📌 Trois méthodes pour comparer des fractions

Méthode 1 — Comparer à 1
Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur.
Elle est supérieure à 1 si son numérateur est plus grand.
Ex : 5/7 < 1 et 9/4 > 1, donc 5/7 < 9/4.
Méthode 2 — Même dénominateur
Si les dénominateurs sont identiques (ou si l'un est multiple de l'autre), on met au même dénominateur et on compare les numérateurs.
Ex : 3/8 et 1/4 → 3/8 et 2/8 → 3/8 > 2/8.
Méthode 3 — Produit en croix
Pour tester si ab et cd sont égales, on calcule a × d et b × c.
Si a × d = b × c, alors les deux fractions sont égales.
Ex : 2/3 et 4/6 → 2×6=12 et 3×4=12 → 2/3 = 4/6.
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## Exercice 1 / 7

Méthode 1 — Comparer à 1

Pour chaque paire, comparer les deux fractions en passant par 1. Écrire le résultat avec <, > ou =.

a. 53 … 47
b. 911 … 138
c. 77 … 109
Comment peut-on situer une fraction par rapport à 1 sans calculer ? Que vaut une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur ?
Si une fraction est au-dessus de 1 et l'autre en-dessous, a-t-on encore besoin de calculer pour comparer ?
Rappel : Si numérateur < dénominateur → fraction < 1. Si numérateur > dénominateur → fraction > 1. Si numérateur = dénominateur → fraction = 1.
a) 5/3 … 4/7
53 : 5 > 3 → 5/3 > 1
47 : 4 < 7 → 4/7 < 1
Une fraction est au-dessus de 1, l'autre en-dessous.
5/3 > 4/7
b) 9/11 … 13/8
911 : 9 < 11 → 9/11 < 1
138 : 13 > 8 → 13/8 > 1
Une fraction est au-dessus de 1, l'autre en-dessous.
9/11 < 13/8
c) 7/7 … 10/9
77 : 7 = 7 → 7/7 = 1
109 : 10 > 9 → 10/9 > 1
L'une vaut exactement 1, l'autre est au-dessus.
7/7 < 10/9
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## Exercice 2 / 7

Méthode 2 — Même dénominateur

Comparer chaque paire de fractions en les mettant au même dénominateur. Écrire le résultat avec <, > ou =.

a. 34 … 58
b. 23 … 79
c. 710 … 35
d. 56 … 1012
Pour chaque paire, regarde les deux dénominateurs : quelle relation y a-t-il entre eux ?
Quand on change le dénominateur d'une fraction, que doit-on obligatoirement faire au numérateur pour garder la même valeur ?
Une fois les dénominateurs identiques, comment compare-t-on deux fractions ?
a) 3/4 … 5/8
Par combien multiplie-t-on 4 pour trouver 8 ? Par 2.
34 = 3 × 24 × 2 = 68
Comparer : 68 et 58 → 6 > 5
3/4 > 5/8
b) 2/3 … 7/9
Par combien multiplie-t-on 3 pour trouver 9 ? Par 3.
23 = 2 × 33 × 3 = 69
Comparer : 69 et 79 → 6 < 7
2/3 < 7/9
c) 7/10 … 3/5
Par combien multiplie-t-on 5 pour trouver 10 ? Par 2.
35 = 3 × 25 × 2 = 610
Comparer : 710 et 610 → 7 > 6
7/10 > 3/5
d) 5/6 … 10/12
Par combien multiplie-t-on 6 pour trouver 12 ? Par 2.
56 = 5 × 26 × 2 = 1012
Comparer : 1012 et 1012 → 10 = 10
5/6 = 10/12 (fractions égales)
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## Exercice 3 / 7

Méthode 3 — Produit en croix

Pour chaque paire, utiliser le produit en croix pour déterminer si les deux fractions sont égales ou non.

a. 35 et 610
b. 46 et 69
c. 58 et 1525
d. 74 et 2112
Le produit en croix : quels sont les deux produits à calculer pour tester l'égalité de deux fractions ?
Pour a), quels sont exactement les deux produits à comparer ? Sont-ils égaux ?
Que conclure si les deux produits en croix sont égaux ? Et s'ils sont différents ?
Méthode : Pour tester si a/b = c/d, on calcule a × d et b × c. Si ces deux produits sont égaux, les fractions sont égales ; sinon elles sont différentes.
a) 3/5 et 6/10
3 × 10 = 30 et 5 × 6 = 30
30 = 30
3/5 = 6/10 ✓
b) 4/6 et 6/9
4 × 9 = 36 et 6 × 6 = 36
36 = 36
4/6 = 6/9 ✓
c) 5/8 et 15/25
5 × 25 = 125 et 8 × 15 = 120
125 ≠ 120
5/8 ≠ 15/25
d) 7/4 et 21/12
7 × 12 = 84 et 4 × 21 = 84
84 = 84
7/4 = 21/12 ✓
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## Exercice 4 / 7

🧩 Problème Méthode 1
🍰 Les parts de gâteau
Alice a mangé 76 de part de gâteau (elle a repris du dessert !). Son frère Paul a mangé 58 de part.
1. Sans calculer, dire qui a mangé plus d'une part entière et qui a mangé moins d'une part.
2. En déduire qui a mangé le plus. Justifier.
Comment la comparaison du numérateur et du dénominateur te renseigne-t-elle sur la position d'une fraction par rapport à 1 ?
Sachant où chaque fraction se situe par rapport à 1, peut-on conclure directement sans autre calcul ?
1. Position par rapport à 1

76 : 7 > 6 → 7/6 > 1 : Alice a mangé plus d'une part entière.

