📖 Rappels de cours
Angles opposés par le sommet

Lorsque deux droites se coupent en un point, les angles opposés par le sommet sont égaux.

Angles alternes-internes

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux. Réciproquement, si les angles alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Angles correspondants

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants sont égaux. Réciproquement, si les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Corrections vues :
0 / 5
✏️
Partie 1 – Identifier et dessiner

## Exercice 1 / 5

Dessin
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, colorier une paire d'angles opposés par le sommet.

Refaire à main levée la figure sur son cahier.

💡 Indices

Les angles opposés par le sommet se forment quand deux droites se croisent. Repère un point d'intersection et observe les quatre angles formés autour de ce point.
Parmi les quatre angles formés en un point d'intersection, les angles opposés par le sommet sont ceux qui ne se touchent pas : ils sont face à face de part et d'autre du point.

Voici une paire d'angles opposés par le sommet mise en évidence :

Les deux angles colorés sont égaux car ils sont opposés par le sommet.

## Exercice 2 / 5

Dessin
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, colorier une paire d'angles alternes-internes.

Refaire à main levée la figure sur son cahier.

💡 Indices

Les angles alternes-internes se trouvent entre les deux droites parallèles (« internes »). Identifie d'abord la zone entre les deux droites.
Les angles alternes-internes sont de part et d'autre de la sécante (« alternes »). Cherche un angle en dessous de la première parallèle et un angle au-dessus de la seconde, de côtés opposés par rapport à la sécante.

Voici une paire d'angles alternes-internes mise en évidence :

Les deux angles colorés sont égaux car ils sont alternes-internes et les droites sont parallèles.

## Exercice 3 / 5

Dessin
✓ Vu

Sur la figure ci-dessous, colorier une paire d'angles correspondants.

💡 Indices

Contrairement aux angles alternes-internes, les angles correspondants se trouvent du même côté de la sécante. L'un est entre les parallèles, l'autre est à l'extérieur.
Imagine que tu fais glisser la sécante : un angle correspondant occupe la même position par rapport à chaque droite parallèle. Par exemple, deux angles situés tous les deux à droite de la sécante, l'un en dessous de la première parallèle, l'autre en dessous de la seconde.

Voici une paire d'angles correspondants mise en évidence :

Les deux angles colorés sont égaux car ils sont correspondants et les droites sont parallèles.
🔢
Partie 2 – Calcul et démonstration

## Exercice 4 / 5

Calcul d'angle
✓ Vu
Dans cet exercice, les droites (x y)(xy)(x y) et (t z)(tz)(t z) sont parallèles.

Combien mesure l'angle t B A^\widehat{tBA}tB A
? Justifier.

💡 Indices

Observe la droite en rouge : elle coupe les deux droites parallèles. Quelle relation existe-t-il entre les angles formés aux deux intersections ?
L'angle rose (37°) et l'angle vert sont-ils alternes-internes ou correspondants ? Observe leur position par rapport à la sécante et par rapport aux deux parallèles.

Identification des angles

L'angle y A B^\widehat{yAB}y A B
​ = 37° (angle rose) et l'angle t B A^\widehat{tBA}tB A
(angle vert) sont des angles alternes-internes formés par la sécante rouge coupant les droites parallèles (x y)(xy)(x y) et (t z)(tz)(t z).

Conclusion

Les droites (x y)(xy)(x y) et (t z)(tz)(t z) sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux :
t B A^=y A B^=37°\widehat{tBA} = \widehat{yAB} = 37°tB A
=y A B
​=37°

## Exercice 5 / 5

Démonstration
✓ Vu
On considère la figure ci-dessous telle que T O S^\widehat{TOS}TOS
= 38°, F U T^\widehat{FUT}F U T
= 38°, et telle que le triangle O T S OTS OTS soit isocèle en O (c'est-à-dire que O T=O S OT = OS OT=OS).
La droite (U O)(UO)(U O) est la sécante des deux droites (F U)(FU)(F U) et (O S)(OS)(OS).
1Démontrer que les droites (U F)(UF)(U F) et (O S)(OS)(OS) sont parallèles.
2Les droites (U F)(UF)(U F) et (O S)(OS)(OS) étant parallèles, expliquer pourquoi O S T^\widehat{OST}OST
= U F T^\widehat{UFT}U FT
.
3Calculer la mesure de l'angle O S T^\widehat{OST}OST
.
4En déduire la mesure de l'angle U F T^\widehat{UFT}U FT
.
5Quelle est la mesure de l'angle F T U^\widehat{FTU}FT U
?
6En déduire la nature du triangle F U T FUT F U T. Justifier.

