📖 Méthodes à connaître
Passage à l'unité

On trouve la valeur pour 1, puis on multiplie.

3 kg → 6 €
1 kg → 6 ÷ 3 = 2 €
5 kg → 5 × 2 = 10 €
Produit en croix

Tableau en lignes, puis :

? = val. connue × diagonale ÷ restante

⚠️ Vérifier les unités !

Pourcentages rapides
50 % = ÷ 2
25 % = ÷ 4
10 % = ÷ 10
5 % = ÷ 20
20 % = ÷ 5
1 % = ÷ 100

12 % = 10 % + 2 × 1 %

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🧮
Automatismes – Sans calculatrice

## Automatismes

🚫 Sans calculatrice · Astuce & passage à l'unité
✓ Vu
🚫 Pas de calculatrice pour cette partie !
1 – Proportionnalité directe
a) 3 kg de pommes coûtent 6 €. 5 kg coûtent €
b) Une voiture roule à 90 km en 1 h. En 2 h → km. En 30 min → km
c) 5 stylos coûtent 8 €. 10 stylos → €. 1 stylo → €
2 – Passage à l'unité
a) 4 cahiers coûtent 10 €. 7 cahiers coûtent €
b) 6 L d'essence coûtent 9 €. 1 L coûte €. 15 L coûtent €
3 – Proportionnalité
a) 8 gâteaux coûtent 12 €. 2 gâteaux → €. 20 gâteaux → €
b) 15 pages sont lues en 10 min. 30 pages → min. 45 pages → min
4 – Pourcentages clés difficile
a) 10 % de 80 =
b) 25 % de 200 =
c) 50 % de 64 =
d) 5 % de 300 =
5 – Pourcentages composés difficile
a) 20 % de 150 =
b) 12 % de 250 =
6 – Augmentations
a) Un article coûte 40 €. Il augmente de 10 %. Nouveau prix → €
b) Un abonnement coûte 60 €. Il augmente de 20 %. Nouveau prix → €
7 – Soldes difficile
a) Un pull coûte 50 €. Il est soldé à −30 %. Nouveau prix → €
b) Un vélo coûte 400 €. Il baisse de 15 %. Nouveau prix → €
8 – Fraction → pourcentage difficile
a) 3 sur 4 = %
b) 46 sur 200 = %
c) 18 sur 300 = %
🔑 Pas de produit en croix ici — on raisonne par passage à l'unité ou par astuce mentale.

1 – Proportionnalité directe

a) 1 kg → 6 ÷ 3 = 2 € | 5 kg → 5 × 2 = 10 €
b) ×2 → 2 h = 180 km | 30 min = ½ h → 90 ÷ 2 = 45 km
c) ×2 → 10 stylos = 16 € | ensuite 16 ÷ 10 = 1,60 € le stylo

2 – Passage à l'unité

a) 1 cahier → 10 ÷ 4 = 2,50 € | 7 cahiers → 7 × 2,50 = 17,50 €
b) 1 L → 9 ÷ 6 = 1,50 € | 15 L → 15 × 1,50 = 22,50 €

3 – Proportionnalité

a) 1 gâteau → 12 ÷ 8 = 1,50 € | 2 gâteaux → 3 € | ×10 → 20 gâteaux = 30 €
b) ×2 → 30 pages = 20 min | ×3 → 45 pages = 30 min

4 – Pourcentages clés

a) 10 % de 80 = 80 ÷ 10 = 8
b) 25 % de 200 = 200 ÷ 4 = 50
c) 50 % de 64 = 64 ÷ 2 = 32
d) 5 % de 300 = 300 ÷ 20 = 15

5 – Pourcentages composés

a) 20 % de 150 = 150 ÷ 5 = 30
b) 12 % de 250 : 12 pour 100, donc 24 pour 200. La moitié de 12 = 6, donc 6 pour 50.
200 + 50 = 250 | 24 + 6 = 30

6 – Augmentations

a) 10 % de 40 = 40 ÷ 10 = 4 | 40 + 4 = 44 €
b) 20 % de 60 = 60 ÷ 5 = 12 | 60 + 12 = 72 €

7 – Soldes

a) Il reste 70 %. 10 % de 50 = 5 | 70 % = 7 × 5 = 35 €
b) Il reste 85 %. 10 % de 400 = 40 | 5 % = 20 | 85 % = 8 × 40 + 20 = 340 €

8 – Fraction → pourcentage

a) 3 sur 4 → ÷ 4 puis × 100 = 75 %
b) 46/200 = 23/100 (on divise numérateur et dénominateur par 2) = 23 %
c) 18/300 = 6/100 (on divise par 3) = 6 %
🏃
Exercice 1 – La VMA

