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Ex.1 – 20 pts Ex.2 – 19 pts Ex.3 – 21 pts Ex.4 – 21 pts Ex.5 – 19 pts
Exercice 1 – QCM
20 points
✓ Vu
Questionnaire à choix multiple 5 questions · 4 points chacune · aucune justification demandée
Q1
La décomposition en produit de facteurs premiers de 120 est :
A : 2×3×4×5 B : 15×2×2×2 C : 2³×3×5 D : 53+67
Q2
Dans la cellule A2, la formule « = −4 * A1 − 12 » a été saisie. On l'étire jusqu'à la cellule B2. Sachant que B1 = 5, la valeur obtenue dans B2 est :
A : −32 B : −20 C : 8 D : 68
Q3
Sur la figure, le carré B a des côtés deux fois plus grands que le carré A. Le rapport de l'homothétie de centre O qui transforme le carré A en le carré B est :
A : −2 B : −0,5 C : 0,5 D : 2
Figure – carrés A et B avec centre O
Q4
Une écriture factorisée de 4x²−1 est :
A : (2x−1)(2x+1) B : (4x−1)(4x+1) C : 4(x−1)(x+1) D : (2x−1)²
Q5
Dans le triangle TER rectangle en R, TE = 7,4 cm et l'angle en E vaut 39°. La mesure de RE arrondie au centième est :
Triangle TER rectangle en R
A : 4,66 cm B : 5,75 cm C : 9,52 cm D : 11,76 cm

💡 Indices

Commence par le plus petit facteur premier possible. Divise successivement jusqu'à tomber sur 1.
Quand on étire une formule d'une colonne vers la suivante, quelle lettre de colonne change dans la formule ?
Le rapport d'une homothétie se calcule en comparant une longueur du carré image à la longueur correspondante du carré original.
4x² − 1 est une différence de deux carrés. Quelle identité remarquable te permet de factoriser une expression de la forme a² − b² ?
Identifie d'abord les trois côtés du triangle : lequel est l'hypoténuse ? Lequel est adjacent à l'angle en E ? Quelle fonction trigonométrique relie ces deux côtés ?

### Q1 – Décomposition de 120 → Réponse C

120 |  | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 |

\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) ✓
[encoded data, 89028 characters]" alt="" style="max-width:260px;width:100%;border-radius:10px;box-shadow:0 2px 12px var(--shadow);">
Exemple de décomposition en facteurs premiers (méthode du tableau)
\(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) ✓
A : 2×3×4×5 — 4 n'est pas premier
B : 15×2×2×2 — 15 n'est pas premier
C : 2³×3×5 ✓
D : 53+67 — c'est une somme

### Q2 – Formule tableur → Réponse A

La formule étirée vers B2 devient =−4*B1−12. Or B1 = 5, donc :

\(-4 \times 5 - 12 = -20 - 12 = -32\)
\(\text{B2} = -32\) ✓

### Q3 – Rapport de l'homothétie → Réponse D

Le carré B a des dimensions doubles de celles du carré A. Le rapport est donc 2 (positif car même sens, O est à l'extérieur).

Rapport = 2 ✓

### Q4 – Factorisation de 4x²−1 → Réponse A

On utilise l'identité \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) avec \(a = 2x\) et \(b = 1\) :

\(4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x+1)(2x-1)\)
\((2x+1)(2x-1)\) ✓

### Q5 – Triangle TER rectangle en R → Réponse B

On a : Le triangle TER est rectangle en R. \(\text{TE} = 7{,}4\) cm est l'hypoténuse ; angle en E \(= 39°\) RE est le côté adjacent à l'angle en E Or : d'après la définition du cosinus (C·A·H) :
\(\cos\!\left(\widehat{TER}\right) = \dfrac{RE}{TE}\)
\(\dfrac{\cos(39°)}{1} = \dfrac{RE}{7{,}4}\)
\(RE = \cos(39°) \times 7{,}4 \div 1\)
\(RE \approx 0{,}777 \times 7{,}4 \div 1 \approx 5{,}75\)
Donc : RE mesure environ 5,75 cm. ✓
Exercice 2 – Transport de colis
19 points
✓ Vu
Statistiques & masse volumique Probabilité · Volume · Calcul numérique
L'entreprise Transport Rapide doit livrer cinq colis A, B, C, D et E ayant les masses suivantes :

