📖 Ce qu'il faut savoir
Réciproque du théorème de Pythagore
Si le carré du plus grand côté = somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle (angle droit en face du plus grand côté).
Contraposée du théorème de Pythagore
Si le carré du plus grand côté ≠ somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
Théorème de Thalès
Si (BC) ∥ (DE) et A est le sommet, alors les rapports AB/AD = AC/AE = BC/DE sont égaux.
Réciproque du théorème de Thalès
Si deux rapports de longueurs correspondants sont égaux, alors les droites associées sont parallèles.
Corrections vues :
0 / 3

## Exercice 1 / 3

Réciproque Pythagore · Réciproque Thalès
✓ Vu
Les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A.
AE = 8 cm · AF = 10 cm · EF = 6 cm · AR = 12 cm · AT = 14 cm
1

Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E.

2

Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Ces deux questions ne font pas appel au même outil. Pour chacune, rappelle-toi ce que tu cherches à montrer et quel théorème (ou réciproque) permet ce type de conclusion.
Question 1 : pour conclure qu'un triangle est rectangle, quelle relation entre les longueurs dois-tu vérifier ? Commence par repérer quel est le plus grand côté.
Question 2 : A est le sommet commun des deux droites. Quels sont les deux triangles « emboîtés » que tu peux identifier à partir de ce point ?
Question 2 : une fois les deux triangles identifiés, calcule les deux rapports reliant leurs côtés issus du sommet A. Compare ces rapports : leur égalité ou inégalité suffit à conclure.

Question 1 – Le triangle AEF est-il rectangle en E ?

On a : Triangle AEF avec AE = 8 cm, AF = 10 cm, EF = 6 cm
Le plus grand côté est AF
Gauche :
AF² = 10² = 100
Droite :
AE² + EF² = 8² + 6²
= 64 + 36 = 100
Or : Gauche = Droite, donc AF² = AE² + EF²
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEF est rectangle en E. ✓

Question 2 – Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?

On a : A, E, R alignés · A, F, T alignés · A est le point d'intersection des droites (ER) et (FT)
Gauche :
ARAE = 128 = 1,5
Milieu :
ATAF = 1410 = 1,4
RT / EF :
(non calculé)
Or : Gauche ≠ Milieu, donc ARAE ≠ ATAF
Donc, d'après la contraposée de la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (RT) ne sont pas parallèles.

## Exercice 2 / 3

Réciproque Pythagore · Thalès · Réciproque Thalès
✓ Vu
C est le point d'intersection des droites (BE) et (AD).
AB = 17 cm · BC = 15 cm · AC = 8 cm · CE = 12 cm · ED = 13 cm
1

Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2

Calculer l'aire du triangle ABC.

3

Calculer le périmètre du triangle CDE.

4

Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Questions 1 et 2 : pour montrer qu'un triangle est rectangle puis calculer son aire, quelles données utilises-tu et dans quel ordre ?
Question 3 : tu connais CE et DE, mais pas CD. C est l'intersection de deux droites. Que sais-tu sur l'angle formé en C dans le triangle ABC ? Peut-on en déduire quelque chose sur l'angle en C dans le triangle CDE ?
Question 4 : C est le sommet commun aux deux triangles. Identifie les paires de côtés à comparer (grand triangle ABC, petit triangle CDE). Les rapports AB/DE, AC/CD et BC/CE sont-ils tous égaux ?

Question 1 – Le triangle ABC est-il rectangle en C ?

On a : Triangle ABC avec AB = 17 cm, BC = 15 cm, AC = 8 cm
Le plus grand côté est AB
Gauche :
AB² = 17² = 289
Droite :
BC² + AC² = 15² + 8²
= 225 + 64 = 289
Or : Gauche = Droite, donc AB² = BC² + AC²
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. ✓

Question 2 – Aire du triangle ABC

On a : Le triangle ABC est rectangle en C, donc BC ⊥ AC
Aire = (BC × AC) ÷ 2 = (15 × 8) ÷ 2 = 120 ÷ 2 = 60 cm²
L'aire du triangle ABC est 60 cm².