58 : 5 < 8 → 5/8 < 1 : Paul a mangé moins d'une part entière.

2. Conclusion

7/6 est supérieure à 1 et 5/8 est inférieure à 1, donc 7/6 > 1 > 5/8.

Alice a mangé plus que Paul : 7/6 > 5/8.
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## Exercice 5 / 7

🧩 Problème Méthode 2
🏊 La piscine
Lors d'un entraînement, Camille a nagé 34 du programme prévu. Son coéquipier Romain a nagé 712 du même programme.
1. Mettre ces deux fractions au même dénominateur.
2. Qui a nagé le plus ? De quelle fraction de programme Camille a-t-elle nagé de plus que Romain ?
Regarde les deux dénominateurs : quelle relation y a-t-il entre 4 et 12 ?
Pour transformer 3/4 avec un dénominateur de 12, par quel nombre faut-il multiplier le dénominateur ? Que fait-on alors au numérateur ?
Une fois les fractions au même dénominateur, quelle opération effectuer pour trouver la différence ?
1. Mise au même dénominateur

Par combien multiplie-t-on 4 pour trouver 12 ? Par 3.

34 = 3 × 34 × 3 = 912

On compare : 912 et 712 → 9 > 7

3/4 > 7/12, donc Camille a nagé plus.
2. Différence

912 − 712 = 212 = 16

Camille a nagé 1/6 de programme de plus que Romain.
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## Exercice 6 / 7

🧩 Problème Méthode 3
🧪 Les solutions chimiques
Dans un laboratoire, deux techniciens préparent des solutions. Le technicien A dit avoir mis 38 de produit dans sa fiole. Le technicien B dit en avoir mis 924.
1. Utilise le produit en croix pour vérifier si leurs deux fractions sont égales.
2. Que peut-on conclure sur leurs solutions ?
Pour tester l'égalité par produit en croix, quels sont les quatre nombres impliqués et quels produits calcule-t-on ?
Que signifie l'égalité (ou l'inégalité) des deux produits pour les deux solutions chimiques ?
1. Test par produit en croix

On teste si 38 = 924.

3 × 24 = 72

8 × 9 = 72

72 = 72 → les produits en croix sont égaux.

3/8 = 9/24 ✓
2. Conclusion
Les deux techniciens ont mis la même proportion de produit dans leur fiole. Leurs solutions sont identiques.
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## Exercice 7 / 7

🧩 Problème ⭐ Méthode au choix Très difficile
🗺️ Les randonneurs
Trois amis ont chacun parcouru une fraction du sentier de randonnée de 24 km :
• Jade : 56 du sentier
• Noé : 78 du sentier
• Iris : 1112 du sentier
1. Ranger ces trois fractions dans l'ordre croissant. Justifie en choisissant la méthode la plus adaptée.
2. Qui est arrivé le plus loin ? Combien de kilomètres a-t-il parcouru ?
Y a-t-il un nombre qui serait multiple des trois dénominateurs à la fois ? Comment le trouver ?
Pour chaque fraction, par quel nombre faut-il multiplier son dénominateur pour atteindre le dénominateur commun ? Que fait-on alors au numérateur ?
Une fois la comparaison faite, comment passe-t-on de la fraction gagnante à une distance en kilomètres ?
1. Mise au même dénominateur (méthode 2)

Dénominateurs : 6, 8, 12. Le dénominateur commun est 24.

Jade : 56 → par combien multiplie-t-on 6 pour trouver 24 ? Par 4. → 5 × 46 × 4 = 2024

Noé : 78 → par combien multiplie-t-on 8 pour trouver 24 ? Par 3. → 7 × 38 × 3 = 2124

Iris : 1112 → par combien multiplie-t-on 12 pour trouver 24 ? Par 2. → 11 × 212 × 2 = 2224

Comparaison des numérateurs : 20 < 21 < 22

Ordre croissant : 5/6 < 7/8 < 11/12, soit Jade < Noé < Iris.
2. Distance parcourue par Iris

Iris a parcouru 1112 du sentier de 24 km.

Par combien multiplie-t-on 12 pour trouver 24 ? Par 2. Donc 24 ÷ 12 = 2 km par douzième.

11 × 2 = 22 km.

Iris est arrivée le plus loin, avec 22 km parcourus.

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