Colis | A | B | C | D | E
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Masse (kg) | 4 | 9 | 2 | 7 | 11

Les colis ont la forme d'un pavé droit de longueur L, largeur l et hauteur h :
Pavé droit de longueur L, largeur l et hauteur h

Colis | L (m) | l (m) | h (m)
--- | --- | --- | ---
A | 0,4 | 0,3 | 0,5
B | 0,5 | 0,4 | 0,8
C | 0,3 | 0,1 | 0,5
D | 0,4 | 0,3 | 0,7
E | 0,5 | 0,4 | 0,6

Q1
Calculer la moyenne des masses des colis en kg.
Q2
Déterminer la médiane des masses des colis en kg. Interpréter ce résultat.
Q3
Le transporteur choisit au hasard un colis parmi les cinq. Calculer la probabilité qu'il sélectionne un colis de masse inférieure à 8 kg.
Q4a
Vérifier que le volume du colis E est de 0,12 m³.
Q4b
Montrer que la masse volumique du colis E arrondie au dixième est 91,7 kg/m³.
Rappel : masse volumique (kg/m³) = masse (kg)volume (m³)
Q4c
Le transporteur affirme : « Le colis E est plus lourd que le colis C, donc sa masse volumique est plus grande. » A-t-il raison ?

💡 Indices

Rappelle-toi la formule de la moyenne : comment combiner toutes les masses pour obtenir une seule valeur représentative ?
Pour trouver la médiane, commence par ranger les 5 masses dans l'ordre. Quelle position occupe la valeur centrale sur 5 valeurs ?
Repère, dans le tableau, quels colis vérifient la condition. La probabilité se calcule en faisant le rapport entre les cas favorables et le total.
Calcule le volume du colis C à partir de ses dimensions, puis sa masse volumique. Compare-la ensuite avec celle du colis E.

### Q1 – Moyenne des masses

\(\text{Moyenne} = \dfrac{4 + 9 + 2 + 7 + 11}{5} = \dfrac{33}{5} = 6{,}6 \text{ kg}\)
Moyenne = 6,6 kg ✓

### Q2 – Médiane

Ordre croissant : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11

Médiane = 7 kg ✓

Interprétation : la moitié des colis pèsent au plus 7 kg, l'autre moitié pèsent au moins 7 kg.

### Q3 – Probabilité (masse < 8 kg)

Colis de masse < 8 kg : A (4 kg), C (2 kg), D (7 kg) → 3 colis favorables sur 5.

\(p = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
\(p = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\) ✓

### Q4a – Volume du colis E

\(V_E = L \times l \times h = 0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}12 \text{ m}^3 \checkmark\)

### Q4b – Masse volumique du colis E

\(\rho_E = \dfrac{\text{masse}}{\text{volume}} = \dfrac{11}{0{,}12} = \dfrac{1100}{12} \approx 91{,}7 \text{ kg/m}^3 \checkmark\)

### Q4c – Le transporteur a-t-il raison ?

\(V_C = 0{,}3 \times 0{,}1 \times 0{,}5 = 0{,}015 \text{ m}^3\)
\(\rho_C = \dfrac{2}{0{,}015} \approx 133{,}3 \text{ kg/m}^3\)

Or \(\rho_C \approx 133{,}3 > \rho_E \approx 91{,}7\).

