Corrections vues :
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Partie 1 – Multiplications

## Exercice 1 / 7

Multiplications directes
✓ Vu

Calculer les produits suivants :

A = (−3) × (+7)
B = (−8) × (−5)
C = (+6) × (−9)
D = (−4,5) × (+2)
E = (−1,2) × (−5)
F = (+3/4) × (−8)

💡 Indices

Pour multiplier deux nombres relatifs, gère deux choses séparément : le signe du résultat, et le nombre obtenu en ignorant les signes. Pour le signe, compte le nombre de « − » dans le produit. Qu'est-ce que cela implique ?
Essaie avec un exemple simple : (−2) × (−3), puis (−2) × (+3). Dans quel cas le résultat est-il positif ? Qu'est-ce que ces deux exemples ont de différent ? Peux-tu formuler une règle à partir de cette observation ?
Pour F, pense à comment multiplier une fraction par un entier : le numérateur est multiplié par l'entier, le dénominateur reste inchangé. Peux-tu simplifier le résultat pour obtenir un entier ou une fraction irréductible ?
Règle des signes : compte le nombre de « − » dans le produit. S'il est pair → résultat positif. S'il est impair → résultat négatif. Le calcul sans les signes se fait normalement.

### Calcul A

A = (−3) × (+7)

1 signe « − » → impair → résultat négatif | 3 × 7 = 21

A = −21

### Calcul B

B = (−8) × (−5)

2 signes « − » → pair → résultat positif | 8 × 5 = 40

B = +40

### Calcul C

C = (+6) × (−9)

1 signe « − » → impair → résultat négatif | 6 × 9 = 54

C = −54

### Calcul D

D = (−4,5) × (+2)

1 signe « − » → impair → résultat négatif | 4,5 × 2 = 9

D = −9

### Calcul E

E = (−1,2) × (−5)

2 signes « − » → pair → résultat positif | 1,2 × 5 = 6

E = +6

### Calcul F

F = (+3/4) × (−8)

1 signe « − » → impair → résultat négatif | (3 × 8) ÷ 4 = 24 ÷ 4 = 6

F = −6

## Exercice 2 / 7

Produits à plusieurs facteurs
✓ Vu

Calculer les produits suivants (plusieurs facteurs) :

A = (−2) × (+3) × (−5)
B = (−4) × (−2) × (−3) × (+1)
C = (+5) × (−2) × (+3) × (−1) × (−4)
D = (−1/2) × (−4) × (+3) × (−1)

💡 Indices

Quand il y a plusieurs facteurs, tu peux déterminer le signe du produit avant de faire le moindre calcul. Comment les facteurs négatifs influencent-ils le signe final ? Compte-les.
Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ; un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif. Combien y a-t-il de facteurs négatifs dans chaque expression ?
Une fois le signe déterminé, multiplie les nombres en ignorant leurs signes. Tu peux regrouper les facteurs dans l'ordre qui te facilite le calcul, la multiplication est commutative et associative.
Astuce : Compte le nombre de facteurs négatifs → pair = produit positif ; impair = produit négatif.

### Calcul A

A = (−2) × (+3) × (−5)

2 facteurs négatifs → signe positif | 2 × 3 × 5 = 30

A = +30

### Calcul B

B = (−4) × (−2) × (−3) × (+1)

3 facteurs négatifs → signe négatif | 4 × 2 × 3 × 1 = 24

B = −24

### Calcul C

C = (+5) × (−2) × (+3) × (−1) × (−4)

3 facteurs négatifs → signe négatif | 5 × 2 × 3 × 1 × 4 = 120

C = −120

### Calcul D

D = (−1/2) × (−4) × (+3) × (−1)

3 facteurs négatifs → impair → signe négatif

Calcul sans les signes : (1/2) × 4 × 3 × 1 = 2 × 3 = 6

D = −6

## Exercice 3 / 7

Signe d'un grand produit
✓ Vu

1. Calculer le produit suivant (sans calculette !) :

P = (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × ··· × (−1)
(487 facteurs, tous égaux à (−1))

2. Un produit comporte 572 facteurs non nuls, dont 85 sont positifs. Quel est le signe du produit ? Justifier.

💡 Indices

Pour la question 1 : quel que soit le nombre de facteurs (−1), le résultat sans le signe vaut toujours 1. Le seul vrai défi porte sur le signe. Comment le signe évolue-t-il à chaque nouveau facteur (−1) ajouté ?
Pour la question 1 : plutôt que de compter 487 facteurs un à un, demande-toi si 487 est pair ou impair. Qu'est-ce que cela implique sur le signe, d'après la règle de l'exercice 2 ?
Pour la question 2 : les facteurs positifs influencent-ils le signe d'un produit ? Pourquoi ? Une fois que tu as répondu à ça, combien de facteurs restent vraiment « actifs » pour le signe, et comment les trouves-tu à partir des données ?

### Question 1 — Produit de 487 facteurs (−1)

Calcul sans les signes : 1 × 1 × ··· × 1 = 1. Le résultat sans son signe vaut toujours 1, quel que soit le nombre de facteurs.

