📖 Rappels essentiels – 3ème
Expérience aléatoire & issues
Résultat imprévisible à l'avance. Chaque résultat possible est une issue.
Événement & probabilité
Ensemble d'issues. P(A) = issues favorablesissues totales (si équiprobable)
Événement contraire
P(A) = 1 − P(A)
Tableau à double entrée
Recense toutes les issues d'une expérience à deux étapes. Nombre total d'issues = lignes × colonnes.
Certain / Impossible
Certain : P = 1. Impossible : P = 0. Toujours : 0 ≤ P(A) ≤ 1.
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## Exercice 1 / 7

Vocabulaire Probabilités & événement contraire

Un sac contient 15 billes : 6 rouges, 5 bleues et 4 vertes. On tire une bille au hasard.

1. Donner le nombre total d'issues. L'expérience est-elle équiprobable ? Justifier.
2. On note R l'événement « tirer une bille rouge ». Calculer P(R), puis P(R). Décrire R en mots et vérifier le résultat par comptage.
3. On note B l'événement « tirer une bille bleue » et V l'événement « tirer une bille verte ». Calculer P(B) et P(V), puis vérifier que P(R) + P(B) + P(V) = 1.
4. On rajoute 3 billes rouges dans le sac. Sans recalculer P(R) directement, utiliser l'événement contraire pour déterminer P(R) dans le nouveau sac, sachant que les 9 billes non-rouges sont inchangées.

💡 Indices

L'équiprobabilité est garantie si toutes les billes sont identiques en taille et tirées au hasard : chaque bille a la même probabilité d'être tirée.
Pour la question 3 : la somme des probabilités de tous les événements possibles vaut toujours 1. Comment en déduire la probabilité manquante ?
Pour la question 4 : le sac a changé. Recalcule le nombre total de billes et le nombre de billes rouges. Tu peux aussi passer par l'événement contraire.
1. Issues et équiprobabilité

Il y a 15 issues possibles (une par bille). Les billes sont identiques en taille et tirées au hasard : l'expérience est équiprobable, chaque bille a une probabilité de 115.

2. Événement R et son contraire
P(R) = 615 = 25

L'événement contraire R est « tirer une bille non rouge », c'est-à-dire une bille bleue ou verte.

P(R) = 1 − 25 = 35

Vérification par comptage : il y a 5 + 4 = 9 billes non rouges, donc P(R) = 915 = 35 ✓

3. Calcul de P(B), P(V) et vérification
P(B) = 515 = 13 P(V) = 415

Toute bille est rouge, bleue ou verte, donc ces trois événements couvrent l'ensemble des issues :

P(R) + P(B) + P(V) = 615 + 515 + 415 = 1515 = 1 ✓
4. Nouveau sac : 18 billes

Après ajout de 3 billes rouges, le sac contient 18 billes. Les billes non-rouges sont toujours au nombre de 9 (inchangées).

P(R) = 918 = 12
P(R) = 1 − P(R) = 1 − 12 = 12

✔ Vérif : 9 billes rouges / 18 = 1/2 ✓

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## Exercice 2 / 7

Tableau statistique Probabilités conditionnelles

Dans un lycée, on a interrogé 120 élèves de 3ème sur leur moyen de transport préféré. Les résultats sont dans le tableau ci-dessous.

Transport | Vélo | Bus | Marche | Voiture | Total
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Filles | 12 | 18 | 15 | 9 | 54
Garçons | 16 | 20 | 14 | 16 | 66
Total | 28 | 38 | 29 | 25 | 120

On choisit un élève au hasard parmi les 120.

1. Calculer P(F) où F est l'événement « l'élève est une fille », puis P(F).
2. Calculer la probabilité que l'élève choisi préfère le bus.
3. On note T l'événement « l'élève est une fille qui préfère la marche ou le vélo ». Calculer P(T).
4. Sachant que l'élève choisi est un garçon, quelle est la probabilité qu'il préfère la voiture ? (Exprimer sous forme d'une fraction simplifiée.)

💡 Indices

Pour chaque probabilité, identifie l'effectif concerné et le total de référence (l'ensemble des élèves interrogés).
Pour P(T) : les deux transports sont distincts — un élève ne peut pas en avoir choisi deux à la fois. Comment combiner les effectifs correspondants ?
Pour la question 4 : le fait de savoir que c'est un garçon restreint la population de référence. Quel est alors le nouvel univers ?
1. Événement F « fille »
P(F) = 54120 = 920
P(F) = 1 − 920 = 1120

✔ Vérif : 66/120 = 11/20 ✓

2. Probabilité de préférer le bus

Il y a 38 élèves qui préfèrent le bus sur 120 :

P(Bus) = 38120 = 1960
3. Événement T « fille qui préfère la marche ou le vélo »

Filles + marche : 15 | Filles + vélo : 12. Ces événements sont incompatibles, donc on additionne : 15 + 12 = 27 élèves.

