Chapitre

# Calcul littéral

I. Simplifier et réduire
1. Simplifier
📌 Convention

Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe \(\times\) lorsqu'il est placé devant une lettre ou une parenthèse.

\(2 \times b = 2b \qquad\qquad 4 \times (a+3) = 4(a+3)\)
📗 Propriété

Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l'ordre de ses facteurs.

\(3 \times x \times 2 = 2 \times 3 \times x = 6x\)
✏️ Exemple
Simplifier les expressions suivantes :

1) | \(2 \times b\) | . . . . . .\(= 2b\)
2) | \(a \times b\) | . . . . . .\(= ab\)
3) | \(1 \times x\) | . . . . . .\(= x\)
4) | \(4 \times (7a + 3)\) | . . . . . .\(= 4(7a+3)\)
5) | \(2x \times 3x\) | . . . . . .\(= 6x^2\)
6) | \(x \times x\) | . . . . . .\(= x^2\)
7) | \(x \times x \times x\) | . . . . . .\(= x^3\)

💡 3) Multiplier par 1 ne change pas un nombre : \(1 \times x = x\).
💡 4) On supprime le \(\times\), mais on ne développe pas : la parenthèse reste.
💡 5) On regroupe les nombres : \(2 \times 3 = 6\), puis les lettres : \(x \times x = x^2\).
2. Réduire
📗 Propriété

On peut regrouper les termes semblables, c'est-à-dire les termes qui contiennent la même lettre.

\(\textcolor{#1a6fa0}{ax} + \textcolor{#1a6fa0}{bx}\) se réduit en \(\textcolor{#1a6fa0}{(a+b)x}\)
\(\textcolor{#1b7a40}{ax} - \textcolor{#1b7a40}{bx}\) se réduit en \(\textcolor{#1b7a40}{(a-b)x}\)
⚠️ Attention
Multiplication répétée
\(x^2 = x \times x\)
Addition répétée
\(2x = x + x\)

\(x^2 \neq 2x\) — ce sont deux choses complètement différentes !

✏️ Exemple
Réduire, si possible, les expressions suivantes :

1) | \(2x + 3x\) | \(2x\) \(+\) \(3x\) | . . . . . .\(= 5x\)
2) | \(5x - 3x\) | \(5x\) \(-\) \(3x\) | . . . . . .\(= 2x\)
3) | \(2x + 2y\) | \(2x\) \(+\) \(2y\) | . . . . . .Impossible (\(x\) et \(y\) sont différents)
4) | \(2x + 10x^2 + x\) | \(2x\) \(+\) \(10x^2\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(10x^2\) \(+\) \(3x\)

💡 Les termes de même couleur ont la même lettre avec le même exposant : on les additionne ou soustrait.
💡 3) \(x\) et \(y\) sont deux lettres différentes : impossible à réduire.
💡 4) \(x\) sans chiffre devant c'est \(1x\). Donc \(2x + 1x = 3x\). Et \(\textcolor{#c0392b}{x^2} \neq x\) : on ne les mélange pas.
🧩 Exercice
Réduire, si possible, les expressions suivantes :

a) | \(4x + 2x\) | \(4x\) \(+\) \(2x\) | . . . . . .\(= 6x\)
b) | \(7a - 3a + 2\) | \(7a\) \(-\) \(3a\) \(+\) \(2\) | . . . . . .\(4a\) \(+\) \(2\)
c) | \(3x + 5y + x\) | \(3x\) \(+\) \(5y\) \(+\) \(\underbrace{1x}_{x=1x}\) | . . . . . .\(4x\) \(+\) \(5y\)
d) | \(6b + 3a + 2b\) | \(3a\) \(+\) \(6b\) \(+\) \(2b\) | . . . . . .\(3a\) \(+\) \(8b\)

💡 Termes de même couleur = même lettre = on les regroupe.
💡 c) Le \(x\) seul vaut \(1x\) : \(3x + 1x = 4x\). Le \(5y\) reste seul car \(y \neq x\).
💡 d) On peut réorganiser : \(3a + 6b + 2b = 3a + 8b\).
II. Utiliser une expression littérale
📘 Définition

Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est attribuer un nombre à chaque lettre de l'expression afin d'effectuer le calcul.

✏️ Exemple
Calculer \(A = 2x + 3y - 5\) lorsque \(x = 1\) et \(y = 3\).
Substitue\(A = 2 \times \textcolor{#6b3fa0}{1} + 3 \times \textcolor{#1b7a40}{3} - 5\)
\(\times\) d'abord\(A = \textcolor{#1a6fa0}{2} + \textcolor{#1b7a40}{9} - 5\)
G → D\(A = 11 - 5\)
\(A = \textcolor{#c0392b}{6}\)
🧩 Exercice
Calculer \(B = 4x - 3\) pour \(x = 5\), puis pour \(x = 0\).

