Progression
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## Exercice 1 / 7

Simplifier
✓ Vu

Simplifier les expressions suivantes :

\(1 \times x\)
\(x \times x \times x\)
\(-1 \times a\)
\(4 \times x \times 5\)
\(2 \times a \times b \times 3\)
\(3 \times x \times x \times 2\)
\(-2 \times x \times (-3)\)
\((a + b) \times 1\)

💡 Indice

Que se passe-t-il quand on multiplie par \(1\) ou par \(-1\) ? Et quand une variable se multiplie par elle-même plusieurs fois, comment l'écrire avec un exposant ?
Quand tu multiplies des coefficients, comment gérer les signes ? Et à quel endroit écrit-on le coefficient dans un monôme ? Est-ce que l'ordre « nombre × lettre » compte ?
\(1 \times x = x\)
\(x \times x \times x = x^3\)
\(-1 \times a = -a\)
\(4 \times x \times 5 = 20x\)
\(2 \times a \times b \times 3 = 6ab\)
\(3 \times x \times x \times 2 = 6x^2\)
\(-2 \times x \times (-3) = 6x\)
\((a + b) \times 1 = a + b\)

💡 On multiplie les coefficients entre eux (signes inclus), puis on regroupe les variables avec leur exposant.

## Exercice 2 / 7

RéduireTermes semblables
✓ Vu

Réduire les expressions suivantes :

\(5x - 2x + x\)
\(3a + 2b - a + 4b\)
\(4x^2 + 3x - x^2 + 2x\)
\(7 - 3x + 2x^2 - 5 + x\)
\(-2x + 3y - x - 3y + 4\)
\(2a^2 - 5a + 1 + 3a^2 + 4a - 6\)

💡 Indice

Quels termes peut-on regrouper ? Qu'ont-ils en commun pour être « semblables » ?
Attention : \(x\) et \(x^2\) sont différents — on ne peut pas les additionner. De même, \(x\) et \(y\) restent séparés.

🎨 Les termes surlignés de la même couleur appartiennent à la même famille.

\(5x\) \(-\) \(2x\) \(+\) \(x\)
\(= 4x\)
\(3a\) \(+\) \(2b\) \(-\) \(a\) \(+\) \(4b\)
\(= 2a + 6b\)
\(4x^2\) \(+\) \(3x\) \(-\) \(x^2\) \(+\) \(2x\)
\(= 3x^2 + 5x\)
\(2x^2\) \(-\) \(3x\) \(+\) \(7\) \(-\) \(5\) \(+\) \(x\)
\(= 2x^2 - 2x + 2\)
\(-2x\) \(+\) \(3y\) \(-\) \(x\) \(-\) \(3y\) \(+\) \(4\)
\(= -3x + 4\)
\(2a^2\) \(-\) \(5a\) \(+\) \(1\) \(+\) \(3a^2\) \(+\) \(4a\) \(-\) \(6\)
\(= 5a^2 - a - 5\)
termes en \(x\) / \(a\) termes en \(x^2\) / \(a^2\) constantes termes en \(a\) (rouge) termes en \(b\) termes en \(y\)

## Exercice 3 / 7

Simplifierpuis réduire
✓ Vu

Simplifier puis réduire :

\(3 \times x + 2 \times x\)
\(4 \times a - a \times 3 + 2 \times a\)
\(2 \times x^2 + 5 \times x \times x - 3 \times x\)
\(-3 \times y + 4 \times y \times 2 - y \times (-1)\)

💡 Indice

Dans quel ordre procéder : simplifier chaque produit d'abord, ou regrouper les termes en premier ?
Avant de chercher les termes semblables, est-ce que chaque produit est bien simplifié ? Un produit comme \(5 \times x \times x\) — comment l'écrire de façon plus compacte ? Une fois chaque terme simplifié, que cherches-tu pour regrouper ?
\(3x\) \(+\) \(2x\) \(= 5x\)
\(4a\) \(-\) \(3a\) \(+\) \(2a\) \(= 3a\)
\(2x^2\) \(+\) \(5x^2\) \(-\) \(3x\) \(= 7x^2 - 3x\)
\(-3y\) \(+\) \(8y\) \(+\) \(y\) \(= 6y\)

## Exercice 4 / 7

Programme de calcul
✓ Vu
⚙️ On donne deux programmes de calcul. Exprimer le résultat de chacun en fonction de \(x\), puis réduire.

Programme A

Étapes
1Choisir un nombre \(x\)
2Multiplier par 3
3Soustraire 5
4Ajouter \(x\)

Programme B

Étapes
1Choisir un nombre \(x\)
2Ajouter 4
3Multiplier le résultat par 2
4Soustraire \(x\)
1.Appliquer le programme A avec \(x = 5\), puis exprimer le résultat avec \(x\). Réduire.
2.Même question pour le programme B.

