📖 Ce qu'il faut savoir
Image et antécédent
Image de \(a\) : remplace \(x\) par \(a\) et calcule → c'est le nombre d'arrivée.
Antécédent de \(b\) : résous \(f(x) = b\) → c'est le nombre de départ.
Programme de calcul : suis les étapes dans l'ordre avec \(x\) pour trouver \(f(x)\).
Domaine et cas particuliers
\(\dfrac{1}{x^2}\) n'existe pas si \(x = 0\) (division par zéro).
Un antécédent peut ne pas exister si la valeur n'apparaît pas dans \(f(x)\).
Graphiquement : intersection de deux droites = nombre de clips où deux offres coûtent le même prix.
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Exercice 1 – Téléchargement de clips

## Exercice 1 / 5

Contexte réel · Tableau · Graphique · Fonctions
✓ Vu
Un site propose trois modes de téléchargement :
– Direct : 4 € par clip, sans inscription.
– Membre : inscription 10 €, puis 2 € par clip.
– Premium : inscription 50 €, clips illimités gratuits.
\(x\) = nombre de clips. \(f(x) = 50\) · \(g(x) = 4x\) · \(h(x) = 2x + 10\)
1Je viens pour la première fois. Je veux télécharger un seul clip. Quel est le choix le moins cher ?
2Compléter le tableau de valeurs.
3aCalculer l'image de 6 par \(g\). À quoi correspond ce résultat ?
3bCalculer l'antécédent de 14 par \(h\). À quoi correspond ce résultat ?
4aAssocier chaque fonction à un mode (direct, membre, premium).
4bTracer les droites représentant \(f\), \(g\) et \(h\) dans le repère ci-dessous.
📝 Sur ton cahier : trace un repère orthogonal avec l'axe des abscisses gradué de \(0\) à \(23\) (nombre de clips) et l'axe des ordonnées gradué de \(0\) à \(60\) (prix en €). Place au moins 2 points par droite à partir du tableau de la question 2, puis relie-les à la règle. Utilise une couleur différente pour chaque droite et légende-les.
4cÀ l'aide du graphique, déterminer à partir de combien de clips l'offre premium devient la moins chère.
💡 Indices
Pour Q1 : essaie de comparer les trois tarifs pour une petite quantité de clips, par exemple 1. Que donne chaque formule ? Quel est le moins cher dans ce cas ?
Pour Q4c : sur le graphique, repère à partir de quel \(x\) la droite \(f\) (horizontale à \(y=50\)) se retrouve en dessous des deux autres droites.

1. Choix le moins cher pour 1 clip

\(f(1) = 50\) € · \(g(1) = 4 \times 1 = 4\) € · \(h(1) = 2 \times 1 + 10 = 12\) €
Pour 1 clip, le téléchargement direct est le moins cher : \(4\) €.

2. Tableau complété

Nombre de clips \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) | \(15\)
--- | --- | --- | --- | --- | ---
Direct \(g(x)=4x\) | \(4\) | \(8\) | \(20\) | \(40\) | \(60\)
Membre \(h(x)=2x+10\) | \(12\) | \(14\) | \(20\) | \(30\) | \(40\)
Premium \(f(x)=50\) | \(50\) | \(50\) | \(50\) | \(50\) | \(50\)

💡 On remarque que pour \(x = 5\), direct et membre coûtent le même prix (\(20\) €). À partir de \(x = 6\) clips, le membre devient moins cher que le direct.

3a. Image de 6 par \(g\)

\(g(6) = 4 \times 6 = 24\)
\(g(6) = 24\) € : c'est le prix du téléchargement direct pour 6 clips.

3b. Antécédent de 14 par \(h\)

On cherche \(x\) tel que \(h(x) = 14\) :

\(2x\) \(+\,10\) \(= 14\)
\(-\,10\)
\(-\,10\)
\(2\)\(x = 4\)
\(\div\,2\)
\(\div\,2\)
\(x = 2\)
L'antécédent de \(14\) par \(h\) est \(2\) : avec le mode membre, 14 € correspond au prix pour 2 clips.