P(T) = 27120 = 940
4. Probabilité de préférer la voiture, sachant que c'est un garçon

On se restreint à la population des 66 garçons. Parmi eux, 16 préfèrent la voiture :

P(Voiture | garçon) = 1666 = 833
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## Exercice 3 / 7

Tableau double entrée Deux dés différents

On lance simultanément un dé à 4 faces (numérotées 1 à 4) et un dé à 6 faces (numérotées 1 à 6). On note le produit des deux résultats.

1. Combien y a-t-il d'issues au total ? Sont-elles équiprobables ?
2. Construire le tableau des produits (dé 4 faces en lignes, dé 6 faces en colonnes).
3. On note P6 l'événement « le produit est un multiple de 6 ». Calculer P(P6).
4. On note I l'événement « le produit est impair ». Calculer P(I) et P(I).

💡 Indices

Le tableau a 4 lignes et 6 colonnes : 4 × 6 = 24 cases au total. Dans chaque case, écris le produit des deux faces (ligne × colonne).
Cherche dans le tableau toutes les cases dont la valeur est un multiple de 6. Rappelle-toi quels sont ces multiples.
Un produit est impair seulement sous une certaine condition sur les deux facteurs. Identifie les valeurs impaires sur chaque dé, puis compte les cases favorables.
1. Issues

Il y a 4 × 6 = 24 issues en tout. Les dés sont équilibrés : les issues sont équiprobables, chacune avec une probabilité de 124.

2. Tableau des produits (dé 4 faces × dé 6 faces)

× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
1 | 1 ✦ | 2 | 3 ✦ | 4 | 5 ✦ | 6 ★
2 | 2 | 4 | 6 ★ | 8 | 10 | 12 ★
3 | 3 ✦ | 6 ★ | 9 ✦ | 12 ★ | 15 ✦ | 18 ★
4 | 4 | 8 | 12 ★ | 16 | 20 | 24 ★

✦ vert : produit impair | ★ jaune : multiple de 6

3. Événement P6 « multiple de 6 »

Les cases jaunes ★ (multiples de 6) sont : (1,6)=6, (2,3)=6, (2,6)=12, (3,2)=6, (3,4)=12, (3,6)=18, (4,3)=12, (4,6)=24 → 8 cases.

P(P6) = 824 = 13
4. Événement I « produit impair »

Un produit est impair seulement si les deux facteurs sont impairs. Sur le dé à 4 faces : faces impaires = {1, 3}. Sur le dé à 6 faces : faces impaires = {1, 3, 5}. Cases impaires (vertes ✦) : (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5) → 6 cases.

P(I) = 624 = 14
P(I) = 1 − 14 = 34
P(I) = 1/4 | P(I) = 3/4
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## Exercice 4 / 7

Tableau double entrée Pièce & dé

On lance simultanément une pièce de monnaie (Face ou Pile) et un dé équilibré à 6 faces (numérotées 1 à 6).

1. Construire le tableau de toutes les issues de cette expérience aléatoire. Combien y en a-t-il ?
2. On note A l'événement « obtenir Face et un nombre pair ». Lister les issues et calculer P(A).
3. On note B l'événement « obtenir Pile ou un 6 ». Lister les issues de B et calculer P(B).
4. Calculer P(B) et vérifier en comptant les issues de B dans le tableau.

💡 Indices

Le tableau a 2 lignes (Face, Pile) et 6 colonnes (1 à 6). Dans chaque case, note la paire obtenue : par exemple (Face, 3). Il y aura 2 × 6 = 12 issues.
Pour P(A) : l'événement A impose deux conditions simultanées. Identifie les issues qui satisfont chacune d'elles.
Pour P(B) : l'événement B est une réunion de deux conditions. Attention à ne pas compter deux fois une issue qui satisferait les deux à la fois.

1. Tableau des issues

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
Face | (F,1) | (F,2) ✓ | (F,3) | (F,4) ✓ | (F,5) | (F,6) ★
Pile | (P,1) ◆ | (P,2) ◆ | (P,3) ◆ | (P,4) ◆ | (P,5) ◆ | (P,6) ◆★

✓ vert : événement A (Face et pair) | ◆ jaune : événement B (Pile) | ★ bleu : Face et 6 — appartient à B

Il y a 2 × 6 = 12 issues équiprobables, chacune de probabilité 112.

