ℹ Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire. Si une question n'est pas terminée, laisse une trace de ta démarche : elle sera prise en compte dans la notation.
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Exercice 1
20 points · Cinq situations indépendantes
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## Situation 1

Probabilités
Une urne contient 40 boules indiscernables au toucher : 5 rouges, 20 vertes et 15 blanches.
L'expérience consiste à tirer au hasard une boule de l'urne et à noter sa couleur.

Calculer la probabilité d'obtenir une boule verte.

La probabilité est le rapport entre le nombre de boules favorables et le nombre total de boules.

### Probabilité d'obtenir une boule verte

L'urne contient 40 boules, dont 20 vertes.

\(\boldsymbol{P(\text{verte}) = \dfrac{20}{40} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5}\)
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## Situation 2

Décomposition en facteurs premiers

Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 1 050.

Aucune justification n'est attendue.

Commence par diviser par 2 si le nombre est pair, sinon par 3, puis par 5, etc.

### Décomposition de 1 050

1050 | 2
525 | 3
175 | 5
35 | 5
7 | 7
1 |

\(\boldsymbol{1050 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 \times 7}\)
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## Situations 3, 4 et 5

Pourcentages · Agrandissement · Statistiques

Situation 3 — Augmentation de prix

Un article coûte 25 €.

Calculer son prix après une augmentation de 14 %.

Situation 4 — Agrandissement

Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1 de coefficient 2,5. L'aire du polygone 1 est 7,5 cm².
(La figure n'est pas à l'échelle.)

Calculer l'aire du polygone 2.

Situation 5 — Statistiques

Dans une classe de 3e, les tailles des élèves sont regroupées dans le tableau :

Taille (cm) | 152 | 157 | 160 | 162 | 165 | 170 | 174 | 180
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 2 | 4 | 2 | 5 | 2 | 4 | 6 | 5

1. Quelle est la moyenne des tailles des élèves de cette classe ?
2. Quelle est la médiane des tailles des élèves de cette classe ?

Augmenter de 14 % revient à multiplier par 1,14. On peut aussi calculer l'augmentation seule (14 % de 25), puis l'ajouter.
Quand les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k².
Moyenne pondérée = somme des (valeur × effectif) ÷ effectif total.

### Situation 3 – Augmentation de 14 %

Pourcentage | 100 % | 14 %
Prix (€) | 25 | ?

Méthode 1 — Calculer l'augmentation puis ajouter

? = 14 × 25 ÷ 100 = 3,50 € (augmentation)
Prix final = 25 + 3,50 = 28,50 €

Méthode 2 — Passer directement à 114 %

Pourcentage | 100 % | 114 %
Prix (€) | 25 | ?

? = 114 × 25 ÷ 100 = 28,50 €
Le nouveau prix est 28,50 €

### Situation 4 – Aire du polygone 2

Quand les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\).

Ici \(k = 2{,}5\), donc \(k^2 = 2{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}25\).

Aire₂ = 7,5 × 6,25 = 46,875 cm²
L'aire du polygone 2 est 46,875 cm²

### Situation 5 – Moyenne pondérée

Effectif total : \(2+4+2+5+2+4+6+5 = 30\) élèves.

Moyenne pondérée = \(\dfrac{2\times152 + 4\times157 + 2\times160 + 5\times162 + 2\times165 + 4\times170 + 6\times174 + 5\times180}{30}\)
= \(\dfrac{304 + 628 + 320 + 810 + 330 + 680 + 1044 + 900}{30} = \dfrac{5016}{30} = 167{,}2\) cm
La moyenne pondérée des tailles est 167,2 cm

### Situation 5 – Médiane

Il y a 30 élèves, donc la médiane est entre les valeurs de rang 15 et 16.

Taille | 152 | 157 | 160 | 162 | 165 | 170 | 174 | 180
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
Effectif | 2 | 4 | 2 | 5 | 2 | 4 | 6 | 5
Eff. cumulé | 2 | 6 | 8 | 13 | 15 | 19 | 25 | 30

Rang 15 → 165 cm · Rang 16 → 170 cm

La médiane est entre 165 cm et 170 cm
Exercice 2
20 points · Pythagore & Thalès & Trigonométrie
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## Questions 1 à 5

Triangles rectangles
La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.
Données :

- Les points E, M, A et B sont alignés ; les points E, D et C sont alignés.
- Le triangle EMD est rectangle en E ; le triangle ABC est rectangle en B.
- \(DA = 70\) m ; \(BC = 30\) m ; \(AC = 50\) m ; \(\widehat{AME} = 60°\) (angle en M dans le triangle EMD)

1. Calculer la longueur \(AB\).
2. Montrer que les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles.
3. Montrer que la longueur \(DE\) est égale à 42 m.
4. Montrer que la longueur \(EM\) est environ égale à 24,2 m.
5. En déduire l'aire du triangle \(AMD\).

