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Exercice 1 QCM — 20 points
✓ Vu
Questionnaire à choix multiples 5 questions · 4 pts chacune · pas de point négatif
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais une seule est exacte. Une réponse correcte apporte 4 points, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.
1. 25 % de 340 s'obtient en effectuant le calcul suivant :
□ 340 × 25/100 □ 340 + 25/100 □ 340 × 100/25 □ 340 + 100/25
2. 3⁵ est égal à :
□ 3+3+3+3+3 □ 3×5 □ 3−5 □ 3×3×3×3×3
3. Le tableau suivant correspond à une situation de proportionnalité :

19 | 2
N | 6

□ N = 12,5 □ N = 23 □ N = 3,5 □ N = 57
4. Le volume du cube de côté 3 cm est égal à :
□ 9 cm³ □ 18 cm³ □ 27 cm³ □ 81 cm³

Cube de côté 3 cm

5. La solution de l'équation 25x + 4 = 108 − x est :
□ x = 3 □ x = 4 □ x = 5 □ x = 6

💬 Indices

Parmi les quatre propositions, laquelle utilise une multiplication ? Le signe × est ton meilleur ami pour calculer un pourcentage.
Lis attentivement la notation : 3⁵, c'est 3 à la puissance 5. Que signifie une puissance en termes d'opération répétée ?
Regarde comment passe-t-on de la première valeur à la deuxième dans la colonne de droite (de 2 à 6). Quelle opération as-tu effectuée ? Applique-la à l'autre colonne.
Pour un cube, les trois dimensions sont identiques. Quelle formule utilises-tu pour calculer un volume ? Attention, ne confonds pas volume et aire d'une face.
Le but est d'avoir x tout seul d'un côté. Par quoi dois-tu commencer pour que tous les x soient du même côté de l'égalité ?

### Question 1 — 25 % de 340

| Valeur totale | 25 %
--- | --- | ---
Pourcentage | 100 % | 25 %
Montant (€) | 340 | ?

\(? = 340 \times 25 \div 100 = \mathbf{85}\)
✓ Réponse : \(340 \times \dfrac{25}{100}\)

### Question 2 — 3⁵

\(3^5\) signifie que l'on multiplie 3 par lui-même 5 fois :

\(3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\)
✓ Réponse : \(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\)

### Question 3 — Tableau de proportionnalité

De 2 à 6, on multiplie par 3. Donc : \(N = 19 \times 3\)

\(N = 19 \times 3 = \mathbf{57}\)
✓ \(N = 57\)

### Question 4 — Volume du cube de côté 3 cm

\(V = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = \mathbf{27} \text{ cm}^3\)
✓ \(27 \text{ cm}^3\)

### Question 5 — Équation : 25x + 4 = 108 − x

On regroupe les termes en \(x\) à gauche en ajoutant \(x\) aux deux membres :

\(25x + 4 \;=\; 108\) \(-x\)
\(+x\)
\(+x\)
\(26x + 4 \;=\; 108\)

On isole \(26x\) en soustrayant \(4\) des deux membres :

\(26x \;+\;\) \(4\) \(\;=\; 108\)
\(-4\)
\(-4\)
\(26x \;=\; 104\)

On divise les deux membres par \(26\) :

\(26\)\(x \;=\; 104\)
\(\div 26\)
\(\div 26\)
\(x \;=\; \dfrac{104}{26} \;=\; 4\)
La solution est \(x = 4\)
Exercice 2 Trajets en train — 22 points
✓ Vu
Trajets en train Proportionnalité · Fonctions affines · Graphique
Dans le cadre de son travail, Elsa doit se déplacer régulièrement à Paris. Elle voyage en train. Le billet coûte 80 €.
Elsa peut acheter une carte à l'année qui coûte 49 € et qui lui permet d'obtenir toute l'année une réduction de 30 % sur les billets.

1. Étude des tarifs

a. Calculer le prix qu'Elsa paiera pour 3 billets sans carte de réduction.
b. Justifier que le prix d'un billet de train après une remise de 30 % est 56 €.
c. Calculer le prix total payé par Elsa pour trois billets avec la carte, achat de la carte compris.

2. Comparaison des tarifs

Elsa achète x billets. On nomme f la fonction associant à x le montant total sans carte, et g la fonction associant à x le montant total avec carte (achat de la carte inclus).
Dans le repère ci-dessous, les deux droites représentent f et g.

