ℹ Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire. Si une question n'est pas terminée, laisse une trace de ta démarche : elle sera prise en compte dans la notation.
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Exercice 1
20 points · QCM – 5 questions
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## QCM

5 questions · 4 points chacune
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une bonne réponse rapporte 4 points, une mauvaise ou l'absence de réponse : 0 point.

# | Question | Réponse A | Réponse B | Réponse C
--- | --- | --- | --- | ---
1 | Soit \(f(x)=5x+3\). L'image de 1 par \(f\) est : | 5,3 | 8 | 54
2 | Volume V (en cm³) d'un cube de 4 cm de côté : | 12 | 16 | 64
3 | \(\dfrac{7}{5}+\dfrac{2}{5}=\) | \(\dfrac{9}{10}\) | \(\dfrac{9}{5}\) | \(\dfrac{14}{25}\)
4 | L'équation \(8x-5=19\) a pour solution : | −1 | 0 | 3
5 | Moyenne de : 12, 9, 14, 15, 19, 15 | 15 | 14 | 9

Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction, que fais-tu avec la valeur donnée et la formule de la fonction ?
Observe les deux fractions. Ont-elles quelque chose en commun ? Qu'est-ce que cela simplifie pour l'addition ?
Pour isoler x, tu dois agir sur les deux membres de l'égalité. Qu'est-ce qui s'ajoute ou se soustrait au terme en x ? Comment l'éliminer ?
Additionne toutes les notes et divise par 6 (nombre de notes).

### Question 1 – Réponse B : 8

\(f(1) = 5\times 1 + 3 = 5 + 3 = \mathbf{8}\)

### Question 2 – Réponse C : 64 cm³

\(V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = \mathbf{64}\) cm³

### Question 3 – Réponse B : \(\dfrac{9}{5}\)

\(\dfrac{7}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{7+2}{5}=\dfrac{9}{5}=1{,}8\)

### Question 4 – Réponse C : 3

\(8x \;\) \(-5\) \(\;=\; 19\)
\(+5\)
\(+5\)
\(8\)\(x \;=\; 19 + 5 \;=\; 24\)
\(\div 8\)
\(\div 8\)
\(x \;=\; 24 \div 8 \;=\; 3\)
La solution est \(x = 3\)

### Question 5 – Réponse B : 14

\(\text{Moyenne} = \dfrac{12+9+14+15+19+15}{6} = \dfrac{84}{6} = \mathbf{14}\)
Exercice 2
20 points · Facture et tableur
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## Gâteaux & Bénéfice

Tableur · Calcul de TVA · Bénéfice
Une association achète des gâteaux à un commerçant et les revend pour faire des bénéfices. Voici la facture partiellement remplie :

| A – Gâteau | B – Prix/unité (F) | C – Quantité | D – Montant total (F)
--- | --- | --- | --- | ---
2 | Au beurre | ? | 35 | ?
3 | À la banane | 900 | 22 | 19 800
4 | À la vanille | 1 100 | 15 | 16 500
5 | Au chocolat | 1 200 | 28 | ?
7 | Montant total HT (hors taxe) | 104 900
8 | Montant de la TVA (5 %) | ?
9 | Montant total toutes taxes comprises | ?

1. Justifier le montant total pour les gâteaux à la banane.
2. Quelle formule insérer en cellule D5 ?
3. a. Compléter le tableau. b. Calculer la TVA (5 %).
4. Calculer la quantité totale de gâteaux.
5. Si tous les gâteaux sont vendus à 1 400 F l'unité, calculer le montant total de la revente.
6. Calculer le bénéfice (revente − montant TTC).
7. L'objectif est-il atteint (bénéfice souhaité : 30 000 F) ?

Multiplie le prix à l'unité par la quantité commandée.
La TVA est un pourcentage du montant hors taxes. Comment calcule-t-on un pourcentage d'une valeur ? De quoi as-tu besoin pour ça ?
Pose une équation : la somme des quatre montants doit être égale au total HT donné.

### Question 1 – Gâteaux à la banane

22 gâteaux à 900 F l'unité :

22 × 900 = 19 800 F

### Question 2 – Formule en D5

=B5*C5

Cette formule multiplie le prix unitaire (colonne B) par la quantité (colonne C).