Le transporteur a tort : le colis C est plus dense que le colis E, malgré une masse plus faible. ✓
Exercice 3 – Programme de calcul
21 points
✓ Vu
Algèbre & représentation graphique Équation · Fonction affine · Graphique
On considère le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre
↓
Multiplier par −2
↓
Ajouter 4
↓
Multiplier par 4
Q1
Montrer que si l'on choisit 1 comme nombre de départ, le résultat obtenu est 8.
Q2
Quel est le résultat si le nombre de départ est −2 ?
Q3
Si l'on note x le nombre de départ, montrer que le résultat peut s'écrire −8x + 16.
Q4a
Résoudre l'équation −8x + 16 = 4.
Q4b
En déduire le nombre de départ qu'il faut choisir pour obtenir 4 comme résultat.
Q5
Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, laquelle représente la fonction f définie par f(x) = −8x + 16 ? Expliquer la démarche.
Les trois représentations graphiques

💡 Indices

Suit le programme pas à pas, en notant le résultat après chaque opération.
Remplace le nombre de départ par x, puis applique chaque opération du programme l'une après l'autre. Développe l'expression finale.
Pour isoler x, pense à effectuer les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité, dans le bon ordre.
Calcule f(0) pour trouver où la droite coupe l'axe des ordonnées. Pense aussi au signe du coefficient directeur : la droite est-elle croissante ou décroissante ?

### Q1 – Nombre de départ : 1

\(1 \xrightarrow{\times(-2)} -2 \xrightarrow{+4} 2 \xrightarrow{\times 4} 8\)
Résultat \(= 8\) ✓

### Q2 – Nombre de départ : −2

\(-2 \xrightarrow{\times(-2)} 4 \xrightarrow{+4} 8 \xrightarrow{\times 4} 32\)
Résultat \(= 32\) ✓

### Q3 – Expression algébrique

\(x \xrightarrow{\times(-2)} -2x \xrightarrow{+4} -2x+4 \xrightarrow{\times 4} 4(-2x+4) = -8x+16\)
Le résultat s\'écrit bien \(-8x + 16\) ✓

### Q4a – Résoudre −8x + 16 = 4

\(-8x\) \(+16\) \(\;=\; 4\)
\(-16\)
\(-16\)
\(-8\)\(x \;=\; 4 - 16 \;=\; -12\)
\(\div(-8)\)
\(\div(-8)\)
\(x \;=\; \dfrac{-12}{-8} \;=\; \dfrac{3}{2} \;=\; 1{,}5\)
La solution de l'équation est \(x = 1{,}5\). ✓

### Q4b – Nombre de départ

Il faut choisir \(1{,}5\) comme nombre de départ pour obtenir \(4\). ✓

### Q5 – Identification du graphique

• Ordonnée à l'origine : \(f(0) = 16\). Le graphique 2 ne passe pas par \((0\,;\,16)\) → éliminé.

• Coefficient directeur \(= -8\) : la droite est très raide et décroissante. Sur la représentation 3, les valeurs de \(x\) vont de \(-0{,}5\) à \(2\) environ et la droite descend de \(16\) vers \(0\), ce qui est cohérent avec une pente de \(-8\).

C'est la Représentation graphique 3 ✓
Exercice 4 – Terrain agricole
21 points
✓ Vu
Pythagore · Thalès · Proportionnalité Partie A – Géométrie · Partie B – Budget graines
Un agriculteur cultive un champ représenté par le triangle ABC (figure non à l'échelle) :
• Le triangle ABC est rectangle en B.
• Les points C, E et A sont alignés ; les points C, D et B sont alignés.
• AB = 600 m ; BC = 450 m ; CD = 270 m.
Figure du terrain (non à l'échelle) – triangle ABC avec points D et E

📌 Partie A – Étude géométrique du terrain

Q1
Montrer que le segment [AC] mesure 750 mètres.
Q2a
Montrer que les droites (ED) et (AB) sont parallèles.
Q2b
Montrer que le segment [DE] mesure 360 mètres.
Q3
Montrer que l'aire du triangle CDE est 48 600 m².