Graphique des fonctions f et g

a. Sur l'annexe, noter pour chacune des deux droites le nom de la fonction représentée.
b. Choisir et recopier l'expression algébrique de la fonction g :
Choix 1 : g(x) = 56x + 49 Choix 2 : g(x) = 56x Choix 3 : g(x) = 80x Choix 4 : g(x) = 49x + 56
c. Calculer g(8).
d. Indiquer le prix à payer pour 8 billets avec la carte de réduction.
e. Sachant qu'Elsa achètera plus de 8 billets dans l'année, déterminer le tarif le plus avantageux pour elle. Justifier la réponse en expliquant la méthode utilisée.

💬 Indices

Elsa achète plusieurs billets au même tarif. Quelle opération de base utilises-tu quand tout a le même prix ?
Si on te retire 30 %, quel pourcentage du prix te reste-t-il à payer ? Essaie de construire un tableau de proportionnalité avec le prix de départ et ce pourcentage.
Observe où chaque droite coupe l'axe vertical (quand x = 0). Qu'est-ce que cela représente concrètement pour chacune des deux situations ?
Pour x = 8, les deux droites se croisent-elles ou l'une est-elle au-dessus de l'autre ? Et pour x = 9, 10... quelle droite est la plus basse ?

### Question 1a — Prix pour 3 billets sans carte

\(3 \times 80 = \mathbf{240} \text{ €}\)

### Question 1b — Justifier que le prix avec 30 % de remise est 56 €

Méthode 1 — Calculer la remise (30 %), puis soustraire :

| Valeur totale | Remise (30 %)
--- | --- | ---
Pourcentage | 100 % | 30 %
Prix (€) | 80 | ?

\(\text{Remise} = 80 \times 30 \div 100 = 24 \text{ €}\)
\(\text{Prix après remise} = 80 - 24 = \mathbf{56} \text{ €}\)

Méthode 2 — Calculer directement 70 % du prix :

| Valeur totale | Prix payé (70 %)
--- | --- | ---
Pourcentage | 100 % | 70 %
Prix (€) | 80 | ?

\(\text{Prix} = 80 \times 70 \div 100 = \mathbf{56} \text{ €}\)
✓ Le billet avec 30 % de remise coûte bien \(56 \text{ €}\)

### Question 1c — Prix total pour 3 billets avec la carte

\(3 \times 56 + 49 = 168 + 49 = \mathbf{217} \text{ €}\)

### Question 2a — Identifier les droites

La droite rouge passe par l'origine \((0\,;\,0)\) → pas de coût fixe → c'est la fonction \(f\) avec \(f(x) = 80x\).

La droite bleue coupe l'axe \(y\) en \((0\,;\,49)\) → coût fixe de 49 € (la carte) → c'est la fonction \(g\) avec \(g(x) = 56x + 49\).

### Question 2b — Expression algébrique de g

\(g\) est la fonction « avec carte ». Elle comprend deux parties :

— Le coût des billets à tarif réduit : \(56 \times x\) (56 € par billet)

— Le coût fixe de la carte : \(+\, 49\) € (payé une seule fois)

Donc \(g(x) = 56x + 49\), ce qui correspond bien au Choix 1.

Vérification : \(g(0) = 56 \times 0 + 49 = 49\) (on paie juste la carte) ✓

✓ Choix 1 : \(g(x) = 56x + 49\)

### Question 2c — Calculer g(8)

\(g(8) = 56 \times 8 + 49 = 448 + 49 = \mathbf{497}\)

### Question 2d — Prix pour 8 billets avec la carte

On vient de calculer \(g(8) = 497\) à la question précédente.

\(g(x)\) représente le montant total à payer avec la carte pour \(x\) billets (carte incluse).

Donc \(g(8) = 497\) représente le prix total pour 8 billets avec la carte de réduction, achat de la carte compris.

✓ Pour 8 billets avec la carte, Elsa paiera 497 € au total.

### Question 2e — Tarif le plus avantageux pour plus de 8 billets

La droite verticale en x = 8 montre que g est en dessous de f pour x > 8

Graphiquement, on trace la droite verticale \(x = 8\). Pour \(x > 8\), la droite bleue \(g\) est en dessous de la rouge \(f\) : \(g(x) < f(x)\).