ABC est rectangle en B. Quel théorème relie les trois côtés d'un triangle rectangle ?
Cherche une propriété reliant deux droites toutes deux perpendiculaires à une même troisième droite.
Identifie le sommet commun aux deux triangles et vérifie que les conditions du théorème de Thalès sont réunies.
Identifie les côtés connus et inconnus par rapport à l'angle en M, puis choisis la formule trigonométrique appropriée.

### Question 1 – Calculer AB (Théorème de Pythagore)

On a : Le triangle ABC est rectangle en B AB = ? ; BC = 30 m ; AC = 50 m Hypoténuse : AC Or : d'après le théorème de Pythagore
AC² = AB² + BC²
50² = AB² + 30²
2500 = AB² + 900
AB² = 2500 − 900 = 1600
AB = √1600 = 40 m
Donc : AB mesure 40 m

### Question 2 – Les droites (DE) et (BC) sont parallèles

Le triangle EMD est rectangle en E : la droite (DE) est perpendiculaire à la droite (EM). Le triangle ABC est rectangle en B : la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AB). Or les points E, M, A et B sont alignés, donc (EM) et (AB) sont la même droite. Donc : (DE) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à (EB), donc elles sont parallèles.

### Question 3 – Montrer que DE = 42 m (Théorème de Thalès)

On a : Les points E, A et B sont alignés (dans cet ordre). Les points D, A et C sont alignés (dans cet ordre). Les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Or : d'après le théorème de Thalès :
Rapport 1
AB
AE
=
Rapport 2
AC
AD
=
Rapport 3
BC
DE

On égalise les rapports 2 et 3 :

AC
AD
=
BC
DE
=
50
70
=
30
DE

Produit en croix :

DE = 30 × 70 ÷ 50 = 42 m ✓
Donc : DE mesure bien 42 m

### Question 4 – Montrer que EM ≈ 24,2 m (Trigonométrie)

On a : Le triangle EMD est rectangle en E. L'angle en M vaut 60°. DE = 42 m (côté opposé à l'angle M) EM = ? (côté adjacent à l'angle M) Or : d'après la trigonométrie dans un triangle rectangle
\(\tan(60°) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{DE}{EM}\)
\(\tan(60°) = \dfrac{42}{EM}\)
\(\dfrac{\tan(60°)}{1} = \dfrac{42}{EM}\)
EM = 1 × 42 ÷ tan(60°)
\(EM = \dfrac{42}{\sqrt{3}} \approx \dfrac{42}{1{,}732} \approx 24{,}2 \text{ m} \checkmark\)
Donc : EM mesure environ 24,2 m

### Question 5 – Aire du triangle AMD

Étape 1 : Calculer AE par le théorème de Thalès (rapport 1 = rapport 2).

AB
AE
=
AC
AD
=
40
AE
=
50
70

Produit en croix :

AE = 40 × 70 ÷ 50 = 56 m

Étape 2 : Calculer l'aire du triangle AED.

DE est perpendiculaire à (EA) (car le triangle EMD est rectangle en E), donc DE est la hauteur et AE la base.

Aire(AED) = AE × DE ÷ 2 = 56 × 42 ÷ 2 = 1 176 m²

Étape 3 : Calculer l'aire du triangle MED.

Aire(MED) = EM × DE ÷ 2 = 24,2 × 42 ÷ 2 = 508,2 m²

Étape 4 : En déduire l'aire du triangle AMD.

Aire(AMD) = Aire(AED) − Aire(MED) = 1 176 − 508,2 = 667,8 m²
L'aire du triangle AMD est environ 667,8 m²
Exercice 3
20 points · Programmes de calcul
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## Questions 1 à 5

Deux programmes — Algèbre
On considère les deux programmes de calcul suivants :
Programme A

- Choisir un nombre
- Multiplier par 3
- Ajouter 15
- Diviser par 3
- Soustraire le nombre de départ

Programme B
Choisir un nombre
↙
↘
Soustraire 1
Soustraire 6
↘
↙
Multiplier les deux résultats obtenus
↓
Ajouter 5

1. Montrer que, lorsque le nombre choisi est 4, le résultat du programme A est 5.
2. Montrer que, lorsque le nombre choisi est −2, le résultat du programme A est 5.
3. Justifier que le programme A donne toujours le même résultat.
4. Lorsque le nombre choisi est 10, quel résultat obtient-on avec le programme B ?
5. Il existe exactement deux nombres pour lesquels les programmes A et B donnent le même résultat. Trouver ces deux nombres.

Applique les 5 étapes avec la lettre x et simplifie l'expression obtenue.
Pour B, exprime le résultat en fonction de x, puis pose l'équation et résous-la.