## Exercice 1

Vitesse · Pourcentage · Conversion
✓ Vu
Contexte : La vitesse maximale aérobie (VMA) est la vitesse à partir de laquelle une personne consomme le maximum d'oxygène. À sa VMA, un sportif peut tenir 4 à 6 minutes. Mathieu a estimé sa VMA à 15 km/h.
🏃 Données

- • VMA de Mathieu : 15 km/h
- • Course de fond : 85 % de la VMA
- • Effort intense : 200 m en 40 s

📋 Questions

- 1° Distance parcourue en 4 min à VMA
- 2° Vitesse de course 10 km (85 % VMA) & durée
- 3° Vitesse des efforts intenses en km/h & % VMA

1À sa VMA (15 km/h), quelle distance Mathieu parcourt-il en 4 minutes ?
2a) À quelle vitesse doit-il courir un 10 km (85 % de sa VMA) ? b) À cette vitesse, combien de temps met-il ? (en min et s)
3a) Quelle est sa vitesse lors des efforts intenses (200 m en 40 s) en km/h ? b) À quel pourcentage de sa VMA correspond-elle ?

💡 Indices

Pour la question 1 : la vitesse indique une distance par heure. Pense à convertir 4 minutes en fraction d'heure pour pouvoir l'utiliser dans un tableau de proportionnalité.
Pour 2a : une réduction de pourcentage modifie la vitesse. Cherche quel pourcentage de la vitesse initiale reste après la réduction. Pour 2b : avec la nouvelle vitesse, utilise la proportionnalité distance/durée.
Pour 3a : la formule vitesse = distance ÷ temps fonctionne, mais il faut que distance et temps soient dans des unités compatibles. Pour 3b : une fois la vitesse connue, compare-la à la vitesse de référence en utilisant les pourcentages.

Question 1 – Distance en 4 min à 15 km/h

Durée (min) | 60 | 4
Distance (km) | 15 | ?

? = 15 × 4 ÷ 60 = 1 km
En 4 minutes à sa VMA, Mathieu parcourt 1 km.

Question 2a – Vitesse à 85 % de la VMA

Pourcentage | 100 % | 85 %
Vitesse (km/h) | 15 | ?

? = 15 × 85 ÷ 100 = 12,75 km/h

Question 2b – Durée pour 10 km à 12,75 km/h

Distance (km) | 12,75 | 10
Durée (h) | 1 | ?

? = 10 × 1 ÷ 12,75 ≈ 0,7843 h
0,7843 × 60 ≈ 47,06 min → 47 min 04 s
Mathieu court le 10 km en 47 min 04 s.

Question 3a – Vitesse des efforts intenses en km/h

Distance (m) | 200 | ?
Temps (s) | 40 | 3 600

Produit en croix : ? = 200 × 3 600 ÷ 40 = 18 000 m/h = 18 km/h

Question 3b – Pourcentage de la VMA

Vitesse (km/h) | 15 | 18
Pourcentage | 100 % | ?

? = 18 × 100 ÷ 15 = 120 % de la VMA
Les efforts intenses correspondent à 120 % de la VMA de Mathieu.
🚗
Exercice 2 – Paris–Marseille

## Exercice 2

Vitesse · Débit · Budget · Pourcentage
✓ Vu
La situation : Justine fait le trajet Paris–Marseille en voiture à une vitesse moyenne de 80 km/h. Le trajet fait 850 km.
🚗 Données

- • Vitesse : 80 km/h
- • Distance : 850 km
- • Consommation : 60 L pour 300 km
- • Réservoir au départ : 60 L
- • Péage : 350 €
- • Essence : 1,5 € / L
- • Retour : vitesse réduite de 15 %

📋 Questions

- 1. Distance en 20 min
- 2. Durée du trajet (h et min)
- 3. Vitesse en m/s
- 4a. Montrer qu'il faut 170 L
- 4b. Budget total (essence + péage)
- 5. Vitesse au retour (−15 %)

1Quelle distance Justine parcourt-elle en 20 minutes ?
2Le trajet est de 850 km. Combien de temps lui faut-il ? (en heures et minutes)
3Donner sa vitesse moyenne en m/s.
4a) Montrer qu'il lui faut 170 litres d'essence pour 850 km. b) Elle part avec 60 L. Calculer le budget total (essence + péage).
5Au retour, elle réduit sa vitesse de 15 %. Quelle est sa vitesse moyenne au retour ?

💡 Indices

Q1 et Q2 : à vitesse constante, distance et durée sont proportionnelles. Pense à utiliser des unités cohérentes. Si le résultat est en heures décimales, cherche comment le convertir.
Q3 : vitesse constante, mais attention aux unités — il faut que distance et temps soient dans des unités compatibles. Q4a : consommation et distance sont proportionnelles. Q4b : elle possède déjà du carburant ; combien lui en faut-il au total pour 850 km ?
Q5 : une réduction de pourcentage modifie la valeur de départ. Cherche quel pourcentage de la vitesse initiale reste après cette réduction.