✓ Il vaut mieux acheter la carte de réduction dès lors qu'on dépasse \(8\) billets dans l'année.
Exercice 3 Destinations — 18 points
✓ Vu
Destinations vacances Statistiques · Probabilités
Lors d'une promotion, une agence de voyage propose un tirage au sort permettant de gagner une journée de vacances. Chaque client fait tourner une roue partagée en 8 secteurs de même mesure : 3 secteurs « Mer », 2 secteurs « Montagne », 2 secteurs « Ville », 1 secteur « Campagne ».
L'agence présente les résultats des tirages effectués sur une semaine dans un diagramme en barres. Les effectifs lisibles sont : Montagne = 55, Campagne = 35. La barre Mer est la plus haute, la barre Ville est en deuxième position depuis le bas.

La roue (8 secteurs)

Résultats de la semaine

1. Indiquer le nombre de fois où la roue s'est arrêtée sur un secteur « Ville ».
2. Montrer que le nombre total de tirages au sort effectués cette semaine-là est 200.
3. Calculer la fréquence d'apparition du secteur « Montagne ».
4. À l'aide des informations sur la roue, calculer la probabilité de s'arrêter sur « Montagne ».
5. Elsa participe au tirage au sort. En examinant la roue elle pense qu'elle a plus de chance de gagner une journée à la montagne qu'à la ville. Indiquer si elle a raison ou tort. Justifier.

💬 Indices

Repère la barre « Ville » sur le diagramme. Lis sa hauteur en suivant les lignes horizontales du quadrillage jusqu'à l'axe vertical.
Le total, c'est l'ensemble de tous les tirages. Combien y a-t-il de destinations différentes ? Que faut-il faire avec leurs effectifs pour trouver le nombre total de tirages ?
Pour la fréquence (Q3), pense à la formule : fréquence = effectif ÷ total. Pour la probabilité (Q4), regarde la roue : combien y a-t-il de secteurs en tout ? Combien sont « Montagne » ? Pour Q5, compare les probabilités de chaque destination en regardant la roue.

### Question 1 — Nombre de sorties « Ville »

On lit sur le diagramme en barres la hauteur de la barre « Ville » :

✓ 42 sorties « Ville »

### Question 2 — Total des tirages

\(42 + 55 + 68 + 35 = (42 + 68) + (55 + 35) = 110 + 90 = \mathbf{200}\)
✓ Le nombre total de tirages est bien \(200\)

### Question 3 — Fréquence d'apparition de « Montagne »

\(\text{Fréquence} = \dfrac{55}{200} = \dfrac{27{,}5}{100} = 0{,}275\)
✓ Fréquence de « Montagne » \(= 0{,}275\) soit \(27{,}5\,\%\)

### Question 4 — Probabilité de « Montagne » avec la roue

La roue comporte 8 secteurs égaux, dont 2 sont « Montagne ».

\(P(\text{Montagne}) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
✓ \(P(\text{Montagne}) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)

### Question 5 — Elsa a-t-elle raison ?

La roue comporte 2 secteurs « Montagne » et 2 secteurs « Ville » sur 8 au total.

\(P(\text{Montagne}) = \dfrac{2}{8} = P(\text{Ville}) = \dfrac{2}{8}\)
✗ Elsa a tort : \(P(\text{Montagne}) = P(\text{Ville}) = \dfrac{1}{4}\), les deux probabilités sont égales.
Exercice 4 Valise de Paul — 18 points
✓ Vu
Valise de Paul Théorème de Pythagore
Paul prévoit de faire de la randonnée. Il utilise un bâton de marche de longueur réglable dont la longueur minimale est 48 cm. Il doit le placer dans sa valise qui mesure 45 cm de hauteur.
On schématise le fond de la valise par le rectangle ABCD avec : longueur L = 45 cm (côté AB), largeur l = 32 cm (côté AD). La diagonale [AC] est tracée.

Valise de Paul (hauteur 45 cm)

Schéma du fond de la valise : rectangle ABCD

1. Indiquer s'il est possible de mettre le bâton à la verticale dans la valise. Justifier la réponse.
2. Parmi les propositions suivantes, recopier celle qui est exacte. Le triangle ABC est :
□ isocèle □ rectangle □ isocèle rectangle □ équilatéral
3. Calculer, à l'aide du théorème de Pythagore, la longueur AC en centimètre. Arrondir le résultat à l'unité.
4. Justifier que Paul peut placer son bâton dans le fond de la valise.

💬 Indices

La valise a une certaine hauteur, le bâton a une longueur minimale. Que se passe-t-il si l'objet est plus long que l'espace disponible ?
Quelle est la particularité des angles d'un rectangle ? Regarde l'angle qui se trouve au sommet B dans le schéma.
Dans un triangle rectangle, quel est le côté le plus long ? Comment s'appelle-t-il ? Quelle relation lie les trois côtés entre eux ?