### Question 3a – Tableau complété

Gâteaux au chocolat (cellule D5) :

28 × 1 200 = 33 600 F

Prix unitaire des gâteaux au beurre :

On appelle b le prix d'un gâteau au beurre. La somme des quatre montants doit être égale au total HT :

35 × b + 19 800 + 16 500 + 33 600 = 104 900
35b + 69 900 = 104 900

On résout cette équation :

35b \(+\) 69 900 \(=\) 104 900
\(-\) 69 900
\(-\) 69 900
35b \(=\) 104 900 \(-\) 69 900 \(=\) 35 000
\(\div\) 35
\(\div\) 35
b \(=\) 35 000 \(\div\) 35 \(=\) 1 000
Le prix d'un gâteau au beurre est b = 1 000 F
Montant total gâteaux au beurre : 35 × 1 000 = 35 000 F

Tableau complété :

Gâteau | Prix/unité (F) | Quantité | Montant total (F)
--- | --- | --- | ---
Au beurre | 1 000 | 35 | 35 000
À la banane | 900 | 22 | 19 800
À la vanille | 1 100 | 15 | 16 500
Au chocolat | 1 200 | 28 | 33 600
Montant total hors taxe | 104 900 F
TVA (5 %) | à calculer
Montant total toutes taxes comprises | à calculer

### Question 3b – Calcul de la TVA (5 %)

On applique un taux de 5 % au montant hors taxe de 104 900 F :

Méthode 1 — Trouver 5 %

Pourcentage | 100 % | 5 %
Prix (en F) | 104 900 | ?

? = 104 900 × 5 ÷ 100 = 5 245 F
Montant toutes taxes comprises = 104 900 + 5 245 = 110 145 F

Méthode 2 — Trouver directement le montant toutes taxes comprises (100 % + 5 % = 105 %)

Pourcentage | 100 % | 105 %
Prix (en F) | 104 900 | ?

? = 104 900 × 105 ÷ 100 = 110 145 F

### Question 4 – Quantité totale de gâteaux

35 + 22 + 15 + 28 = (35 + 15) + (22 + 28) = 50 + 50 = 100 gâteaux

### Question 5 – Montant total de la revente

100 × 1 400 = 140 000 F

### Question 6 – Bénéfice

Bénéfice = 140 000 − 110 145 = 29 855 F

### Question 7 – Objectif atteint ?

L'objectif est de 30 000 F.

29 855 F est inférieur à 30 000 F

L'objectif n'est pas atteint. Il manque 30 000 − 29 855 = 145 F.

Exercice 3
16 points · Programmation Scratch
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## Programme Scratch – Motif

Lecture · Tracé · Calcul de longueur
Heimana a conçu un programme Scratch avec un bloc Motif et un script principal (voir sujet). Le programme part de (0,0) et dessine un motif.
Rappels d'orientation : 90° = droite ; 0° = haut ; −90° = gauche ; ±180° = bas.

1. Tracer la figure 1 correspondant au programme de Heimana.
2. Compléter le programme pour obtenir la figure 2 (créneaux), chaque segment = 40 pas.
3. Calculer la longueur totale de la figure 2 (1 cm = 10 pas).

Suis pas à pas le bloc motif : commence à l'origine, oriente-toi à 0° (haut), avance de 120 pas, puis change d'orientation…
La figure 2 montre 3 créneaux identiques. Pour chaque créneau, il faut dessiner un carré ouvert (3 côtés), puis avancer pour le suivant.
Compte le nombre total de segments de la figure 2, chacun faisant 40 pas, et convertis en cm.

### Question 1 – Figure 1 (programme de Heimana)

En suivant le bloc Motif instruction par instruction :

→ s'orienter à 0 (vers le haut) · avancer 120 : monte de 120 pas → s'orienter à 90 (vers la droite) · avancer 20 : va à droite de 20 pas → s'orienter à 180 (vers le bas) · avancer 40 : descend de 40 pas → s'orienter à 90 (vers la droite) — répéter 2 fois : • avancer 30 · s'orienter 180 · avancer 20 · s'orienter −90 · avancer 30 · s'orienter 180 · avancer 20 · s'orienter 90

### Question 2 – Programme pour la figure 2 (créneaux)

La figure 2 montre 3 créneaux identiques (chaque segment = 40 pas). Le programme utilise une boucle répéter 3 fois :

Programme figure 2
🚩 quand est cliqué aller à x: 0 y: 0 stylo en position d'écriture répéter 3 fois s'orienter à 0 avancer de 40 pas s'orienter à 90 avancer de 40 pas s'orienter à 180 avancer de 40 pas s'orienter à 90 avancer de 40 pas fin répéter

Chaque créneau dessine : monter (40), aller à droite (40), descendre (40), aller à droite (40). La boucle répète 3 fois ce motif.