Question 1 – Distance en 20 min

Durée (min) | 60 | 20
Distance (km) | 80 | ?

? = 80 × 20 ÷ 60 ≈ 26,7 km

Question 2 – Durée du trajet (850 km)

Distance (km) | 80 | 850
Durée (h) | 1 | ?

? = 850 × 1 ÷ 80 = 10,625 h
0,625 × 60 = 37,5 min → 10 h 37 min 30 s
Le trajet dure 10 h 37 min 30 s.

Question 3 – Vitesse en m/s

Distance (m) | ? | 80 000
Temps (s) | 1 | 3 600

Produit en croix : ? = 80 000 × 1 ÷ 3 600 ≈ 22,2 m/s

Question 4a – Démonstration des 170 L

Distance (km) | 300 | 850
Essence (L) | 60 | ?

? = 60 × 850 ÷ 300 = 170 L ✓

Question 4b – Budget total

Essence disponible au départ | 60 L
Essence totale nécessaire | 170 L
Essence à acheter | 170 − 60 = 110 L

Coût essence = 110 × 1,5 = 165 €
Budget total = 165 + 350 = 515 €
Le budget total pour se rendre à Marseille est de 515 €.

Question 5 – Vitesse au retour (−15 %)

✦ Il reste 85 % de la vitesse

Pourcentage | 100 % | 85 %
Vitesse (km/h) | 80 | ?

? = 80 × 85 ÷ 100 = 68 km/h
Au retour, Justine roule à 68 km/h.
💧
Exercice 3 – La fuite d'eau (difficile)

## Exercice 3

Débit · Volume · Cylindre · Pourcentage
✓ Vu
La situation : Dans une salle de bain, le robinet fuit à raison d'une goutte par seconde. En moyenne, 20 gouttes = 1 mL. La vasque est cylindrique : diamètre intérieur 40 cm, hauteur intérieure 15 cm.
Rappels : Volume cylindre = π × Rayon² × Hauteur | 1 dm³ = 1 L
💧 Données

- • Débit fuite : 1 goutte / seconde
- • 20 gouttes = 1 mL
- • Diamètre vasque : 40 cm → rayon = 20 cm
- • Hauteur vasque : 15 cm
- • 1 dm³ = 1 L | 1 dm = 10 cm

📋 Questions

- 1. Montrer : 86 400 gouttes en une journée
- 2. Volume d'eau en une semaine (en L)
- 3. % diminution de conso. 2004→2018

⚠️ Attention aux unités ! La formule du cylindre utilise des unités cohérentes. Convertir en dm pour obtenir directement des litres (1 dm³ = 1 L).
1En raison de la fuite, montrer qu'il tombe 86 400 gouttes dans la vasque en une journée complète.
2Calculer en litres le volume d'eau qui tombe dans la vasque en une semaine.
3En 2004, la consommation d'eau était de 165 L/jour/habitant. En 2018, elle est de 148 L/jour/habitant. Calculer le pourcentage de diminution (arrondir à l'unité).

💡 Indices

Q1 : pense à combien de secondes il y a dans une heure, puis dans une journée. La proportionnalité peut t'aider à organiser le calcul.
Q2 : tu connais le nombre de gouttes par jour. La correspondance entre gouttes et millilitres te permettra de trouver le volume. Pense ensuite aux conversions d'unités.
Q3 : un pourcentage de diminution compare la baisse à la valeur de départ. Identifie bien quelle valeur est le « point de départ » de la comparaison.

Question 1 – Démonstration : 86 400 gouttes par jour

Durée | 1 seconde | 1 heure (3 600 s) | 1 jour (24 h)
Gouttes | 1 | 3 600 | ?

? = 3 600 × 24 = 86 400 gouttes ✓

Question 2 – Volume en une semaine (en L)

Gouttes | 20 | 86 400
Volume (mL) | 1 | ?

? = 86 400 × 1 ÷ 20 = 4 320 mL par jour
4 320 mL = 4,32 L par jour
En une semaine : 4,32 × 7 = 30,24 L
La fuite représente 30,24 L d'eau en une semaine.

Question 3 – Pourcentage de diminution 2004 → 2018

✦ Méthode 1 — Calculer la diminution, puis la mettre en proportion
Diminution = 165 − 148 = 17 L

Volume (L) | 165 | 17
Pourcentage | 100 | ?

? = 17 × 100 ÷ 165 ≈ 10 (arrondi à l'unité)
✦ Méthode 2 — Tableau avec 100 % et la valeur finale

Volume (L) | 165 | 148
Pourcentage | 100 | ?

? = 148 × 100 ÷ 165 ≈ 89,7 | diminution = 100 − 89,7 ≈ 10 (arrondi à l'unité)
La consommation a diminué d'environ 10 % entre 2004 et 2018.

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