💡 Indices

Pour la question 1 : compare les angles T O S^\widehat{TOS}TOS
et F U T^\widehat{FUT}F U T
. Sont-ils situés entre les droites (F U)(FU)(F U) et (O S)(OS)(OS), et de quel côté de la sécante (U O)(UO)(U O) se trouvent-ils ?
Pour la question 3 : dans un triangle isocèle en O, les deux angles à la base sont égaux. Quels sont ces angles dans le triangle O T S OTS OTS ? La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Pour la question 5 : l'angle F T U^\widehat{FTU}FT U
et l'angle S T O^\widehat{STO}STO
se trouvent au même point T. Quelle relation géométrique y a-t-il entre eux ?

1. Les droites (U F)(UF)(U F) et (O S)(OS)(OS) sont parallèles

Les angles T O S^\widehat{TOS}TOS
et F U T^\widehat{FUT}F U T
sont tous deux situés entre les droites (F U)(FU)(F U) et (O S)(OS)(OS), de part et d'autre de la sécante (U T)(UT)(U T) : ce sont des angles alternes-internes.
T O S^=F U T^=38°\widehat{TOS} = \widehat{FUT} = 38°TOS
=F U T
=38°
Ces angles alternes-internes étant égaux, les droites (U F)(UF)(U F) et (O S)(OS)(OS) sont parallèles.

2. Pourquoi O S T^\widehat{OST}OST
= U F T^\widehat{UFT}U FT

Les angles O S T^\widehat{OST}OST
et U F T^\widehat{UFT}U FT
sont des angles alternes-internes formés par la sécante (F S)(FS)(FS) coupant les droites parallèles (O S)(OS)(OS) et (U F)(UF)(U F). Comme les droites sont parallèles, ces angles sont égaux :
O S T^=U F T^\widehat{OST} = \widehat{UFT}OST
=U FT

3. Mesure de l'angle O S T^\widehat{OST}OST

Le triangle O T S OTS OTS est isocèle en O, donc les angles à la base sont égaux : O S T^=O T S^\widehat{OST} = \widehat{OTS}OST
=OTS
.
La somme des angles d'un triangle vaut 180° :
T O S^+O S T^+O T S^=180°\widehat{TOS} + \widehat{OST} + \widehat{OTS} = 180°TOS
+OST
+OTS
=180° 38°+2×O S T^=180°38° + 2 \times \widehat{OST} = 180°38°+2×OST
=180° O S T^=180°−38°2=142°2=71°\widehat{OST} = \dfrac{180° - 38°}{2} = \dfrac{142°}{2} = 71°OST
=2 180°−38°​=2 142°​=71°

4. Mesure de l'angle U F T^\widehat{UFT}U FT

D'après la question 2, O S T^\widehat{OST}OST
= U F T^\widehat{UFT}U FT
, et d'après la question 3, O S T^\widehat{OST}OST
= 71°.
U F T^=71°\widehat{UFT} = 71°U FT
=71°

5. Mesure de l'angle F T U^\widehat{FTU}FT U

L'angle F T U^\widehat{FTU}FT U
et l'angle S T O^\widehat{STO}STO
sont opposés par le sommet au point T, donc ils sont égaux. Or le triangle O T S OTS OTS est isocèle en O, donc :
O T S^=O S T^=71°\widehat{OTS} = \widehat{OST} = 71°OTS
=OST
=71° F T U^=71°\widehat{FTU} = 71°FT U
=71°

6. Nature du triangle F U T FUT F U T

On a :
F T U^=U F T^=71°\widehat{FTU} = \widehat{UFT} = 71°FT U
=U FT
=71°
Le triangle F U T FUT F U T possède deux angles égaux, donc il est isocèle (et non équilatéral, car ses angles valent 71°, 71° et 38°, pas tous 60°).
Le triangle F U T FUT F U T est isocèle en U.

🏠 Menu