4a. Association fonctions / modes

\(f(x) = 50\) → prix fixe quel que soit \(x\) → Premium
\(g(x) = 4x\) → 4 € par clip, pas d'inscription → Direct
\(h(x) = 2x + 10\) → inscription 10 €, puis 2 € par clip → Membre

4b & 4c. Graphique des trois fonctions

Violet : \(g(x)=4x\) (direct) | Vert : \(h(x)=2x+10\) (membre) | Rouge : \(f(x)=50\) (premium)
4c. La droite \(f\) (premium, rouge) passe sous la droite \(h\) (membre) à partir de \(x = 20\). Donc à partir de 21 clips, le premium est moins cher que le membre — et il est déjà moins cher que le direct bien avant.
L'offre premium devient la moins chère à partir de 21 clips.
🧮
Exercice 2 – Calculs sur trois fonctions

## Exercice 2 / 5

Images · Antécédents · Équation
✓ Vu
On considère : \(f(x) = 3x + 5\) · \(g(x) = 9x + 2\) · \(h(x) = x^2\)
1Calculer l'image de \(2\) par \(f\).
2Calculer l'antécédent de \(5\) par \(g\).
3Calculer \(h(-5)\).
4Trouver la valeur de \(x\) telle que \(f(x) = 8\).
💡 Indices
Pour Q2 : trouver l'antécédent de 5 par g, c'est trouver quel nombre g transforme en 5. Comment traduit-on cela par une équation ? Quelle est alors la première étape pour isoler x ?
Pour Q3 : attention, \((-5)^2 = (-5) \times (-5)\). Le carré d'un nombre négatif est toujours positif !

1. Image de \(2\) par \(f\)

\(f(2) = 3 \times 2 + 5 = 6 + 5 = 11\)
\(f(2) = 11\)

2. Antécédent de \(5\) par \(g\)

On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 5\) :

\(9x\) \(+\,2\) \(= 5\)
\(-\,2\)
\(-\,2\)
\(9\)\(x = 3\)
\(\div\,9\)
\(\div\,9\)
\(x = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)
L'antécédent de \(5\) par \(g\) est \(\dfrac{1}{3}\).

3. Calcul de \(h(-5)\)

\(h(-5) = (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25\)
\(h(-5) = 25\)

4. Valeur de \(x\) telle que \(f(x) = 8\)

On résout \(f(x) = 8\) :

\(3x\) \(+\,5\) \(= 8\)
\(-\,5\)
\(-\,5\)
\(3\)\(x = 3\)
\(\div\,3\)
\(\div\,3\)
\(x = 1\)
\(f(x) = 8\) pour \(x = 1\).
📋
Exercice 3 – Lecture d'un tableau

## Exercice 3 / 5

Lecture de tableau · Image · Antécédent
✓ Vu

\(x\) | \(1\) | \(5\) | \(8\) | \(7\)
--- | --- | --- | --- | ---
\(f(x)\) | \(5\) | \(8\) | \(2\) | \(6\)

1Quelle est l'image de \(5\) par \(f\) ?
2Quel est l'antécédent de \(8\) par \(f\) ?
3\(f\) a-t-il un antécédent de \(6\) ?
💡 Indices
Pour une image : cherche \(x = 5\) dans la ligne du haut, puis lis la valeur en dessous. Pour un antécédent : cherche la valeur dans la ligne du bas, puis lis le \(x\) au-dessus.

1. Image de \(5\) par \(f\)

On lit la colonne \(x = 5\) : \(f(5) = 8\).
L'image de \(5\) par \(f\) est \(8\).

2. Antécédent de \(8\) par \(f\)

On cherche \(8\) dans la ligne \(f(x)\) : on le trouve pour \(x = 5\).
L'antécédent de \(8\) par \(f\) est \(5\).

