Chapitre

# Nombres relatifs

I. Simplification d'écriture et somme algébrique
1) Calculs sans parenthèses
📙 Règle

Pour calculer sans parenthèses :

- On regroupe les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux
- On récupère le signe du résultat en regardant le plus grand nombre
- On effectue le calcul final

✏️ Exemples simples
A = −5 − 8
−5 − 8

Deux négatifs → résultat négatif, on additionne : 5 + 8 = 13

A = −13
B = +4 + 7
+4 + 7

Deux positifs → résultat positif, on additionne : 4 + 7 = 11

B = +11
C = −4 + 9

Le plus grand est 9 → résultat positif, différence : 9 − 4 = 5

C = +5
D = 8 − 12

Le plus grand est 12 → résultat négatif, différence : 12 − 8 = 4

D = −4
✏️ Exemple avec plusieurs termes

\(E = -3 + 5 - 6 + 2 - 7\)

Regroupement E = +5 + 2 − 3 − 6 − 7
Résultat E = +7 − 16 = −9
\(E = -9\)
2) Additions et soustractions de nombres relatifs
📙 Règle

Pour additionner et soustraire des nombres relatifs :

- On transforme les soustractions en additions (soustraire = ajouter l'opposé)
- On enlève les additions et les parenthèses
- On effectue le calcul (en regroupant positifs et négatifs)

💡 Rappel — Règle des signes devant une parenthèse

Quand on supprime une parenthèse précédée d'un signe, le signe du nombre à l'intérieur change si c'est un − :

+ (+a) → + a + (−a) → − a
− (+a) → − a − (−a) → + a
✏️ Exemples simples
A = (+3) + (+7)
(+3) + (+7)
= +3 + 7
A = +10
B = (−5) + (+2)
(−5) + (+2)
= −5 +2
B = −3
C = (−5) − (−7)
(−5) − (−7)
= (−5) + (+7) ← on remplace −(−7) par +(+7)
= −5 +7
C = +2
D = (+8) − (−5)
(+8) − (−5)
= (+8) + (+5) ← on remplace −(−5) par +(+5)
= +8 +5
D = +13
✏️ Exemple long

\(E = -3 + (+8) - (-9) + (-7) + 11 - (+2)\)

Départ −3 + (+8) − (−9) + (−7) + 11 − (+2)
Transforme
en additions = −3 + (+8) + (+9) + (−7) + 11 + (−2)
Enlève parenthèses −3 +8 +9 −7 +11 −2
Regroupe E = +8 +9 +11 −3 −7 −2
Résultat E = +28 −12 = +16
\(E = +16\)
II. Multiplication de nombres relatifs
💡 Rappels

Un nombre pair est un multiple de 2 : il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre impair n'est pas un multiple de 2 : il se termine par 1, 3, 5, 7 ou 9.

📙 Règle des signes — Multiplication

Pour déterminer le signe d'un produit, on compte le nombre de signes moins (−) dans la multiplication :

Nombre de − dans le produit | Signe du résultat
--- | ---
Pair (0, 2, 4, …) | + (positif)
Impair (1, 3, 5, …) | − (négatif)

Ensuite, on multiplie les nombres sans tenir compte des signes.

💡 Moyen mnémotechnique : moins × moins = plus | moins × plus = moins | plus × plus = plus
✏️ Exemples simples
−7 × 6

1 signe − → impair → résultat négatif

−7 × 6 = −42
−4 × (−5)

2 signes − → pair → résultat positif

−4 × (−5) = +20
−2 × (+8)

1 signe − → impair → résultat négatif

−2 × (+8) = −16
+9 × (+9)

0 signe − → pair → résultat positif

+9 × (+9) = +81
✏️ Produit de plusieurs nombres

\((−4) \times (−5) \times 2 \times (−8)\)

On compte les signes − : il y en a 3 → impair → résultat négatif

Valeur 4 × 5 × 2 × 8 = 20 × 16 = 320
(−4) × (−5) × 2 × (−8) = −320
✏️ Exemple astucieux — (−1) répété 251 fois

\(\underbrace{(-1) \times (-1) \times \cdots \times (-1)}_{251 \text{ fois}}\)

Il y a 251 fois le facteur (−1), donc 251 signes −. 251 est impair → résultat négatif.

La valeur absolue : \(1^{251} = 1\)

(−1) × (−1) × ⋯ × (−1) = −1
III. Division de nombres relatifs
📙 Règle

Pour calculer le quotient de deux nombres relatifs :

- On détermine le signe avec la même règle que pour la multiplication (on compte les −)
- On effectue la division des nombres sans tenir compte des signes

✏️ Exemples
−48 ÷ 6

1 signe − → négatif

−48 ÷ 6 = −8
−24 ÷ (−4)

2 signes − → positif

−24 ÷ (−4) = +6
✏️ Exemple — Fraction

\(\dfrac{100}{-2}\)

1 signe − → résultat négatif

Calcul \(\dfrac{100}{-2} = -(100 \div 2) = \mathbf{-50}\)
\(\dfrac{100}{-2} = -50\)
IV. Calculer avec des nombres relatifs
📙 Règle — Priorités opératoires

Dans une suite d'opérations avec des nombres relatifs, on effectue dans l'ordre :

1. Les calculs entre parenthèses
2. Les multiplications et les divisions
3. Les additions et les soustractions

✏️ Exemples — Priorités opératoires

\(S = -4 - 5 \times (-2 - 6)\)

Étape 1
parenthèses S = −4 − 5 × (−2 − 6)
S = −4 − 5 × (−8)
Étape 2
× S = −4 − 5 × (−8)
S = −4 − (−40)
Transforme
en addition S = −4 + (+40) ← on remplace −(−40) par +(+40)
Étape 3
+/− S = −4 +40
Résultat S = +36
\(S = +36\)

\(T = +4 - 5 \times (-3 + 2) - 8\)

Étape 1
parenthèses T = +4 − 5 × (−3 + 2) − 8
T = +4 − 5 × (−1) − 8
Étape 2
× T = +4 − 5 × (−1) − 8
T = +4 −(−5) −8
Transforme
en addition T = +4 + (+5) −8 ← on remplace −(−5) par +(+5)
Étape 3
+/− T = +4 +5 −8
Résultat T = +9 −8 = +1
\(T = +1\)
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