🌿 Partie B – Étude du prix du mélange de graines

L'agriculteur veut semer un mélange sur les 48 600 m² du triangle CDE. Indication 1 – Prix au kg : blé 1,40 €, seigle 1,30 €, pois 2,10 €. Indication 2 – Pour 10 000 m² : blé 80 kg, seigle 60 kg, pois 50 kg.
Q1
Un vendeur propose un mélange selon le ratio 16 : 12 : 8. Montrer que ce ratio ne respecte pas l'indication 2.
Q2
Justifier que l'agriculteur doit prévoir 388,80 kg de blé pour les 48 600 m².
Q3
L'agriculteur dispose d'un budget de 1 500 €. Il doit acheter 388,80 kg de blé, 291,6 kg de seigle et 243 kg de pois. Dispose-t-il d'un budget suffisant ?

💡 Indices

Dans un triangle rectangle, quel est le côté opposé à l'angle droit ? Quelle relation relie les carrés des trois côtés ?
Regarde les angles droits en B et en D. Que sait-on sur (AB) et (ED) par rapport à (BC) ? Quelle propriété sur les droites perpendiculaires à une même droite peux-tu utiliser ?
Vérifie que les conditions du théorème de Thalès sont bien réunies (droites parallèles, points alignés). Écris ensuite l'égalité des rapports, puis résous avec un produit en croix.
Quel est le type du triangle CDE ? Quelle formule permet de calculer l'aire d'un triangle connaissant sa base et sa hauteur ?
Pour vérifier un ratio, divise chaque quantité par le nombre correspondant dans le ratio proposé. Les quotients doivent tous être égaux. Pour les quantités, utilise la proportionnalité entre surface et masse.

### A – Q1 : AC = 750 m (Théorème de Pythagore)

On a : Le triangle ABC est rectangle en B. AB = 600 m ; BC = 450 m ; Hypoténuse : AC Or : d'après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(AC^2 = 600^2 + 450^2 = 360\,000 + 202\,500 = 562\,500\)
\(AC = \sqrt{562\,500} = 750\)
Donc : AC mesure bien 750 m ✓

### A – Q2a : (ED) est parallèle à (AB)

On a : L'angle en B est droit, donc (AB) est perpendiculaire à (BC). L'angle en D est droit, donc (ED) est perpendiculaire à (BC). Or : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Donc : (ED) est parallèle à (AB). ✓

### A – Q2b : DE = 360 m (Théorème de Thalès)

On a : Les points C, E, A sont alignés. Les points C, D, B sont alignés. (ED) est parallèle à (AB). Or : d'après le théorème de Thalès dans le triangle CAB :
Rapport 1
CB
CD
=
Rapport 2
CA
CE
=
Rapport 3
AB
ED

On utilise les rapports 1 et 3 :

450
270
=
600
ED

Produit en croix :

\(ED = 600 \times 270 \div 450 = 360 \text{ m}\)
Donc : DE mesure 360 m. ✓

### A – Q3 : Aire du triangle CDE

Le triangle CDE est rectangle en D (ED est perpendiculaire à DC). DE = 360 m et DC = 270 m.

\(\mathcal{A} = \dfrac{DE \times DC}{2} = \dfrac{360 \times 270}{2} = \dfrac{97\,200}{2} = 48\,600 \text{ m}^2 \checkmark\)

### B – Q1 : Le ratio 16 : 12 : 8 respecte-t-il l'indication 2 ?

\(\text{Blé}: 80 \div 16 = 5 \quad \text{Seigle}: 60 \div 12 = 5 \quad \text{Pois}: 50 \div 8 = 6{,}25\)
Les quotients sont différents \((5 \neq 6{,}25)\) : le ratio 16:12:8 ne respecte pas l'indication 2. ✓

### B – Q2 : Justification des 388,80 kg de blé

Surface (m²) | 10 000 | 48 600
Blé (kg) | 80 | ?