3. Antécédent de \(6\) par \(f\)

On cherche \(6\) dans la ligne \(f(x)\) : on le trouve pour \(x = 7\).
Oui, \(f\) a un antécédent de \(6\) : c'est \(x = 7\).
⚙️
Exercice 4 – Programme de calcul

## Exercice 4 / 5

Programme de calcul · Expression · Antécédent
✓ Vu
Programme de calcul :
1 Choisir un nombre
2 Ajouter \(8\)
3 Multiplier le résultat par \(5\)
4 Retrancher le double du nombre de départ
1Calculer l'image de \(6\) par \(f\).
2Calculer \(f(x)\).
3Calculer l'antécédent de \(30\) par \(f\).
💡 Indices
Pour Q1 : lis le programme opération par opération et applique-le au nombre 6, dans l'ordre. Que fait chaque étape sur le résultat précédent ?
Pour Q2 : fais la même chose qu'en Q1 mais avec \(x\) à la place de 6. « Le double du nombre de départ » vaut \(2x\). Développe et simplifie.

1. Image de \(6\) par \(f\)

Départ : \(6\)
\(6 + 8 = 14\)
\(14 \times 5 = 70\)
\(70 - 2 \times 6 = 70 - 12 = 58\)
\(f(6) = 58\)

2. Expression de \(f(x)\)

Départ : \(x\)
\(x + 8\)
\((x + 8) \times 5 = 5x + 40\)
\(5x + 40 - 2x = 3x + 40\)
\(f(x) = 3x + 40\)

3. Antécédent de \(30\) par \(f\)

On résout \(f(x) = 30\) :

\(3x\) \(+\,40\) \(= 30\)
\(-\,40\)
\(-\,40\)
\(3\)\(x = -10\)
\(\div\,3\)
\(\div\,3\)
\(x = -\dfrac{10}{3}\)
L'antécédent de \(30\) par \(f\) est \(-\dfrac{10}{3}\).
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Exercice 5 – Fonction \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)

## Exercice 5 / 5

Domaine · Images · Antécédent · Produit en croix
✓ Vu
On considère la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\).
1Pour quelle valeur de \(x\) la fonction \(f\) n'existe-t-elle pas ?
2Calculer l'image de \(2\) par \(f\) et l'image de \(-2\) par \(f\).
3Calculer l'antécédent de \(4\) par \(f\).
💡 Indices
Pour Q1 : \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) est une division. Quand est-ce qu'une division est impossible ?
Pour Q3 : si \(\frac{1}{x^2} = 4\), comment transformer cette égalité pour exprimer \(x^2\) seul d'un côté ? Quel lien y a-t-il entre \(\frac{1}{x^2}\) et \(x^2\) ?

1. Valeur pour laquelle \(f\) n'existe pas

⚠️ \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\) n'existe pas lorsque \(x^2 = 0\), c'est-à-dire lorsque \(x = 0\).
La division par zéro est impossible.
\(f\) n'existe pas pour \(x = 0\) uniquement.

2. Images de \(2\) et \(-2\)

\(f(2) = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}\)
\(f(-2) = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{4}\)
\(f(2) = f(-2) = \dfrac{1}{4}\)
💡 Les deux images sont égales : c'est normal car \(2^2 = (-2)^2 = 4\). Plus généralement, \(f(a) = f(-a)\) pour tout \(a \neq 0\).

3. Antécédent de \(4\) par \(f\)

On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 4\) :

\(\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{4}{1}\)
Produit en croix :
\(1 \times 1 = 4 \times x^2\)
\(x^2 = \dfrac{1}{4}\)
\(x = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}\) ou \(x = -\dfrac{1}{2}\)
Les antécédents de \(4\) par \(f\) sont \(\dfrac{1}{2}\) et \(-\dfrac{1}{2}\).

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