Question 3 – Périmètre du triangle CDE

On a : (BE) et (AD) sont deux droites sécantes en C. Le triangle ABC est rectangle en C, donc (BE) ⊥ (AD).
L'angle DCE et l'angle ACB sont des angles opposés par le sommet, donc angle DCE = 90°.
Le triangle CDE est rectangle en C, avec DE = 13 cm (hypoténuse) et CE = 12 cm
Or : d'après le théorème de Pythagore
DE² = CD² + CE²
13² = CD² + 12²
169 = CD² + 144
CD² = 169 − 144 = 25
CD = √25 = 5 cm
Périmètre de CDE = CD + CE + DE = 5 + 12 + 13 = 30 cm.

Question 4 – Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

On a : A, C, D alignés · B, C, E alignés · C est le point d'intersection des droites (AD) et (BE)
Rapport 1 :
ABDE = 1713 ≈ 1,31
Rapport 2 :
ACCD = 85 = 1,6
Rapport 3 :
BCCE = 1512 = 1,25
Or : les trois rapports ne sont pas égaux
Donc, d'après la contraposée de la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (DE) ne sont pas parallèles.

## Exercice 3 / 3

Réciproque Pythagore · Thalès · Réciproque Thalès
✓ Vu
CA = 5 cm · FA = 5 cm · FG = 3 cm · AG = 4 cm · AB = 6,25 cm · DE = 8,1 cm · EG = 6,8 cm
Les points D, F, A et B sont alignés. Les points E, G, A et C sont alignés.
Les droites (DE) et (FG) sont parallèles.
1

Montrer que le triangle AFG est un triangle rectangle.

2

Calculer la longueur du segment [AD]. En déduire la longueur du segment [FD].

3

Les droites (FG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

💡 Indices – débloque-les un par un

Question 1 : les trois côtés du triangle AFG sont connus. Quel théorème permet de conclure qu'un triangle est rectangle à partir des seules longueurs de ses côtés ?
Question 2 : les droites (DE) et (FG) sont parallèles, et A est un point d'alignement commun aux deux droites sécantes. Quel théorème lie les longueurs des côtés dans cette configuration ?
Question 3 : A est aussi le sommet commun pour les droites vers B et vers C. Identifie le grand triangle et le petit triangle, puis calcule deux rapports de côtés issus de A. Leur égalité ou inégalité donne la conclusion.

Question 1 – Le triangle AFG est-il rectangle ?

On a : Triangle AFG avec FA = 5 cm, FG = 3 cm, AG = 4 cm
Le plus grand côté est FA
Gauche :
FA² = 5² = 25
Droite :
FG² + AG² = 3² + 4²
= 9 + 16 = 25
Or : Gauche = Droite, donc FA² = FG² + AG²
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFG est rectangle en G. ✓

Question 2 – Longueurs AD et FD

On a : D, F, A, B alignés (donc A, F, D alignés)
E, G, A, C alignés (donc A, G, E alignés)
la droite (DE) est parallèle à la droite (FG)
Or : d'après le théorème de Thalès
ADAF = AEAG = DEFG
AD5 = 8,13 = 2,7
AD = 5 × 2,7 = 13,5 cm
Or : A, F, D alignés, donc FD = AD − AF
FD = 13,5 − 5 = 8,5 cm
AD = 13,5 cm · FD = 8,5 cm

Question 3 – Les droites (FG) et (BC) sont-elles parallèles ?

On a : E, G, A, C alignés (donc A, G, C alignés)
D, F, A, B alignés (donc A, F, B alignés)
A est le point commun aux deux droites sécantes
Rapport 1 :
ACAG = 54 = 1,25
Rapport 2 :
ABAF = 6,255 = 1,25
BC / FG :
(non calculé)
Or : Rapport 1 = Rapport 2, donc ACAG = ABAF
Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, la droite (FG) est parallèle à la droite (BC). ✓

🏠 Menu