Chapitre

# Équations

I. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue
📋 Règle

Pour résoudre une équation, on peut :

- •Développer, réduire ou factoriser les deux membres de l'équation
- •Additionner ou soustraire les deux membres de l'équation
- •Multiplier ou diviser les deux membres de l'équation

✏️ Exemple
Résoudre l'équation \(5(x - 3) = 3x + 1\).

On commence par développer le membre de gauche.

\(5(x - 3) = 3x + 1\)
On développe :
\(5x - 15 = 3x + 1\)
\(5x - 15 = \) \(3x\) \(+ 1\)
\(-3x\)
\(-3x\)
\(2x - \) \(15\) \(= 1\)
\(+15\)
\(+15\)
\(2\)\(x = 16\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 8\)
La solution est \(x = 8\)
✅ Vérification : gauche : \(5 \times (8 - 3) = 5 \times 5 = 25\) | droite : \(3 \times 8 + 1 = 25\) ✓
🧩 Exercice
Résoudre l'équation \(3(2x + 1) = 5x - 4\).
\(3(2x + 1) = 5x - 4\)
On développe :
\(6x + 1 = \) \(5x\) \(- 4\)
\(-5x\)
\(-5x\)
\(x + \) \(1\) \(= -4\)
\(-1\)
\(-1\)
\(x = -5\)
La solution est \(x = -5\)
✅ Vérification : gauche : \(6\times(-5)+1 = -30+1 = -29\) | droite : \(5\times(-5)-4 = -25-4 = -29\) ✓
II. Résoudre une équation avec des quotients
📗 Propriété — Égalité des produits en croix

Quels que soient les nombres \(a, b, c\) et \(d\) (\(b \neq 0\) et \(d \neq 0\)) :

Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), alors \(ad = bc\)
✏️ Exemple
En utilisant le théorème de Thalès, Lucas trouve l'égalité suivante : \(\dfrac{5}{AB} = \dfrac{3}{2}\). Trouver \(AB\).

On applique l'égalité des produits en croix :

\(\dfrac{5}{AB} = \dfrac{3}{2}\)
Produit en croix :
\(5 \times 2 = 3 \times AB\)
\(\) \(3\) \(\times AB = 10\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(AB = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\)
La solution est \(AB = \dfrac{10}{3}\)
✅ Vérification : \(\dfrac{5}{\,\frac{10}{3}\,} = 5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}\) ✓
🧩 Exercice
Résoudre l'équation \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{9}{6}\).
\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{9}{6}\)
Produit en croix :
\(x \times 6 = 4 \times 9\)
\(6\)\(x = 36\)
\(\div 6\)
\(\div 6\)
\(x = 6\)
La solution est \(x = 6\)
✅ Vérification : \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}\) ✓
III. Modéliser un problème par une équation
📋 Méthode

Pour modéliser une situation à l'aide d'une équation :

- 1On choisit l'inconnue \(x\) en fonction de ce que l'on cherche
- 2On traduit les données du problème par une équation
- 3On résout l'équation
- 4On interprète le résultat (répondre à la question posée)

✏️ Exemple
Léa a acheté 19 bonbons de 3 parfums différents : à la fraise, à la réglisse et à la menthe. Elle constate qu'elle a 4 bonbons à la menthe, et deux fois plus de bonbons à la réglisse que de bonbons à la fraise. Combien a-t-elle de bonbons à la fraise ?
Étape 1 — Inconnue : On pose \(x\) = nombre de bonbons à la fraise.
Étape 2 — Traduction :
• Bonbons à la fraise : \(x\)
• Bonbons à la réglisse : \(2x\) (deux fois plus)
• Bonbons à la menthe : \(4\)
• Total : \(x + 2x + 4 = 19\)
Étape 3 — Résolution :
\(3x \;+\;\) \(4\) \(\;=\; 19\)
\(-4\)
\(-4\)
\(3\)\(x \;=\; 15\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \;=\; 5\)
La solution est \(x = 5\)
Étape 4 — Interprétation :
\(x = 5\) donc Léa a 5 bonbons à la fraise, \(2 \times 5 = 10\) bonbons à la réglisse et 4 à la menthe.
Vérification : \(5 + 10 + 4 = 19\) bonbons au total ✓
🧩 Exercice
Un jardin rectangulaire a un périmètre de 54 m. Sa longueur est le double de sa largeur. Quelles sont les dimensions du jardin ?
Étape 1 — Inconnue : On pose \(x\) = largeur du jardin (en m).
Étape 2 — Traduction :
• Largeur : \(x\)
• Longueur : \(2x\)
• Périmètre : \(2 \times (x + 2x) = 54\), soit \(6x = 54\)
Étape 3 — Résolution :
\(6\)\(x \;=\; 54\)
\(\div 6\)
\(\div 6\)
\(x \;=\; 9\)
La solution est \(x = 9\)
Étape 4 — Interprétation :
La largeur est \(9\text{ m}\) et la longueur est \(2 \times 9 = 18\text{ m}\).
Vérification : \(2 \times (9 + 18) = 2 \times 27 = 54\text{ m}\) ✓
IV. Équations particulières
1. Équations avec produit nul
📗 Propriété

Un produit est nul lorsqu'au moins l'un de ses facteurs est nul.

\(A \times B = 0 \;\Longleftrightarrow\; A = 0 \;\text{ ou }\; B = 0\)
💡 Remarque

Pour résoudre une équation du second degré, on la ramène sous la forme d'une équation avec produit nul.

