Chapitre

# Arithmétique

I. Multiples, diviseurs et nombres premiers
1. Multiples et diviseurs
📘 Définition

Dire qu'un nombre entier \(a\) est multiple d'un nombre entier \(b\) signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que \(a = b \times k\).

On dit aussi que « \(b\) est un diviseur de \(a\) » ou « \(a\) est divisible par \(b\) ».

💗 Propriété

Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même.

✏️ Exemples
Compléter les phrases suivantes :

- • \(24 = 6 \times 4\), donc 24 est un multiple de 6, et 6 est un diviseur de 24.
- • \(35 = 5 \times 7\), donc 35 est divisible par 5 et par 7.
- • 12 est un multiple de 1, 2, 3, 4, 6 et 12 (ses diviseurs).

2. Critères de divisibilité
💗 Propriété

Divisible par | Si et seulement si… | Exemple
--- | --- | ---
2 | Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. | 348 → unité 8 ✓
5 | Le chiffre des unités est 0 ou 5. | 235 → unité 5 ✓
10 | Le chiffre des unités est 0. | 470 → unité 0 ✓
3 | La somme de ses chiffres est un multiple de 3. | 135 → 1+3+5=9 ✓
9 | La somme de ses chiffres est un multiple de 9. | 162 → 1+6+2=9 ✓

✏️ Exemple
Le nombre 1 256 475 est-il divisible par 2 ? par 5 ? par 10 ? par 3 ? par 9 ?

÷2 | Chiffre des unités : 5 → ni 0, 2, 4, 6 ni 8 | ❌ Non
÷5 | Chiffre des unités : 5 → 0 ou 5 ✓ | ✓ Oui
÷10 | Chiffre des unités : 5 → pas 0 | ❌ Non
÷3 | \(1+2+5+6+4+7+5 = 30\) → 30 est multiple de 3 ✓ | ✓ Oui
÷9 | \(1+2+5+6+4+7+5 = 30\) → 30 n’est pas multiple de 9 | ❌ Non

3. Diviseur commun
📘 Définition

Dire qu'un nombre \(d\) est un diviseur commun de deux nombres entiers \(a\) et \(b\) signifie que \(a\) et \(b\) sont tous les deux divisibles par \(d\).

✏️ Exemple
Quels sont les diviseurs communs de 24 et 30 ?

On liste les diviseurs de chaque nombre :

Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Les diviseurs communs sont : 1, 2, 3 et 6. Le plus grand est 6.

4. Nombres premiers
📘 Définition

Un nombre premier est un entier qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

⚠️ 1 n’est pas un nombre premier (il n’a qu’un seul diviseur).

✏️ Exemple

Liste des nombres premiers :

⭐ Les plus importants — entre 1 et 30 (à connaître par cœur)
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
Entre 30 et 100
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

💡 7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7. En revanche, 9 n’est pas premier car \(9 = 3 \times 3\).

II. Décomposition en facteurs premiers
📘 Définition

On peut toujours décomposer un nombre entier non premier en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.

🔨 Méthode – Division euclidienne successive

On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu’à obtenir 1.

1. On essaie de diviser par 2, puis 3, puis 5, puis 7…
2. On note les divisions dans un tableau à deux colonnes (nombre | diviseur).
3. On s’arrête quand on arrive à 1.
4. Le résultat est le produit de tous les diviseurs lus dans la colonne de droite.

✏️ Exemple
Décomposer 140 et 294 en produit de facteurs premiers.
Décomposition de 140

140 | 2
70 | 2
35 | 5
7 | 7
1 |

140 = 2 × 2 × 5 × 7
Décomposition de 294

294 | 2
147 | 3
49 | 7
7 | 7
1 |

294 = 2 × 3 × 7 × 7
🧹 Exercice
Décomposer en produit de facteurs premiers : 12, 84 et 270.
12

12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |

12 = 2 × 2 × 3
84

84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |

84 = 2 × 2 × 3 × 7
270

270 | 2
135 | 3
45 | 3
15 | 3
5 | 5
1 |

270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
III. Fractions irréductibles
📘 Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers. La fraction \(\dfrac{a}{b}\) est irréductible si le seul diviseur commun à \(a\) et \(b\) est 1. Autrement dit, la fraction est simplifiée au maximum.

🔨 Méthode

Pour rendre une fraction irréductible :

1. Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.
2. Repérer et surligner en rouge les facteurs communs (qui apparaissent en haut et en bas).
3. Multiplier les facteurs restants.

✏️ Exemple
Rendre irréductible la fraction \(\dfrac{140}{294}\).

D’après les décompositions précédentes :

On réécrit les décompositions :

140
294
=
2 × 2 × 5 × 7
2 × 3 × 7 × 7

On surligne en rouge les facteurs communs (un 2 et un 7 en haut et en bas) :

2 × 2 × 5 × 7
2 × 3 × 7 × 7

Il reste après simplification :

=
2 × 5
3 × 7
=
10
21

💡 On vérifie que 10 et 21 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : la fraction 10/21 est bien irréductible.

🧹 Exercice
Rendre irréductibles les fractions suivantes en utilisant les décompositions : \(\dfrac{84}{270}\) et \(\dfrac{12}{84}\).

Fraction \(\dfrac{84}{270}\) :

84
270
=
2 × 2 × 3 × 7
2 × 3 × 3 × 3 × 5
2 × 2 × 3 × 7
2 × 3 × 3 × 3 × 5
=
2 × 7
3 × 3 × 5
=
14
45

Fraction \(\dfrac{12}{84}\) :

12
84
=
2 × 2 × 3
2 × 2 × 3 × 7
2 × 2 × 3
2 × 2 × 3 × 7
=
1
7
=
1
7
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