### Question 1 – Programme A avec 4

\(4 \xrightarrow{\times 3} 12 \xrightarrow{+15} 27 \xrightarrow{\div 3} 9 \xrightarrow{-4} \mathbf{5} \checkmark\)

### Question 2 – Programme A avec −2

\(-2 \xrightarrow{\times 3} -6 \xrightarrow{+15} 9 \xrightarrow{\div 3} 3 \xrightarrow{-(-2)} \mathbf{5} \checkmark\)

### Question 3 – Le programme A donne toujours 5

Soit \(x\) le nombre de départ. On applique les 5 étapes :

\(x \xrightarrow{\times 3} 3x \xrightarrow{+15} 3x+15 = 3(x+5) \xrightarrow{\div 3} x+5 \xrightarrow{-x} \mathbf{5}\)

Quel que soit \(x\), le résultat est toujours 5 : \(x\) disparaît à la dernière étape.

### Question 4 – Programme B avec 10

\(10 - 1 = 9\) et \(10 - 6 = 4\)
\(9 \times 4 = 36\), puis \(36 + 5 = \mathbf{41}\)
Le résultat est 41

### Question 5 – Les deux nombres donnant le même résultat

Le programme A donne toujours \(5\). Le programme B donne \((x-1)(x-6)+5\).

\((x-1)(x-6)+5 = 5\)
\((x-1)(x-6) = 0\)
\(x-1=0 \implies x=1\) ou \(x-6=0 \implies x=6\)
Les deux nombres sont 1 et 6
Exercice 4
20 points · Lecture graphique · Vitesse moyenne
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## Questions 1 à 5

Entraînement de Malo — distance en fonction du temps
À l'approche d'une course organisée par son collège, Malo s'entraîne sur un parcours de 13,5 km.
La courbe ci-dessous représente la distance parcourue (en km) en fonction du temps écoulé (en minutes).

1. Le temps et la distance parcourue par Malo sont-ils proportionnels ? Aucune justification n'est attendue.
2. Quelle distance Malo a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ? Aucune justification n'est attendue.
3. Combien de temps a-t-il mis pour faire les 9 premiers kilomètres ? Aucune justification n'est attendue.
4. Quelle est la vitesse moyenne de Malo lors de cette course ? Exprimer le résultat au dixième de km/h près.
5. Louise et Hillal ont couru sur le même parcours de 13,5 km. Louise à une vitesse régulière de 12 km/h et Hillal à une vitesse régulière de 10 km/h.
   1. Sachant qu'ils sont partis en même temps, qui a été le premier à franchir la ligne d'arrivée ?
   2. Quelle distance sépare Louise et Hillal lorsque le premier des deux franchit la ligne d'arrivée ?

Qu'est-ce qui caractérise graphiquement une situation de proportionnalité ?
Vitesse = distance ÷ temps. Attention à l'arrêt : pendant ce temps, la distance ne change pas.
Calcule quand Louise termine. À cet instant, déduis où se trouve Hillal sur le graphique.

### Question 1 – Proportionnalité

La courbe n'est pas un segment de droite passant par l'origine (elle change de pente et comporte un palier).

Non, la distance et le temps ne sont pas proportionnels

### Question 2 – Distance à 20 min (lecture graphique)

Au bout de 20 minutes, Malo a parcouru 4,5 km

### Question 3 – Temps pour 9 km (lecture graphique)

Malo a mis 50 minutes pour parcourir les 9 premiers km

### Question 4 – Vitesse moyenne

Il y a un arrêt de 10 min (palier entre 30 min et 40 min). On distingue deux cas :

Vitesse moyenne sans l'arrêt :

Distance (km) | 13,5 | ?
Temps (min) | 70 (= 80 − 10) | 60 min

v = 13,5 × 60 ÷ 70 ≈ 11,6 km/h

Vitesse moyenne avec l'arrêt :

Distance (km) | 13,5 | ?
Temps (min) | 80 | 60 min

v = 13,5 × 60 ÷ 80 ≈ 10,1 km/h

### Question 5a – Qui arrive en premier ?

Louise court à 12 km/h, Hillal à 10 km/h. Louise est plus rapide.

