📖 Ce qu'il faut savoir
Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Contraposée du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.

Théorème de Thalès

Si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors les rapports des longueurs des segments sont égaux.

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## Exercice 1 / 5

Réciproque de Pythagore
✓ Vu
On considère le triangle XYZ tel que XY = 10 cm, XZ = 6 cm et ZY = 8 cm.

Le triangle est-il rectangle ? Justifier.

💡 Indice – débloque-les un par un

Commence par identifier le plus grand côté du triangle. C'est lui qui jouera le rôle de « candidat hypoténuse ».
Calcule séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres côtés. Sont-ils égaux ?
Si les deux résultats sont égaux, tu peux conclure avec la réciproque du théorème de Pythagore. Si non, utilise la contraposée.

Identification du plus grand côté

XY = 10 cm est le plus grand côté.

Calcul

On a :
Gauche :
XY² = 10² = 100
Droite :
XZ² + ZY² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
Or : Gauche = Droite, donc XY² = XZ² + ZY²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle XYZ est rectangle en Z.

## Exercice 2 / 5

Réciproque de Pythagore
✓ Vu
Sur un mur vertical, Valérie a posé une étagère. Voici les mesures connues :
MP = NL = 30 cm | NP = 12 cm | ML = 24 cm
1Combien mesure la longueur MN ?
2L'étagère est-elle posée horizontalement ?

💡 Indice – débloque-les un par un

Pour trouver MN, observe que M, N et P sont alignés sur l'étagère. Quelle relation simple lie MP, MN et NP ?
Pour la question 2, l'étagère est horizontale si et seulement si elle est perpendiculaire au mur vertical. Quel angle faut-il donc chercher à prouver (ou réfuter) dans le triangle LMN ?
Identifie le plus grand côté du triangle LMN, puis calcule son carré et la somme des carrés des deux autres côtés. La comparaison te donnera la réponse.

Question 1 – Calcul de MN

M, N, P sont alignés sur l'étagère, donc : MN = MP − NP
MN = 30 − 12 = 18 cm

Question 2 – L'étagère est-elle horizontale ?

L'étagère est horizontale si elle est perpendiculaire au mur vertical, c'est-à-dire si le triangle LMN est rectangle en M.
Le plus grand côté est LN = NL = 30 cm.
On a :
Gauche :
LN² = 30² = 900
Droite :
MN² + ML² = 18² + 24² = 324 + 576 = 900
Or : Gauche = Droite, donc LN² = MN² + ML²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LMN est rectangle en M.
L'étagère est bien perpendiculaire au mur : elle est posée horizontalement.

## Exercice 3 / 5

Pythagore · Raisonnement
✓ Vu
Les points A, B et E sont alignés et C est le milieu de [DB].
DC = 3 | CA = 5 | AB = 4 | BE = 7
1Combien mesure la longueur CB ? Justifier.
2Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
3En déduire que le triangle DBE est lui aussi rectangle en B.
4Calculer la longueur DE.

💡 Indice – débloque-les un par un

Pour la question 1 : C est le milieu de [DB]. Quelle relation y a-t-il entre CB et DC ?
Pour la question 2 : identifie le plus grand côté du triangle ABC, puis applique la méthode habituelle. Pour la question 3 : observe comment DB se décompose, et pense à ce que signifie « angle droit en B ».
Pour la question 4 : maintenant que tu sais que le triangle DBE est rectangle en B, applique le théorème de Pythagore pour calculer DE. Pense à calculer DB d'abord.

Question 1 – Longueur CB

C est le milieu de [DB], donc CB = DC = 3.

Question 2 – Triangle ABC rectangle en B ?

Le plus grand côté du triangle ABC est CA = 5.
On a :
Gauche :
CA² = 5² = 25
Droite :
CB² + AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Or : Gauche = Droite, donc CA² = CB² + AB²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Question 3 – Triangle DBE rectangle en B

Le triangle ABC est rectangle en B, donc l'angle ABС vaut 90°.
Or A, B, E sont alignés, donc l'angle DBE = angle DBC = 90° (angles en B sur la droite ABE).
Donc : le triangle DBE est rectangle en B.

Question 4 – Longueur DE

DB = DC + CB = 3 + 3 = 6 et BE = 7
On a : Le triangle DBE est rectangle en B.
DB = 6 | BE = 7
Hypoténuse : DE
Or : d'après le théorème de Pythagore
DE² = DB² + BE²
DE² = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
DE = √85 ≈ 9,22
Donc : DE ≈ 9,22 cm

## Exercice 4 / 5

Thalès · Pythagore
✓ Vu
AB = 400 | AC = 300 | BC = 500 | CD = 700
Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
1Calculer la longueur DE.
2Montrer que le triangle ABC est rectangle.

💡 Indice – débloque-les un par un

Pour la question 1 : les droites (AB) et (DE) sont parallèles, et les droites (AE) et (BD) se coupent en C. Dans quelle configuration de Thalès es-tu ? Identifie le grand et le petit triangle.
Pour la question 2 : identifie le plus grand côté du triangle ABC. Calcule son carré et compare-le à la somme des carrés des deux autres côtés.
Pour Thalès, pose l'égalité des rapports puis isole DE par produit en croix.

Question 1 – Calcul de DE

On a : D, C, B alignés | E, C, A alignés | (DE) ∥ (AB)
Or : d'après le théorème de Thalès
DCCB = ECCA = DEAB
700500 = ECCA = DE400
700500 = DE400
DE = 700 × 400 ÷ 500 = 560
Donc : DE = 560

Question 2 – Triangle ABC rectangle ?

Le plus grand côté du triangle ABC est BC = 500.
On a :
Gauche :
BC² = 500² = 250 000
Droite :
AB² + AC² = 400² + 300² = 160 000 + 90 000 = 250 000
Or : Gauche = Droite, donc BC² = AB² + AC²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

## Exercice 5 / 5

Thalès · Pythagore
✓ Vu
Le triangle ADE a pour dimensions : AD = 7 cm, AE = 4,2 cm, DE = 5,6 cm.
F est le point de [AD] tel que AF = 2,5 cm.
La droite (FG) est parallèle à la droite (DE), avec G sur [AE].
1Prouver que le triangle ADE est rectangle en E.
2Calculer la longueur FG.

💡 Indice – débloque-les un par un

Pour la question 1 : identifie le plus grand côté du triangle ADE, puis applique la méthode de la réciproque ou de la contraposée selon le résultat.
Pour la question 2 : la droite (FG) est parallèle à la droite (DE), F est sur [AD] et G sur [AE]. Dans quelle configuration de Thalès es-tu ? Identifie le grand et le petit triangle.
Écris l'égalité des rapports donnée par Thalès, puis isole FG par produit en croix.

Question 1 – Triangle ADE rectangle en E ?

Le plus grand côté du triangle ADE est AD = 7 cm.
On a :
Gauche :
AD² = 7² = 49
Droite :
AE² + DE² = 4,2² + 5,6² = 17,64 + 31,36 = 49
Or : Gauche = Droite, donc AD² = AE² + DE²
Donc : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en E.

Question 2 – Calcul de FG

On a : A, F, D alignés | A, G, E alignés | (FG) ∥ (DE)
Or : d'après le théorème de Thalès
ADAF = AEAG = DEFG
72,5 = AEAG = 5,6FG
72,5 = 5,6FG
FG = 5,6 × 2,5 ÷ 7 = 2 cm
Donc : FG = 2 cm

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