Chapitre

# Probabilités

5ème • 4ème • 3ème
I. Modéliser une expérience aléatoire
📘 Définition

Une expérience aléatoire est une expérience où intervient le hasard.
On ne peut pas prévoir le résultat à l'avance mais on peut lister les différentes possibilités, que l'on appelle « issues ».

✏️ Exemple
Donner un exemple d'expérience aléatoire et lister ses issues.

Exemple : lancer un dé à 6 faces.

Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

On ne sait pas à l'avance quelle face va apparaître : c'est bien une expérience aléatoire.

📘 Vocabulaire & Propriété

La probabilité d'une issue peut s'interpréter comme la « proportion de chances » d'obtenir cette issue lors de l'expérience aléatoire.

- C'est un nombre compris entre 0 et 1.
- La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.

✏️ Exemples — Lancer d'un dé à 6 faces
Compléter le tableau des probabilités :

Faces | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Total
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
Probabilité | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …\(\dfrac{1}{6}\) | …1

💡 Il y a 6 issues et la somme vaut bien \(6 \times \dfrac{1}{6} = 1\). ✓
📗 Définition & Propriété — Équiprobabilité

Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que les issues sont équiprobables.

Exemple : Grâce au tableau précédent, on en déduit que les issues d'un lancer de dé à 6 faces sont équiprobables.

II. Déterminer la probabilité d'un évènement
📘 Définition

Selon le résultat d'une expérience aléatoire, on dit qu'un évènement est réalisé ou non.

✏️ Exemple

On peut poser A l'évènement : « Obtenir un 6 » sur un lancer de dé à 6 faces.

📘 Définition

La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des issues qui le réalisent. Si A est l'évènement, alors la probabilité de réaliser l'évènement A se note P(A).

✏️ Exemple
Calculer P(A) où A est l'évènement « Obtenir un 6 » sur un lancer de dé à 6 faces.

La seule issue qui réalise A est le 6, dont la probabilité est \(\dfrac{1}{6}\).

\(\mathrm{P(A)} = \dfrac{1}{6}\)
📗 Définition — Cas équiprobable

Dans une expérience d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A vaut :

\(\mathrm{P(A)} = \dfrac{\text{nombre d'issues qui le réalisent}}{\text{nombre total d'issues}}\)
✏️ Exemple
On lance un dé à 6 faces. Soit B : « Obtenir un nombre pair ». Calculer P(B).

Les issues qui réalisent B sont : 2, 4 et 6. Il y en a 3 sur 6 issues au total.

\(\mathrm{P(B)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
📘 Définitions & Propriétés

- Un évènement impossible est un évènement qui ne peut jamais se réaliser. Sa probabilité est égale à 0.
- Un évènement certain est un évènement qui se réalise toujours. Sa probabilité est égale à 1.

✏️ Exemple
Sur un lancer de dé à 6 faces, donner un exemple d'évènement impossible et d'évènement certain.

Évènement impossible : « Obtenir un 7 ».

Un dé à 6 faces ne peut jamais donner 7, donc P(« obtenir un 7 ») = 0.

Évènement certain : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 ».

Toutes les faces (1, 2, 3, 4, 5, 6) vérifient cette condition, donc P(« obtenir un nombre ≤ 6 ») = 1.

III. Évènements incompatibles et évènements contraires
📘 Définition — Évènements incompatibles

On dit que deux évènements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

✏️ Exemple
Sur un lancer de dé à 6 faces, donner un exemple de deux évènements incompatibles.

A : « Obtenir un nombre pair » et B : « Obtenir un nombre impair ».

Un résultat ne peut pas être à la fois pair et impair : A et B sont incompatibles.

📗 Propriété — Évènements incompatibles

Si deux évènements A et B sont incompatibles, la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités :

\(\mathrm{P(A\ ou\ B)} = \mathrm{P(A)} + \mathrm{P(B)}\)
✏️ Exemple
On lance un dé à 6 faces. Soit A : « Obtenir un 2 » et B : « Obtenir un 5 ». Calculer la probabilité d'obtenir un 2 ou un 5.

A et B sont incompatibles : on ne peut pas obtenir 2 et 5 en même temps.

\(\mathrm{P(A)} = \dfrac{1}{6}\) et \(\mathrm{P(B)} = \dfrac{1}{6}\)
\(\mathrm{P(A\ ou\ B)} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
📘 Définition — Évènement contraire

L'évènement contraire d'un évènement A est l'évènement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note \(\overline{\mathrm{A}}\).

✏️ Exemple
On lance un dé à 6 faces. Soit A : « Obtenir un multiple de 3 ». Décrire \(\overline{\mathrm{A}}\).

A : « Obtenir un multiple de 3 », c'est-à-dire obtenir 3 ou 6.

\(\overline{\mathrm{A}}\) : « Ne pas obtenir un multiple de 3 », c'est-à-dire obtenir 1, 2, 4 ou 5.

📗 Propriété — Évènement contraire
\(\mathrm{P(A)} + \mathrm{P(\overline{A})} = 1 \qquad \text{donc} \qquad \mathrm{P(\overline{A})} = 1 - \mathrm{P(A)}\)
✏️ Exemple
On lance un dé à 6 faces. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de 3, puis la probabilité d'obtenir 1, 2, 4 ou 5.

Soit A : « Obtenir un multiple de 3 ». Les issues favorables sont 3 et 6, soit 2 issues sur 6.

\(\mathrm{P(A)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

L'évènement contraire \(\overline{\mathrm{A}}\) est « Obtenir 1, 2, 4 ou 5 ».

\(\mathrm{P(\overline{A})} = 1 - \mathrm{P(A)} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\)
✅ Vérification : \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1\) ✓
🧩 Exercice
On tire au hasard une carte parmi 10 cartes numérotées de 1 à 10.
Soit A : « Obtenir un multiple de 4 ».
Calculer P(A) puis P(\(\overline{\mathrm{A}}\)).

Les multiples de 4 entre 1 et 10 sont : 4 et 8. Il y en a 2 sur 10 cartes.

\(\mathrm{P(A)} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\)

\(\overline{\mathrm{A}}\) est l'évènement « Ne pas obtenir un multiple de 4 ».

\(\mathrm{P(\overline{A})} = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\)
✅ Vérification : \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} = 1\) ✓
IV. Expériences répétées
📘 Méthode

Lorsqu'une expérience est répétée avec deux épreuves qui s'enchaînent, on peut traiter le problème avec un tableau à double entrée.

✏️ Exemple
On lance un dé à 6 faces deux fois. On aimerait connaître la probabilité de tomber sur deux nombres pairs.
On construit un tableau à double entrée avec sur les lignes le premier lancer et sur les colonnes le deuxième lancer.
Remplir le tableau en écrivant OUI si l'issue réalise l'évènement et NON sinon.

1er \ 2e | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
1 | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON
2 | …NON | …OUI | …NON | …OUI | …NON | …OUI
3 | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON
4 | …NON | …OUI | …NON | …OUI | …NON | …OUI
5 | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON | …NON
6 | …NON | …OUI | …NON | …OUI | …NON | …OUI

💡 Il faut que les deux lancers donnent un nombre pair (2, 4 ou 6). Les cases OUI sont celles où la ligne ET la colonne correspondent à un nombre pair.

Quelle est la probabilité de tomber sur deux nombres pairs ?

Le tableau comporte 36 cases au total (6 × 6), chacune correspondant à une issue également probable.

On compte 9 cases OUI (lignes 2, 4, 6 croisées avec colonnes 2, 4, 6).

La probabilité d'obtenir deux nombres pairs est \(\dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\).
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