Chapitre

# Théorème de Pythagore

I. Carrés et racines carrées
📘 Définition

La racine carrée d'un nombre positif \(a\) est le nombre positif dont le carré est égal à \(a\). Elle est notée \(\sqrt{a}\) et se lit « racine carrée de \(a\) ».

\(\sqrt{a} = b \iff b^2 = a \quad (b \geq 0)\)
✏️ Exemples
Compléter :

1) | \(\sqrt{25} = \ldots\) | . . . . . .\(= 5\) car \(5^2 = 25\)
2) | \(\sqrt{9} = \ldots\) | . . . . . .\(= 3\) car \(3^2 = 9\)
3) | \(\sqrt{12} \approx \ldots\) | . . . . . .\(\approx 3{,}46\) (à la calculatrice)
4) | \(\sqrt{16{,}79} \approx \ldots\) | . . . . . .\(\approx 4{,}10\) (à la calculatrice)

💡 Pour 3) et 4) la racine n'est pas un nombre entier : on utilise la calculatrice et on donne une valeur approchée au centième.
💡 Remarque

Pour beaucoup de racines carrées, on ne peut avoir que des valeurs approchées. On utilise alors la calculatrice.

📘 Définition

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.

✏️ Tableau des carrés parfaits
Compléter le tableau :

\(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
\(n^2\) | …0 | …1 | …4 | …9 | …16 | …25 | …36 | …49 | …64 | …81 | …100 | …121 | …144

💡 Connaître ce tableau par cœur est indispensable pour reconnaître les racines carrées exactes !
🧩 Exercice
Donner la valeur exacte si possible, sinon une valeur approchée au centième :

a) | \(\sqrt{49}\) | . . . . . .\(= 7\)
b) | \(\sqrt{144}\) | . . . . . .\(= 12\)
c) | \(\sqrt{50}\) | . . . . . .\(\approx 7{,}07\)
d) | \(\sqrt{81}\) | . . . . . .\(= 9\)

💡 a), b), d) sont des carrés parfaits : résultat exact.
💡 c) 50 n'est pas un carré parfait : on utilise la calculatrice.
II. L'hypoténuse d'un triangle rectangle
📘 Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est le plus grand des trois côtés. On l'appelle l'hypoténuse du triangle.

✏️ Exemple
Dans le triangle EFG rectangle en F, identifier l'hypoténuse.

Le triangle EFG est rectangle en F. L'angle droit est en F.

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, c'est-à-dire le côté [EG].

💡 L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.

III. Le théorème de Pythagore
📙 Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :
\(\textcolor{#2563eb}{BC^2} = \textcolor{#1b7a40}{AB^2} + \textcolor{#c0392b}{AC^2}\)

Cette égalité est appelée « égalité de Pythagore ».

💡 Remarque

Dans un triangle rectangle, lorsque l'on connaît la longueur de deux côtés, l'égalité de Pythagore permet de calculer la longueur du troisième côté.

1. Calculer l'hypoténuse
✏️ Exemple 1 – Méthode
Le triangle EFG est rectangle en F avec EG = 5 cm et FG = 3 cm. Calculer EF.
On a : Le triangle EFG est rectangle en F
EG = 5 cm ; FG = 3 cm ; Hypoténuse : EG
Or : d'après le théorème de Pythagore
\(EG^2 = EF^2 + FG^2\)
\(5^2 = EF^2 + 3^2\)
\(25 = EF^2 + 9\)
\(EF^2 = 25 - 9 = 16\)
\(EF = \sqrt{16} = \textcolor{#2563eb}{4 \text{ cm}}\)
Donc : EF mesure 4 cm.
✏️ Exemple 2
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 9 cm. Calculer BC. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième.
On a : Le triangle ABC est rectangle en A
AB = 6 cm ; AC = 9 cm ; Hypoténuse : BC
Or : d'après le théorème de Pythagore
Pythagore\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Substitue\(BC^2 = 6^2 + 9^2\)
Calcule\(BC^2 = 36 + 81 = 117\)
Racine\(BC = \sqrt{117}\)
Approx.\(BC \approx \textcolor{#2563eb}{10{,}8 \text{ cm}}\)
Donc : BC a pour valeur exacte \(\sqrt{117}\) cm et vaut environ 10,8 cm au dixième.
🧩 Exercice
PQR est un triangle rectangle en P tel que PQ = 5 cm et PR = 12 cm. Calculer QR.
On a : Le triangle PQR est rectangle en P. Hypoténuse : QR
Or : d'après le théorème de Pythagore
Pythagore\(QR^2 = PQ^2 + PR^2\)
Substitue\(QR^2 = 5^2 + 12^2\)
Calcule\(QR^2 = 25 + 144 = 169\)
Racine\(QR = \sqrt{169} = \textcolor{#2563eb}{13 \text{ cm}}\)
Donc : QR mesure 13 cm (valeur exacte, car 169 est un carré parfait).
2. Calculer un côté de l'angle droit
✏️ Exemple 3 – Méthode
CDE est un triangle rectangle en C tel que CE = 5 cm et ED = 8 cm. Calculer CD. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième.
On a : Le triangle CDE est rectangle en C
CE = 5 cm ; ED = 8 cm ; Hypoténuse : ED
Or : d'après le théorème de Pythagore
Pythagore\(ED^2 = CD^2 + CE^2\)
Substitue\(8^2 = CD^2 + 5^2\)
Calcule\(64 = CD^2 + 25\)
Isole\(CD^2 = 64 - 25 = 39\)
Racine\(CD = \sqrt{39} \approx \textcolor{#1b7a40}{6{,}2 \text{ cm}}\)
Donc : CD a pour valeur exacte \(\sqrt{39}\) cm et vaut environ 6,2 cm au dixième.
⚠️ Attention : quand on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait les carrés : \(CD^2 = ED^2 - CE^2\).
🧩 Exercice
ABC est un triangle rectangle en B tel que AC = 10 cm et BC = 6 cm. Calculer AB.
On a : Le triangle ABC est rectangle en B. Hypoténuse : AC
Or : d'après le théorème de Pythagore
Pythagore\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
Substitue\(10^2 = AB^2 + 6^2\)
Calcule\(100 = AB^2 + 36\)
Isole\(AB^2 = 100 - 36 = 64\)
Racine\(AB = \sqrt{64} = \textcolor{#1b7a40}{8 \text{ cm}}\)
Donc : AB mesure 8 cm.
IV. Récapitulatif
📗 La méthode en résumé

Situation | Ce qu'on sait | Ce qu'on fait
🔵 Théorème | Triangle rectangle ✔ & 2 côtés connus | On calcule le 3ᵉ côté

📝 Mémo : L'hypoténuse est toujours le plus grand côté. Pour la trouver dans un exercice, identifie d'abord les données, puis vérifie lequel des côtés est le plus grand.
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