2. Événement A « Face et nombre pair »

Issues favorables : (F,2), (F,4), (F,6) → 3 issues.

P(A) = 312 = 14
3. Événement B « Pile ou 6 »

Issues avec Pile : (P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6) → 6 issues. Issues avec 6 qui ne sont pas déjà comptées : (F,6) → 1 issue. Total : 7 issues.

P(B) = 712
4. Événement contraire B

Par le calcul :

P(B) = 1 − 712 = 512

Vérification par comptage : B est « Face et pas 6 », soit (F,1), (F,2), (F,3), (F,4), (F,5) → 5 issues, donc P(B) = 512 ✓

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## Exercice 5 / 7

Tableau double entrée Deux tirages

Une urne contient 4 jetons numérotés 1, 2, 3 et 4. On tire un jeton, on note son numéro, on le remet dans l'urne, puis on en tire un second.

1. Construire le tableau des issues (1er tirage en ligne, 2ème tirage en colonne). Les issues sont-elles équiprobables ?
2. On note E l'événement « les deux numéros tirés sont égaux ». Calculer P(E) et P(E).
3. On note S l'événement « la somme des deux numéros est strictement supérieure à 5 ». Calculer P(S).
4. On note M l'événement « le plus grand des deux numéros est 3 ». Calculer P(M).

💡 Indices

Le tableau a 4 lignes (numéros 1, 2, 3, 4 au 1er tirage) et 4 colonnes (numéros 1, 2, 3, 4 au 2ème tirage). Dans chaque case, note la paire (a, b). Il y a 4 × 4 = 16 issues.
Pour P(E) : repère les issues où les deux tirages donnent le même numéro. Pour P(S) : cherche les cases où la somme dépasse 5.
Pour P(M) : réfléchis à ce que signifie « le plus grand des deux est 3 » — quelles valeurs l'autre numéro peut-il prendre ?

1. Tableau des issues (1er tirage en ligne, 2ème tirage en colonne)

| 1 | 2 | 3 | 4
--- | --- | --- | --- | ---
1 | (1,1) ● | (1,2) | (1,3) | (1,4)
2 | (2,1) | (2,2) ● | (2,3) | (2,4)
3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) ● | (3,4) ▲
4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) ▲ | (4,4) ●

● vert : événement E (numéros égaux) | ▲ rouge : cases utiles pour M (voir question 4)

Il y a 16 issues équiprobables (tirage au hasard avec remise, 4 jetons identiques).

2. Événement E « numéros égaux »

Issues favorables (diagonale) : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) → 4 issues.

P(E) = 416 = 14 P(E) = 1 − 14 = 34
3. Événement S « somme > 5 » (c'est-à-dire somme ≥ 6)

Issues avec somme ≥ 6 : (2,4), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4) → 6 issues.

P(S) = 616 = 38
4. Événement M « le plus grand des deux est 3 »

Il faut max(a, b) = 3, c'est-à-dire au moins un 3 et aucun 4. Issues : (1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) → 5 issues.

P(M) = 516
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## Exercice 6 / 7

Tableau double entrée ★ ⭐ Difficile

On tire deux cartes avec remise dans un jeu réduit de 8 cartes : les As, 2, 3 et 4 de cœur et de carreau (les cœurs sont des cartes rouges et les carreaux aussi).

1. Combien y a-t-il d'issues au total ? Construire le tableau (1ère carte en ligne, 2ème carte en colonne, en notant par exemple A♥ pour l'As de cœur).
2. On note R l'événement « les deux cartes tirées ont le même numéro ». Calculer P(R).
3. On note H l'événement « au moins une carte tirée est un cœur ». Calculer P(H) en utilisant l'événement contraire.
4. On note N l'événement « les deux cartes tirées sont des numéros pairs ». Calculer P(N).

💡 Indices

Construis le tableau des issues. Dans chaque case, note les informations utiles pour répondre aux questions (numéros identiques, couleurs…).
Pour P(H) : il peut être plus simple de passer par l'événement contraire. Quel est-il, et combien d'issues lui correspondent ?
Pour P(N) : identifie d'abord quelles cartes ont un numéro pair, puis repère les cases du tableau où les deux cartes tirées sont dans cet ensemble.
1. Tableau des 64 issues (1ère carte en ligne, 2ème carte en colonne)

Il y a 8 × 8 = 64 issues équiprobables.

