📖 Rappel de méthode
📗 Réciproque

Si dans un triangle, deux rapports de longueurs sont égaux, alors les droites correspondantes sont parallèles.

⚠️ Contraposée

Si les deux rapports sont différents, alors les droites correspondantes ne sont pas parallèles.

📘 Structure de rédaction
On a : [les points alignés et la condition de parallélisme ou les données]
Or : on calcule les rapports → tableau Gauche / Milieu / Droite
Or : Gauche = Droite (ou ≠ Droite)
Donc : d'après la réciproque (ou la contraposée) du théorème de Thalès, les droites ... sont (ou ne sont pas) parallèles.
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## Exercice 1 / 4

Réciproque / Contraposée
✓ Vu
✏️ Données

Sur la figure ci-dessous, on a : LT = 8 cm ; ST = 7 cm ; LS = 10 cm ; LR = 6,4 cm et LP = 8 cm.

Les droites (TS) et (RP) sont-elles parallèles ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Pour appliquer la réciproque de Thalès, il faut identifier les deux droites sécantes et leur sommet commun. Quels sont les deux triangles en présence ici ?
Quels rapports faut-il calculer et comparer ? À partir du sommet commun, quelles paires de segments correspondent ?
Une fois les deux rapports calculés, que conclut-on selon qu'ils sont égaux ou différents ? Quel théorème (et quelle version) s'applique ?
On a : L, P, T alignés
L, R, S alignés
LS = 10 cm, LP = 8 cm, LT = 8 cm, LR = 6,4 cm
Or : on calcule les rapports. Le grand triangle est LST et le petit triangle est LPR.
Gauche
LS LP = 10 8 = 1,25
Milieu
LT LR = 8 6,4 = 1,25
Droite
ST PR (non calculé car ST inconnu)
Or : Gauche = Milieu = 1,25, donc LSLP = LTLR
Donc : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TS) et (RP) sont parallèles.
À retenir : On écrit la proportion avec le grand triangle en rouge (numérateur) et le petit en vert (dénominateur). Si Gauche = Milieu, les droites sont parallèles.

## Exercice 2 / 4

Contraposée
✓ Vu
✏️ Données

Sur la figure, BH = 1,8 ; EH = 1,2 ; PH = 1,6 et HM = 2,5.

Les droites (BE) et (PM) sont-elles parallèles ?

💡 Indices – débloque-les un par un

Identifie le sommet commun aux deux droites sécantes. Quels points sont alignés sur chacune de ces droites ? Quels sont les deux triangles ?
Quels rapports faut-il former pour tester la réciproque ? Chaque rapport doit associer un segment du grand triangle à son correspondant dans le petit.
Calcule les deux rapports et compare-les. Que conclut-on quand ils ne sont pas égaux ?
On a : B, H, P alignés
E, H, M alignés
BH = 1,8 ; EH = 1,2 ; PH = 1,6 ; HM = 2,5
Or : on calcule les rapports. Le grand triangle est HPM et le petit est HBE.
Gauche
HP HE = 1,6 1,2 ≈ 1,33
Milieu
HM HB = 2,5 1,8 ≈ 1,39
Droite
PM BE (non calculé)
Or : Gauche ≠ Milieu, donc HPHE ≠ HMHB (1,33 ≠ 1,39)
Donc : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (BE) et (PM) ne sont pas parallèles.
À retenir : Si Gauche ≠ Milieu, on utilise la contraposée : les droites ne sont pas parallèles.

## Exercice 3 / 4

Perpendiculaires
✓ Vu
✏️ Énoncé

Expliquer pourquoi les droites (CA) et (DB) sont parallèles.

💡 Indices – débloque-les un par un

Que signifie un angle droit en un point par rapport à une droite donnée ? Quelle relation cela crée-t-il entre deux droites qui partagent cette propriété ?
Quelle propriété relie deux droites qui sont toutes deux perpendiculaires à une même droite ? Comment conclure à partir de là ?
On a : L'angle en A est droit, donc la droite (CA) est perpendiculaire à la droite (AB).
L'angle en B est droit, donc la droite (DB) est perpendiculaire à la droite (AB).
Or : (CA) est perpendiculaire à (AB) et (DB) est perpendiculaire à (AB) ; ces deux droites sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (AB).
Donc : d'après la propriété des droites perpendiculaires à une même droite, les droites (CA) et (DB) sont parallèles.
À retenir : Deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles.

## Exercice 4 / 4

Pythagore + Thalès
✓ Vu
✏️ Données

On considère la figure ci-dessous telle que AC = 5 m ; BC = 13 m et AB = 12 m.

1

Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2

On considère de plus que DE = 2 m et BD = 5 m. Les droites (DE) et (AC) sont-elles parallèles ? Justifier.

💡 Indices – débloque-les un par un

Question 1 : quel est le côté le plus long du triangle ? Quels calculs faut-il faire et comparer pour décider si le triangle est rectangle ?
Question 2 : identifie les deux triangles et leur sommet commun. Quelles paires de segments se correspondent dans chaque triangle ?
Calcule les deux rapports correspondants et compare-les. Que conclut-on sur le parallélisme selon le résultat ?

Question 1 – Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

On a : AB = 12 m, AC = 5 m, BC = 13 m.
Le plus grand côté est BC = 13 m.
Gauche
BC² = 13²
= 169
—
Droite
AB² + AC² = 12² + 5²
= 144 + 25 = 169
Or : Gauche = Droite, donc BC² = AB² + AC² = 169
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A (l'angle droit est opposé au plus grand côté BC).

Question 2 – Les droites (DE) et (AC) sont-elles parallèles ?

On a : B, D, A alignés (D sur [BA])
B, E, C alignés (E sur [BC])
BD = 5 m, BA = 12 m, DE = 2 m, AC = 5 m
Or : on calcule les rapports. Le grand triangle est BAC et le petit est BDE.
Gauche
BA BD = 12 5 = 2,4
Milieu
BC BE (BE inconnu,
non calculé)
Droite
AC DE = 5 2 = 2,5
Or : Gauche ≠ Droite, donc BABD ≠ ACDE (2,4 ≠ 2,5)
Donc : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AC) ne sont pas parallèles.

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