💡 Indice

Pour le programme B, réfléchis à l'ordre des opérations : on ajoute 4 au nombre, puis on multiplie le tout. Qu'est-ce que « le tout » signifie ici ? Comment traduire ça en expression littérale ?
Programme A
Avec \(x = 5\) : \(5 \times 3 - 5 + 5 = 15\)
Avec \(x\) : \(\quad x \;\to\; 3x \;\to\; 3x - 5 \;\to\;\) \(3x\) \(- 5 +\) \(x\)
\(= 4x - 5\)
Programme B
Avec \(x = 5\) : \((5 + 4) \times 2 - 5 = 13\)
Avec \(x\) : \(\quad x \;\to\; x+4 \;\to\; 2(x+4) \;\to\; 2x + 8 -\) \(x\)
\(= x + 8\)

## Exercice 5 / 7

PérimètreRéduire
✓ Vu
📐 Exprimer et réduire le périmètre de chaque figure en fonction de \(x\).

Triangle ABC

Trapèze isocèle

1.Exprimer le périmètre du triangle ABC, puis le réduire.
2.Exprimer le périmètre du trapèze, puis le réduire.
3.Pour quelle valeur de \(x\) les deux figures ont-elles le même périmètre ?

💡 Indices progressifs

Le périmètre, c'est la somme de tous les côtés. Quels termes en \(x\) et quelles constantes peut-on regrouper ?
Si deux périmètres sont égaux, que peut-on écrire ? Une fois cette égalité posée, que cherches-tu à trouver, et comment s'y prendre ?
Triangle ABC
\(P = (2x+1) + (x+3) + (3x-2)\)
\(2x\) \(+\) \(1\) \(+\) \(x\) \(+\) \(3\) \(+\) \(3x\) \(-\) \(2\)
\(P_\triangle = 6x + 2\)
Trapèze isocèle
\(P = 4x + (x+5) + (2x-1) + (2x-1)\)
\(4x\) \(+\) \(x\) \(+\) \(5\) \(+\) \(2x\) \(-\) \(1\) \(+\) \(2x\) \(-\) \(1\)
\(P_\text{trap} = 9x + 3\)
Même périmètre
\(6x + 2 = 9x + 3 \;\Rightarrow\; -1 = 3x\)
\(x = -\dfrac{1}{3}\)

## Exercice 6 / 7

PérimètreRéduire
✓ Vu
🟦 Un rectangle a pour longueur \(2x + 3\) et pour largeur \(x\). Un carré a pour côté \(x + 2\).
1.Exprimer l'aire du rectangle (sans développer) en fonction de \(x\).
2.Exprimer et réduire le périmètre du rectangle.
3.Exprimer le périmètre du carré en fonction de \(x\), et le réduire.

💡 Indices

Pour ce rectangle, quelles mesures as-tu besoin de connaître pour calculer l'aire et le périmètre ? Comment les exprimer à partir des dimensions données en fonction de \(x\) ?
As-tu bien écrit le périmètre avec les deux dimensions ? Si l'une des dimensions contient une somme, comment s'assurer qu'on la multiplie entièrement par 2, et pas seulement une partie ?
Question 1 — Aire
\(\mathcal{A} = x(2x + 3)\) (on ne développe pas)
Question 2 — Périmètre du rectangle
\(P = 2(2x+3) + 2x = 4x + 6 + 2x\)
\(4x\) \(+\) \(6\) \(+\) \(2x\)
\(P_\text{rect} = 6x + 6\)
Question 3 — Périmètre du carré
\(P = 4(x+2) = 4x + 8\)
\(P_\text{carré} = 4x + 8\)

## Exercice 7 / 7

⭐ BilanPérimètre composé🔴 Difficile
✓ Vu
🌟 Une piste de course est formée d'un rectangle de longueur \(4x + 1\) m et de largeur \(2x\) m, avec deux demi-cercles de diamètre \(2x\) collés sur les petits côtés. On donne \(\pi \approx 3{,}14\).
1.Exprimer et réduire le périmètre des deux grands côtés du rectangle.
2.Les deux demi-cercles forment un cercle complet de diamètre \(2x\). Exprimer sa circonférence en fonction de \(x\).
3.En déduire le périmètre total de la piste. Calculer sa valeur pour \(x = 5\).

💡 Indices

Seuls les deux grands côtés sont comptés (les petits côtés sont remplacés par les demi-cercles). Combien y en a-t-il ?
Les deux demi-cercles mis bout à bout forment un cercle complet. Quelle mesure du rectangle donne le diamètre de ce cercle ? Comment calculer la circonférence d'un cercle à partir de son diamètre ?
Question 1 — Deux grands côtés
\(2 \times (4x + 1)\)
\(8x\) \(+\) \(2\)
\(8x + 2\) m
Question 2 — Cercle complet
Diamètre \(= 2x\), donc circonférence \(= \pi \times 2x\)
\(2\pi x\) m
Question 3 — Périmètre total
\(P = 8x + 2 + 2\pi x = (8 + 2\pi)x + 2\)
Avec \(\pi \approx 3{,}14\) : \(\approx 14{,}28x + 2\)
Pour \(x = 5\) : \(14{,}28 \times 5 + 2 = \mathbf{73{,}4 \text{ m}}\)

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