### Question 1 — Le bâton peut-il aller à la verticale ?

La hauteur de la valise est 45 cm et la longueur minimale du bâton est 48 cm.

\(48 > 45\)
✗ Non, impossible à la verticale car \(48 > 45\).

### Question 2 — Nature du triangle ABC

ABCD est un rectangle, donc l'angle en B est un angle droit (\(90°\)).

✓ Le triangle ABC est rectangle en B

### Question 3 — Calcul de AC par le théorème de Pythagore

Triangle ABC rectangle en B — AC est l'hypoténuse

📒 Rappel : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
On a : Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). \(AB = 45\) cm ; \(BC = 32\) cm ; \([AC]\) est l'hypoténuse. Or : d'après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(AC^2 = 45^2 + 32^2\)
\(AC^2 = 2025 + 1024\)
\(AC^2 = 3049\)
\(AC = \sqrt{3049} \approx 55{,}2 \text{ cm}\)
Donc : AC mesure environ 55 cm à l'unité près.

### Question 4 — Paul peut-il placer son bâton en diagonale ?

La diagonale \(AC\) mesure environ \(55\) cm et la longueur minimale du bâton est \(48\) cm.

\(48 < 55\)
✓ Oui, Paul peut placer son bâton en diagonale car \(48 < 55\).
Exercice 5 Algorithme Scratch — 22 points
✓ Vu
Programme Scratch – Surcoût bagages Lecture d'algorithme · Modification de programme
Dans un avion, les compagnies aériennes appliquent un surcoût aux valises en cabine qui pèsent plus de 15 kg. Le programme Scratch ci-dessous permet de calculer la masse en trop et le montant du surcoût.

Programme Scratch (sujet)

1. À l'aide de la ligne 5, donner le prix en euros (€) du kilogramme supplémentaire.
2. Indiquer ce que permet de calculer la ligne 4.
3. Calculer la valeur du montant affiché par le programme pour une valise de 17,50 kg.
En soute, un surcoût est appliqué aux valises qui pèsent plus de 23 kg. Chaque kilogramme supplémentaire coûte 10,70 €.
4. Indiquer le numéro des deux lignes à modifier pour adapter le programme à une valise en soute.
5. Écrire les deux lignes avec les valeurs modifiées pour obtenir le prix à payer pour une valise en soute pesant plus de 23 kg.

💬 Indices

Lis attentivement chaque ligne du programme. Quelle ligne contient un nombre qui ressemble à un prix ? Que fait la ligne 4 avec la variable x calculée juste avant ?
Joue le rôle de l'ordinateur : exécute le programme étape par étape avec masse = 17,50. Qu'obtient-on à la ligne 3 ? Puis à la ligne 4 ?
Relis l'énoncé sur les valises en soute : deux informations changent par rapport aux valises en cabine. Retrouve-les dans le texte, puis repère dans quelles lignes du programme ces valeurs apparaissent.

### Question 1 — Prix du kilogramme supplémentaire

La ligne 4 calcule résultat = x × 12,30, donc elle multiplie les kilos en excès par 12,30.

✓ Chaque kilogramme supplémentaire coûte 12,30 €

### Question 2 — Ce que calcule la ligne 4

La ligne 3 calcule \(x = \text{masse} - 15\) (la masse en excès en kg). La ligne 4 multiplie ce résultat par \(12{,}30\).

✓ La ligne 4 calcule le montant à payer pour les kilos au-delà de \(15\) kg.

### Question 3 — Montant pour une valise de 17,50 kg

\(x = 17{,}50 - 15 = \mathbf{2{,}50} \text{ kg en excès}\)
\(\text{résultat} = 2{,}50 \times 12{,}30 = \mathbf{30{,}75} \text{ €}\)
✓ Le programme affichera \(30{,}75\) €

### Question 4 — Lignes à modifier pour la valise en soute

Le seuil (\(15 \to 23\) kg) est à la ligne 3. Le tarif (\(12{,}30 \to 10{,}70\) €) est à la ligne 4.

✓ Il faut modifier les lignes 3 et 4

### Question 5 — Nouvelles lignes 3 et 4

`3 mettre x à masse − 23
4 mettre résultat à x × 10,70`
✓ Ces deux lignes adaptent le programme aux valises en soute
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