📖 Ce qu'il faut savoir
Calculer une image / un antécédent
Image de \(a\) par \(f\) : remplace \(x\) par \(a\) et calcule \(f(a)\). C'est le nombre d'arrivée.
Antécédent de \(b\) par \(f\) : résous \(f(x) = b\). C'est le nombre de départ.
Lecture graphique : partir de l'axe des \(x\) (→ image) ou de l'axe des \(y\) (→ antécédent), tracer des pointillés jusqu'à la droite.
Proportionnalité & axe des ordonnées
Une fonction \(f(x) = ax + b\) est proportionnelle seulement si \(b = 0\), c'est-à-dire \(f(x) = ax\). La droite passe alors par \((0\,;\,0)\).
La droite coupe l'axe des ordonnées en \((0\,;\,f(0))\). Pour \(f(x) = ax + b\), ce point est \((0\,;\,b)\).
L'axe des ordonnées est l'axe vertical (\(x = 0\)). L'axe des abscisses est l'axe horizontal (\(y = 0\)).
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Exercice 1 – Fonction \(f(x) = 2x + 3\)

## Exercice 1 / 2

Images · Antécédents · Graphique · Proportionnalité
✓ Vu
On considère la fonction \(f(x) = 2x + 3\).
1Que vaut \(f(2)\) ?
2Que vaut \(f(-3)\) ?
3Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = 6\) ?
4Remplir le tableau de valeurs suivant :

\(x\) | \(2\) | \(0\) | \(-3\) |
--- | --- | --- | --- | ---
\(f(x)\) |  |  |  | \(6\)

5Placer quelques points du tableau sur le graphique, puis tracer la fonction \(f\).
📏 Place au moins 2 points bien espacés, puis relie-les à la règle. Deux points suffisent pour tracer une droite !
6Lire graphiquement \(f(1)\).
7Lire graphiquement : pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = 4\) ?
8Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifier.
9En quel point la droite croise-t-elle l'axe des ordonnées ?
💡 Indices
Pour Q1 et Q2 : remplace \(x\) par le nombre demandé dans \(2x + 3\) et calcule. Attention aux signes avec les négatifs.
Pour Q3 : quelle équation traduit « l'image d'un nombre par f vaut 6 » ? Pour résoudre, comment fait-on disparaître le terme constant d'abord ?
Pour Q8 : rappelle-toi ce qu'est une situation de proportionnalité. Que doit vérifier la courbe représentative ? Que doit valoir f(0) dans une fonction proportionnelle ?

1. Valeur de \(f(2)\)

\(f(2) = 2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7\)
\(f(2) = 7\)

2. Valeur de \(f(-3)\)

\(f(-3) = 2 \times (-3) + 3 = -6 + 3 = -3\)
\(f(-3) = -3\)

3. Antécédent de \(6\) par \(f\)

On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 6\), c'est-à-dire :

\(2x\) \(+\,3\) \(= 6\)
\(-\,3\)
\(-\,3\)
\(2\)\(x = 3\)
\(\div\,2\)
\(\div\,2\)
\(x = \dfrac{3}{2}\)
L'antécédent de \(6\) par \(f\) est \(\dfrac{3}{2}\).

4. Tableau complété

\(x\) | \(2\) | \(0\) | \(-3\) | \(\frac{3}{2}\)
--- | --- | --- | --- | ---
\(f(x)\) | \(7\) | \(3\) | \(-3\) | \(6\)

5, 6 & 7. Graphique de \(f\) avec lectures

Pointillés verts : \(f(1) = 5\) | Pointillés rouges : \(f(x) = 4 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
Q6. On part de \(x = 1\) sur l'axe des \(x\) → pointillé vertical jusqu'à la droite → pointillé horizontal jusqu'à l'axe des \(y\) → \(f(1) = 5\).
Q7. On part de \(y = 4\) sur l'axe des \(y\) → pointillé horizontal jusqu'à la droite → pointillé vertical jusqu'à l'axe des \(x\) → \(x = \dfrac{1}{2}\).

