## Exercice 1 : Le silo à grain

Un silo à grain permet de stocker des céréales. Un ascenseur permet d'acheminer le blé dans le silo. L'ascenseur est soutenu par un pilier.

On modélise l'installation par la figure ci-dessous qui n'est pas réalisée à l'échelle :

- Les points C, E et M sont alignés
- Les points C, F, H et P sont alignés
- Les droites (MH) et (CH) sont perpendiculaires
- CH = 8,5 m ; CF = 2,5 m ; CE = 6,5 m
- Hauteur du cylindre : HM = 20,40 m
- Diamètre du cylindre : HP = 4,20 m

1) Montrer que la longueur CM mesure 22,1 m.

2) Montrer que les droites (EF) et (MH) sont parallèles.

3) Quelle est la hauteur EF du pilier ?

### Question 1 : Montrer que CM = 22,1 m

On a : Le triangle CMH est rectangle en H
CH = 8,5 m
HM = 20,40 m
Hypoténuse : CM
Or : d'après le théorème de Pythagore
CM² = CH² + HM²
CM² = 8,5² + 20,40²
CM² = 72,25 + 416,16 = 488,41
CM = √488,41 = 22,1 m
Donc : CM mesure 22,1 m

### Question 2 : Montrer que (EF) et (MH) sont parallèles

FH = CH - CF = 8,5 - 2,5 = 6 m
📝 Instructions : Colorier le grand triangle CMH en rouge et le petit triangle CEF en vert.
On a :
Gauche :
CE CM = 6,5 22,1
≈ 0,294
Milieu :
CF CH = 2,5 8,5
≈ 0,294
Droite :
EF MH
(on ne peut pas
calculer EF)
Or : Gauche = Milieu, donc CE CM = CF CH
Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (MH) sont parallèles

### Question 3 : Calculer EF

📝 Instructions : Colorier le grand triangle CMH en rouge et le petit triangle CEF en vert.
On a : C, E, M alignés
C, F, H alignés
(EF) et (MH) sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès
CM CE = CH CF = MH EF
8,5 2,5 = 20,40 EF
EF = 20,40 × 2,5 ÷ 8,5 = 6 m
Donc : la hauteur du pilier EF mesure 6 m

## Exercice 2

On considère la figure suivante telle que :

- ADB est un triangle rectangle en B
- A, D, E alignés et A, B, C alignés
- (BD) et (EC) sont parallèles
- BD = 1,2 m ; AB = 1,6 m et BC = 18,4 m

1. Calculer AD

2. Calculer AE et EC

3. Montrer que le triangle ACE est rectangle en C.

### Question 1 : Calculer AD

On a : Le triangle ADB est rectangle en B
AB = 1,6 m
BD = 1,2 m
Hypoténuse : AD
Or : d'après le théorème de Pythagore
AD² = AB² + BD²
AD² = 1,6² + 1,2² = 2,56 + 1,44 = 4
AD = √4 = 2 m
Donc : AD mesure 2 m

### Question 2 : Calculer AE et EC

AC = AB + BC = 1,6 + 18,4 = 20 m
📝 Instructions : Colorier le grand triangle EAC en rouge et le petit triangle ADB en vert.
On a : A, D, E alignés
A, B, C alignés
(BD) et (EC) sont parallèles
Or : d'après le théorème de Thalès
AE AD = AC AB = EC BD
AE 2 = 20 1,6
AE = 20 × 2 ÷ 1,6 = 25 m
EC 1,2 = 20 1,6
EC = 20 × 1,2 ÷ 1,6 = 15 m
Donc : AE mesure 25 m et EC mesure 15 m

### Question 3 : Montrer que ACE est rectangle en C

On a :
Gauche :
AE² = 25²
= 625
Droite :
AC² + EC² = 20² + 15²
= 400 + 225
= 625
Or : Gauche = Droite, donc AE² = AC² + EC²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACE est rectangle en C
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