Chapitre

# Triangles semblables

I. Triangles semblables
📘 Définition

Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux. Dans ce cas, leurs côtés sont proportionnels deux à deux.

📗 Propriété
Les angles sont égaux 2 à 2
⟺
Les triangles sont semblables
⟺
Les côtés sont proportionnels 2 à 2
Exemple :
✏️ Exemple
On a \(\hat{A} = \hat{A'}\), \(\hat{B} = \hat{B'}\), \(\hat{C} = \hat{C'}\). Donc les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables.

Puisque les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables, on peut identifier les côtés homologues (côtés opposés aux angles égaux) :

Le côté homologue à \(AB\) est \(A'B'\)
Le côté homologue à \(AC\) est \(A'C'\)
Le côté homologue à \(BC\) est \(B'C'\)

Les longueurs des côtés du triangle \(ABC\) sont donc proportionnelles aux longueurs des côtés homologues du triangle \(A'B'C'\).

On obtient le tableau de proportionnalité suivant :

| Côté 1 | Côté 2 | Côté 3
--- | --- | --- | ---
Triangle \(ABC\) | . . .\(AB\) | . . .\(AC\) | . . .\(BC\)
Triangle \(A'B'C'\) | . . .\(A'B'\) | . . .\(A'C'\) | . . .\(B'C'\)

💡 Ce tableau est un tableau de proportionnalité : les rapports \(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'}\) sont tous égaux.
Coefficient de proportionnalité
📗 Propriété

Quand deux triangles sont semblables, il existe un nombre \(k\) appelé coefficient de proportionnalité tel que :

\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'} = k\)

On peut ainsi calculer un côté inconnu grâce aux autres côtés connus en utilisant la proportionnalité.

📐 Méthode – Calculer un côté inconnu

Si les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables et que l'on cherche la longueur d'un côté inconnu, on utilise le tableau de proportionnalité et on effectue un produit en croix :

\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'}\) \(\quad \Longrightarrow \quad\) \(AB \times B'C' = A'B' \times BC\) \(\quad \Longrightarrow \quad\) \(BC = \dfrac{AB \times B'C'}{A'B'}\)
Condition pour montrer que deux triangles sont semblables
📌 À retenir

Pour montrer que deux triangles sont semblables, il suffit de montrer que deux de leurs angles sont égaux deux à deux (le troisième est automatiquement égal car la somme des angles d'un triangle est toujours \(180°\)).

Si \(\hat{A} = \hat{A'}\) et \(\hat{B} = \hat{B'}\), alors \(\hat{C} = \hat{C'}\) et les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont semblables.
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