Signe : Il suffit de savoir si 487 est pair ou impair.

487 = 2 × 243 + 1 → 487 est impair

Un nombre impair de facteurs négatifs → produit négatif.

P = −1

### Question 2 — Signe d'un produit de 572 facteurs

Nombre de facteurs négatifs :

572 facteurs au total − 85 facteurs positifs = 487 facteurs négatifs

Les facteurs positifs ne changent pas le signe. Seuls les facteurs négatifs comptent.

487 est impair → le produit est négatif.
Le signe du produit est négatif
Remarque : On retrouve exactement 487 facteurs négatifs, comme dans la question 1. Ce n'est pas un hasard !
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Partie 2 – Divisions

## Exercice 4 / 7

Divisions directes
✓ Vu

Calculer les quotients suivants :

A = (−36) ÷ (+4)
B = (−45) ÷ (−9)
C = (+72) ÷ (−8)
D = (−3,6) ÷ (+1,2)
E = (−5/3) ÷ (−10/9)
F = (+4,5) ÷ (−0,5)

💡 Indices

Pense à ce qui lie la division et la multiplication. Est-ce que les règles de signe que tu as vues pour la multiplication pourraient s'appliquer ici aussi ? Essaie d'abord mentalement avec des nombres simples pour te convaincre.
Pour les décimaux (D et F) : si tu bloques sur la division, essaie de transformer en fractions. Par exemple 3,6 ÷ 1,2 peut se réécrire 36 ÷ 12. Comment faire pour éliminer les virgules des deux côtés ?
Pour E : diviser par une fraction, c'est une opération que tu as peut-être déjà croisée. Y a-t-il un moyen de transformer cette division en multiplication ? Qu'est-ce qui change dans la fraction par laquelle on divise ?
Règle des signes (division) : identique à la multiplication — compte les « − » présents. Pair → résultat positif ; impair → résultat négatif.

### Calcul A

A = (−36) ÷ (+4)

1 signe « − » → impair → négatif | 36 ÷ 4 = 9

A = −9

### Calcul B

B = (−45) ÷ (−9)

2 signes « − » → pair → positif | 45 ÷ 9 = 5

B = +5

### Calcul C

C = (+72) ÷ (−8)

1 signe « − » → impair → négatif | 72 ÷ 8 = 9

C = −9

### Calcul D

D = (−3,6) ÷ (+1,2)

1 signe « − » → impair → négatif | 3,6 ÷ 1,2 = 36 ÷ 12 = 3

D = −3

### Calcul E

E = (−5/3) ÷ (−10/9)

Diviser par −10/9 = multiplier par −9/10 :

E = (−5/3) × (−9/10)

2 signes « − » → pair → positif | (5 × 9) ÷ (3 × 10) = 45/30 = 3/2

E = +3/2

### Calcul F

F = (+4,5) ÷ (−0,5)

1 signe « − » → impair → négatif | 4,5 ÷ 0,5 = 45 ÷ 5 = 9

F = −9
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Partie 3 – Calculs mêlés

## Exercice 5 / 7

Multiplications & Divisions
✓ Vu

Calculer les expressions suivantes (respecter les priorités opératoires) :

A = (−6) × (+4) ÷ (−8)
B = (−3)² × (−2)
C = (−2)³ ÷ (+4) × (−3)
D = [(−5) × (+6)] ÷ [(−3) × (−2)]

💡 Indices

Pour B et C : que signifie concrètement écrire un nombre avec un exposant ? Essaie d'écrire ce calcul sous forme développée, sans exposant. Qu'est-ce que ça change sur le nombre de facteurs en jeu ?
Pour D : les crochets indiquent qu'il faut d'abord calculer ce qui est à l'intérieur de chaque paire de crochets séparément, puis effectuer la division entre les deux résultats.
Pour A : quand une expression enchaîne des opérations de même niveau (multiplications et divisions), dans quel ordre les traite-t-on ? Essaie de découper en sous-étapes plutôt que de tout calculer d'un coup.

### Calcul A

A = (−6) × (+4) ÷ (−8)

Étape 1 : (−6) × (+4) → 1 signe « − » → impair → −24

Étape 2 : (−24) ÷ (−8) → 2 signes « − » → pair → +3

A = +3

### Calcul B

B = (−3)² × (−2)

Étape 1 : (−3)² = (−3) × (−3) = +9

Étape 2 : (+9) × (−2) → 1 signe « − » → impair → −18

B = −18

### Calcul C

C = (−2)³ ÷ (+4) × (−3)

Étape 1 : (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) → 3 facteurs négatifs (impair) → −8

Étape 2 : (−8) ÷ (+4) → 1 signe « − » → impair → −2

Étape 3 : (−2) × (−3) → 2 signes « − » → pair → +6

C = +6

### Calcul D

D = [(−5) × (+6)] ÷ [(−3) × (−2)]

Numérateur : (−5) × (+6) → 1 signe « − » → impair → −30

Dénominateur : (−3) × (−2) → 2 signes « − » → pair → +6

D = (−30) ÷ (+6)

1 signe « − » → impair → négatif | 30 ÷ 6 = 5

D = −5

## Exercice 6 / 7

Expressions littérales
✓ Vu

On pose a = −3, b = +4 et c = −2.