\(? = 80 \times 48\,600 \div 10\,000 = 388{,}8 \text{ kg}\) ✓

### B – Q3 : Budget suffisant ?

Graine | Quantité (kg) | Prix (€/kg) | Coût (€)
--- | --- | --- | ---
Blé | 388,8 | 1,40 | \(388{,}8 \times 1{,}40 = 544{,}32\)
Seigle | 291,6 | 1,30 | \(291{,}6 \times 1{,}30 = 379{,}08\)
Pois | 243 | 2,10 | \(243 \times 2{,}10 = 510{,}30\)

\(\text{Total} = 544{,}32 + 379{,}08 + 510{,}30 = 1\,433{,}70 \text{ €}\)
\(1\,433{,}70 \text{ €} < 1\,500 \text{ €}\) : le budget est suffisant. ✓
Exercice 5 – Digicode
19 points
✓ Vu
Probabilités & Algorithmique Dénombrement · Probabilités · Scratch
Léna a oublié le code de la maison de sa grand-mère. Elle sait qu'il est composé d'une lettre parmi A, B ou C, suivie d'un chiffre entre 0 et 9.
Q1
Proposer deux codes différents que Léna peut tester.
Q2
Quelle est la probabilité que la grand-mère ait choisi la lettre C dans son code ?
Q3
Montrer que la probabilité que le code contienne le chiffre 7 est 1/10.
Q4
La grand-mère aime les nombres premiers. Quelle est la probabilité que le code comporte un nombre premier ?
Q5a
Léna teste tous les codes possibles à raison de 5 secondes par code. Réussira-t-elle en moins de 3 minutes ?
Q5b
Ce format de code garantit-il la sécurité ? Comment pourrait-on améliorer le système ?
Q6
Le programme Scratch affiche « Code correct » si la lettre saisie est B ET le chiffre saisi est 7, sinon « Code faux ».
Programme Scratch du digicode
a) Léna saisit B5. Qu'affiche le programme ?
b) Quel est le code correct d'après ce programme ?

💡 Indices

Pour compter le nombre de codes possibles, réfléchis au nombre de choix pour chaque position du code.
Combien de codes contiennent le chiffre 7 ? Pense à combien de lettres différentes peuvent l'accompagner.
Rappelle-toi la définition d'un nombre premier. Quels chiffres entre 0 et 9 sont premiers ? Pour chacun, combien de codes différents peut-on former ?
Lis attentivement la condition du programme. Avec un opérateur ET, que faut-il pour que le résultat soit « Code correct » ?

### Q1 – Deux codes possibles

Exemples : B3 ou C9 ✓

### Q2 – Nombre total de codes et P(lettre C)

3 lettres possibles × 10 chiffres possibles :

Nombre total de codes = 3 × 10 = 30

10 codes commencent par C (C0, C1, …, C9) :

\(P(\text{lettre C}) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\)

### Q3 – P(chiffre 7) = 1/10

3 codes se terminent par 7 : A7, B7, C7.

\(P(\text{chiffre 7}) = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1 \checkmark\)

### Q4 – P(nombre premier)

Nombres premiers entre 0 et 9 : 2, 3, 5 et 7 → 4 chiffres.

Pour chacun, 3 codes (A, B ou C) → 4 × 3 = 12 codes favorables.

\(P(\text{nb premier}) = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)

### Q5a – Durée maximale

30 codes × 5 s = 150 s = 2 min 30 s
2 min 30 s < 3 min → Léna réussira en moins de 3 minutes. ✓

### Q5b – Sécurité et amélioration

Ce code n'est pas sécurisé : il peut être cracké en 2 min 30 s maximum.

Amélioration : utiliser les 26 lettres de l'alphabet → 26×10 = 260 codes → durée max ≈ 21 min 40 s (plus de 8 fois plus long). On peut aussi ajouter davantage de chiffres.

### Q6a – Léna saisit B5

Condition : lettre = B ET chiffre = 7. Ici 5 ≠ 7 → condition fausse.

Le programme affiche : « Code faux » ✓

### Q6b – Code correct

Le programme affiche « Code correct » uniquement si lettre = B ET chiffre = 7.

Le code correct est : B7 ✓
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