| A♥ | 2♥ | 3♥ | 4♥ | A♦ | 2♦ | 3♦ | 4♦
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
A♥ | =♥♥ |  |  |  | =♥♦ |  |  |
2♥ |  | = ♥♥ |  |  |  | = ♥♦ |  |
3♥ |  |  | = ♥♥ |  |  |  | = ♥♦ |
4♥ |  |  |  | = ♥♥ |  |  |  | = ♥♦
A♦ | =♦♥ |  |  |  | = ♦♦ |  |  |
2♦ |  | = ♦♥ |  |  |  | = ♦♦ |  |
3♦ |  |  | = ♦♥ |  |  |  | = ♦♦ |
4♦ |  |  |  | = ♦♥ |  |  |  | = ♦♦

■ vert : même numéro, au moins un ♥ | rouge : même numéro, deux ♦ (H̄) | cases vides : numéros différents

2. Événement R « même numéro »

Pour chaque numéro (A, 2, 3, 4), les paires de même numéro sont : (♥,♥), (♥,♦), (♦,♥), (♦,♦) → 4 paires × 4 numéros = 16 issues favorables (cases colorées du tableau).

P(R) = 1664 = 14
3. Événement H « au moins un cœur »

L'événement contraire H est « aucune carte n'est un cœur », c'est-à-dire les deux cartes sont des carreaux (cases rouges du tableau). Il y a 4 carreaux × 4 carreaux = 16 issues pour H.

P(H) = 1664 = 14
P(H) = 1 − 14 = 34
4. Événement N « les deux numéros sont pairs »

Les cartes à numéro pair sont : 2♥, 4♥, 2♦, 4♦ → 4 cartes sur 8. Pour que les deux tirages donnent une carte à numéro pair, il faut choisir parmi ces 4 cartes aux deux étapes : 4 × 4 = 16 issues favorables.

P(N) = 1664 = 14
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## Exercice 7 / 7

Tableau – Deux dés ★★ ⭐⭐ Très difficile

Deux joueurs, Alice et Baptiste, lancent chacun un dé équilibré à 6 faces. Le joueur qui obtient le plus grand résultat remporte la partie. En cas d'égalité, personne ne gagne.

1. Construire le tableau des 36 issues. Dans chaque case, indiquer le gagnant (A pour Alice, B pour Baptiste, E pour Égalité).
2. Calculer la probabilité qu'Alice gagne.
3. Calculer la probabilité que Baptiste gagne, puis vérifier avec l'événement contraire approprié.
4. Calculer la probabilité d'une égalité. Quel événement est impossible dans ce jeu ? Donner un exemple d'événement certain.
5. Alice estime que le jeu est équitable car « chacun a autant de chances de gagner ». A-t-elle raison ? Justifier.

💡 Indices

Le tableau a 6 lignes (résultats d'Alice : 1 à 6) et 6 colonnes (résultats de Baptiste : 1 à 6). Dans la case (ligne a, colonne b) : si a > b → A gagne, si b > a → B gagne, si a = b → Égalité (E).
Observe la structure du tableau autour de la diagonale. Que remarques-tu sur la répartition des cases favorables à chaque joueur ?
Pour la question 5 : compare les probabilités des deux joueurs. Pour l'événement certain : quel événement est garanti quoi qu'il arrive ?

1. Tableau des résultats (Alice en ligne, Baptiste en colonne)

A \ B | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
1 | E | B | B | B | B | B
2 | A | E | B | B | B | B
3 | A | A | E | B | B | B
4 | A | A | A | E | B | B
5 | A | A | A | A | E | B
6 | A | A | A | A | A | E

2. Probabilité qu'Alice gagne

Les cases vertes (A) sont au-dessus de la diagonale : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 cases.

P(Alice gagne) = 1536 = 512
3. Probabilité que Baptiste gagne

Par symétrie du tableau, Baptiste a également 15 cases gagnantes (en dessous de la diagonale).

P(Baptiste gagne) = 1536 = 512

Vérification : les trois événements « Alice gagne », « Baptiste gagne » et « Égalité » couvrent toutes les issues sans se chevaucher, donc leurs probabilités doivent sommer à 1 :

512 + 512 + 636 = 1536 + 1536 + 636 = 3636 = 1 ✓
4. Probabilité d'égalité, événement impossible et certain

Les cases d'égalité (diagonale) : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) → 6 cases.

P(Égalité) = 636 = 16

Événement impossible : « Alice obtient 7 » — sa probabilité est 0 car le dé ne peut donner que 1 à 6.

Événement certain : « chaque joueur obtient un entier entre 1 et 6 » — sa probabilité est 1.

5. Le jeu est-il équitable ?

Oui, Alice a raison sur ce point : P(Alice gagne) = P(Baptiste gagne) = 512. Les deux joueurs ont exactement les mêmes chances de gagner. Le jeu est donc équitable.

P(A) = P(B) = 5/12 | P(Égalité) = 1/6

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