Calculer les expressions suivantes :

A = a × b
B = b ÷ c
C = a × b × c
D = a² × c ÷ b
E = (a × c)² ÷ (b − a)

💡 Indices

Commence par substituer les valeurs de a, b et c dans chaque expression, en conservant les parenthèses autour de chaque valeur négative. Cela t'évitera des erreurs de signe.
Pour D : a² signifie que tu élèves la valeur de a au carré. Quel est le signe de (−3)² ? Compte le nombre de « − » dans (−3) × (−3). Est-ce que le fait que a soit négatif change le résultat du calcul sans les signes ?
Pour E : l'expression contient plusieurs opérations imbriquées. As-tu bien identifié ce qui est dans les parenthèses, ce qui est élevé à une puissance, et ce qui est dans le dénominateur ? Quel calcul dois-tu faire en tout premier ?
Rappel : a = −3 | b = +4 | c = −2

### Calcul A

A = (−3) × (+4)

1 signe « − » → impair → négatif | 3 × 4 = 12

A = −12

### Calcul B

B = (+4) ÷ (−2)

1 signe « − » → impair → négatif | 4 ÷ 2 = 2

B = −2

### Calcul C

C = (−3) × (+4) × (−2)

2 facteurs négatifs (pair) → positif | 3 × 4 × 2 = 24

C = +24

### Calcul D

D = (−3)² × (−2) ÷ (+4)

Étape 1 : (−3)² = +9

Étape 2 : (+9) × (−2) = −18

Étape 3 : (−18) ÷ (+4) → 1 signe « − » → impair → négatif | 18 ÷ 4 = 4,5

D = −4,5

### Calcul E

E = [(−3) × (−2)]² ÷ [(+4) − (−3)]

Étape 1 : (−3) × (−2) = +6

Étape 2 : (+6)² = +36

Étape 3 : (+4) − (−3) = (+4) + (+3) = +7

Étape 4 : (+36) ÷ (+7) → 0 signe « − » → pair → positif

E = 36/7
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Partie 4 – Problème

## Exercice 7 / 7

Problème – Température & Dénivelée
✓ Vu

Un sondeur de température mesure, en montagne, une variation de température de −1,5°C par 100 m d'altitude.

1. Quelle est la variation de température entre le bas (alt. 800 m) et le sommet (alt. 3 200 m) ? Exprimer la réponse sous la forme d'un produit de deux nombres relatifs, puis calculer.

2. La température au bas de la montagne est de +12°C. Quelle est la température au sommet ?

3. En redescendant, un randonneur parcourt la dénivelée en 3 h 30 min. À l'aide d'un tableau et d'un produit en croix, calculer sa vitesse de dénivelée verticale en mètres par heure. On considère qu'une descente correspond à une dénivelée négative (−2 400 m).

4. La vitesse de dénivelée verticale est-elle positive ou négative ? Que représente son signe dans le contexte du problème ?

💡 Indices

Pour la question 1 : quelle est la différence d'altitude entre le sommet et la base ? Si cette différence représente un certain nombre de « paliers de 100 m », combien y en a-t-il ? Multiplie ensuite par la variation par palier.
Pour la question 2 : si la température change d'une certaine quantité (trouvée à la question 1), comment obtient-on la température d'arrivée à partir de la température de départ ? S'agit-il d'une addition ou d'une multiplication ?
Pour la question 3 : commence par convertir 3 h 30 min en heures décimales. Ensuite, tu cherches une vitesse, c'est-à-dire une quantité par unité de temps. Comment construire un tableau qui met en relation la dénivelée et la durée pour trouver ce que vaut 1 heure ?

### Question 1 – Variation de température

Différence d'altitude : 3 200 − 800 = 2 400 m

Nombre de paliers de 100 m : 2 400 ÷ 100 = 24 paliers

On appelle V la variation de température :

V = 24 × (−1,5)

1 signe « − » → impair → négatif | 24 × 1,5 = 36

V = −36°C

### Question 2 – Température au sommet

Température au sommet = température de base + variation :

T = (+12) + (−36)

1 signe « − » dans la somme : 36 − 12 = 24, on garde le signe du plus grand → négatif

T = −24°C

### Question 3 – Vitesse de dénivelée (produit en croix)

Conversion : 3 h 30 min = 3,5 h

On cherche la dénivelée parcourue en 1 heure :

Dénivelée (m) | −2 400 | ?
Durée (h) | 3,5 | 1

Produit en croix :

? = (−2 400) × 1 ÷ 3,5
? = (−2 400) ÷ 3,5

1 signe « − » → impair → négatif | 2 400 ÷ 3,5 ≈ 685,7

Vitesse de dénivelée ≈ −685,7 m/h

### Question 4 – Interprétation du signe

La vitesse de dénivelée est négative. Le signe négatif indique que le randonneur descend : son altitude diminue au fil du temps. Une vitesse positive aurait signifié une montée.

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