Pour \(x = 5\) :

Substitue\(B = 4 \times \textcolor{#6b3fa0}{5} - 3\)
\(\times\) d'abord\(B = 20 - 3\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{17}\)

Pour \(x = 0\) :

Substitue\(B = 4 \times \textcolor{#6b3fa0}{0} - 3\)
\(\times\) d'abord\(B = 0 - 3\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{-3}\)
III. Développer
📘 Définition

Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence.

1. Simple distributivité
📙 Propriété – Distributivité

\(k\), \(a\) et \(b\) désignent des nombres :

\(\textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} + \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)
\(\textcolor{#c0392b}{k}(\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#1b7a40}{b}) = \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1a6fa0}{a} - \textcolor{#c0392b}{k}\textcolor{#1b7a40}{b}\)

Le facteur \(\textcolor{#c0392b}{k}\) se distribue sur chaque terme entre parenthèses.

✏️ Exemple
Développer : \(A = 7(4 + x)\)
Distribue\(A = \textcolor{#c0392b}{7} \times \textcolor{#1a6fa0}{4} + \textcolor{#c0392b}{7} \times \textcolor{#1b7a40}{x}\)
Calcule\(A = \textcolor{#1a6fa0}{28} + \textcolor{#1b7a40}{7x}\)
\(A = \textcolor{#c0392b}{28 + 7x}\)
✏️ Exemple
Développer : \(B = 2(x - 1)\)
Distribue\(B = \textcolor{#c0392b}{2} \times \textcolor{#1a6fa0}{x} - \textcolor{#c0392b}{2} \times \textcolor{#1b7a40}{1}\)
Simplifie\(B = \textcolor{#1a6fa0}{2x} - \textcolor{#1b7a40}{2}\)
\(B = \textcolor{#c0392b}{2x - 2}\)
🧩 Exercice
Développer et réduire :

\(C = 3(x + 5) \qquad D = 4(2x - 1) \qquad E = 5(x + 2) + 3x\)

\(C = 3(x+5)\)

Distribue\(= \textcolor{#c0392b}{3}x + \textcolor{#c0392b}{3} \times 5\)
\(= \textcolor{#c0392b}{3x + 15}\)

\(D = 4(2x-1)\)

Distribue\(= \textcolor{#c0392b}{4} \times 2x - \textcolor{#c0392b}{4} \times 1\)
\(= \textcolor{#c0392b}{8x - 4}\)

\(E = 5(x+2)+3x\)

Distribue\(= 5x + 10 + 3x\)
Réduit\(= \textcolor{#1a6fa0}{5x} + \textcolor{#1a6fa0}{3x} + 10\)
\(= \textcolor{#c0392b}{8x + 10}\)
2. Opposé d'une expression littérale
📘 Règle du signe devant une parenthèse

Si la parenthèse est précédée de + : on enlève la parenthèse, les signes ne changent pas.

\(+(a - b) = a - b\)

Si la parenthèse est précédée de − : on enlève la parenthèse et on change le signe de chaque terme.

\(-(a - b) = -a + b\)
✏️ Exemple — signe −
Développer et réduire :
\(A = 4x - (5x - 6)\)
Signe −On change les signes des termes dans la parenthèse :
\(A = 4x \textcolor{#c0392b}{- 5x + 6}\)
Réduit\(A = \textcolor{#c0392b}{-x + 6}\)
✏️ Exemple — signe +
Développer et réduire :
\(B = 4x + (5x - 6)\)
Signe +Les signes ne changent pas :
\(B = 4x \textcolor{#1b7a40}{+ 5x - 6}\)
Réduit\(B = \textcolor{#1b7a40}{9x - 6}\)
3. Double distributivité
📙 Propriété – Double distributivité

Quels que soient les nombres \(a, b, c, d\) :

\((\textcolor{#dc2626}{a} + \textcolor{#dc2626}{b})(\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#2563eb}{d}) = \textcolor{#dc2626}{a}\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#dc2626}{a}\textcolor{#2563eb}{d} + \textcolor{#dc2626}{b}\textcolor{#2563eb}{c} + \textcolor{#dc2626}{b}\textcolor{#2563eb}{d}\)

Chaque terme du 1er facteur se multiplie par chaque terme du 2e → 4 produits.

✏️ Exemple
Développer et réduire \(A = (\textcolor{#dc2626}{x + 3})(\textcolor{#2563eb}{x + 5})\).
📊 Méthode du tableau

× | x | 5
--- | --- | ---
x | \(x^2\) | \(5x\)
3 | \(3x\) | \(15\)

\(A = x^2 + 5x + 3x + 15 =\) \(x^2 + 8x + 15\)
✏️ Méthode du calcul
\(A = \textcolor{#dc2626}{x}(\textcolor{#2563eb}{x+5}) + \textcolor{#dc2626}{3}(\textcolor{#2563eb}{x+5})\)
\(= x^2 + 5x + 3x + 15\)
\(=\) \(x^2 + 8x + 15\)
🧩 Exercice
Développer et réduire :

\(B = (\textcolor{#dc2626}{-3 + 2x})(\textcolor{#2563eb}{7 - x})\)