### Question 3 – Longueur totale de la figure 2

Chaque créneau comporte 4 segments de 40 pas. Il y a 3 créneaux.

Nombre total de segments = 3 × 4 = 12 segments
Longueur totale en pas = 12 × 40 = 480 pas
Conversion : 480 pas ÷ 10 = 48 cm
Exercice 4
33 points · Géométrie – Terrain de Teiki
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## Partie A – Aires & Thalès

Triangles · Théorème de Thalès
Un terrain est divisé en deux parcelles. On connaît : DC = 10 m, AC = 25 m, DE = 22 m, et (AB) ∥ (DE). Le triangle CDE est la parcelle 1 ; la parcelle 2 est le reste du triangle ABC.
Partie A

1. 1. Justifier que l'aire de la parcelle 1 vaut 110 m².
   2. Peut-on y planter des arbres (besoin : 90 m²) ?
2. 1. Vérifier par le théorème de Thalès que AB = 55 m.
   2. Calculer l'aire du triangle ABC.
   3. Calculer l'aire de la parcelle 2.
   4. Peut-on construire une maison (besoin : 550 m²) ?

Le triangle CDE est rectangle en D. Son aire = (base × hauteur) ÷ 2. Identifie la base et la hauteur.
Vérifie les conditions : deux droites parallèles (AB) et (DE), et les points alignés C, D, A d'un côté et C, E, B de l'autre.
La parcelle 2 est une partie d'une figure plus grande. Comment obtient-on l'aire d'une region en soustrayant des surfaces ?

### Question 1a – Aire de la parcelle 1 (triangle CDE)

Le triangle CDE est rectangle en D : on prend [DE] comme base et [DC] comme hauteur.

\(\text{Aire} = \dfrac{DE \times DC}{2} = \dfrac{22 \times 10}{2} = \dfrac{220}{2} = \mathbf{110 \text{ m}^2}\)

### Question 1b – Planter des arbres ?

110 m² est supérieur à 90 m²

Oui, Teiki peut planter ses arbres sur la parcelle 1 : l'aire disponible (110 m²) est bien supérieure à l'espace nécessaire (90 m²).

### Question 2a – Vérifier AB = 55 m (Théorème de Thalès)

On a : Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Les points C, D, A sont alignés dans cet ordre. Les points C, E, B sont alignés dans cet ordre. Or : d'après le théorème de Thalès appliqué au point C :
Rapport 1
CA
CD
=
Rapport 2
CB
CE
=
Rapport 3
AB
DE

On utilise les rapports 1 et 3 :

25
10
=
AB
22

Produit en croix :

AB = 25 × 22 ÷ 10 = 55 m ✓
Donc : AB mesure bien 55 mètres.

### Question 2b – Aire du triangle ABC

Le triangle ABC est rectangle en A : [AB] est la base (55 m) et [AC] est la hauteur (25 m).

\(\text{Aire}_{ABC} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{55 \times 25}{2} = \dfrac{1375}{2} = \mathbf{687{,}5 \text{ m}^2}\)

### Question 2c – Aire de la parcelle 2

Aire parcelle 2 = Aire (ABC) − Aire (CDE) = 687,5 − 110 = 577,5 m²

### Question 2d – Construire une maison ?

577,5 m² est supérieur à 550 m²

Oui, Teiki peut construire sa maison sur la parcelle 2 : sa superficie (577,5 m²) dépasse le minimum requis (550 m²).

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## Partie B – Pythagore & Clôture

Théorème de Pythagore · Lecture graphique
Teiki souhaite clôturer son terrain ABC (rectangle en A). Il hésite entre deux types de clôture :
• Type A : Canisses en Osier à 2 200 F/m, livraison gratuite.
• Type B : Canisses en roseaux fendus à 1 920 F/m, avec un forfait livraison.
Partie B

1. Vérifier par le théorème de Pythagore que BC ≈ 60 m (arrondi à l'unité).
2. Calculer le périmètre du terrain ABC (arrondi à l'unité).

