📊 Progression
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## Exercice 1

✓ Vu

On considère la figure ci-contre et les données suivantes :

- E est le milieu de [CB]
- CE = 7 cm
- AC = 7,2 cm
- AB = 12 cm
- AD = 4 cm
- DE = 3 cm
- AE = 5 cm
- A, D et B sont alignés

1. Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

2. Le triangle ADE est-il rectangle en D ?

3. Le triangle DEB est-il rectangle en D ?

🔎 Pour chaque triangle, quel est le côté le plus long ? Quel rôle joue-t-il dans la relation de Pythagore ?
✏️ Quels calculs faut-il comparer pour décider si un triangle est rectangle ou non ? Que conclut-on selon le résultat de cette comparaison ?
🔢 Selon que les deux quantités sont égales ou différentes, quel théorème (ou quelle version) appliques-tu pour conclure ?

### Question 1 : Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

E est le milieu de [CB], donc CB = 2 × CE = 2 × 7 = 14 cm
On a :
Gauche :
AC² + AB² = 7,2² + 12²
= 51,84 + 144
= 195,84
Droite :
CB² = 14²
= 196
Or : Gauche ≠ Droite, donc AC² + AB² ≠ CB²
Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle en A

### Question 2 : Le triangle ADE est-il rectangle en D ?

On a :
Gauche :
AE² = 5²
= 25
Droite :
AD² + DE² = 4² + 3²
= 16 + 9 = 25
Or : Gauche = Droite, donc AE² = AD² + DE²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en D

### Question 3 : Le triangle DEB est-il rectangle en D ?

DB = AB - AD = 12 - 4 = 8 cm
EB = CB - CE = 14 - 7 = 7 cm
On a :
Gauche :
EB² = 7²
= 49
Droite :
DE² + DB² = 3² + 8²
= 9 + 64 = 73
Or : Gauche ≠ Droite, donc EB² ≠ DE² + DB²
Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEB n'est pas rectangle en D

## Exercice 2

✓ Vu

Un maçon cherche à construire un mur perpendiculaire au sol. Une fois le mur construit, il effectue les mesures suivantes :

MP = 50 cm ; PN = 120 cm ; MN = 130 cm

Le mur est-il bien perpendiculaire au sol ? Justifier.

🔎 Quel lien y a-t-il entre la perpendicularité du mur et la nature du triangle formé ? Quel angle serait droit si le mur est bien vertical ?
✏️ Quel côté joue le rôle d'hypoténuse si le triangle est rectangle ? Quels calculs faut-il effectuer et comparer ?
🔢 Une fois la comparaison faite, quel théorème te permet de conclure sur la perpendicularité du mur ? Comment formuler la conclusion ?
On a :
Gauche :
MN² = 130²
= 16 900
Droite :
MP² + PN² = 50² + 120²
= 2 500 + 14 400
= 16 900
Or : Gauche = Droite, donc MN² = MP² + PN²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MPN est rectangle en P

Par conséquent, le mur est bien perpendiculaire au sol.

## Exercice 3

✓ Vu

On considère la figure ci-contre telle que :

AB = 8 cm ; BC = 7,1 cm et AC = 10,5 cm

(AB) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

🔎 Quel lien y a-t-il entre la perpendicularité de (AB) et (BC) et la nature du triangle ABC ? Quel côté serait alors l'hypoténuse ?
✏️ Quels calculs dois-tu effectuer et comparer ? As-tu bien identifié quel côté est le plus grand ?
🔢 Selon le résultat de ta comparaison, quel théorème appliques-tu — et comment formules-tu la conclusion sur la perpendicularité des droites ?
On a :
Gauche :
AC² = 10,5²
= 110,25
Droite :
AB² + BC² = 8² + 7,1²
= 64 + 50,41
= 114,41
Or : Gauche ≠ Droite, donc AC² ≠ AB² + BC²
Donc : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle en B

Par conséquent, (AB) et (BC) ne sont pas perpendiculaires.

## Exercice 4

✓ Vu

On considère la figure suivante telle que :

- ADB est un triangle rectangle en B
- A, D, E alignés et A, B, C alignés
- (BD) et (EC) sont parallèles
- BD = 1,2 m ; AB = 1,6 m et BC = 18,4 m

1. Calculer AD

2. Calculer AE et EC

3. Montrer que le triangle ACE est rectangle en C.

🔎 Q1 : dans quel triangle vas-tu appliquer Pythagore ? Quel côté est l'hypoténuse ? Q2 : avant d'appliquer Thalès, vérifie les conditions — quelles droites sont parallèles, quel est le sommet commun des sécantes ?
✏️ Q2 : quelle égalité de rapports Thalès permet-il d'écrire ? Quelles valeurs connais-tu déjà, et lesquelles cherches-tu ?
🔢 Q3 : pour montrer que ACE est rectangle en C, quelle relation entre les côtés faut-il vérifier ? Quel théorème (et quelle version) permet de conclure ?

### Question 1 : Calculer AD

On a : Le triangle ADB est rectangle en B
AB = 1,6 m
BD = 1,2 m
Hypoténuse : AD
Or : d'après le théorème de Pythagore
AD² = AB² + BD²
AD² = 1,6² + 1,2² = 2,56 + 1,44 = 4
AD = √4 = 2 m
Donc : AD mesure 2 m

### Question 2 : Calculer AE et EC

AC = AB + BC = 1,6 + 18,4 = 20 m
📝 Instructions : Colorier le grand triangle EAC en rouge et le petit triangle ADB en vert.
On a : A, D, E alignés
A, B, C alignés
(BD) et (EC) sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès
AE AD = AC AB = EC BD
AE 2 = 20 1,6
AE = 20 × 2 ÷ 1,6 = 25 m
EC 1,2 = 20 1,6
EC = 20 × 1,2 ÷ 1,6 = 15 m
Donc : AE mesure 25 m et EC mesure 15 m

### Question 3 : Montrer que ACE est rectangle en C

On a :
Gauche :
AE² = 25²
= 625
Droite :
AC² + EC² = 20² + 15²
= 400 + 225
= 625
Or : Gauche = Droite, donc AE² = AC² + EC²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACE est rectangle en C
🏆
Bravo, tu as tout vu !
⭐⭐⭐

Tu as consulté toutes les corrections. Refais les exercices seul(e) pour vraiment maîtriser la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore !

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