📊 Méthode du tableau

× | 7 | \(-x\)
--- | --- | ---
\(-3\) | \(-21\) | \(3x\)
\(2x\) | \(14x\) | \(-2x^2\)

\(-21 + 3x + 14x - 2x^2 =\) \(-2x^2 + 17x - 21\)
✏️ Méthode du calcul
\(B = \textcolor{#dc2626}{(-3)} \times \textcolor{#2563eb}{7} + \textcolor{#dc2626}{(-3)} \times \textcolor{#2563eb}{(-x)}\)
\(\phantom{B =} + \textcolor{#dc2626}{2x} \times \textcolor{#2563eb}{7} + \textcolor{#dc2626}{2x} \times \textcolor{#2563eb}{(-x)}\)
\(= -21 + 3x + 14x - 2x^2\)
\(=\) \(-2x^2 + 17x - 21\)
IV. Factoriser
📘 Définition

Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit.

📗 Propriété

\(k\), \(a\) et \(b\) désignent des nombres :

\(\textcolor{#6b3fa0}{k}a + \textcolor{#6b3fa0}{k}b = \textcolor{#6b3fa0}{k}(a + b)\)
\(\textcolor{#6b3fa0}{k}a - \textcolor{#6b3fa0}{k}b = \textcolor{#6b3fa0}{k}(a - b)\)

On cherche le facteur commun à tous les termes, puis on le met en facteur.

✏️ Exemple
Factoriser les expressions suivantes :

1) | \(2 \times x + 2 \times 4\) | Facteur commun : 2 | . . . . . .\(= 2(x + 4)\)
2) | \(12x^2 - 15x\) | Facteur commun : 3x | . . . . . .\(= 3x(4x - 5)\)
3) | \(x^2 + 7x\) | Facteur commun : x | . . . . . .\(= x(x + 7)\)

💡 Toujours vérifier en développant le résultat : on doit retrouver l'expression de départ.
💡 2) \(12\) et \(15\) sont divisibles par \(3\), et les deux termes ont un facteur \(x\) → facteur commun \(3x\).
Identité remarquable
📗 Propriété

Quels que soient les nombres \(a\) et \(b\) :

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
🔎 Démonstration
Développer \((a+b)(a-b)\) pour retrouver \(a^2 - b^2\).
Développe\((a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2\)
Réduit\(= a^2 \textcolor{#1a6fa0}{- ab + ab} - b^2\)
\(= \textcolor{#1b7a40}{a^2 - b^2}\) ✓ — les termes en \(ab\) s'annulent.
🧩 Application
Utiliser l'identité remarquable :

\(\text{1) Calculer rapidement } 98 \times 102 \qquad \text{2) Factoriser } x^2 - 9\)

1) \(98 \times 102\)

Réécrire\(= (100 - 2)(100 + 2)\)
Identité\(= 100^2 - 2^2\)
\(= 10\,000 - 4 = \textcolor{#c0392b}{9\,996}\)

2) \(x^2 - 9\)

Réécrire\(= x^2 - 3^2\)
Identité\(= \textcolor{#c0392b}{(x+3)(x-3)}\)
V. Utiliser le calcul littéral pour démontrer
1. Égalités d'expressions
📘 Définition

Deux expressions littérales sont égales si elles donnent le même résultat pour n'importe quelle valeur des lettres. Pour le prouver, on développe et réduit chaque membre séparément, puis on compare.

✏️ Exemple
Prouver que pour tout \(x\) :
\((2x+3)(5-x) + 10 = 47 + x(7-2x) - 22\)
Membre gauche
Développe\(10x - 2x^2 + 15 - 3x + 10\)
Réduit\(\textcolor{#1a6fa0}{-2x^2 + 7x + 25}\)
Membre droit
Développe\(47 + 7x - 2x^2 - 22\)
Réduit\(\textcolor{#1b7a40}{-2x^2 + 7x + 25}\)
Donc : Gauche \(= -2x^2 + 7x + 25 =\) Droite. L'égalité est vraie pour tout \(x\).
2. Contre-exemples
📘 Définition

Il suffit de trouver un seul exemple pour lequel deux expressions donnent des résultats différents pour prouver qu'elles ne sont pas égales. Cet exemple s'appelle un contre-exemple.

✏️ Exemple
Léo affirme : « pour tous \(a\) et \(b\) : \((a+b)^2 = a^2 + b^2\) ». A-t-il raison ?
On teste pour \(a = 2\) et \(b = 3\).
Membre gauche
Substitue\((2 + 3)^2 = 5^2\)
\(= \textcolor{#c0392b}{25}\)
Membre droit
Substitue\(2^2 + 3^2 = 4 + 9\)
\(= \textcolor{#c0392b}{13}\)
Donc : Gauche \(= 25 \neq 13 =\) Droite. L'égalité est fausse pour \(a=2, b=3\).

\(a=2, b=3\) est un contre-exemple : Léo a tort.

🏠 Menu