8. Proportionnalité

⚠️ \(f(x) = 2x + 3\) n'est pas une situation de proportionnalité. En effet, \(f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3 \neq 0\) : la droite ne passe pas par l'origine \((0\,;\,0)\). Une fonction de proportionnalité s'écrit \(f(x) = k \cdot x\) sans terme constant.

9. Intersection avec l'axe des ordonnées

L'axe des ordonnées correspond à \(x = 0\).
\(f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3\)
La droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;\,3)\).
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Exercice 2 – Fonction \(g(x) = 2x\)

## Exercice 2 / 2

Images · Antécédents · Graphique · Proportionnalité
✓ Vu
On considère la fonction \(g(x) = 2x\).
1Que vaut \(g(2)\) ?
2Que vaut \(g(-1)\) ?
3Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(g(x) = 6\) ?
4Remplir le tableau de valeurs suivant :

\(x\) | \(2\) | \(0\) | \(-1\) |
--- | --- | --- | --- | ---
\(g(x)\) |  |  |  | \(6\)

5Placer quelques points du tableau sur le graphique, puis tracer la fonction \(g\).
📏 Place au moins 2 points bien espacés, puis relie-les à la règle. Cette droite est-elle particulière par rapport à celle de l'exercice 1 ?
6Lire graphiquement \(g(1)\).
7Lire graphiquement : pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(g(x) = 4\) ?
8Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifier.
9En quel point la droite croise-t-elle l'axe des ordonnées ?
💡 Indices
Pour Q1 et Q2 : \(g(x) = 2x\) signifie qu'on multiplie \(x\) par \(2\). Il n'y a pas de terme à ajouter.
Pour Q3 : quelle équation traduit « l'image d'un nombre par g vaut 6 » ? Cette équation est-elle plus simple à résoudre que celle de l'exercice 1 ? Pourquoi ?
Pour Q8 : calcule g(0) et compare avec ce que tu as trouvé pour f(0) à l'exercice 1. Qu'est-ce que cela révèle sur la différence entre f et g du point de vue de la proportionnalité ?

1. Valeur de \(g(2)\)

\(g(2) = 2 \times 2 = 4\)
\(g(2) = 4\)

2. Valeur de \(g(-1)\)

\(g(-1) = 2 \times (-1) = -2\)
\(g(-1) = -2\)

3. Antécédent de \(6\) par \(g\)

On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 6\), c'est-à-dire :

\(2\)\(x = 6\)
\(\div\,2\)
\(\div\,2\)
\(x = 3\)
L'antécédent de \(6\) par \(g\) est \(3\).

4. Tableau complété

\(x\) | \(2\) | \(0\) | \(-1\) | \(3\)
--- | --- | --- | --- | ---
\(g(x)\) | \(4\) | \(0\) | \(-2\) | \(6\)

5, 6 & 7. Graphique de \(g\) avec lectures

Pointillés verts : \(g(1) = 2\) | Pointillés rouges : \(g(x) = 4 \Rightarrow x = 2\)
Q6. On part de \(x = 1\) → pointillé vertical → pointillé horizontal → \(g(1) = 2\).
Q7. On part de \(y = 4\) → pointillé horizontal → pointillé vertical → \(x = 2\).

8. Proportionnalité

\(g(x) = 2x\) s'écrit bien sous la forme \(k \cdot x\) avec \(k = 2\).
\(g(0) = 2 \times 0 = 0\) : la droite passe par l'origine.
✓ Oui, c'est une situation de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est \(2\).
💡 Comparaison avec l'exercice 1 : \(f(x) = 2x + 3\) et \(g(x) = 2x\) ont le même coefficient directeur \(2\) (même pente), mais \(f\) a un terme constant \(+3\) qui décale la droite vers le haut et la fait passer par \((0\,;\,3)\) au lieu de \((0\,;\,0)\).

9. Intersection avec l'axe des ordonnées

\(g(0) = 2 \times 0 = 0\)
La droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;\,0)\) : c'est l'origine du repère.

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