Louise arrive en première

### Question 5b – Distance séparant les deux coureurs

Tableau pour Louise (vitesse = 12 km/h) :

Distance (km) | 12 | 13,5
Temps (min) | 60 | ?

t(Louise) = 13,5 × 60 ÷ 12 = 67,5 min

Tableau pour Hillal au bout de 67,5 min (vitesse = 10 km/h) :

Distance (km) | 10 | ?
Temps (min) | 60 | 67,5

d(Hillal) = 10 × 67,5 ÷ 60 = 11,25 km
Écart = 13,5 − 11,25 = 2,25 km
Hillal se trouve à 2,25 km de l'arrivée quand Louise franchit la ligne
Exercice 5
20 points · Algorithmique · Probabilités
✓ Vu

## Partie 1 – Les motifs

Scripts Scratch — formes géométriques
Dans cette partie, aucune justification n'est attendue.
Script 1
définir Motif 1 stylo en position d'écriture répéter 3 fois
avancer de 30 pas tourner ↺ de 120 degrés
relever le stylo
Script 2
définir Motif 2 stylo en position d'écriture répéter 6 fois
avancer de 30 pas tourner ↺ de 60 degrés
relever le stylo
Script 3
définir Motif 3 stylo en position d'écriture répéter 2 fois
avancer de 30 pas ⋯ partie effacée ⋯
(voir question 2)
relever le stylo

1. Les scripts 1 et 2 permettent chacun d'obtenir un des dessins ci-dessous. Associer chacun des scripts à son dessin.
   Dessin 2
   Dessin 1
2. Le script 3 permet d'obtenir le losange ci-dessous. La partie effacée contient 3 instructions (A, B et C). Recopier dans le bon ordre les instructions cachées.
   Instruction A
   tourner ↺ de 60 degrés
   Instruction B
   tourner ↺ de 120 degrés
   Instruction C
   avancer de 30 pas

L'angle de rotation correspond à l'angle extérieur. Triangle : 3 × 120° = 360°. Hexagone : 6 × 60° = 360°.
Observe les angles du losange : 120° puis 60°. Le lutin tourne de 120° après le premier côté (angle obtus), puis de 60° après le deuxième (angle aigu).

### Question 1 – Association scripts/dessins

Script 1 : 3 répétitions × 120° = 360° → triangle équilatéral.

Script 2 : 6 répétitions × 60° = 360° → hexagone régulier.

Script 1 → Dessin 2 (triangle) · Script 2 → Dessin 1 (hexagone)

### Question 2 – Ordre des instructions cachées

Le losange a deux côtés de 30 pas avec un angle de 120° puis un côté de 30 pas avec un angle de 60°.

1. B — tourner ↺ de 120 degrés
2. C — avancer de 30 pas
3. A — tourner ↺ de 60 degrés

✓ Vu

## Partie 2 – Le script principal

Scratch — Probabilités
Script principal
Quand 🚩 est cliqué aller à x: −200 y: 0 effacer tout s'orienter à 90 mettre Motif à nombre aléatoire entre 1 et 3 si Motif = 3 alors
répéter 6 fois
Motif 3 avancer de 60 pas
dire Voici le dessin !
sinon
dire Perdu !
fin si
Rappels
`nombre aléatoire entre 1 et 3`
donne un entier au hasard parmi 1, 2 et 3.
`s'orienter à 90`
oriente le lutin vers la droite.

3. Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?
4. Parmi les 5 captures d'écran ci-dessous, seules deux sont possibles. Lesquelles ?
5. On clique sur le drapeau vert. Quelle est la probabilité que le message affiché soit « Voici le dessin ! » ?
6. On lance le programme 100 fois et on obtient :

   Message | « Voici le dessin ! » | « Perdu ! »
   --- | --- | ---
   Effectif | 40 | 60

   1. Calculer la fréquence de l'affichage « Voici le dessin ! ».
   2. Pourquoi ce résultat est-il différent de la probabilité théorique ?

Seul le tirage 3 déclenche le dessin. Le script répète Motif 3 six fois en avançant de 60 pas entre chaque.
Probabilité = valeur théorique (infinité de tirages). Fréquence = valeur observée sur un nombre fini.

### Question 3 – Coordonnées du point de départ

Le point de départ est \(\boldsymbol{(-200\ ;\ 0)}\)

### Question 4 – Captures d'écran possibles

Si le tirage = 3 : 6 losanges espacés de 60 pas + « Voici le dessin ! » → Capture 2

Si le tirage = 1 ou 2 : aucun dessin + « Perdu ! » → Capture 3

Les captures possibles sont la Capture n° 2 et la Capture n° 3

### Question 5 – Probabilité de « Voici le dessin ! »

Le message s'affiche uniquement si le tirage = 3, parmi {1 ; 2 ; 3}.

\(\boldsymbol{P = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%}\)

### Question 6a – Fréquence observée

\(f = \dfrac{40}{100} = 0{,}4 = 40\,\%\)

### Question 6b – Pourquoi ce résultat diffère-t-il ?

La probabilité \(\dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%\) est une valeur théorique (infinité de répétitions).

Sur seulement 100 lancers, on obtient une fréquence qui peut s'écarter de cette valeur. Plus le nombre de répétitions augmente, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.

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