✏️ Exemple
Résoudre l'équation \((x + 1)(x - 3) = 0\).

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On résout donc deux équations séparément :

1er facteur = 0
\(x \;+\;\) \(1\) \(\;=\; 0\)
\(-1\)
\(-1\)
\(x \;=\; -1\)
2e facteur = 0
\(x \;-\;\) \(3\) \(\;=\; 0\)
\(+3\)
\(+3\)
\(x \;=\; 3\)
Conclusion : L'équation \((x+1)(x-3)=0\) admet deux solutions : \(x = -1\) et \(x = 3\).
🧩 Exercice
Résoudre les équations suivantes :

\((a)\;\;(2x - 6)(x + 4) = 0\) \(\qquad (b)\;\;(3x + 9)(x - 5) = 0\) \(\qquad (c)\;\;x(4x - 8) = 0\) \(\qquad (d)\;\;(2x + 1)(2x - 1) = 0\)

(a) \((2x-6)(x+4)=0\)

1er facteur = 0
\(2x \;-\;\) \(6\) \(\;=\; 0\)
\(+6\)
\(+6\)
\(2\)\(x \;=\; 6\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \;=\; 3\)
2e facteur = 0
\(x \;+\;\) \(4\) \(\;=\; 0\)
\(-4\)
\(-4\)
\(x \;=\; -4\)
Solutions de (a) : \(x = 3\) et \(x = -4\).

(b) \((3x+9)(x-5)=0\)

1er facteur = 0
\(3x \;+\;\) \(9\) \(\;=\; 0\)
\(-9\)
\(-9\)
\(3\)\(x \;=\; -9\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x \;=\; -3\)
2e facteur = 0
\(x \;-\;\) \(5\) \(\;=\; 0\)
\(+5\)
\(+5\)
\(x \;=\; 5\)
Solutions de (b) : \(x = -3\) et \(x = 5\).

(c) \(x(4x-8)=0\)

Le produit est déjà factorisé : les deux facteurs sont \(x\) et \((4x-8)\).

1er facteur = 0
\(x \;=\; 0\)
2e facteur = 0
\(4x \;-\;\) \(8\) \(\;=\; 0\)
\(+8\)
\(+8\)
\(4\)\(x \;=\; 8\)
\(\div 4\)
\(\div 4\)
\(x \;=\; 2\)
Solutions de (c) : \(x = 0\) et \(x = 2\).

(d) \((2x+1)(2x-1)=0\)

1er facteur = 0
\(2x \;+\;\) \(1\) \(\;=\; 0\)
\(-1\)
\(-1\)
\(2\)\(x \;=\; -1\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \;=\; -\dfrac{1}{2}\)
2e facteur = 0
\(2x \;-\;\) \(1\) \(\;=\; 0\)
\(+1\)
\(+1\)
\(2\)\(x \;=\; 1\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x \;=\; \dfrac{1}{2}\)
Solutions de (d) : \(x = -\dfrac{1}{2}\) et \(x = \dfrac{1}{2}\). 💡 On reconnaît \((2x+1)(2x-1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1\), une identité remarquable !
2. Équations de la forme \(x^2 = a\)
📗 Propriété — Identité remarquable

Quels que soient les nombres \(a\) et \(b\) :

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
✏️ Exemple 1
Résoudre l'équation \(x^2 - 81 = 0\) en utilisant l'identité remarquable.

On reconnaît \(x^2 - 81 = x^2 - 9^2\), qui se factorise avec l'identité \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) :

\(x^2 - 81 = 0\)
On factorise :
\((x + 9)(x - 9) = 0\)

On applique la règle du produit nul :

1er facteur = 0
\(x \;+\;\) \(9\) \(\;=\; 0\)
\(-9\)
\(-9\)
\(x \;=\; -9\)
2e facteur = 0
\(x \;-\;\) \(9\) \(\;=\; 0\)
\(+9\)
\(+9\)
\(x \;=\; 9\)
Conclusion : L'équation \(x^2 - 81 = 0\) admet deux solutions : \(x = -9\) et \(x = 9\).
📘 Définition — Racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif \(n\) est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, est égal à \(n\). Ce nombre se note \(\sqrt{n}\).

📙 Propriété — Solutions de \(x^2 = a\)

L'équation \(x^2 = a\) admet :

Si \(a > 0\) Deux solutions
\(x = -\sqrt{a}\) et \(x = \sqrt{a}\)
Si \(a = 0\) Une solution
\(x = 0\)
Si \(a < 0\) Aucune solution
(pas de racine carrée d'un nombre négatif)
✏️ Exemple 2
Résoudre chacune des équations suivantes :

\(x^2 = -8\)  |  \(x^2 = 65\)  |  \(x^2 = 0\)  |  \(x^2 = 9\)

\(x^2 = -8\)

\(-8 < 0\) : pas de solution (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif).

\(x^2 = 65\)

\(65 > 0\) : deux solutions

\(x = -\sqrt{65}\) et \(x = \sqrt{65}\)

\(\sqrt{65} \approx 8{,}06\)

\(x^2 = 0\)

Une seule solution : \(x = 0\)

\(x^2 = 9\)

\(9 > 0\) : deux solutions

\(x = -\sqrt{9} = -3\) et \(x = \sqrt{9} = 3\)

car \(3^2 = 9\) ✓

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