quel critère de divisibilité tester en premier pour 168 ?
Pour 252, quels critères de divisibilité peut-on tester ? Pense au dernier chiffre et à la somme des chiffres.
Une fois la fraction des litres utilisés simplifiée, comment obtenir la fraction des litres restants ?
1. Fraction utilisée

On a utilisé 168252 de la citerne.

Numérateur

168 | 2
84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |

Dénominateur

252 | 2
126 | 2
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1 |

2 × 2 × 2 × 3 × 7 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2 3
On a utilisé 2/3 de la citerne.
2. Fraction restante

Il reste 3 − 23 = 13 dans la citerne. Cette fraction est déjà simplifiée.

Il reste 1/3 de la citerne.
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## Exercice 8 / 8

🧩 Problème ⭐ Très difficile
📊 Le sondage
Un collège a mené un sondage auprès de ses 840 élèves. 504 d'entre eux déclarent préférer les maths aux autres matières.
1. Quelle fraction des élèves préfère les maths ? Simplifier par la méthode de ton choix.
2. Parmi les 504 élèves qui préfèrent les maths, 280 sont en 6ème ou 5ème. Quelle fraction des « matheux » sont en 6ème ou 5ème ? Simplifier.
3. Quelle fraction de l'ensemble du collège cela représente-t-il ?
Quels sont les deux nombres de la fraction pour la question 1 ? Par quels diviseurs commencer pour les simplifier ?
Pour la question 2, comment identifier les deux nombres qui forment la fraction ? Quels outils de divisibilité as-tu déjà utilisés ?
Pour la question 3, comment écrire la fraction représentant les élèves absents ? Peut-on la relier aux résultats précédents ?
1. Fraction des « matheux »

504840 : les deux sont pairs et divisibles par 2, puis encore par 2, par 2, par 3 :

504840 ÷ 2 252420 ÷ 2 126210 ÷ 2 63105 ÷ 3 2135 ÷ 7 35
3/5 des élèves préfèrent les maths.
2. Fraction des matheux en 6ème/5ème

280504 :

280504 ÷ 2 140252 ÷ 2 70126 ÷ 2 3563 ÷ 7 59
5/9 des élèves qui préfèrent les maths sont en 6ème ou 5ème.
3. Fraction de l'ensemble du collège

Les 280 élèves sur 840 : 280840

280840 ÷ 2 140420 ÷ 2 70210 ÷ 2 35105 ÷ 5 721 ÷ 7 13
1/3 de l'ensemble du collège sont des matheux de 6ème ou 5ème.

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