Chapitre

# Nombres relatifs

I. Somme de deux nombres relatifs
1) Deux nombres de même signe
📘 Définition

Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme :

- a ce même signe
- a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres

✏️ Exemples — Même signe
➕ Les deux sont positifs
(+7) + (+6)

Même signe : positif

Distance à zéro : 7 + 6 = 13

(+7) + (+6) = +13
➖ Les deux sont négatifs
(−5) + (−6)

Même signe : négatif

Distance à zéro : 5 + 6 = 11

(−5) + (−6) = −11
2) Deux nombres de signes contraires
📘 Définition

Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme :

- a le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro
- a pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres

✏️ Exemples — Signes contraires
Exemple 1
(−2) + (+5)

Distances à zéro : 2 et 5

La plus grande : 5, donc le signe sera +

Différence des distances : 5 − 2 = 3

(−2) + (+5) = +3
Exemple 2
(+8) + (−9)

Distances à zéro : 8 et 9

La plus grande : 9, donc le signe sera −

Différence des distances : 9 − 8 = 1

(+8) + (−9) = −1
3) Nombres opposés
📘 Définition

Dire que deux nombres relatifs sont opposés signifie que leur somme est égale à zéro.

💡 Pour trouver l'opposé d'un nombre, il suffit de changer son signe.
L'opposé de (+5) est (−5) · L'opposé de (−3) est (+3)
✏️ Exemple — Opposés

Vérifier que −5 et +5 sont opposés.

On calcule leur somme :

(−5) + (+5) = 0
Leur somme vaut 0 : −5 et +5 sont bien opposés.
II. Différence de deux nombres relatifs
📗 Propriété

Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

a − b = a + (opposé de b)
✏️ Exemple

Calculer (+5) − (−8)

Départ (+5) − (−8)
Opposé de −8 = (+5) + (+8) ← on remplace −(−8) par +(+8)
Même signe = +13
(+5) − (−8) = +13
III. Conventions d'écriture
📙 Convention

Dans une suite d'additions ou de soustractions de nombres relatifs, on suit ces étapes dans l'ordre :

1. On commence par transformer les soustractions en additions (soustraire = ajouter l'opposé)
2. On supprime les signes d'addition et les parenthèses autour des nombres
3. On supprime le signe + devant le premier nombre s'il est en début de ligne
4. On effectue le calcul de gauche à droite en regroupant les positifs et les négatifs

💡 Astuce

À l'étape 4, il est souvent plus rapide de sommer tous les positifs ensemble, puis tous les négatifs ensemble, et enfin d'additionner les deux résultats.

✏️ Exemple détaillé

Calculer \(A = (+9) - (-3) + (-6) - (+2) - (-7) + (+1)\)

Étape 1
soustractions
→ additions A = (+9) + (+3) + (−6) + (−2) + (+7) + (+1)
Étape 2
supprime + et
parenthèses A = +9 +3 −6 −2 +7 +1
Étape 3
supprime le +
initial A = 9 +3 −6 −2 +7 +1
Étape 4 — On regroupe les positifs et les négatifs :
Regroupement A = 9 + 3 + 7 + 1 − 6 − 2
Résultat A = +20 − 8 = +12
\(A = +12\)
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