3. Identifier sur le graphique la courbe « Type A » et la courbe « Type B ».
4. Déterminer graphiquement le forfait livraison du type B.
5. Indiquer quelle clôture est la moins chère pour 140 m.

Dans le triangle ABC, quel est l'angle droit ? Quel côté se trouve en face de cet angle droit ? Quelle propriété relie les trois côtés d'un triangle rectangle ?
Le type A est proportionnel à la longueur (la droite passe par l'origine). Laquelle des deux droites passe par l'origine ?
Le forfait de livraison correspond au prix pour 0 mètre de clôture : lis l'ordonnée à l'origine de la droite Type B.
Pour comparer les deux tarifs pour une longueur précise, comment utilises-tu le graphique ? Que cherches-tu à lire sur les axes ?

### Question 1 – BC ≈ 60 m (Théorème de Pythagore)

On a : Le triangle ABC est rectangle en A. AB = 55 m ; AC = 25 m ; BC = ? L'hypoténuse est BC (côté opposé à l'angle droit). Or : d'après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 55² + 25²
BC² = 3 025 + 625
BC² = 3 650
BC = √3 650 ≈ 60,4 m
Donc : BC mesure environ 60 mètres à l'unité près. ✓

### Question 2 – Périmètre du terrain ABC

Périmètre = AB + BC + CA = 55 + 60 + 25 = 140 mètres (à l'unité près)

### Question 3 – Identifier les courbes

Le type A a une livraison gratuite : le prix est proportionnel à la longueur. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine, c'est donc la droite rouge (Type A).

Le type B comporte un forfait fixe de livraison : sa droite est décalée vers le haut (valeur non nulle pour une longueur de 0 mètre), c'est donc la droite bleue (Type B).

### Question 4 – Forfait livraison (Type B)

On lit l'ordonnée à l'origine de la droite Type B (valeur pour x = 0) :

Pour 0 m de clôture, Type B coûte ≈ 20 milliers de F = 20 000 F

Le forfait livraison est de 20 000 F.

### Question 5 – Clôture la moins chère pour 140 m

On trace la droite verticale x = 140 sur le graphique. Elle coupe :

Type A (rouge) : ≈ 320 milliers de F = 320 000 F
Type B (bleue) : ≈ 290 milliers de F = 290 000 F

290 000 F est inférieur à 320 000 F, donc la clôture de type B est la moins chère pour une longueur de 140 mètres.

Exercice 5
11 points · Probabilités
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## Sondage – Port de l'uniforme

Probabilités · Calcul de fréquences
Sur 800 élèves d'un collège : 540 sont d'accord pour l'uniforme, 180 ne sont pas d'accord, le reste n'a pas répondu.
On interroge un élève au hasard.

1. Calculer la probabilité que l'élève soit d'accord pour l'uniforme.
2. Justifier par le calcul que la probabilité de donner un avis (positif ou négatif) est 0,9.
3. Calculer la probabilité que l'élève ne donne pas d'avis.

La probabilité = nombre de cas favorables ÷ nombre total d'élèves.
La probabilité qu'un événement se produise se calcule à partir des données du tableau. Quelle formule générale connais-tu pour calculer une probabilité ?
Réfléchis aux probabilités de tous les résultats possibles. Quelle propriété fondamentale leur somme vérifie-t-elle toujours ?

### Question 1 – P(d'accord)

\(P(\text{d'accord}) = \dfrac{540}{800} = \dfrac{54}{80} = \dfrac{27}{40} = \mathbf{0{,}675}\)

La probabilité que l'élève soit d'accord est 0,675 (soit 67,5 %).

### Question 2 – P(avis positif ou négatif) = 0,9

Les élèves ayant donné un avis (oui ou non) :

540 + 180 = 720 élèves
\(P(\text{avis}) = \dfrac{720}{800} = \dfrac{72}{80} = \dfrac{9}{10} = \mathbf{0{,}9} \checkmark\)

### Question 3 – P(sans avis)

La somme des probabilités vaut 1 :

P(sans avis) = 1 − P(avis) = 1 − 0,9 = 0,1

Vérification : 800 − 720 = 80 élèves sans avis, soit 80 ÷ 800 = 0,1 ✓

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